新课标人教A版高一数学必修1知识点总结归纳大全

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高中数学必修1知识点
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念：
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是 或者
不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对 象，相同的对象归入一个集
合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺 序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较
它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集 合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方
法。用确定的条件表示某些对象是否属于这 个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}

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（3）图示法（文氏图）：
4、常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A
记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a
?
A
6、集合的分类：
1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含
任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系———子集
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集
合有包含关系，称 集合A为集合B的子集，记作A
?
B
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
B或B
?
A
集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2
n
.
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对 于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,
集合B的任何一个元素都是集 合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：
A=B
?A?B且B?A

① 任何一个集合是它本身的子集。A
?
A

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②真子集 :如果A
?
B,且A
?
B那就说集合A是集合B的真子集，记作A
?
B(或B
?
A)
③如果 A
?
B, B
?
C ,那么 A
?
C
④ 如果A
?
B 同时 B
?
A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的
交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义： 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫
做A,B的并集。记作：A∪B(读作 ”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A ,
A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素 ，这个集合就可以
看作一个全集。通常用U来表示。
（2）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即A
?
S），由S中
S
A
所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。
CsA
记作： C
S
A ，即 C
S
A ={x | x
?
S且 x
?
A}
（3）性质：⑴C
U
(C
U
A)=A ⑵(C
U
A)∩A=Φ ⑶(C
U
A)∪A=U
(4)(C
U
A)∩(C
U
B)=C
U
(A∪B) (5)(C
U
A)∪(C
U
B)=C
U
(A∩B)
二、函数的有关概念

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1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应 关系f，使对于集
合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：
A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集
合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则 函数的定义域即是
指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的< br>形式．
定义域补充：
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的 定义域时列不等式
组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)
对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有
意义的x的值组 成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的
定义域还要保证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：（1）构成函数三个要素是定义域、 对应关系和值域．由于值域是由定义域和
对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全 一致，即称这两个
函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和 对应关系完全一致，而与表示自变量和
函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点
必须同时具备)

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值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则， 不论采取什么方法求函数的值域都应先
考虑其定义域.
(2)、应熟悉掌握一次函数、二 次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是
求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值
y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反 过来，以满足y=f(x)的每
一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) ,
x∈A }
图象C一般的是一条光 滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的
直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点 组成。
(2) 画法：
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并 列表，以(x,y)为
坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法：
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ、对称变换:
（1）将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5
（2） y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如
y?a
x
与y?a
?x
?
1
?
?
??

?
a
?
a
x
（3） y= f(x)和y= -f(x)的 图象关于x轴对称。如
y?log
a
x与y??log
a
x?log
1
x

Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(x
?
a) 左加右减； 由f(x)得到f(x)
?
a
上加下减

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(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、
提高 解题的速度；发现解题中的错误。
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半 开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的
数轴表示．
5．映射
定义：一般地， 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对
于集合A中的任意一个元素x，在集 合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就
称对应f：A
?
B为从集合A到集合B 的一个映射。记作“f：A
?
B”
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B .且元素a和元素b对应，那么，我们
把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说 明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f
是确定的；②对应法则 有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B
到A的对应关系一般是不同的；
③ 对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中
都有象，并且象是唯一 的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以
是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元 素在集合A中都有原象。
6、函数的表示法：
常用的函数表示法及各自的优点：
1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断
一个图形是 否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。
2 解析法：必须注明函数的定义域；

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3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数
的特征；
4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函
数值
补充一：分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数 值
时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，
而应写成函 数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的
自变量的取值情况．注意：（1） 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域 是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f是g
的复合函数。
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变
量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是 增函数。区间
D称为y=f(x)的单调增区间；
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f( x
1
)＞f(x
2
)，
那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区 间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

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2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
， x
2
；当x
1
2
时，
总有f(x
1< br>)2
) （或f(x
1
)＞f(x
2
)）。
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函
数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降
的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；2 作差f(x
1
)－f(x
2
)；3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D
上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成 它的函数u=g(x)，y=f(u)
的单调性密切相关，其规律如下：
复合函数单调性：口诀：同增异减
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和
在一起写成其并集.
（4）判断函数的单调性常用的结论
①函数
y??f(x)
与
y?f(x)
的单调性相反；
② 当函数
y?f(x)
恒为正或恒有负时，
③函数
y?f(x)
与函数
y?f(x)?C
（C为常数）的单调性相同；
④当C > 0（C为常数）时，
y?f(x)
与
y?Cf(x)
的单调性相同；
当C < 0（C为常数）时，
y?f(x)
与
y?Cf(x)
的单调性相反；
⑤函数
f(x)
、
g(x)
都是增（减）函数，则
f(x)?g( x)
仍是增（减）函数；
y?
1
f(x)
与函数
y?f(x)
的单调性相反；
u=g(y=f(
x) u)
增
增
减
减
增
减
增
减
y=f[g
(x)]
增
减
减
增

