高中数学必修1专题辅导三

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一、知识要点
1、函数的单调性
①定义
②用定义证明函数单调性的步骤
③在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
④复合函数
y?f[g(x)]
：
⑤函数
a
f(x)?x?(a?0)
的单调性：
x
2、函数的奇偶性
①定义：
前提条件：
②若函数
f(x)
为奇函数，且在
x?0
处有定义，则 ．

y
轴两侧相对称的区间增减性 ，偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减 ．③奇函数在
④在公共定义域 内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或
奇函数）的积（或 商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是 ．
⑤分类：


二、精典例题
例1、函数
y?(2k?1)x?b
在 实数集上是增函数，求
k
的取值范围.



例2、函数
y?x?bx?c
(x?(??,1))
是单调函数时，求
b
的取值 范围.




例3、已知
f(x)?(x?2),x? [?1,3]
，求函数
f(x?1)
得单调递减区间.


1 6
2
2

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例4、求函数
y??x
2
?|x|
的单调区间最值.









例5、判断下列函数的奇偶性
①
y?x
3
?
1
x
； ②
y?2x?1?1?2x
；
?
x
2
?2
③
y?x
4
?x
； ④
y?
?
(x?0)
?
0(x?0)
。
?
?
?x
2
?2(x?0)











例6、已知< br>f(x)?x
2005
?ax
3
?
b
x
?8
，
f(?2)?10
，求
f(2)
.






例7、函数
f(x)
在R上为奇函数，且
f(x)?x?1,x?0
，
f(x)?
.




2 6
则当
x?0
，

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三、强化训练
一、选择题
1．下列判断正确的是（ ）
x
2
?2x
1?x
A．函数
f(x)?
是奇函数 B．函数
f(x)?(1?x)
是偶函数
x?2
1?x
C．函数< br>f(x)?x?
2
x
2
?1
是非奇非偶函数 D．函数
f(x)?1
既是奇函数又是偶函数
2．若函数
f(x)?4x? kx?8
在
[5,8]
上是单调函数，则
k
的取值范围是（ ）
A．
?
??,40
?
B．
[40,64]

C．
?
??,40
?
3 ．函数
y?
?
64,??
?
D．
?
64,??
?

x?1?x?1
的值域为（ ）
?
C．
?
A．
??,2
B．
0,2

?
?
?
2,??
D．
?
0,??
?

2
4．已知函数
f
?
x
?
?x?2
?
a?1
?
x?2
在区间< br>?
??,4
?
上是减函数，
则实数
a
的取值范围是（ ）
A．
a??3
B．
a??3
C．
a?5
D．
a?3

5．下列四个命题：(1)函数
f(x)
在
x?0
时是增函数，
x ?0
也是增函数，所以
f(x)
是增函数；
2
(2)若函数
f(x)?ax?bx?2
与
x
轴没有交点，则
b?8a?0
且a?0
；(3)
y?x?2x?3
的
2
?
2
递增区间为
?
1,??
?
；(4)
y?1?x
和
y?(1?x)
2
表示相等函数。
其中正确命题的个数是( )
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3

6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中
纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的
是（ ）
d
d
0
O
A．
t
0
t

d
d
0
O
B．
t
0
t

d
d
0
O
C．
t
0
t

d
d
0
O
D．
t
0
t

二、填空题

7．函 数
f(x)?x?x
的单调递减区间是____________________。
8．已知定义在
R
上的奇函数
f(x)
，当
x?0
时，< br>f(x)?x?|x|?1
，那么
x?0
时，
3 6
2
2

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f(x)?
.
9．若函数
f(x)?
x?a
在
?
?1,1
?
上是奇函数,则
f(x)
的解析式为________.
x
2?bx?1
10．奇函数
f(x)
在区间
[3,7]
上是增函数 ，在区间
[3,6]
上的最大值为
8
，最小值为
?1
，则< br>2f(?6)?f(?3)?
__________。
11若函数
f(x)? (k?3k?2)x?b
在
R
上是减函数，则
k
的取值范围为___ _______。
2
三、解答题
1?x
2
12．判断下列函数的奇偶性（1）
f(x)?
（2）
f(x)?0,x?
?
?6,?2
?
x?2?2





13.已知函数
y?f(x)
的定义域为
R
，且对任意
a,b?R
，都有
f(a?b)?f(a)?f(b)
，且当
（1）函数
y?f(x)
是
R
上的减函数；（2）函 数
y?f(x)
是
x?0
时，
f(x)?0
恒成立，证明：
奇函数。





14．设函数
f (x)
与
g(x)
的定义域是
x?R
且
x??1
,
f(x)
是偶函数,

g(x)
是奇函数,且
?
2,6
?

f(x)?g(x)?




