高中数学必修1 函数知识点总结

高中数学必修1函数知识总结

一、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的 ，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一
个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个
函数．记作： y=f(x)，x∈A．函数的三要素为
找错误：①其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
②与x的值相对应的y值叫做函数值，所以集合B为值域。
注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式 子有意义
的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
专项练习1.求函数的定义域：
类型1.⑴
y?
x
2
?2 x?15
1
0
?4?x
2
⑵
y?(2x?1)
⑶
y?
x?3
log
2
(x?1)




总结：
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列 不等式组的主要依据是：(1)
分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数
式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义
域是使各部分都有意义的x的值组成的集合 .（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义
域还要保证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
类型2 抽象函数求定义域：
1.已知
f(x)
的定义域，求复合函数
f[g
?
x
?]
的定义域 方法总结
练习1.已知函数
f(x)
的定义域为
?
?15，
?
，求
f(3x?5)
的定义域为
练习2、设函数
f(x)
的定义域为
[0，1]
，则函数
f (x)
的定义域为 < br>2
2.已知复合函数
f[g
?
x
?
]
的定义 域，求
f(x)
的定义域方法总结
练习1.若函数
f(x?1)
的定义域为
[?2，3]
，求函数f(x)
的定义域．
2
练习2. 已知函数
f(x?2x?2)
的定义域为
?
0 ，3
?
，求函数
f(x)
的定义域．
3.已知复合函数
f[g(x)]
的定义域，求
f[h(x)]
的定 义域方法总结
练习1.若函数
f(x?1)
的定义域为
[?2，3]
，则函数f(2x?1)
的定义域是
练习2
、已知函数



的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。

4.已知
f(x)
的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出
各个 函数的定义域，再求交集。
核心方法总结 ①
②

专项练习2相同函数 判断方法①
②

例1.



专项练习3函数的值域
一次函数
y?kx?b
?
k?0
?
的值域为R．
二次函数
y?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
，当< br>a?0
时的值域为 ，当
a?0
时的值域
反比例函数
y ?
k
x
?
k?0
?
的值域为
?
y?Ry? 0
?
．指数函数
y?a
x
?
a?0且a?1
?的值域为

对数函数
y?log< br>a
x
?
a?0且a?1
?
的值域为R．
1.二次函数在给定区间上的值域问题
(1)y＝x
2
+2x+3（0≤x≤2） (2) y＝3－2x－x
2
（－3≤x≤-1）



(3)y＝x
2
+2x+3 （－3≤x≤1） (4) y＝3－2x－x
2
（－2≤x≤1）




2．已知k∈R，求函数
y?kx?2kx?1
，x∈[－3,2]的最值






3．已知函数f(x)＝－x
2
＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．







总结二次函数求值域方法①
②
③
2.换元法
(1)y＝2x－3＋
4x?13






3.单调性法

xx
(2)y＝x+1 +
1?2x
（3）
y?4?3?2?1(0?x?2)

2
?
1
?2
(1)
y?log
2
?
?x?2x
?
(2)
y?log
1
x?
??
(x?2)

?
2
?
2


x

4.分离常数法 形如
y?
cx?d

ax?b
1
x?2
x?2
x?2
2
(1)y＝ (2) y＝ (3) y＝( 1x?1
1?x
x?1





类型4求函数的解析式
1.待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．
例1 设
f(x)
是一次函数，且
f[f(x)]?4x?3
，求
f(x)
．



2、换元法：已知复合函数
f [g(x)]
的表达式时，还可以用换元法求
f(x)
的解析式注意函数定义域
例2已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x)
．


变式2．已知
f(x?1)?x?2x?3
，求
f
(
x
)的解析式．



3、配凑法：已知复合函数
f[g(x)]
的表达式，求
f(x)
的解析式，注意所求函数
f(x)
的定义域
例3已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x)
．



变式3．已知
f(x?1)?x?2x?3
，求
f
(
x
)的解析式．





4、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过
2
2

解方程组求得函数解析式．
例4 设
f(x)满足f(x)?2f()?x,
求
f(x)
．



变式4．已知


1
x
f(x)?2f(?x)?x
求函数
f
(
x
)的解析式．

二、函数的性质
1．函数单调性
（1）．设函数y=f(x)的定义域为I，①如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，
，那么就说f(x)在区间D上是增函数。②区间D称为
y=f(x)的单调增区间；如果对于区间D上 的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，
，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2、必须是 对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
) （或f(x
1
)＞f(x
2
)）
练习
3、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

用定义证明
f(x)?x?