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⑥若
f(x)?0 ,g(x)?0
且
f(x)
与
g(x)
都是增（减）函数，则
f(x)g(x)
也是增（减）函数；
若
f(x)?0,g(x)?0
且
f(x)
与
g(x)
都是增（减）函数，则
f(x)g(x)
也是减（增）函数；
n
n
f(x)
f
f(x)kf(x)(k? 0)
f(x)?0
⑦设，若在定义域上是增函数，则、、
(x)(n?1)
都 是
1
增函数，而
f(x)
是减函数.
8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x )，那么f(x)就
叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义 域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)
就叫做奇函数．
注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整
体性质；
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定 义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定
义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一 个自变量（即定义域关于原点对
称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其
定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－
x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－
x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

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注意：函数定义域关于原点对称是函数 具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义
域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对 称，(1)再根据定义判
定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f (-x)±f(x)=0或
f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
函数奇偶性的性质
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于
y
轴对称.
③若
f(x)
为偶函数，则
f(?x)?f(x)?f(|x|)
.
④若奇函数
f(x)
定义域中含有0，则必有
f(0)?0
. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数
F(x)
与一个偶函数
G(x)
的和（或差）”.如设
f(x)
是定义域为R的任一函 数， 则
F(x)?
f(x)?f(?x)
，
G(x)?
f(x)? f(?x)
.
2
2
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（
f(x)?0
，定义域是关于原点对称的任意一个数集） .
9、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的 函数关系时，一是
要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解 析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已
知函数解析式的构造时，可用待定系数 法；B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，
可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达 式较简单时，也可用凑配法；C、
若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10．函数最大（小）值（定义见课本p30页）
（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
（2） 利用图象求函数的最大（小）值；

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（3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y= f(x)在区间[a，b]
上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有 最大值f(b)；如果
函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则 函数y=f(x)在x=b
处有最小值f(b)；
第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0
=0。
注意：(1)
(
n
a
)
n
?a

(2)当 n是奇数时，
n
a
n
?a
，当 n是偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义，规定：
a?
n
a
m
(
a?< br>0,
m
,
n?N
?
,
且n?
1)

正数的正分数指数幂的意义：
a
_
m
n
m
n
?
a,a?0

?
?a,a?0
?
1
a
m
n
(a?0,m,n?N
?
,且n?1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）
a
r
a
s
?a
r?s
(
a?
0,
r
,
s?R
)

（2）
(
a
r
)
s
?a
rs
(
a?
0,
r
,
s?R
)

（3）
(
a
b)
r
?a
r
b
r
(
a?
0,
b?
0,
r?R
)

注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如
[(1?2)]?1?2而应=2?1

（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数
y?a
x
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的
定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1
2、指数函数的图象和性质
01
1
2
2

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图
像

性质 定义域R , 值域（0，+∞）
（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1
(2)在R上是减函数
（3）当x>0时,0当x<0时,y>1
图象特征
(2)在R上是增函数
（3）当x>0时,y>1;
当x<0时,0函数性质
函数的定义域为R
函数的值域为R
+

非奇非偶函数
过定点（0，1）
减函数
共性 向x轴正负方向无限延伸
函数图象都在x轴上方
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都过定点（0，1）
01
在第一象限内的图象纵坐标都小当x>0时,0于1
在第二象限内的图象纵坐标都大当x<0时,y>1
于1
图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快，
到了某一值后减小速度
较慢；
a>1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数

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在第一象限内的图象纵坐标都大当x>0时,y>1;
于1
在第二象限内的图象纵坐标都小当x<0时,0于1
图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢，
到了某一值后增长速度
极快；
注意： 指数增长模型：y=N(1+p)
x
指数型函数： y=ka
x

3 考点：（1）a
b
=N, 当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数 决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单
调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不 同指数也不同插进1(=a
0
)
进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用a
1
=a，用x=1去截图象得到对应的底数。
(5)指数型函数：y=N(1+p)
x
简写：y=ka
x

二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果
a
x
?N
，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：
x?log
a
N

（ a— 底数， N— 真数，
log
a
N
— 对数式）
说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式．
2、两个重要对数：
（1）常用对数：以10为底的对数,
log
10
N记为lgN
；
（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 ,
log
e
N记为
ln
N
．
3、对数式与指数式的互化
对数式 指数式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数

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真数← N → 幂
结论：（1）负数和零没有对数
（2）log
a
a=1, log
a
1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0
(3) 对数恒等式：
a
logN
?N

