新人教版高一数学必修一1.2函数及其表示

1.2 函数及其表示
一、函数的概念
设集合A、B是非空的数集 ，对于A中的任意一个数
x
，按照确定的对应法则
f
，在
集合B中都 有唯一确定的数
f(x)
与它对应，则这种对应关系
f:A?B
叫做集合A到集
合B的一个函数，记作：
y?f(x),x?A

其中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围：数集A叫做函数的定义域；
与
x
的值相对应的
y
的值叫做函数值，函数值的集合y?f(x)x?A
叫做函数的值
域。
函数
y?f(x)
也常写作函数
f
或函数
f(x)

二、函数的三种表示法
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如
y?2x?6
.
优点：全面，简明，具体，可求函数值。
缺点：不够直观
（2）图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系.
优点：直观、形象；
缺点：只能近似的求，有时误差比较大.
（3）列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系.
优点：不需要计算；
缺点：较少的，有限的列出函数值.
三、同一函数：
如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一个函
数.
四、区间的概念：
（其中，“
??
”读作“正无穷大”，“
??
”读作“负无穷大”）
??

注：（1）函数的三要素中，定义域与对应 法则确定一个函数，两个函数如果对应法则相
同，但定义域不同，则表示不同的函数，对应法则不一定能 用解析式表示，一般都研究可以
用较简单的解析式表示出来的函数；
（2）表格中的最 后一种情况中正、负无穷一侧为开区间，实数集R可以用区间（
??,??
）
表示；
（3）在直角坐标系下，记号（2，3）可以用来表示区间，也可以用来表示一个点，要根
据情况区分清楚；
五、分段函数






六、复合函数
函数
y?f(u)
，
u?g(x)
，
u?[m,n]
，
x?[a,b]
，那么称
y?f[g(x)], x?[a,b]
为
f
与
g
的复合函数.其中，
y?f(u)
叫做外层函数，中间变量
u?g(x)
叫做内层函数
【注意】
（ 1）函数符号
f(x)
，
f[g(x)]
与
g[f(x)]
的区别



（2）复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的 值域以及函数的定义域共同决
定的.

【经典精讲】
考点1 对符号< br>f(x),f(a)
及
f[g(x)]
与
g[f(x)]
的理 解
【例1】 判断以下是否是函数：
（1）
x

y

1
3
2
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
（2）
y?4x?5
；（3）
y??x
；（4）
y?
22
（5）
x?y?9< br>
x?3?2?x
；

【例2】如图所示，能表示
y是
x
的函数的是_________

【例3】函数
f(x)
由下表确定：
x
f (x)
则下列函数
①
x?1
；②
2x?1
；③
x?2< br>；④
【例4】
（1）已知函数
f(x)?
2
1
3
2
5
3
7
4
9
3
中能作为函数表达式的是__________
x
x?
2

x
①函数的定义域为_____________________;
②
f(1)?
；
f(4)?
.
③当
a?0
时，
f(a)?
;
f(a?1)?
_______________.
（2）已知函数
f(x),g(x)
分别由下表给出

则
f[g(1)]
的值为 ；满足
f[g(x)]?g[f(x)]
的
x
的值为 .
1?x
2
(x?0)
，则
f(0)
等于（ ） （3）已知
u?g(x)?1?2x,f(u)?
x
2
A.1 B.3 C.15 D.30
（4）函数
f(x)
对于任意实数
x
满足条件
f(x?2)?
1
，若< br>f(1)??5
，则
f(x)
f(f(5))?
__________ .
考点2 函数的定义域
【例3】（1）求下列函数的定义域
①
y?x?
3
xx?2
； ②
y?
； ③
y?
； ④
f(x)?1?2x?3x?1
；
x?2
x?1x?1

⑤
f(x)?
1
?(x?3)
0
； ⑥
f(x)?x
2
?x?2
.
x?2



(2)下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.
y?1,y?
x
B.
y?x?1?x?1，y?x
2
?1

x
C.
y?x,y?
3
x
3
D.
y?x,y?(x)
2

【易错题】
（1）已知
f(x)
的定义域为[-1,2), 则
f(x)
的定义域为（ ）
A.[-1,2) B.[-1,1] C.(-2,2) D.[-2,2)
（2） 若
f(x)
的定义域为（1,3]，求
f(x?2)
的定义域；



（3）若
f(x?2)
的定义域是（1,3]，求
f( x)
的定义域.




考点3 函数的值域
【例4】求下列函数的值域
（1）
y??2x?1,x?[?1,3]
； （2）
y?




考点4 分段函数求值问题
【例5】 (1)
f(x)?
?
2x?3

x?1
?
x?1,(x?0)
, 则
f(?2)?
_________.
?
f(x?2),(x?0)
?
x?2(x??1)
?
2
(2)已知函数
f (x)?
?
x(?1?x?2)
，①求
f(
?
)
； ②若
f(a)?3
，求
a

?
2x(x?2)
?

考点5 求函数解析式
方法1 待定系数法
【例6】
f(x)
是一次函数，< br>f[f(x)]?4x?3
，求
f(x)





f(x?1)?f(x)?x?1
，求
f(x)
【例7】
f(x)
是二次函数，且
f(0)?2，






方法2 换元法
【例8】
f(x?1)?2x
2
?x?1
，求
f(x)







方法3 配凑法
【例9】（1）
f(x?)?x?







方法4 构建方程组
【例10】
f(x)?2f(?x)?3x?2
，求
f(x)







1
x
2
111
2
f(x?)?x?
f(x)
，求. (2),求
f(x)

x
2
xx
2

【练习】求下列函数解析式
（ 1）已知
f(x)?x
2
?1
，求
f(2x?1)
； （2）已知
f(x?1)?x
2
?x
，求
f(x)
；
（3）已知
f(x)?3x?2x
，求
f(x)
；
（4）已知
f(x)?2f()?x
，求
f(x)
.




1
x
1.2.2 映射与函数
1、映射的概念：
一般地，设A,B是两个非空的集合，如果按某一确定的对应关系
f
，使对于集合A中
的任意一个元素
x
，在集合B中都有唯一确定的 元素
y
与之对应，那么就称对应关系
f
：
A?B
为从集合A 到集合B的一个映射.
映射
f
也可记为：
f:A?B

x?f(x)
此时，称
y
是
x
在映射
f< br>的作用下的象，记作
f(x)
，
x
称作
y
的原象.
2、一一映射;如果
f
是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集 合A
中都有且只有一个原象，这时我们就说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个
映射叫做从集合A到集合B的一一映射.
问：下列对应中有几个是映射？

a1
b
1
a
1
b
1
a
1
b1
a
1
b
1
a
2

b
2

a
2

b
2

a
2

b
2

a
2

b
2
a
3
b
3
a
3
b
3
a
3
b
3
a
3

【经典精讲】
1,2
?
，写出集合A到集合B的所有映射. 【例1】设集合A=
?
a,b,c
?
，B=
?

【例2】（1）已知集合A到B的映射
f:x?y?2x?1
，那么集 合A中元素2在B中的象
是（ ）
A.2 B.5 C.6 D.8
（2）已知A=
?
a
1
,a2
,a
3
?
，B=
?
b
1
,b
2
?
，则从A到B的不同映射共有（ ）.
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
变式：已知A=
?
a1
,a
2
?
，B=
?
b
1
,b
2
,b
3
?
，则从A到B的不同映射共有（ ）
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
【例3】设M=
?
a,b ,c
?
,N=
?
?3,0,3
?
,若从M到N的映射
f
满足：
f(a)?f(b)?f(c)
，求
这样的映射
f
的个数.