高中必修1公式及知识要点大全(完整版)

高中数学《必修1》常用公式及结论
一、集合
1、含义与表示：
（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集，空集
?

（3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法
2、集合间的关系：
子集：对任意
x?A
，都有
x?B
，则称A是B的子集。记作
A?B
；
真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，记作A
?
B
或A
?
B ；
?
集合相等：
A?B,B?A
?

A?B

3. 元素与集合的关系：
属于
?
；不属于
?

4、集合的运算：
（1）交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为
A?B

（2）并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为
A?B

（3）补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为
CU
A

5、集合A=
{a
1
,a
2
, ?,a
n
}
中有n个元素：
A的子集个数共有
2
个； 真子集有
2
–1个； 非空子集有
2
–1个；非空真子集有
2
–2个。
nnnn
6、常用数集：
自然数集N 正整数集
N
*
整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数集C
7、集合的运算性质：
性质一：
A?B?A?A?B;A?B?B?A?B

A?B?A?B?A


A?U?U（U是全集）
性质二：
吸收率：A?B?A?A?B;

性质三：
A?
?
?A;

性质四：
反身性： A?A?A;
A?
?
?
?
;A?U?A;
A?A?A；C（ ?A

U
C
U
A）
A?B?B?A
性质五：
交换律：A?B?B?A;
1

性质六：
结合律：(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)
(A
?
B)
?
C?(A
?
B)
?
(A
?
C);
性质七：分配率：
(A
?
B)
?
C?(A
?
B)
?
(A
?
C)
性质 八：
A?
?
C
U
A
?
?
?
;A?
?
C
U
A
?
?U

性质九：德摩根 律：
C
U
(
A
?
B
)?
C
UA
?
C
U
B
;
C
U
(
A?
B
)?
C
U
A
?
C
U
B< br>
8、常用结论：
（1）
?
?A，其中A为任意非空集合；

?
?
?
；

?
?A，其中A为任意集合；
（2）
?
?{0}

0?{0}

0?
?
；

；；
；
（3）
?
?{0}

?
?{A,
?
}；


二、函数的奇偶性
1、定义：
奇函数
?
f (– x ) = – f ( x ) ，
偶函数
?
f (–x ) = f ( x )；（注意定义域：首先要求定义域是“关于原点对称的对称区间”）
2、性质：
（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（2） 如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，
那么这 个函数是偶函数；
（3）定义在R上的奇函数必过原点，即f (0 ) =0；
（4）奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反；
（5）无论f ( x )是什么函数，f ( |x| ) 一定是偶函数；

三、函数的单调性
1、定义：
对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x
1
, x
2
∈D，且x
1
< x
2

① f ( x
1
) – f ( x
2
) < 0
?
f ( x
1
) < f ( x
2
)
?
f ( x )是增函数
② f ( x
1
) – f ( x
2
) > 0
?
f ( x
1
) > f ( x
2
)
?
f ( x )是减函数
注意：在抽象函数单调性的证明中，可以根据需要选择用“作差或作商比较”
2、复合函数的单调性:
同增异减
3、奇偶函数单调性：
奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反；
2

四、函数的周期性
1、定义：
若函数f ( x

)满足：f ( x

)= f ( x

+a)，则f ( x

)是最小正周期为a的周期函数；
2、性质：
（1） f ( x

)= f ( x

+nT)，其中n∈Z，T为最小正周期；
（2）
f(x?a)?

1
1
(f(x)?0)
，或
f(x?a)??
(f(x)?0)< br>,则
f(x)
的周期T=2a
f(x)
f(x)
五、函数的对称性
1、奇偶函数的对称性
：奇函 数的图象关于原点成中心对称图形；偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
2、原函数和反函数：
关于第I、III象限的平分线对称（即y=x）；

3、一般的对称函数：
（1）定义：若函数f ( x

)满足：f ( a+x

)= f (a - x

)，则f ( x

)是关于直线x=a对称的对称函数；

（2）性质：① f ( a+x

)= f (a - x

)； ② f ( x

)= f (2a - x

)； ③ f ( x+2a

)= f ( - x

)；

六、二次函数y = ax
2
+bx + c（
a?0
）的性质
?
b4ac?b
2
?
b4ac?b
2
1、顶点坐标公式
：
?

