高中数学公式口诀大全-山东高中数学用ab板
第一章 集 合
1.1 集合与集合的表示方法
一、选择题
1.下列各组对象
2
①方程x+2x+1=0的解;
②比较小的正整数全体;
③平面上到点O的距离等于1的点的全体;④正三角形的全体;
⑤
2
的近似值的全体.
其中能构成集合的组数有( B ) 1 3
4
A.2组 B.3组 C.4组 D.5组
2.设集合M={大于0小于1的有理数},
N={小于10的正整数},
P={定圆C的内接三角形},
Q={所有能被7整除的数},
其中无限集是( B )
A.M、N、P
B.M、P、Q
C.N、P、Q D.M、N、Q
3.下列命题中正确的是( C
)
A.{x|x
2
+2=0}在实数范围内无意义
B.{(1,2)}与{(2,1)}表示同一个集合
C.{4,5}与{5,4}表示相同的集合
D.{4,5}与{5,4}表示不同的集合
4.直角坐标平面内,集合M={(x,y)|xy≥0,x∈R,y∈R}的元素所对应的点是(
)
A.第一象限内的点 B.第三象限内的点
C.第一或第三象限内的点
D.非第二、第四象限内的点
5.已知M={m|m=2k,k∈Z},X={x|x=2k+1,k
∈Z},Y={y|y=4k+1,k∈
Z},则( D )
A.x+y∈M
B.x+y∈X C.x+y∈Y D.x+y
?
M
6.下列各选项中的M与P表示同一个集合的是( )
A.M={x∈R|x
2
+0.01=0},P={x|x
2
=0}
B.M={(x,y)|y=x
2
+1,x∈R},P={(x,y)|x=y
2
+1,x∈R}
C.M={y|y=t
2
+1,t∈R},P={t|
t=(y-1)
2
+1,y∈R}
D.M={x|x=2k,k∈Z},P={x|x=4k+2,k∈Z}
6.C解析:在选项A中,M=
?
,P={0},是不同的集合;
在选项B
中,有M={(x,y)|y=x
2
+1≥1,x∈R},P={(x,y)|x=y
2
+1≥1,y∈R},
是不同的集合,在选项C中,y=t
2
+1≥1,t
=(y-1)
2
+1≥1,则M={y|y≥1},P={t|t
≥1},它们都是由
不小于1的全体实数组成的数集,只是用不同的字母代表元素,因此,M
和P是同一个集合,在选项D中
,M是由…,0,2,4,6,8,10,…组成的集合,P是由…,
2,6,10,14,…组成的集
合,因此,M和P是两个不同的集合.答案:C.
二、填空题
7.由实数x,-x,|x|所组成的集合,其元素最多有______个.
8.集合{3,x,x
2
-2x}中,x应满足的条件是______.
9.对于集合A={2,4,6},若a∈A,则6-a∈A,那么a的值是______.
10.用符号∈或
?
填空:
①1__
____N,0______N.-3______Q,0.5______Z,
2
_____
_R.
②
1
______R,
5
______Q,|-3|___
___N
+
,|-
3
|______Z.
2
11.若方程
x
2
+mx+n=0(m,n∈R)的解集为{-2,-1},则m=______,n=__
____.
12.若集合A={x|x
2
+(a-1)x+b=0}中,仅有一个元
素a,则a=______,b=______.
?
x?y?1
?
13.方
程组
?
y?z?2
的解集为______.
?
z?x?3
?
14.已知集合P={2,3,4},Q={x|x=ab,a,b∈P,a≠b},用列举法表示集
合Q
=______.
15.用描述法表示下列各集合:
①{2,4,6,8,1
0,12}_____________________________________________
___.
②{2,3,4}_________________________________
__________________________.
③
{,,,,}
___
__________________________________________________
_.
16.已知集合A={-2,-1,0,1},集合B={x|x=|y|,y∈A},则B=_
_____.
三、解答题
17.集合A={有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}
中有多少个元素?试画出
这些元素来.
17.解:有4个元素,它们分别是:
(1)底边为1,顶角为40°的等腰三角形;(2)底边为1,底角为40°的等腰三角形;
(3)腰长为1,顶角为40°的等腰三角形;(4)腰长为1,底角为40°的等腰三角形.
12345
34567
18.设A表示集合{2,3,a
2
+2a-3},B表示集合{a+3,
2},若已知5∈A,且5
?
B,
求实数a的值.
19.实数集A满足条件:1
?
A,若a∈A,则
1
?A
.
1?a
(1)若2∈A,求A;
(2)集合A能否为单元素集?若能,求出A;若不能,说明理由;
(3)求证:
1?
1
?A
.
a
1
?A
,即-1∈A.
1?2
1
1
∵
-1∈A,-1≠1∴
?A
,即
?A
.
2
1?(?1)<
br>11
1
∵
?A,?
?A
,即2∈A.
?
1
,
∴
1
22
1?
2
1
1
由以上可知,若2
∈A,则A中还有另外两个数-1和∴
A?{?1,,2}
.
2
2
1
,
即a
2
-a+1=0. (2)不妨设A
是单元素的实数集.则有
a?
1?a
19.证明:(1)若2∈A,由于2≠1,则<
br>∵?=(-1)
2
-4×1×1=-3<0,
∴方程a
2
-a+1=0没有实数根.
∴A不是单元素的实数集.
1
?A
1?a
1
1
?A
. ∴
?A
,即
1
1?a
1?
1?a
(3)∵若a∈A,则
20.已知集合A={x|ax
2
-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R
①若A是空集,求a的范围;
②若A中只有一个元素,求a的值;
③若A中至多只有一个元素,求a的范围.
20.解:①∵A是空集∴方程ax
2
-3x+2=0无实数根
∴
?
?
a?
?
