高中数学必修1-必修2知识点总结

羇
高中数学必修1知识点总结

螃
第一章集合与函数概念

肈
一、集合有关概念
蝿
1、
集合的含义
：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫 元素。

螅
2、集合的中元素的三个特性：

袃
1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性

葿
3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

芇
1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

蒄
2．集合的表示方法：列举法与描述法。

羃
非负整数集（即自然数集）记作：N

袀
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

罿
关于“属于”的概念

薇
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示 ，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记
作a∈A，相反，a不属于集合A记作a
?A

羃
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

芁< br>描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的
条件表示 某些对象是否属于这个集合的方法。

莇
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

芆
②数学式 子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}

肂
4、集合的分类：

蚂
（1）．有限集含有有限个元素的集合

聿
（2）．无限集含有无限个元素的集合

肅
（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

膂
二、集合间的基本关系

蝿
1.“包含”关系—子集

薇
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

袄
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

节
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

膀
实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

艿
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合

B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

袇
任何一个集合是它本身的子集。A
?
A

莂
② 真子集:如果A
?
B,且B
?
A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?
B(或B
?
A)

薁
③如果A
?
B,B
?
C,那么A
?
C

螆
④如果A
?
B同时B
?
A那么A=B

蚆
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

蒂
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

羂
三、集合的运算

蒈
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

莄
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

薂
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合， 叫做
A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

莂
3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,

袆
A∪φ=A,A∪B=B∪A.

蒇
4、全集与补集

薂
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的 元素组

成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

蕿
（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

蚈
四、函数的有关概念

芆
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中
的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A
到集合 B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数
的定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

蚂
注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式
子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

羀
定义域补充

莀
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定 义域，求函数的定义域时列不等式组的主要
依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开 方数不小于零；(3)对数式的真数必须大
于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5 )如果函数是由一些基本函数通过四则运
算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值 组成的集合.（6）指数为零底不
可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 .

羅
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

螁
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

莁
注意：（1） 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系
决定的，所以，如果两个 函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一
函数）（2）两个函数相等当且仅当 它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数
值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达 式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课

本21页相关例2)

螈
值域补充

螄
(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义
域.(2). 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函
数值域的基础。

袁
3.函数图象知识归纳

螂
(1)定义：在平面直角 坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点
P(x，y)的集 合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．

蒀
集合C上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实
数对x、y为坐标的 点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},图象C一般的是一条光
滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线
或离散 点组成。

螇
(2)画法

羁
A、描点法：根据函数解 析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标
系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

衿
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

羈
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

薆
(3)作用：

肁
1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结 合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发

现解题中的错误。

芀
4．了解区间的概念

蚀
（1）区间的分类：开区间 、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

莅
5．什么叫做映射

莅
一般地，设A、B是两个非空的集合，如 果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任
意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f：A→B为从集合
A到集合B的一个映射。记作“f：A→B”
< br>蚁
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素 b
叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

膇
说明：函数是一种特殊的 映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；
②对应法则有“方向性”，即强调 从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是
不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满 足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都
有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素， 在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）
不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

莇
常用的函数表示法及各自的优点：

蒅
1函数图象既 可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是
否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3图象法：描点法作图要注意：确定
函数的定义域；化简函数的解析式 ；观察函数的特征；4列表法：选取的自变量要有代表性，应
能反映定义域的特征．

肁
解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值.

衿
补充一：分段函数（参见课本P24-25）

膆
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围 里求函数值时必须把自变量
代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数 值几种不同的表
达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数 是一个
函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段< br>值域的并集．

薅
补充二：复合函数

蒂
如果y =f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f、 g的复合函数。

芇
例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)

袅
7．函数单调性

蚅
（1）．增函数

虿< br>设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a清楚课本单调区间的概念）

聿
如果对于区间D上的任意两个 自变量的值a，b，当a个区间上是减函数. 区间D称为y=f(x)的单调减区间.

蚄
注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

螄
2必须是对于区间D内的任意两个自变量a，b；当a
肀
（2）图象的特点

蒇
如果函数y=f(x)在某个 区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)

单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

腿
(3).函数单调区间与单调性的判定方法

芆
(A)定义法：任取a，b∈D，且a号（即判断差f(a)－f(b)的正负）；5下结论（指出函数f(x)在给定 的区间D上的单调性）．

袃
(B)图象法(从图象上看升降)_

蚁
(C)复合函数的单调性

羈
复合函数f[g(x)]的单调性 与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关

莆
注意：1、函数 的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其
并集.2、还记得我们在 选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

芄
8．函数的奇偶性

膈
（1）偶函数

蚇
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意 一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

蒆
（2）．奇函数

蒀
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

袀
注意： 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函
数可能没有奇偶性 ,也可能既是奇函数又是偶函数。

蒅
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶 性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，
则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关 于原点对称）．

薆
3、具有奇偶性的函数的图象的特征

袁
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

芈
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否
关于原点对 称；2确定f(－x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)= 0，
则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函 数．

蒈
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数 的定义域是否关于
原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2) 有时判定f(-x)=±f(x)
比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)f (-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的
图象判定.

