高中数学学习思路(必修1)

高中数学学习思路（必修1）
重点★
书本能看懂，吃透定义定理；
刷题先复习，刷完题再复习；
做题先读题，考什么心有底；
讨论莫忘记，最重要是定义；
会也不跳跃，草稿答卷清晰；
反复刷错题，重点技巧牢记。
技巧▼
1、集合
指定的对象——元素——集合
元素的确定性，互异性，无序性
列举法、描述法、语言列举、语言描述
子集、真子集、相等、Venn图
并集、交集、全集、★相对于全集的补集
★集合运算画图
★集合的代表元素
★集合本身：集合的子集包括集合本身
★★空集（Φ）：碰到集合题就应想到
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
{x|x2=－5｝=Φ
AB??< br>时，可以
A??
或
B??
；同样当
A?B
时，可以< br>A??

▼有n个元素的集合，含有2
n
个子集，2
n-1个真子集，2
n
-2个非空真子集
▼A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)= (A∪B)∩(A∪C)
▼C
R
A∩C
R
B = C
R
(A∪B)，C
R
A∪C
R
B = C
R
(A∩B)
▼card(A∪B)= card(A)+card(B)-card(A∩B)，图示与公式能理解，可互相验证
▼card (A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C )-card(B∩C)+card(A∩B∩C)

2、映射
f：A→B：从集合A 到集合B的一个映射
★A、B 是非空的集合
★按照某种对应关系f，对于集合A的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应
★f: A→B与f: B→A是不同的，映射是有方向的

★A中不可有剩留元素，B中可有剩留元素
★允许多对一，不允许一对多
★★集合A、B的元素个数为m、n，则从集合A到集合B的映射的个数为n
m

★对于众多映射中的某个映射f，可区分为：
单射：对于集合A 中的不同元素，在集合B中有不同的象
满射：集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象
双射：也叫一一映射，既是单射又是满射。只有一一映射存在逆映射

3、映射→函数
唯一的区别：数集
函数的对应关系f：可以用数学表达式（解析式）f（x）表示
联系：从函数与映射的定义，函数是映射的特例即：数集。所以映射的特点同样适用于函数。
★A、B 是非空的数集
★按照某种对应关系f，对于数集A的任何一个元素，在数集B中都有唯一的元素和它对应
★f: A→B与f: B→A是不同的，函数是有方向的
★A中不可有剩留元素，B中可有剩留元素
★允许多对一，不允许一对多
★★集合A、B的元素个数为m、n，则从集合A到集合B的函数的个数为n
m

★★对于众多函数中的某个函数f：定义域就是A，值域是{f(x) |x∈A}且是B的子集，值域中的每个数
都有定义域中的数和它对应，即值域中不可有剩留元素
★★对于某个函数y= f(x) ，x∈A：
见到函数就应想到定义域，在定义域内解题
f代表的是对应关系，只要对应关系相同，用f还是用g都行；x、y只是代号，用t、用p都行 当f相同时，f(x)、f(t)是一回事。所以可以设t=x的某关系式，得出f(t)，也就得出f(x )
▼函数的图象y=f(x)(a，b>0)：向右平移a个单位得到y=f(x-a)；向下平移b 个单位得到y=f(x)-b；与函
数y=f(-x)关于y轴对称；与函数y=-f(x)关于x轴对 称;与函数y=-f(-x)关于原点中心对称；与函数y=f
-1
(x)
关于直线y =x对称；f(x+a)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)，函数的图像关于x=a对称

4、函数的单调性
函数的定义域为I，区间D?I，任意x
1
、x
2
∈D →当x
1
＜x
2
，有f(x
1
)＜f(x
2
) →在区间D上单调增
通常可以用表 达式：
f(x
1
)?f(x
2
)
?0

x
1
?x
2
★单调性是针对某一个区间，f(x)在区间A与B上都单调，在 A∪B上不一定单调
★★定义中的x
1
，x
2
在这一区间上具有任 意性，不能用特殊值代替
★★应先确定函数的定义域，单调区间是定义域的子集

★★单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符
号“∪”联结，也不能用“或”联结
★★画图时，按定义域分段，找到拐点，判断单调区间和最值
▼复合函数y= f[g (x)]：定义域内“同增异减”
▼函数f(x)±g (x)：公共定义域内增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减

5、函数的奇偶性
函数f(x)的定义域内的任意一个x，有f(-x)＜f(x) →函数f(x)叫偶函数
奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言，不能说某个区间具有奇、偶性。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称
★定义中的x在定义域内具有任意性，不能用特殊值代替
★奇、偶函数的定义域一定关于原点 对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不
具有奇偶性。
★既是奇函数 又是偶函数的函数有无数多个，这无数多个函数有相同的解析式（对应关系），就是f(x)
＝0，区别 在于它们的定义域“千差万别”，但各自必须都是关于原点对称的集合。
★★奇函数f(x)在0处有意义，则f(x)=0

6、反函数
函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射 →它的逆映射f
-1
: A→B叫原函数的反函数，通常写作
y=f
-1
(x)
互为反函数的两个函数的图像象关于直线y=x对称
★求反函数的过程：在解析式y=f(x)中反解x得x=f
-1
(y)，然后将x, y 互换得y=f
-1
(x)，最后指出反函
数的定义域（即原函数的值域）
★在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数

7、二次函数与一元二次方程
函数f(x)有零点?函数f(x)图像与x轴有交点?方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0 →函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点
二分法求零点近似值的步骤，达到精确度的含义
★首先想到画图，熟悉函数图像、开口、平移、顶点，定义域分段后图像的变化
★二次函数的 最值：x=x
0
时，f(x)取最大（小）值f(x
0
)=
★两个函 数的交点就是两个方程组成的方程组的解
，区间[m，n]上比较x
0
、m、n

★★定义中a≠0：做题就要考虑到，讨论a=0的情况
▼f(x)=a(x -x
0
)
2
+f(x
0
)，其中x
0
=- ，f(x)=a(x-x
1
)(x-x
2
)
▼f(x)图像的对称轴为x=x
0
=

，零点间距离=
8、基本初等函数
函数的定义明白后，基本初等函数就是一些特殊的函数
熟悉指数函数、对数函数、常见幂函数的定义、图像、单调性、奇偶性、定义域、值域
指数、对数、幂的运算，无理数指数幂是一个确定的数及含义
在区间(0，＋∞)上，指数函 数、对数函数、幂函数增长速度不同，总存在x>x
0
，使
★换底公式经常用，e=2 .71828…
★★定义中a和定义域，函数图像、图像中特殊的点，做题时首先想到，必要时讨论
★★函数的组合：复合函数、分段函数，紧扣题中定义、换元、定义域值域传递、画图

x＜x
n
＜a
x

9、函数的应用
建立函数模型解决实际问题的基本过程
常见函数模型：分段函数、分式函数、线性函数、二次函数、指数函数、对数函数
★对散点图初步判断，更接近哪个函数的图像；理解文字和常识，对数据变化趋势合理判断
★与已知数据拟合的函数模型：类幂函数（y=a
（y=ax+c）
+b）、类指数 函数（y=ab
x
+c）、类对数函数
★★为了不做无用功，至少读两遍题，草稿上列 两遍函数解析式，再开始解题