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第一章 集合与函数概念
1．1集__合
1．1.1 集合的含义与表示
第一课时 集合的含义

集合的概念
[提出问题]
观察下列实例：
(1)某公司的所有员工；
(2)平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点；
?
?
x＋1≥3，
(3)不等式组
?
2
的整数解；
?
x≤9
?

(4)方程x
2
－5x＋6＝0的实数根；
(5)某中学所有较胖的同学．
问题1：上述实例中的研究对象各是什么？
提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学．
问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？
提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．
问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？
提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定．
[导入新知]
元素与集合的概念

元素
集合

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定义
一般地，我们把研究对象统称为元素
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为
集)
表示
通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示

[化解疑难]
准确认识集合的含义
(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原 始的、不加定义的概念，这与
我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．
(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到
的、触摸到 的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合
中的元素.
元素的特性及集合相等
[提出问题]
问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？
提示：相等．
[导入新知]
1．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．
2．集合元素的特性
集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
[化解疑难]
对集合中元素特性的理解
(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象 不能构成集合．也就是
说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．
( 2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时
只能算作集合的 一个元素．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与 3,2,1
构成的集合是同一个集合.
元素与集合的关系及常用数集的记法
[提出问题]
某中学2017年高一年级20个班构成一个集合．
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问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？
提示：是这个集合的元素．
问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？
提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素．
[导入新知]
1．元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a?A.
2．常用的数集及其记法
常用的数集
记法
[化解疑难]
1．对“∈”和“?”的理解
(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于 一个元素a与一个集合A而
言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)“∈”和“?”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
2．常用数集关系网
自然数集
N
正整数集
N
*
或N
＋

整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R


集合的基本概念
[例1] (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面
上到点A的距离等于1 的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构
成集合的组数是( )
A．2
C．4
B．3
D．5
(2)判断下列说法是否正确，并说明理由．
①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；
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页 3

1
361
－
?
，组成的集合有五个元素； ②由1， ，，
?
24
?
2
?
2
③由a，b，c组成的集合与 由b，a，c组成的集合是同一个集合．

[解] (1)选A “接近于0的数”“比较小 的正整数”标准不明确，即元素不确定，所
以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么 程度，因此很难判定一个数，
比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．
(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．
1
36131
－
?
＝，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，，这②不 正确．由于＝，
?
24
?
2
?
222
三个元素组成 的．
③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．
[类题通法]
判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点
(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键 看该组对象是否满足确定性，如果此组对象
满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合． (2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，
即确定 性、互异性和无序性．
[活学活用]
判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)著名的数学家；
(2)某校2017年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x
2
－9＝0在实数范围内的解；
(5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．
解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对 于某个人是否“著名”无法客观地判断，因
此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似 ，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，
可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤ x≤20”与“x＞20或x＜0”两者
必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合 ．(4)类似于(3)，也能构成集
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合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“ 直角坐
标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.
元素与集合的关系
[例2] (1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A
C．a∈A
B．a?A
D．a＝A
(2)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② 3?Q；③0∈N
*
；④|－4|?N
*
.
A．1
C．3
B．2
D．4
[解析] (1)由元素与集合的关系可知，a∈A.
(2)①π∈R显然是正确的；② 3是无理数，而Q表示 有理数集，∴3?Q，正确；③N
*
表示不含0的自然数集，∴0?N
*
，③ 错误；④|－4|＝4∈N
*
，④错误，所以①②是正确的．
[答案] (1)C (2)B
[类题通法]
判断元素与集合间关系的方法
判断一个对象是否为某个集 合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有
的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素 ，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同
特征．
[活学活用]
给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a?Z；
③若a∈Q，b∈N
*
，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为( )
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：选B 实 数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整
数，故－a∈Z，所以②也不正 确；只有③正确.
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集合中元素的特性及应用
[例3] 已知集合A中含有两个元素a和a
2
，若1∈A，求实数a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a
2
＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a
2
，集合A中有一个元素，∴a≠1.
当a＝－1时，
集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.
[类题通法]
关注元素的互异性
根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集 合中元素的
三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．
[活学活用]
已知集合A中含有三个元素1,0，x，若x
2
∈A，求实数x的值．


解：∵x
2
∈A，∴x
2
是集合A中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①
若x
2
＝0，则x＝0，此时集合A中有两个元 素0，不符合互异性，舍去；②若x
2
＝1，则x＝
±1.当x＝1时，此时集合A中 有两个元素1，舍去；当x＝－1时，此时集合A中有三个元素
1,0，－1，符合题意；③若 x
2
＝x，则x＝0或x＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x
＝－1.