（二）对数的运算性质
如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：
?
log
a
M?
log
a
N
两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
1、
log
（
a
M
?
N
）
a
M
?log
a
M
?lo g
a
N
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
N
（
n
?R）
3 、
log
a
M
n
?n
log
a
M
一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n
2 、
log
a
倍
说明:
1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 有时可逆向运用公式
3) 真数的取值必须是(0,＋∞)
4) 特别注意：
lo g
a
MN
?log
a
M
?log
a
N
注意：换底公式
log
a
b?
log
c
b< br>lgb
?
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?

log
c
alga
利用换底公式推导下面的结论
①
log
a
b?
1
n
②
log
a
b?log
b
c?log
c
d?log
a
d③
log
a
m
b
n
?log
a
b
log
b
a
m
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数
y?
log
a
x
(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，
函数的定义域是（0，+∞）．
注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：
y ?
log
a
x?
1
，
y?log
a
x?2
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
（2） 对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1
2、对数函数的图像与性质：对数函数
y?
log
a
x
(a>0，且a≠1)

图
像
0 ＜ a ＜ 1
y
a ＞ 1
y
0

(1,0)
x

0

(1,0)
x

性定义域：（0，＋∞） 值域：R

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质 过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是减函数
当x>1时，y<0
当x=1时，y=0
当00
在(0,+∞)上是增函数
当x>1时，y>0
当x=1时，y=0
当0∞)重要结论：在logb中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+
a
内时，有logb>0;
a
当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,
logb<0.
a
口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.
有
（其中，底指底数，真指真数，大于0指logb的值）
a
3、如图，底数
a
对函数
y
?log
a
x
的影响。
规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。
4考点：
Ⅰ、log
a
b, 当a,b在1的同侧时, log
a
b >0；当a,b在1的异侧时, log
a
b <0
Ⅱ、对数函数的单调性由底数 决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用
单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数 不同真数也不同利用
（1）的知识不能解决的插进1(=log
a
a)进行传递。
Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。
Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=log
a
a ，用y=1去截图象得到对应的底数。
Ⅴ、y=a
x
(a>0且a ≠1) 与y=log
a
x(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对
称。
5 比较两个幂的形式的数大小的方法:

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(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来
判断.
(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.
(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用
1和0.
6 比较大小的方法
(1) 利用函数单调性(同底数)；(2) 利用中间值（如:0,1.）；(3) 变形后比
较；(4) 作差比较
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如
y
?
x
?< br>的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图
都过点（1，1）；
（2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+
上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下
当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右
边趋向 原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x
轴上方无限地逼近x轴正半 轴．
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实
质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）
∞）
凸；
象

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2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数
y=f(x)有零点
3、零点定理： 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,
那么函数y =f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程
f(x)=0 的根。
4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：
（1） （代数法）求方程f(x)=0 的实数根；
（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将 它与函数y=f(x)的图象联系
起来，并利用函数的性质找出零点．
5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0)．
1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函
数有两个零点 ．
2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交
点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
二、二分法
1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y= f(x),通过不断地把
函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零
点近似值的方法叫做二分法。
2、用二分法求方程近似解的步骤:
⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；
⑵求区间(a,b)的中点c;
⑶计算f(c),

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①若f(c)=0,则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x
0
∈(a,c)）
③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x
0
∈(c,b)）
( 4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复
⑵~⑷
三、函数的应用：
（1）评价模型： 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。
（2）几个增长函数模型：一次函数：y=ax+b(a>0)
指数函数：y=a
x
(a>1) 指数型函数： y=ka
x
(k>0,a>1)
幂函数： y=x
n
（ n?N*) 对数函数：y=log
a
x(a>1)
二次函数：y=ax
2
+bx+c(a>0)
增长快慢：V(ax
)>V(x
n
)>V(log
a
x)
解不等式 (1) log
2
x< 2
x
< x
2
(2) log
2
x< x
2
< 2
x

（3）分段函数的应用：注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。
（4）二次函数模型： y=ax
2
+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域，在求 函数的对称轴，
看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近
的点代进求最值。
（5）数学建模：
(6)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
两个根都在（m,n )内 两个有且仅有一个在x
1
∈(m,n) x
2
∈(p,q)
（m,n)内

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y
m
m
?
??0
n

n
x

f(m)f(n)<0
m
n p q


?
b
?
m???n
?
2a
?
?
f(m)?0
?
?
?
f(n)?0
?
f(m)?0
?
f(n) ?0
?
?
?
f(p)?0
?
?
f(q)?0
两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K，一个根大
于K
y
k
k
?
??0

?
b
?
?k
?< br>?
?
2a
?
?
f(k)?0
x

k

?
??0

?
b
?
?k< br>?
?
?
2a
?
?
f(k)?0

f(k)<0