0,
9
解得
a??
8
?
??9?8a?0,
②∵A中只有一个元素,
∴方程ax
2
-3x+2=0只有一个实数根.
当a=0时,方程化为-3x+2=0,只有一个实数根
x?
当a≠0时,令
?
=9-8a=0,得
a?
等的实数根,即A中只有一个元素.
由以上可知a=0,或
a?
2
;
3
9
,这时一元
二次方程ax
2
-3x+2=0有两个相
8
9
时,A中只有一个元素
.
8
9
.
8
③若A中至多只有一个元素,则包括两种情形,A中
有且仅有一个元素,A是空集,由
①、②的结果可得a=0,或
a?
21.用列举法把下列集合表示出来:
①A=
{x?N|
②B=
{
9
?N};
9?x
9
?N|x?N};
9?x
③C={y|y=-x
2
+6,x∈N,y∈N};
④D={(x,y)|y=-x
2
+6,x∈N,y∈N};
⑤E=
{x|
p
?x,p?q?5,p?N,q?N*}?
q
.解:①由9-x>0可知,取x=0,1,2,3,4,5,6,7,8验证,则x=0,6,8
时
9
?1
,3,9也是自然数,∴A={0,6,8}
9?x
②由①知,B={1,3,9}.
③∵y=-x
2
+6≤6,而x∈N,y∈N,
∴x=0,1,2时,y=6,5,2符合题意.
∴C={2,5,6}.
④点(x,y)满足条件y=-x
2
+6,x∈N,y∈N,则有
?
x?2,
∴D={(0,6),(1,5),(2,2)}.
?<
br>y?2.
?
?
p?0,
?
p?1,
?
p?2
,
?
p?3,
?
p?4,
*
⑤由p+q=5,p∈N,q∈
N得
?
????
?
q?5,
?
q?4,
?
q?3,
?
q?2,
?
q?1.
?
x?0,?
?
y?6,
?
x?1,
?
?
y?5,
又∵
x?
123
p
,∴
E?{0,,,,4}
432
q
22.已知集合A={p|x
2
+2(p-1)
x+1=0,x∈R},求集合B={y|y=2x-1,x∈A}.
解:由已知,
?
=4(p-1)
2
-4≥0,得P≥2,或P≤0,
∴A={p|p≥2,或p≤0},∵x∈A,∴x≥2,或x≤0.
∴2x-1≥3,或2x-1 ≤-1,∴B={y|y≤-1,或y≥3}.
22.解:由已知,
?
=4(p-1)
2
-4≥0,得P
≥2,或P≤0,
∴A={p|p≥2,或p≤0},∵x∈A,∴x≥2,或x≤0.
∴2x-1≥3,或2x-1 ≤-1,∴B={y|y≤-1,或y≥3}.
集合与集合的表示方法参考答案
一、选择题
1.A 2.B 3.C 4.D 5.A
6.C解析:在选项A中,M=
?
,P={0},是不同的集合;
在选项B
中,有M={(x,y)|y=x
2
+1≥1,x∈R},P={(x,y)|x=y
2
+1≥1,y∈R},
是不同的集合,在选项C中,y=t
2
+1≥1,t
=(y-1)
2
+1≥1,则M={y|y≥1},P={t|t
≥1},它们都是由
不小于1的全体实数组成的数集,只是用不同的字母代表元素,因此,M
和P是同一个集合,在选项D中
,M是由…,0,2,4,6,8,10,…组成的集合,P是由…,
2,6,10,14,…组成的集
合,因此,M和P是两个不同的集合.答案:C.
二、填空题
7.2
8.x≠3且x≠0且x≠-1
?
x??
3,
?
2
根据构成集合的元素的互异性,x满足
?
x
?2x?
?
3,
?
x
2
?2x?x.
?
?
解之得x≠3且x≠0且x≠-1.
9.2或4
10.①∈,∈,∈,
?
,∈.②∈,
?
,∈,
?
.
11.m=3,n=2.
11
,
b?
.解析:由题意知,方程x
2
+(a-1)x+b=0只有等根x=a,则
?
=
39
11
(a-1)
2
-4b=0①,将x=a代入原方程得a
2
+(a-1)a+b
=0②,由①、②解得
a?,b?
.
39
12.
a?
13.{(1,0,2)}
14.Q={0,2,3,4,6,8,12}
*
15.①{x|x=2n,n∈N且n≤6},
②{x|2≤x≤4,x∈N},或{x|(x-2)(x-3)(x-4)=0}
③
{x|x?
n
,n?N
*
且
n?6}
n?2
16.B={0,1,2}解析:∵y∈A,∴y=-2,-1,0,1,∵x=|y|
,∴x=2,1,0,
∴B={0,1,2}
三、解答题
18.解:∵5
∈A,且5
?
B.
?
a
2
?2a?3?5,
?<
br>a??4或a?2,
∴
?
即
?
a?2.
?
5,
?
?
?
a?3?
∴a=-4
1
?A
,即-1∈A.
1?2
1
1
∵-1∈A,
-1≠1∴
?A
,即
?A
.
2
1?(?1)
11
1
∵
?A,?
?A
,即2∈A.
?
1,
∴
1
22
1?
2
1
1
由以上可知,若2∈A,则A
中还有另外两个数-1和∴
A?{?1,,2}
.
2
2
1
,
即a
2
-a+1=0. (2)不妨设A
是单元素的实数集.则有
a?
1?a
19.证明:(1)若2∈A,由于2≠1,则<
br>∵?=(-1)
2
-4×1×1=-3<0,
∴方程a
2
-a+1=0没有实数根.
∴A不是单元素的实数集.
1
?A
1?a
1
1
?A
. ∴
?A
,即
1
1?a
1?
1?a
(3)∵若a∈A,则
21