1.警惕集合元素的互异性

[典例] 若集合A中有三 个元素x，x＋1,1，集合B中也有三个元素x，x
2
＋x，x
2
，且A< br>＝B，则实数x的值为________．
[解析] ∵A＝B，
22
??
?
x＋1＝x，
?
x＋1＝x＋x，
∴
?
或
?

22
?
1＝x＋x
?
??
1＝x.

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解得x＝±1.经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合．
∴x＝－1.
[答案] －1
[易错防范]
1．上面例题易由方程组求得x＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结
论．
2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集
合元素的 互异性．
[成功破障]
若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a
2
－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
解析：①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．
②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．
③若a
2
－4＝－3，则a＝±1.
当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；
当a＝－1时，由②知不合题意．
综上可知a＝0或a＝1.
答案：0或1

[随堂即时演练]
1．下列选项中能构成集合的是( )
A．高一年级跑得快的同学
B．中国的大河
C．3的倍数
D．有趣的书籍
解析：选C 根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．
2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
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C．菱形 D．矩形
解析：选A 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相
等．
3．有下列说法：
①集合N与集合N
*
是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________(填序号)． 解析：因为集合N
*
表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，< br>R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________. 解析：代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题
意；若a＝6，则6－6＝0?A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.
答案：2或4
5．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x
2
，若A＝B，求实数
x，y的值．
解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x
2
＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
②当y＝0时，x＝x
2
，解得x＝0或x＝1.
由①知x＝0应舍去．
综上知x＝1，y＝0.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列判断正确的个数为( )
(1)所有的等腰三角形构成一个集合．
(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合．
(3)素数的全体构成一个集合．
(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合．
A．1 B．2
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C．3 D．4
1
解析：选C (1)正确；(2)若
a
＝a，则a
2
＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，－1}，∴(2)正
确 ；(3)也正确，任何一个素数都在此集合中，不是素数的都不在；(4)不正确，集合中的元素
具有互 异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故选C.
2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是( )
A．0∈M,2∈M
C．0∈M,2?M
B．0?M,2∈M
D．0?M,2?M
解析：选B 从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0
和2是否 是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0?M；
当x＝ 2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.
3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x
2
＝1的解集
解析：选A 由于选项A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而选项
B，C， D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．
4．已知集合M中的元素x满足x＝a＋b2，其 中a，b∈Z，则下列实数中不属于集合
M中元素的个数是( )
①0；②－1；③32－1；④
⑤8；⑥
A．0
C．2


解析：选A 当a＝b＝0时，x＝0；当a＝－1，b＝0时，x＝－1；当a＝－1，b ＝3时，
2
2?3＋22?
1
.
1－2
B．1
D．3
2
；
3－22
x＝－1＋32；＝＝6＋42，即a＝6 ，b＝4；当a＝0，b＝2时，x
3－22?3－22??3＋22?
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＝22＝8；＝＝－ 1－2，即a＝－1，b＝－1.综上所述：0，－1,32
1－2?1－2??1＋2?
－1 ，
21
，8，都是集合M中的元素．
3－221－2
1
1＋25．由实数－a，a，|a|，a
2
所组成的集合最多含有________个元素．( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选B 当a＝0 时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，a
2
?
?
a，a>0，
＝|a|＝
?
所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中最多有 两个元素．
?
?
－a，a<0，
二、填空题
6．方程x
2
－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝
______ __.
解析：∵方程x
2
－2x－3＝0的解集与集合A相等，
∴a，b是方程x
2
－2x－3＝0的两个根，
∴a＋b＝2.
答案：2
7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a ＋b______A，
ab_____A．(填“∈”或“?”)
解析：∵a是偶数，b是奇数，
∴a＋b是奇数，ab是偶数，
故a＋b?A，ab∈A.
答案：? ∈
8．设A是由满足不等式x＜6的自然数 组成的集合，若a∈A，且3a∈A，则a的值为
________．
解析：∵a∈A，且3a∈A，

?
?
a＜6，
∴
?