蚆
9、函数的解析表达式

节
（1）.函数的解析式是函数的一种 表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们
之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 .

羀
（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如 果已知函数解析式的
构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法， 这时要注意元的取值
范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方 程组消参的
方法求出f(x)

芇
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

蚆
（1）、 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值.（2）、利用图象求函数的最大（小）
值（3） 、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，
在 区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单
调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

蚃
第二章基本初等函数

蒈
一、指数函数

肆
（一）指数与指数幂的运算
螅
1．根式的概念：一般地，如果
x
n
?a
，那么
x< br>叫做
a
的
n
次方根（nthroot），其中
n
>1 ，且
n
∈
N
*
．

肄
当
n是奇数时，正数的
n
次方根是一个正数，负数的
n
次方根是一个负数．此 时，
a
的
n
次
方根用符号
n
a
表示．式子
n
a
叫做根式（radical），这里
n
叫做根指数（radic alexponent），
a
叫做被开方数（radicand）．

膀< br>当
n
是偶数时，正数的
n
次方根有两个，这两个数互为相反数．此时， 正数
a
的正的
n
次方
根用符号
n
a
表示， 负的
n
次方根用符号－
n
a
表示．正的
n
次方根与 负的
n
次方根可以合并
成±
n
a
（
a
>0 ）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
。

聿
?
a(a?0)
注意：当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
，当
n
是偶数时，
n
an
?|a|?
?

?
?a(a?0)

袅
2．分数指数幂

膁
正数的分数指数幂的意义，规定：

袂
a
m
n
?a(a?0,m,n?N,n?1)
，
a
n
m*
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)


袈
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

羅
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广 到了有理数指数，那么
整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

薂
3．实数指数幂的运算性质

莀
rsrs
rrr?s< br>（1）
a
·
a?a
(a?0,r,s?R)
；（2）
(a)?a
(a?0,r,s?R)
；

rrs
(ab)?aa
(a?0,r,s?R)
．
蚇
（3）

肅
（二）指数函数及其性质

羃1、指数函数的概念：一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做 指数函数（exponentialfunction），
其中x是自变量，函数的定义域为R．

肂
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

莆
2、指数函数的图象和性质

膅

a>1
莄
0

蕿

图象特征


向x、y轴正负方向无限延伸
薀
蒈
函数性质


芅
函数的定义域为R

芁

图象关于原点和y轴不对称

膇
非奇非偶函数

芅

函数图象都在x轴上方

羁
函数的值域为R
+


虿
函数图象都过定点（0，1）

自左向右
莂

羆
自左向右

罿
看，

莅
看，


增函数
蚄
减函数
图象逐渐上
莁
图象逐渐下
升

袃
降

在第一象限
聿
在第一象限

内的图象纵
坐标都大于
1

羈
内的图象纵
坐标都小于
1

在第二象限
螄
在第二象限
内的图象纵
坐标都小于
1
内的图象纵
坐标都大于
1


芄

函数值开始
袄

图象上升趋
螀
蚇
函数值开始
图象上升趋增长较慢，到
了某一值后
增长速度极
快；
减小极快，到
了某一值后
减小速度较
慢；
势是越来越
陡
势是越来越
缓

蒀
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?0
，则
f( x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
；

（3）对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a ?1)
，总有
f(1)?a
；
（4）当
a?1
时，若x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)
；

膈
二、对数函数

蒅
（一）对数

袄
1．对数的概念：一般地，如果
ax
?N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以
．
a
为底
．．
N
的对数，记
作：
x?log
aN
（
a
—底数，
N
—真数，
log
a
N
—对数式）

袁
说明：注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；

羀
a
x
?N?log
a
N?x
；

蒈
注意对数的书写格式．

羄
两个重要对数：常用对数：以10为底的对数
lgN
；

节
自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN．

莈
对数式与指数式的互化

芇
对数式
?
指数式

肄
对数底数 ←
a
→幂底数

蚃
对数 ←
x
→指数

肀
真数 ←
N
→幂

肆
（二）对数的运算性质

膃
如果
a?0
，且< br>a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：（1）
loga
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N
；（2）
M
（3）
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
．
?
l og
a
M
－
log
a
N
；
N
lo g
a

