高一数学必修一函数及其表示 函数的概念

1.2函数及其表示
§1.2.1函数的概念
【教学目的】
1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；
2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；
3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号；
4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
【教学重点】
在对应的基础上理解函数的概念

【教学难点】
函数概念的理解
【教学过程】
一、复习引入
〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
〖回答〗设在一个变 化过程中有两个变量
x
和
y
，如果对于
x
的每一个值，y
都有唯一的值与它对应，
那么就说
x
是自变量，
y
是
x
的函数，并将自变量
x
取值的集合叫做函数的定义域，和自变量
x
的值
对应的
y
值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述 的函数定义我们称之为函
数的传统定义。
〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
〖提问〗问题1：
y
=1（
x
∈
R
）是函数吗？
x
2
问题2：
y
=
x
与
y
=是同 一函数吗？
x
〖投影〗观察对应：


〖分析〗观察分析集合A与B之间的元素有什么对应关系？




二、讲授新课 函数的概念
（一）函数与映射
〖投影〗函数：设 A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系
f
，使对于集合A中的任意一个

数
x
，在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么就称
f
：A→B为从集合A到集合B的一
个函数，记作
y
=
f( x)
，
x
∈A。其中
x
叫自变量，
x
的取值范围A 叫做函数
y
=
f(x)
的定义域；
与
x
的值相对应 的
y
的值叫做函数值，函数值的集合{
f(x)
|
x
∈A} ，叫做函数
y
=
f(x)
的值域。
函数符号
y
=
f(x)
表示“
y
是
x
的函数”，有时简记作函数
f(x)
。
函数的三要素：对应法则
f
、定义域A、值域{
f(x )
|
x
∈A}
注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
映射：设
A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系
f
,使对于集合
A
中的 任意一个元素
x
,
在集合
B
中都有唯一确定的元素
y
与之对应,那么就称对应
f:A?B
为从集合
A
到集合
B
的一个映
射.
如果集合
A
中的元素
x
对应集合
B
中元素
y
,那么集合
A
中的元素
x
叫集合
B
中元素
y
的原象,集
合
B
中元素
y
叫合
A
中的元素
x
的象.
映射概念的理解
(1)映射
f:A?B
包含三个要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应
法则
f
.两个集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则
f
可用文字表述,也可以用符号表
示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:
(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;
(2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;
(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.
函数与映射的关系
函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.
映射
f:A?B

集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,
人,数等
对于集合A中任一元素
a
,在集合B中都
有唯一确定的像
对集合B中任一元素
b
,在集合A中不一
定有原像

函数是特殊的映射,映射是函数的推广.
〖注意〗（1）函数实际上就是集合A到集合B的一 个特殊对应
f
：A→B。这里A，B为非空的数集。
（2）A：定义域，原象的集合 ；{
f(x)
|
x
∈A}：值域，象的集合，其中{
f(x)
|
x
∈A}?B；
f
：
对应法则，
x
∈A，y
∈B
（3）函数符号：
y
=
f(x)
，
y
是
x
的函数，简记
f(x)

〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域：
1、一次函数
f(x)
=
ax
＋
b
(
a
≠0)：定义域
R
，值域
R

2、反比例函数
f(x)
=
3、二次函数
f(x)=
ax
函数
y?f(x),x?A,y?B

函数的定义域和值域均为非空的数集
对函数的定义域中每一个
x
,值域中都有
唯一确定的值与之对应
对值域中每一个函数值,在定义域中都有
确定的自变量的值与之对应
k
(< br>k
≠0)：定义域{
x
|
x
≠0}，值域{y | y≠0}
x
2
＋
4ac?b
2
｛
y
|
y< br>≥｝；
bx
＋
c
(
a
≠0)：定义域
R，值域：当
a
＞0时，
4a

2
4ac?b
当
a
＜0时，｛
y
|
y
≤｝。
4a
（三）函数的值：关于函数值
f(a)