?
3a＜6，
?
解得a＜2.
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又∵a∈N，
∴a＝0或a＝1.
答案：0或1
三、解答题
9．已知集合M由三个元 素－2，3x
2
＋3x－4，x
2
＋x－4组成，若2∈M，求x.
解：当3x
2
＋3x－4＝2时，即x
2
＋x－2＝0，x＝－2或x＝1 ，经检验，x＝－2，x＝1均
不合题意；当x
2
＋x－4＝2时，即x
2< br>＋x－6＝0，x＝－3或x＝2，经检验，x＝－3或x＝2
均合题意．∴x＝－3或x＝2.
10．设集合A中含有三个元素3，x，x
2
－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
解：(1)由集合 中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x
2
－2x，x
2
－2x≠3.
解得x≠－1且x≠0，且x≠3.
(2)∵－2∈A，
∴x＝－2或x
2
－2x＝－2.
由于x
2
－2x＝(x－1)
2
－1≥－1，
∴x＝－2.

11．数集M满足条件：若a∈M，则
有三个元素是什么？
解：∵3∈M，
1＋3
∴＝－2∈M，
1－3
1＋?－2?
1
∴＝－∈M，
3
1－?－2?12
－
?
1＋
?
?
3
?
3
1
∴＝＝∈M.
1
?
42
?
1－
?
－3
?
3
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< br>1＋a
∈M(a≠±1且a≠0)．若3∈M，则在M中还
1－a

1
1＋
2
又∵＝3∈M，
1
1－
2
11
∴在M中还有元素－2，－，.
32
1
12．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
1－a
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道
理”．
1
解：根据已知条件“若a∈A，则∈A(a≠1)”逐步推导得出其他元素．
1－a
1
(1)其他所有元素为－1，.
2
1313
(2)假设－2∈A，则∈A，则∈A.其他所有元素为，.
3 232
a－1
1
(3)A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－ 1.
a
1－a
证明如下：
a－1
111
由已知，若a∈A，则∈A知，＝
a
∈A，＝a∈A.
1
1－aa－1
1－
1－
1－a
a
a－1
1
故A中只能有a，，
a
这3个元素．
1－a
1
下面证明 三个元素的互异性：若a＝，则a
2
－a＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，
1－a
所以方程无实数解，故a≠.
1－a
1
a－1a－1
1同理可证，a≠
a
，≠
a
.结论得证．
1－a
第二课时 集合的表示

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列举法
[提出问题]
观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合．
问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？
提示：能．(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为1,2,4,5,10 ,20.
问题2：如何表示上述两个集合？
提示：用列举法表示．
[导入新知]
列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

[化解疑难]
使用列举法表示集合的四个注意点
(1)元素间用“，” 分隔开，其一般形式为{a
1
，a
2
，…，a
n
}；
(2)元素不重复，满足元素的互异性；
(3)元素无顺序，满足元素的无序性；
(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无
限个且集合中 的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作
为代表，其他元素用省略号 表示.
描述法
[提出问题]
观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x
2
－1的图象上的所有点．
问题1：这两个集合能用列举法表示吗？
提示：不能．
问题2：如何表示这两个集合？
提示：利用描述法．
[导入新知]
描述法
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(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
(2)具体方法： 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再
画一条竖线，在竖线后写出这 个集合中元素所具有的共同特征．
[化解疑难]
1．描述法表示集合的条件
对于 元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集
合中元素的共同特征描 述出来，即采用描述法．
2．描述法的一般形式
它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其 中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范
围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征 ，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．
一般来说，集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上 下文的关系看，x∈A是明确
的，则x∈A可以省略，只写元素x.



用列举法表示集合
[例1] (1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,9}，若x∈A且x?B，则x＝( )
A．1
C．3
(2)用列举法表示下列集合：
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程x
2
＝x的所有实数解组成的集合；
③直线y＝2x＋1与y轴的交点组成的集合；
?
?
x＋y＝1，
④方程组
?
的解．
?
x－y＝－1
?
B．2
D．9

[解] 选B (1)∵x∈A，
∴x＝1,2,3.
又∵x?B，∴x≠1,3,9，故x＝2.
(2)①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10
的 非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x
2
＝x的实数解是x＝0 或x＝1，所以方程x
2
＝x的所有实数解组成的集合为{0,1}．
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③将x＝0代入y ＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故直线y＝2x＋1与y轴的交点组成
的集合是{(0, 1)}．
??
?
x＋y＝1，
?
x＝0，
④解方程组?
得
?