肄
注意：换底公式
log
a
b?
l og
c
b
（
a?0
，且
a?1
；
c?0< br>，且
c?1
；
b?0
）．
log
c
a

薈
利用换底公式推导下面的结论（1）
log
a
m
b
n
?
1
n
（2）
log
a
b?
．
log
a
b
；
log
b
a
m

聿
（二）对数函数

芃
1、对数函数的概念：函数
y?l og
a
x(a?0
，且
a?1)
叫做对数函数，其中
x是自变量，函
数的定义域是（0，+∞）．

膁
注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

芀
如：
y?2log
2
x
，
y?log
5
x
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
5

袈
对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．

莃
2、对数函数的性质：

薂

a>1
羂
0

蚇

图象特征


函数图象都在y轴右侧
袁
蒃
函数性质


羃
函数的定义域为（0，＋∞）

袇

图象关于原点和y轴不对称
羅
非奇非偶函数

袅

向y轴正负方向无限延伸


自左向右看，
膄
蚃
函数的值域为R

袀
函数图象都过定点（1，0）

自左向右看，
肁

肅
增

莃

羂

图象逐渐上升
虿
函
图象逐渐下降 数
减函数

螃
第一象限的图

蒈
象纵坐标都大于
0

蒈
第一象限的图象
纵坐标都大于0
第二象限的图

螄
象纵坐标都小于
0

芁
第二象限的图象
纵坐标都小于0
三、幂函数

蒁
1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数，其中
?
为常数．

薈
2、幂函数性质归纳．

膅
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
< br>羃
（2）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0 ,??)
上是增函数．特别地，当
?
?1
时，
幂函数的图象下凸；当
0?
?
?1
时，幂函数的图象上凸；

芀
（3）
?
?0
时，幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数．在第一象 限内，当
x
从右边趋向原
点时，图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图象在
x
轴上方无 限地逼近
x
轴正半轴．

蚈
第三章函数的应用

薆
一、方程的根与函数的零点

莁
1、函数零点的概念：对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。

罿
2、函数零点的意 义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图
象与
x
轴交点的横坐标。即：

螈< br>方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图 象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．

螃
3、函数零点的求法：

膂
求函数
y?f(x)
的零点：

螈
（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；

袈
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利
用函数的性质找出零点．

膃
4、二次函数的零点：

薀
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．

节
１）△＞０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根， 二次函数的图象与
x
轴有两个交点，二
次函数有两个零点．

莀< br>２）△＝０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两相等实根（二重根），二 次函数的图象与
x
轴有一个
交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

羆
３）△＜０，方程
ax
2
?bx?c?0
无实根，二次函 数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零
点．

螄
高中数学必修2知识点总结
第一章
第二章
肁
立体几何初步

蒀
1、特殊几何体表面积公式（
c为底面周长，
h
为高，
h
'
为斜高，
l
为母线 ）

莇
2、柱体、锥体、台体的体积公式

节
3球体的表面积和体积公式：

袀
V
球=
4
?
R
3
；S
球面
=
4
?
R
2

3

蕿
第二章直线与平面的位置关系

薄
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

羄
1平面含义：平面是无限延展的

蕿
2三个公理：

虿
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

羅
符号表示为

莂
A∈
l


肄

A
α

蚂
L
蝿

莁

B∈
l
=>
l?
?


衿
A∈
?


螇
B∈
?


薁
公理1作用：判断直线是否在平面内.

膀
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

衿
符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，

膈
使A∈α、B∈α、C∈α。

芃


膇

蒃



螆
膂
C
B

羅
α
A



公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

蚀
β




蚀
罿
符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L
蚇
α
P
羁
L


膂
肅
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.

羄
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

螀
1空间的两条直线有如下三种关系：

肆

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
螇
共面直

螃
平行直线：同一平面内，没有公共点；

袀
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

蒇
2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

芄
符号表示为：设a、b、c是三条直线

薂
a∥b

羀

=>a∥c

袇
c∥b

羆
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

肆
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

薂
3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

螀
4注意点：

袆
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互 位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般
取在两直线中的一条上；

袅
?
2
②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；

薂
③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

膁
④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

蚈
⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

薄
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

蚁
1、直线与平面有三种位置关系：

芈
（1）直线在平面内——有无数个公共点

肆
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

莃
（3）直线在平面平行——没有公共点

螁
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

虿
aαa∩α=Aa∥α

螈
2.2.直线、平面平行的判定及其性质

莆
2.2.1直线与平面平行的判定

袁
1、直线与平面平行的判 定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平
面平行。

膀
简记为：线线平行，则线面平行。

芆
符号表示：

膅
aα

羁
bβ=>a∥α

薁
a∥b

羇
2.2.2平面与平面平行的判定
羄
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

肁
符号表示：

莃
a
β

袇
b
β

蒈
a
∩
b
=
p
β∥
?