1
在
?
1,??
?
上单调递增
x

总结：函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；2 作差f(x
1
)－f(x
2
)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差
f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
2.求函数的单调区间
（2）.已知函数的单调区间求参数的范围

练习 已知函数
f(x)?x ?2(a?1)x?2
在区间
?
??,4
?
上是减函数，则实数a的 取值范围
2

（3）.复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f是g的复合函数。复合函数的单
调性：复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
复合函数单调性：口诀：同增异减
u=g(x) y=f(u)
增
增
减
减
增
减
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
增





（4）、
判断
函数的单调性常用的结论
①函数
y??f(x)
与
y?f(x)
的单调性相反；
② 当函数
y?f(x)
恒为正或恒有负时，
y?
1
f(x)
与 函数
y?f(x)
的单调性相反；
③函数
y?f(x)
与函数y?f(x)?C
（C为常数）的单调性相同；
④当C > 0（C为常数）时，
y?f(x)
与
y?Cgf(x)
的单调性相同；
当C < 0（C为常数）时，
y?f(x)
与
y?Cgf(x)
的单调性相反；

⑤函数
f(x)
、
g(x)
都是增（减）函数，则
f(x)?g(x)
仍是增（减）函数；
⑥若
f(x)?0,g(x)?0
且
f(x)
与
g(x)
都是增（减）函数，则
f(x)gg(x)
也是增（减）函数；
若
f(x)?0,g(x)?0
且
f(x)< br>与
g(x)
都是增（减）函数，则
f(x)gg(x)
也是减（增）函 数；
n
f(x)?0f(x)
⑦设，若在定义域上是增函数，则
1
f(x)
、
f
n
(x)(n?1)
都是增函数，而
f(x)
是减函数.
2．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 ，那么f(x)就叫做偶函数．
奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 ，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知具有奇偶性的函数定义域关于原点对称．
3.具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
4若一个函数为奇函数且在原点有定义则
f(0)?______

5既奇又偶函数有无穷多个（
f(x)?0
，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

(1) 判断函数的奇偶性
1．
f(x)?x?
1
2. f(x)＝x
2
, x∈[2,3].
x



6．定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y ），求证：f（x）为奇函数．










总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域 ；
2 确定f(－x)与f(x)的关系；
3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) =
0，则f(x)是奇函数．有时用f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定。

（2）奇偶性与单调性的关系
奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全 ；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.















（3）用奇偶性求函数值



（4）已知函数的奇偶性求函数的解析式

三、常用函数的性质
一、指数函数
指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数
y?a
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1
2、指数函数的图象和性质
01




图
像




性质
定义域R , 值域
（1）过定点 ,即x=0时，y=1
(2)在R上是减函数
（3）当x>0时,0当x<0时,y>1
(2)在R上是增函数
（3）当x>0时,y>1;
当x<0时,0x

二、对数函数
1、对数函数的概念：函数
y?log
a
x
(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
（0，+∞）．
注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
x?1
，
y?log
a
x?2
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数
2、对数函数的图像与性质：对数函数
y?log
a
x
(a>0，且a≠1)
如：
y?log
a
0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1

图
像
y
y
0
(1,0)
x
0
(1,0)
x




性
质
定义域： 值域：R
过点
在(0,+∞)上是减函数
当x>1时，y<0
当x=1时，y=0
当00
在(0,+∞)上是增函数
当x>1时，y>0
当x=1时，y=0
当0 注意1.y=a
x
(a>0且a ≠1) 与y=log
a
x(a>0且a ≠1)，图象关于y=x对称。
2指数函数.当a>1时a的值越大图像越
当0对数函数.当a>1时a的值越大图像越
当0对数运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，
M?0< br>，
N?0
，那么：
log
a
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N
；
log
a
log
a
M
n
?n
log
aM

(n?R)
．
注意：换底公式
M
?
log
a
M
－
log
a
N
；
N
l og
a
b?
log
c
b
（
a?0
，且< br>a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0
）．
log
c
a
1
n
（2）
log
a
b?
．(3)
log
a
blog
b
clog
ca?1

log
a
b
；
log
b
a< br>m
利用换底公式推导下面的结论
（1）
log
a
m
b
n
?
类型1.
1. 对数比较大小
2.
1
a?log
1
6,b?()
0.8
,c?ln
?
，
a,b,c
的大小为
3
2

类型2.解指对数不等式 (关键是单调性)






三、一元二次不等式
x
2
?3x?2?0

?x
2
?3x?2?0






2
x
?4

(
1
2
)
x
?4

x
2
+3x?4?0

x
2
+3x?1?0

总结一元二次不等式解法

四 对勾函数

举例
y?x?
1
x
y?3x?
2
x