例析：若
f( x)
=
x
2
＋3
x
＋1，求
f(2)
。
解：
f(2)
=2
2
＋3×2＋1=11
〖注意〗（1） 在
y
=
f(x)
中
f
表示对应法则，不同的函数其含义不一 样；
（2）
f(x)
不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；
（ 3）
f(x)
与
f(a)
是不同的，前者为变数，后者为常数，
f( a)
是
f(x)
的一个特殊值。
（四）区间的概念
〖投影〗设< br>a
、
b
是两个实数，而且
a
＜
b
，我们规定 ：
（1）满足不等式
a
≤
x
≤
b
的实数
x
的集合叫做闭区间，表示为[
a
,
b
]；
（2）满足不 等式
a
＜
x
＜
b
的实数
x
的集合叫做开区 间，表示为（
a
,
b
）；
（3）满足不等式
a
≤
x
＜
b
或者
a
＜
x
≤
b
的实数
x
的集合叫做半开半闭区间，表示为
[a,b)
、
(a,b]
；
（4）实数集
R
可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式
x
≥
a
，
x
＞
a
，
x
≤
b
，
x
＜
b
的
实数
x
的集合可以分别表示 为[
a
,＋∞
)
，（
a
,＋∞），（－∞,
b]
，（－∞,
b
）。
〖注意〗注意集合与区间之间的关系：区间是数集 ，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不等
式两端的两个实数可以相等，如
a
≤
x
≤
a
。
三、实例提升
〖例析〗例1、设集合M={
x
|0≤
x
≤2}，N={
y
|0≤
y
≤ 2}，从M到N有4种对应如下图所示：
其中能表示为M到N的函数关系的有 ② ③ 。
〖解析〗根据对应的含义和函数的概念，可以看出②③能表示M到N的函数关系。
〖例析〗例2、求下列函数的定义域：
①
f(x)?

1
1
； ②
f(x)
=
3x?2
； ③
f(x)
=
x?1
＋
2?x
x?2
〖解析〗函 数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式
y
=
f(x)
，而 没有指明它的定
义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数
x
的集合。
1
解：①∵
x
－2=0，即
x
=2时，分式无意义，
x?2
1
而
x
≠2时，分式有意义
x?2
∴这个函数的定义域是{
x
|
x
≠2}。
2
②∵3
x
＋2<0，即
x
＜
?
时，根式
3x?2
无意义
3
2
而3
x
＋2≥0，即
x≥
?
时，根式
3x?2
才有意义
3
2
∴这个 函数的定义域是{
x
|
x
≥
?
}。
3
③∵当
x
＋1≥0且2－
x
≠0，
1
即
x
≥－1且
x
≠2时，根式
x?1
和分式同时有意义 < br>2?x

∴这个函数的定义域是{
x
|
x
≥－1 且
x
≠2}
另解：要使函数有意义，必须：
x
＋1≥0且2－x
≠0?
x
≥－1且
x
≠2
∴这个函数的定义域是：{
x
|
x
≥－1且
x
≠2} 〖强调〗解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知，求函数的定义域就是根据
使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的
函 数的定义域。
求函数的定义域的常见类型：
（1）当
f(x)
为整式时，定义域为
R
；
（2）当
f(x)
为分式时，定义域为使分母不为0的
x
的集合；
（3）当
f(x)
为n次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的
x
的集合；
（4）当
f(x)
是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有 意义的
x
的取值的集合。
〖例析〗例3、已知函数
f(x)
=3< br>x
2
－5
x
＋2，求
f(3)
，
f(?2)
，
f(a?1)
。
〖解析〗解：
f
(3)=3×3
2
－5×3＋2=14；
f(?2)
=3×(－
2
)
2
－5×(－
2
)＋2 =8＋5
2
；
f(a?1)
=3(
a
＋1)
2< br>－5(
a
＋1)+2=3
a
2
＋
a
。
〖例析〗例4、下列函数中哪个与函数
y
=
x
是同一个函数？
（1）
y?(x)
； （2）
y?
3
x
3
； （3）
y?x
2

〖解析〗解：（1）
y
=
x，
x
≥0，
y
≥0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；
（2）
y
=
x
，
x
∈
R
，
y< br>∈
R
，定义域值域都相同，是同一个函数；
（3）
y
=|< br>x
|=
?
2
?
x(x?0)
，
y
≥ 0；值域不同，不是同一个函数。
?
?x(x?0)

〖例析〗例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
(x?3)(x?5)

y
2
?x?5
（定义域不同）
x?3
（2）
y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)
（定义域不同）
（1）
y
1
?
（3）
f
1
(x)?(2x?5)

f
2
(x)?2x?5
（定义域、值域都不同）
〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。





四、演练反馈
1、函数
f(x)?
2
3x< br>2
1?x
?lg(3x?1)
的定义域是（ ）
A．
(?,??)
B．
(?,1)
C．
(?,)
D．
(??,?)