??
x－y＝－1，y＝1.
??
?
?
x＋y＝1，
∴用列举法表示方程组
?
的解集为{(0,1)}．
?
?
x－y＝－1


[类题通法]
用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
[活学活用]
已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B ，且B中只有4个元素，求集
合B.
解：对任意a∈A，有|a|∈B.
因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，
由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.
又因为B中只有4个元素，
所以B＝{0,1,2,3}.
用描述法表示集合
[例2] (1)用符号“∈”或“?”填空：
①A＝{x|x
2
－x＝0}，则1____A，－1____A；
②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
(2)用描述法表示下列集合：
①正偶数集；
②被3除余2的正整数的集合；
③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[解] (1)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1?A.
②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．
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页 15

(2)①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此 题要求为正偶数，故限定n∈N
*
，
所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N
*
}．
②设被3除余2的数 为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.
所以被3除余2的正整数 集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少 有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的
点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
[答案] (1)①∈ ? ②∈
[类题通法]
利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符
合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实 数集时可以省略不写．例如，方
程x
2
－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R| x
2
－2x＋1＝0}，也可写成{x|x
2
－2x＋1＝0}．
(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．
[活学活用]
下列三个集合：
①A＝{x|y＝x
2
＋1}；
②B＝{y|y＝x
2
＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x
2
＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．
(2)集合A＝{ x|y＝x
2
＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x
2
＋1} ＝R，即A＝R；集
合B＝{y|y＝x
2
＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x< br>2
＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝
x
2
＋1}＝{y| y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x
2
＋1}的代表元素是(x，y)，是满 足y＝x
2
＋1的数对．可以认为集合
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页 16

C是坐标平面内满足y＝x
2
＋1的点(x，y) 构成的集合，其实就是抛物线y＝x
2
＋1的图象.
集合表示的应用
[例3] (1)集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )
A．{x|x＝2
n
±1，n∈N}
B．{x|x＝(－1)
n
(2n－1)，n∈N}
C．{x|x＝(－1)
n
(2n＋1)，n∈N}
D．{x|x＝(－1)
n1
(2n＋1)，n∈N}
－
??6
??
(2)设集合B＝
?
x∈N
?
2＋x
∈ N
?
.
?
?
?

?
?
①试判断元素1,2与集合B的关系；
②用列举法表示集合B.
[解] 选C (1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应
选C.
6
(2)①当x＝1时，＝2∈N；
2＋1
63
当x＝2时，＝?N.
2＋2
2
所以1∈B,2?B.
②∵
6
∈N，x∈N，
2＋x
∴2＋x只能取2,3,6.
∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}．
[类题通法]
判断元素与集合间关系的方法
(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系．
例如，集合A＝{1,9,12}，则0?A,9∈A.
(2)用描述法给出的集合，判断元 素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合
中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…， 其次要清楚元素的共同特征是什么，最后
往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征 ，即可确定所给元素与集合
的关系．
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页 17

[活学活用]
用列举法表示集合A＝{(x，y)|y＝x
2
，－1≤x≤1，且x∈Z}．
解：由－1≤x≤1，且x∈Z，得x＝－1,0,1，
当x＝－1时，y＝1；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1.
∴A＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．


1.集合与方程的综合应用

[典例] 集合A＝{x|ax
2
＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围．
[解] 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
1
此时x＝－，符合题意；
2
当a≠0时，方程ax
2
＋2x＋1＝0为一元二次方程，
当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
[多维探究]
解答上面例题时，a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax
2
＋2x＋1＝0”有两种情 况：
一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．
求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：
1．在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．
当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.
当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即a>1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
2．在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．
由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；
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页 18

当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1.
∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为{a|a≤1}．

3．若1∈A，则a为何值？
解：∵1∈A，
∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
4．是否存在实数a，使A＝{1}，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
又当a＝－3时，
1
由－3x
2
＋2x＋1＝0，得x＝－或x＝1，
3
?
1
?
1
即方程ax
2
＋2x＋1＝0存在两个根－和1，此 时A＝
?
－
3
，1
?
，与A＝{1}矛盾．
3
??
故不存在实数a，使A＝{1}．

[随堂即时演练]
?
?
x＋y＝1，
1．方程组
?
22
的解集是( )
?
x－y＝9
?

