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高中数学必修1 指数与指数函数

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 17:43
tags:高中数学必修一

全国高中数学联赛模拟题 已知复数列-高中数学炮弹的射程公式


指数与指数函数

一.基础知识
1.幂的有关概念
n个< br>?????
n?
(1)正整数指数幂
a?a?a?a?
?
?a (n?N)

(2)零指数幂
a
0
?1(a?0)

(3)负整数指数幂
a
?n
?
1
?
a?0,n?N

??
n
a
(4)正分数指数幂
a?
n
a
m
a?0,m,n?N
?
,n?1

(5)负分数指数幂
a
m
?
n
m
n
??
?
1
am
n
?
1
n
a
m
?
a?0,m,n? N
?
,n?1
?

(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2.有理数指数幂的性质 < br>?
1
?
a
r
a
s
?a
r?s
?
a?0,r,s?Q
?
r
,?0r,?Q
?

?
3
??
ab
?
?a
r
b
r
?< br>a?0b
3.根式的内容
n

?
2
?
?< br>a
r
?
s
?a
rs
?
a?0,r,s?Q< br>?

(1)根式的定义:一般地,如果
x?a
,那么
x叫做
a

n
次方根,其中
n?1,n?N
?

n
??
a
叫做根式,
n
叫做根指数,
a
叫被开方数。
(2)根式的性质: ①当< br>n
是奇数,则
n
a
n
?a
;当
n
是 偶数,则
n
a
n
?a?
?
②负数没有偶次方根,
③零的任何次方根都是零
4指数函数y=a
x

?
a
?
?a
a?0

a?0
名称 指数函数
一般形式 y
=a
x
(a>0且a≠1)定义域 (-∞,+ ∞)

值域 (0,+ ∞)过定点 (0,1)
图象
单调性 a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
0<a<1, 在(-∞,+∞)上为减函数

值分布 当
a?1,且x?0时
y>1 当
0?a?1,且x?0时
0第1页 共4页


a?1,且x?0时
00?a?1,且x?0时
y>1
5.记住常见指数函数的图形及相互关系







二、题型剖析
1.指数化简和运算
例1.计算下列各式
1
2
1
?3
3?26
3

()?()??(1.03)
0
?(? )

42
663?2

1
a?8a?b
4b?2< br>3
ab?a
2
3
2
3
4
3
1
3
?(1?2
3
b
3
)?a(a?0,b?0)

a
思维分析:式子中既有分数指数、又有根式,可先把根式化成分数指数幂,再根据幂的运
算 性质进行计算。在指数式运算中,注重运算顺序和灵活运用乘法公式。
解:(1)原式
=2
?
1(3?2)6613681?606
?(6
2
)
3
??(?)??6?5?26??
22
16816416
(3)?(2)< br>3
1

(2)原式=
练习:计算
a(a?8b)
4 b?2ab?a
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
?
a?2b
a
1
3
1
3
1
3
?a?a(a?2b)
1
3
1
3
1
3< br>1
3
a
1
3
1
3
1
3
?a ?a

1
3
a?2b
4

25
1
?
(1)
()
2
?
4
(2)
(0.027)
1
2
1
(4ab
?1
)
3
(0.1)(ab)< br>1
3
?23
1
?3
2
答案:< br>1
?
17
?(?)
?2
?(2)
2
?(2? 1)
0
答案:45
79
?
1
2
2.条件求值证明问题
例2.已知
a?a
?1
?4
,求下列各式的值
(1)
a?a
(2)
a?a
a?a
1
2< br>3
2
?
3
2
1
2

?
思维分析:如何合理运算已知条件,熟练掌握乘法公式及方程的观点处理问题。
解 :(1)
a?a
1
2
?
1
2
?4
两边平方 得
a?a
?1
?2?16?a?a
?1
?14

第2页 共4页


(2)原式=
(a)
3
?(a)< br>3
1
2
?
1
2
1
2
?
1< br>2
?
(a?a)(a?1?a
?1
)
1
2
?
1
2
1
2
?
1
2
?a?1?a
? 1
?15

a?aa?a
3?3?1
练习:设
x?x?2求x?x
的值。 答案:2

x?x
?1
?t,则t
3
?x
3?

11
?1
?3x?x(x?)?2?3t?(t?1)(t
2
?t?2)?0?(t?1)
2
(t?2)?0?t?2
3
xx
3指数函数的图象
例3.(书P22例1)
x
变式一:若直线y= 2a与函数
y?a?1(a?1,a?1)
的图象有两个公共点,则a的取值范围
是(
0?a?
1
)
2
x?b
变式二(福建卷)函数
f(x)?a
结论正确的是


A.
a?1,b?0

C
0?a?1,b?0

练习: 书P22双基2,3.4.
4.指数函数的性质
例4(书P23例2)
5.综合应用
例5(书P23例3)
的图象如图,其中a、b为常数,则下列
( D )

B.
a?1,b?0

D.
0?a?1,b?0


变式一:、函数y=a
2x
+2a
x
-1(a>0,a≠ 1)在区间[-1,1]上的最大值为14,求a的值。
参考答案:
a?3或a?
1

3
三、小结
1. 指数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂的运算法则及性质加以解决,要
注意运用方程的观点 处理问题。
2.指数函数的图象的熟记和性质的灵活应用是关键。
四、作业 优化设计
备例1.已知函数
f(x)?
x?x
5
1
3?
1
3
g(x)?
x?x
5
1
3
?< br>1
3

①证明:f(x)是奇函数,并求f(x)的单调区间,
②分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,
由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的x都成立的一个等式。
解:(1)函数f(x)的定义域为
(??,0)?(0,??)
,关于原点对称,又
f(?x)?

(?x)?(?x)
5
1
3
?1
3
??
x?x
5
1
3
?
1
3
??f(x)
∴f(x)是奇函数
第3页 共4页


x
1
?x
2

x?x
1
x
1
,x
2
?(0,??)f(x
1
)?f(x
2< br>)?
1
5
1
3
1
3
?
1
3
x?x
2
?
2
5
1
3
?
1
3
1
1
1
1
3
?(x
1
?x
2
3
)(1?
11
)
5
x
1
3
x< br>2
3
?x
1
?x
2
?0,1?
1
3
1
x
1
x
2
1
3
1
3
? 0?f(x
1
)?f(x
2
)?0
f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(-∞,0)上也单调递增。
(2)计算得f(4)- 5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,由此概括出对所有不等于零的实数x的:
2
f(x)-5f(x)g(x)=0.
x?x
f(x
2
)?5f(x)g(x)?
5
2
3
?
2
3
x?x< br>?5?
5
1
3
?
1
3
x?x
?5
1
3
?
1
3
??
1
3
1< br>33
?(x?x)?(x?x
3
)?0
55
2222

备用题(变式5)已知过原点O的一条直线与函数
y?log
8
x
的 图象交于A、B两点,分
别过点A、B作y轴的平等线与函数
y?log
2
x
的图象交于C、D两点,证明点C、D和
原点O在同一直线。

第4页 共4页

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