2、下列各组，函数
f(x)
与
g(x)
表示同一个函数的是（ ）
2
x
A．
f(x)
=1，
g(x)
=
x
0
B．
f(x)
=
x
0
，
g(x)
=
x
49
C．
f(x)
=
x
2
，

g(x)
=
(x)
D．
f(x)
=
x< br>3
，
g(x)
=
(
3
x)

3、已知函数
f(x)
=2
x
－3，求：
（1）
f(0)
，
f(2)
，
f(5)
；
（2）
f[f(x)]
；
（3）若
x
∈{0，1，2，3}，求函数的值域。
1
3
1
3
11
33
1
3
4、若
A?{1,2,3,4}
，
B?{a,b,c}
，
a,b,c?R
，则
A
到
B
的映射有 个，
B
到
A
的映射有 个，

A
到
B
的函数有 个




演练反馈答案：1、B 2、D 3、（1）
f(0)
=－ 3，
f(2)
=1，
f(5)
=7； （2）
f[f(x)]
=4
x
－9；
（3）值域为{－3，－1，1，3} 4、81,64,81
五、课堂小结
本节课 学习了以下内容：函数是一种特殊的对应
f
：A→B，其中集合A，B必须是非空的数集；y?f(x)
表示
y
是
x
的函数；函数的三要素是定义域、值域 和对应法则，定义域和对应法则一经确
定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完 全一样，才是同一函数；
f(a)
表
示
f(x)
在
x
=
a
时的函数值，是常量；而
f(x)
是
x
的函数，通常 是变量。
【教后札记】
本节的教学重点是在对应的基础上来理解函数的概念，主要包括函数 的概念、三
要素的理解，难点是函数定义和函数符号的认识与使用。由于学生在初中已学习了函
数的传统定义，并学习了几类简单的函数，所以在高中重新定义函数时，学生并不陌
生，重要的是让学生 认识到它的优越性，从根本上揭示了函数的本质——由定义域、
值域、对应法则三要素构成的整体，通过 例题解析让学生充分理解函数的概念。

〖板书〗函数的概念
（一）函数与映射
函数的三要素：对应法则
f
、定义域A、值域{
f(x)
|
x
∈A}
注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
（二）已学函数的定义域和值域：
1、一次函数
f(x)
=
ax< br>＋
b
(
a
≠0)：定义域
R
，值域
R

2、反比例函数
f(x)
=
k
(
k
≠0)：定 义域{
x
|
x
≠0}，值域{y | y≠0}
x
2＋
4ac?b
2
3、二次函数
f(x)
=
ax
｛
y
|
y
≥｝；
bx
＋
c
(
a< br>≠0)：定义域
R
，值域：当
a
＞0时，
4a
24ac?b
当
a
＜0时，｛
y
|
y
≤｝。
4a
〖板书〗（三）函数的值：关于函数值
f(a)

例析：若f(x)
=
x
2
＋3
x
＋1，求
f(2)。
解：
f(2)
=2
2
＋3×2＋1=11

〖板书〗（四）区间的概念
（1）满足不等式
a
≤
x
≤< br>b
的实数
x
的集合叫做闭区间，表示为[
a
,
b]；
（2）满足不等式
a
＜
x
＜
b
的实数< br>x
的集合叫做开区间，表示为（
a
,
b
）；
（3） 满足不等式
a
≤
x
＜
b
或者
a
＜
x
≤
b
的实数
x
的集合叫做半开半闭区间，表示为
[a,b )
、
(a,b]
；
（4）实数集
R
可以用区间表示为（－ ∞,＋∞）；满足不等式
x
≥
a
，
x
＞
a
，
x
≤
b
，
x
＜
b
的
实数
x
的集合可以分别表示为[
a
,＋∞
)
，（
a
, ＋∞），（－∞,
b
]
，（－∞,
b
）。