星三角公式三角函数和差化积与积化和差公式

和差化积和积化和差公式
正弦、xx的和差化积

【注意右式前的负号】
证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]的证明过程
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，
设 α+β=θ，α-β=φ
那么 ，
把α，β的值代入，即得
sin θ+sin φ=2sincos
正切和差化积
tanα±tanβ=
cotα±cotβ=
tanα+cotβ=
tanα-cotβ=
证明：左边=tanα±tanβ=
=
==右边
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在应用和差化积时，必须 是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须
用化为同名；若是高次函数，必须用降为一次
记忆口诀（正弦xx）
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
生动的口诀：
xx+xx=xx哥
xx-xx=哥xx
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
积化和差公式
（注意：此时差的xx在和的xx前面）
或写作： （注意：此时公式前有负号）



证明
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：


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其他的3个式子也是相同的证明方法。
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都
是[-1,1]，其和 差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须
的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同
而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=12[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ- sinα·sinβ)]
=2sinα·sinβ
故最后需要除
2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三 角函
数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和
差公式展开后 乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法
化简下去了。
使用哪种三角函数的和差
仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，xx的展开中含有两对 同名三
角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以反过来，同名
三角函数的 乘积，化作xx的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。
是和还是差？
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这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。规律为：“小角”β以cosβ< br>的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如 果β的形式是cosβ，那么若把
β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α- β的两项调换位置对结果没
有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然 ，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内xx函数的单调
性。因为这个区间内xx函数 是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。但是这
时对应的α和β在[0,π]的范 围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来
把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要 么就在式子的最前面加上负号。
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