均匀度公式积化和差公式

积化和差
积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。可以通
过展 开角的和差恒等式的手段来证明。
方法一
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的手段来证
明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:
sinαsinβ=-12[-2sinαsinβ+
=-12*(cosαcosβ- sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)+
=-12*cos(α+β)-cos(α-β)+
其他的3个式子也是相同的证明方法。
(该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积)
方法二
根据欧拉公式，e^ ix = cos x + isin x
令x=a+b i 为复数
得e ^ i(a+b)
=e ^ia * e ^ib
=(cos a+ isin a)(cos b+ isin b)
=cos acos b-sin asin b+ i(sin acos b+sin bcosa)
=cos(a+b)+i sin(a+b)
所以cos(a+b)=cos acos b-sin asin b
sin(a+b)=sin acos b+sin bcos a


记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难
点，下面指出了特 点各自的简单记忆方法。
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域来判断。sin
和c os的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该 是[-2,2]，而积的值
域却是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵
消的两项相同而造成有系数2，如:
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。

无论乘积项中的三角函数是 否同名，化为和差形式时，都应
是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果
不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，
就不会出现相抵消和相同的项，也就无法 化简下去了。
使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。注意两角和
差公式中，余弦的展 开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的
展开则是两对异名三角函数的乘积。所以反过来，同名三角函 数
的乘积，化作余弦的和差;异名三角函数的乘积，化作正弦的和
差。


是和还是差?这是积化和差公式的使用中最容易出错的一
项。规律为:小角以cosβ的形式出 现时，乘积化为和;反之，
则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果β的 形式是
cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β
和α- β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是
和;另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式的负号是一个特殊情况，必须记牢。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况 的判定，如[0，π+内
余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以
cos (α+β)不大于cos(α-β)。但是这时对应的α和β在[0，π+的范围
内，其正弦的乘积应大 于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放
到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上 负号。

积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角
函数值的和乘以常 数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降
次的效果。
在历史上，对数出现之前，积化和差 公式被用来将乘除运算
化为加减运算，运算需要利用三角函数表。
运算过程:将两个数通过乘 、除10的方幂化为0到1之间的
数，通过查表求出对应的反三角函数值，即将原式 化为
10^k*sinαsinβ的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数的


值，并最后利用加减算出结果。对数出现后，积化和差公式的这
个作用由更加便捷的对数取代。
在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数，
特别是在以2π为周期和以2L为周 期的函数展开为傅里叶级数
时。因为在这种情况下，被展开函数f(x)一般也是三角函数，但
其ω与傅里叶系数公式中的三角函数不同，这就为最终求解系
数带来很大困难，因为求解系数的过程中， 要求一个在2π周期
内的积分，若被积函数是cosxcosnx,直接积分非常困难，若运用
积化和差将乘积的积分化为加减运算的积分，将使问题变得容易
解决，使用计算机处理时效率也会更高。