薃
a
∥
?


薀
b
∥
?


蕿
2、判断两平面平行的方法有三种：

膇
（1）用定义；

蚂
（2）判定定理；

羁
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

莁
2.2.3—

羆
1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面
的交线与该直线平行。

螂
简记为：线面平行则线线平行。

莂
符号表示：

蝿
a∥α

螅
aβa∥b

袂
α∩β=b

螃
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

蒁
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么 它们的交线平
行。

螈
符号表示：

羂
?
∥
?


袀
?
∩γ=
aa
∥
b


罿
?
∩γ=
b


薇
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

蒄
2.3直线、平面垂直的判定及其性质

螂
1、定义：如果直线 L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，
记作L⊥α，直线L叫做平面 α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它
们唯一公共点P叫做垂足。

膂
P

螇
a

袈
L

膃
2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此

平面垂直。

薀
注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

螀
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

羈
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

薄
A

节
梭lβ

蕿
B

羈
α

羅
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α- AB-β

螀
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

莈
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

肇
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

肂
2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂
直。

蒂
第三章直线与方程

膇
（1）直线的倾斜角

膇
定义：x轴正向与直线向上方向之间所 成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重
合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜 角的取值范围是0°≤α＜180°

蒃
（2）直线的斜率

羀
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用
k
表
示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

蚂
当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;

蝿
当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.

莆
当
?
?0
?
,90
?
?
时，
k?0
；当< br>?
?
?
90
?
,180
?
?
时，< br>k?0
；当
?
?90
?
时，
k
不存在。
?

膃
②过两点的直线的斜率公式：
k?
y
2?y
1
(x
1
?x
2
)
（P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),x1≠x2）
x
2
?x
1

莁< br>注意下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直 线的斜率不存在，倾斜角为90°；

衿
(2)k与P
1
、P
2
的顺序无关；

螇
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

薁
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

腿
（3）直线方程

衿
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k，且过点?
x
1
,y
1
?


袃
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y
1
。

芃
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l上每一点
的横坐标都等于x
1
，所以它的方程是x=x
1
。

羈
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

罿
③两点式：
y?y
1
x?x
1
（x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

?
y
2
?y
1x
2
?x
1

芄
④截矩式：
?
为
a,b
。
x
a
y
?1
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0),与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的截距分别
b

螁
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）

羁
注意：各式的适用范围特殊的方程如：

聿
平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）；平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；

蚇
（4）两直线平行与垂直

蒅
当
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2< br>x?b
2
时，

蚂
1
ll
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；

膀
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

肈
（5）两条直线的交点

袃
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交

蒁< br>A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程 组
?
的一组解。
?
?
A
2
x?B
2y?C
2
?0

膀
方程组无解
?l
1
l
2
；方程组有无数解
?
l
1
与
l
2重合

葿
（6）两点间距离公式：设
A(x
1
,y< br>1
)，（
是平面直角坐标系中的两个点，
Bx
2
,y
2
）

薅
则
|AB| ?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
（7）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0
的距 离
d?
（8）两平行直线距离公式
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax?By?C< br>1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A?B
22

第四章圆与方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?< br>y?b
?
?r
2
，圆心
?
a,b
?
，半径为r；
22
点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关 系：
当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
2
，点在圆外

当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2< br>=
r
2
，点在圆上
当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
2
，点在圆内
（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

1
DE
?
，半径为当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
r?
?
?,?
?
?
22
?
2
D
2
?E
2
?4F< br>
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（ 1）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?< br>2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心< br>C
?
a,b
?
到l的距离为
d?
则有
d?r ?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线
距离 =半径，求解k，得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)
2+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，
y
0
)，则过此点的切线方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y0
-b)(y-b)=r
2

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2
?< br>?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
2
?
?
y? b
2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
①当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
②当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
③当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
④当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
⑤当
d?R?r
时，两圆内含；当
d?0
时，为同心圆。

Aa?Bb?C
A?B
22
，

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点