1
,求
f(x)
和
g(x)
的解析式.
x?1< br>15．设
a
为实数，函数
f(x)?x?|x?a|?1
，
x ?R
，讨论
f(x)
的奇偶性.

2

4 6

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参考答案
一、选择题
1. C 选项A中的
x?2,
而
x??2
有意义，非关于原点 对称，选项B中的
x?1,

而
x??1
有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；
2. C 对称轴
x?
3. B
y?
kkk
，则
?5< br>，或
?8
，得
k?40
，或
k?64

88 8
2
,x?1
,
y
是
x
的减函数，当
x? 1,y?2,0?y?2

x?1?x?1
4. A 对称轴
x?1?a,1?a?4,a??3

5. A （1）反例
f( x)?
1
；（2）不一定
a?0
，开口向下也可；（3）画出图象
x
可知，递增区间有
?
?1,0
?
和
?
1,??< br>?
；（4）对应法则不同
6. B 刚刚开始时，离学校最远，取最大值，先跑步，图象下降得快！
二、填空题
1．
(??,?],[0,]
画出图象
2.
?x?x?1
(设
x?0
，则
?x?0
，
f(?x)?x?x?1
， < br>∵
f(?x)??f(x)
∴
?f(x)?x?x?1
,
f( x)??x?x?1
)
3.
f(x)?
22
22
1
2
1
2
x
a
f(?x)??f(x)
( ∵∴
f(?0)??f(0),f(0)?0,?0,a?0

x
2
?1
1
x?11
即
f(x)?
2
,f(?1)??f(1),??,b?0
)
x?bx?12?b2?b
4.
?15
(
f(x)
在区间
[3,6]
上也为递增函数，即
f(6)?8,f(3)??1

?6)?f?(3?)?f2

2f(
5.
(1,2)
(
k?3k?2?0,1?k?2
)
三、解答题
1．解：（1）定义域为
?
?1,0
?
2
(6?f)(?3 )?
)
1?x
2
,

?
0,1
?
，则
x?2?2?x
，
f(x)?
x
1?x
2
∵
f(?x)??f(x)
∴
f(x)?
为奇函数。
x
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（2）∵
f(?x)??f(x)< br>且
f(?x)?f(x)
∴
f(x)
既是奇函数又是偶函数。
2．证明：(1)设
x
1
?x
2
，则
x
1
?x
2
?0
，而
f(a?b)?f(a)?f(b)

x?
2
x?
∴
f(x
1
)?f (
12
x)?f(
1
x?
2
x)?(f
2
x)?(fx)

∴函数
y?f(x)
是
R
上的减函数;
(2)由
f(a?b)?f(a)?f(b)
得
f(x?x)?f(x)?f(?x)

即
f(x)?f(?x)?f(0)
，而
f(0)?0

∴
f(?x)??f(x)
，即函数
y?f(x)
是奇函数。
3．解：∵
f(x)
是偶函数,
g(x)
是奇函数，∴
f (?x)?f(x)
，且
g(?x)??g(x)

1
1
,得
f(?x)?g(?x)?
,
x?1
?x?1
11
即
f(x)?g(x)?
，
??
?x?1x?1
1x
∴
f(x)?
2
，
g(x )?
2
。
x?1x?1
而
f(x)?g(x)?
4．解： （1）当
a?0
时，
f(x)?x?|x|?1
为偶函数，
2
1
当
a?0
时，
f(x)?x?|x?a|?
为非奇非偶函数；
（2 ）当
x?a
时，
f(x)?x?x?a?1?(x?)?a?
2
1< br>2
3
,

24
1
13
当
a?
时，
f(x)
min
?f()?a?
，
2
24
1
当
a?
时，
f(x)
min
不存在；
2
1
2
3
2
当
x?a
时，
f(x)?x?x?a?1?(x? )?a?,

24
1
f(a)?
2
a?
，
1
当< br>a??
时，
f(x)
min
?
2
1
13 当
a??
时，
f(x)
min
?f(?)??a?
。
2
24
2


6 6