?
?
2a
,
4a
?
?
，
对称轴：
x??
2a
，
最大（小）值：
4a
??
2、二次函数的解析式的三种形式
:
(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
， 顶点为（h，k）；
(3)两根式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x2
)(a?0)
， 对称轴为
x?

x
1
?x
2
；
2
七、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1） a
m
? a
n
= a
m + n
； （2）
a?a?a
mnm?n
；
（3） ( a
m
)
n
= a
m n
=( a
n
)
m
；

（4） ( ab )
n
= a
n
? b
n
；
a
n
?
a
?
（5）
??
?
n
（b不为0）； （6）a
0
= 1 ( a≠0) ；
b
?
b
?
3

n

（7）
a
?n
?
1
m
n
m
?
n
（a不为0）； （8）
a?a
； （9）
a
m
?
a
n
n
1
m
a
n
；
2、根式的性质：
（1）
(
n
a)
n
?a
（a≥0）.
?
a,a?0
（2）当
n
为奇数时，
a?a
； 当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
.
?a,a?0
?
n
n
n
n
3、常数与幂的互化公式：
k

?a
log
a
k

4、指数函数y = a
x
(a > 0且a≠1)的性质
：
（1） 定义域：R
（2） 值域：( 0 , +∞)
（3） 图象过定点（0，1），（1，a）
（4） 当a>1时，函数为增；
当0（5） a越大，在第一象限的图像越靠近y轴。
1
0
X
Y
a > 1
1
0
X
Y
0 < a < 1
八、对数与对数函数
1、对数的运算法则：
（1）指数式与对数式的互化：a
b
= N
?
b = log
a
N； （2）log
a
1 = 0 ；
（3）log
a
a = 1； （4）log
a
a
b
= b ；
（5）a
log
a
N

= N； （6）log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N ；
（7）log
a
(
M
) = log
a
M － log
a
N； （8）log
a
N
b
= b log
a
N ；
N
（9）换底公式：log
a
N =
log
b
N
1
； （10）
log
a
n
b?log
a
b
；
n
log
b
a
（11）推论
log
a
m
b?
n
n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1)；
m
（12） log
a
N =
1
（13）常用对数：lg N = log
10
N
；

log
N
a
（14）自然对数：ln A = log
e
A （其中 e = 2.71828?） ，ln e=1.
4

2、常数与对数式的互化：
n?log
a
a
.


n
3、对数函数y = log
a
x (a > 0且a≠1)的性质：

（1）定义域：( 0 , +∞)
（2）值域：R
（3）图象过定点（1，0），（a，1）
Y
a >1
1
Y
0 < a < 1
X
0
1
X
0
（4） 当a>1时，函数为增；
当0（5） a越大，在第一象限的图像越靠近x轴；

九、幂函数y = x
a
的图象:
根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图，若具有奇偶性，则可根据奇偶的对称关系画出另一半图像。


a > 1
0 < a < 1 a < 0


1
例如： y = x
2

y?x?x
2

y?
1
?x
?1
x


十、图象变换 < br>1、平移：
若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象；
规律：左加右减（对1倍的x作加减），上加下减（在整个解析式后面作加减）
2、翻折变换：
（1）
y?f(x)
→
y?f(x)
保右，翻右至左；

（2）
y?f(x)
→
y?f(x)
保上，翻下至上；


十一、 平均增长率的问题:
如果原来产值的基础 数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有< br>y?N(1?p)
x
.

5

十二、函数的零点：
1、定义：
对于
y?f(x)
，把使
f(x)?0
的X叫
y?f(x)
的零点。
即
y?f(x)
的图象与x轴相交时的交点的横坐标。

2、函数 零点存在性定理：
如果函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲线，并有

f(a)?f(b)?0
，那么y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，使得
f(c)?0
，c就是零点。

3、二分法求函数零点的步骤：
（给定精确度
?
）
（1）确定区 间
?
a,b
?
，验证
f(a)?f(b)?0
;
（2）求
?
a,b
?
的中点
x
1
?
a?b

2
（3）计算
f(x
1
)
的值：①若
f(x
1
)?0
，则
x
1
就是零点；
②若
f(a)?f(x
1
)?0
，则零点
x
0
?< br>?
a,x
1
?

③若
f(x
1
) ?f(b)?0
，则零点
x
0
?
?
x
1
, b
?
；
（4）判断是否达到精确度
?
，若
a? b?
?
，则零点为
a
或
b
或
?
a,b?
内任一值。否则重复（2）到（4）。

6