A．(－5,4)
C．{(－5,4)}
B．(5，－4)
D．{(5，－4)}
??
?
x＋y＝1，
?
x＝5，
解析：选D 解方程组
?
得
?
故解集为{(5，－4)}．
22
??
?
x－y＝9，
?
y＝－4，
2．下列四个集合中，不同于另外三个 的是( )
A．{y|y＝2}
C．{2}
B．{x＝2}
D．{x|x
2
－4x＋4＝0}

解析：选B 集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是
含有一个元素2.
3．给出下列说法：
①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0}；
②方程x－2＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
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页 19

③集合{(x，y)|y＝1－x}与集合{x|y＝1－x}是相等的．
其中正确的是________(填序号)．
解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横 、纵坐标是同号的，且集合中的代表元
素为点(x，y)，故①正确；
??
?
x－2＝0，
?
x＝2，
方程x－2＋|y＋2|＝0等价于
?
即
?
解为有序实数对(2，－2)，解
?
y＋2＝0，
?
??
y＝－2，
??
?
?
?
x＝2，
?
集为{ (2，－2)}或
?
?x，y?
?
?
?
y＝－2
?
??
?



?
?
?
，故②不正确；
?
?
集合{(x，y)| y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，前者是有序
实数对， 后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．
答案：①
4．已知A＝{－1，－2,0,1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B＝________.
解析：∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性，
∴B＝{0,1,2}．
答案：{0,1,2}
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；
(3)梯形的全体构成的集合；
(4)所有能被3整除的数的集合；
(5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；
(6)不等式2x－1>5的解集．
解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(3){x|x是梯形}或{梯形}．
(4){x|x＝3n，n∈Z}．
(5){1,2}．
(6){x|x>3}．
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页 20

[课时达标检测]
一、选择题
1．下列集合的表示，正确的是( )
A．{2,3}≠{3,2}
B．{(x，y)|x＋y＝1}＝{y|x＋y＝1}
C．{x|x＞1}＝{y|y＞1}
D．{(1,2)}＝{(2,1)}
解析：选C {2,3}＝{3,2}，故A不正确；{(x，y)|x＋y＝1}中的元素为点(x， y)，{y|x＋y
＝1}中的元素为实数y，{(x，y)|x＋y＝1}≠{y|x＋y＝1}，故 B不正确；{(1,2)}中的元素为点(1,2)，
而{(2,1)}中的元素为点(2,1)，{( 1,2)}≠{(2,1)}，故D不正确．

xyz|xyz|
2．已知x，y， z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列
|x||y||z|
xyz
判断正确的是( )
A．0?M
C．－4?M
B．2∈M
D．4∈M
解析：选D 当x，y，z都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M.
当x，y，z都小于零时，代数式的值为－4，所以－4∈M.当x，y，z有两个为正，一个为
负时 ，或两个为负，一个为正时，代数式的值为0.所以0∈M.综上知选D.
3．集合{x∈N
*
|x－3<2}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
解析：选B ∵x－3<2，x∈N
*
，
∴x<5，x∈N
*
，
∴x＝1,2,3,4.
4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝ 2n，n∈Z}，且x
1
，x
2
∈A，x
3
∈B，
则下列判断不正确的是( )
A．x
1
·x
2
∈A
C．x
1
＋x
2
∈B
B．x
2
·x
3
∈B
D．x
1
＋x
2
＋x
3
∈A
B．{1,2,3,4}
D．{1,2,3,4,5}
解析：选D 集合A表示奇数集，B表示偶数集，
∴x
1
，x
2
是奇数，x
3
是偶数，
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页 21

∴x
1< br>＋x
2
＋x
3
应为偶数，即D是错误的．
5．设P＝{1, 2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P* Q中
元素的个数为( )
A．4
C．19
B．5
D．20
解析：选C 由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为： (1,4)，
(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a＝2,3时，集 合P*Q的元素个数都为5个，当
a＝4时，集合P*Q中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7 )，(4,8)共4个．因此P*Q中元素的个数为
19.
二、填空题
b
??
6．若集合{1，a＋b，a}＝
?
0，
a
，b
?，则a－b＝________.
??
解析：由题意知a≠0，a＋b＝0，b＝1，则a＝－1，
所以a－b＝－2.
答案：－2

7．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是________．
解析：∵1?{x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
答案：{a|a≤－2}
8．已知－5∈{x|x
2
－ax－5＝0}，则 集合{x|x
2
－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
解析：由－ 5∈{x|x
2
－ax－5＝0}，得(－5)
2
－a×(－5)－5＝0， 所以a＝－4，所以{x|x
2
－
4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和 为2.
答案：2
三、解答题
9．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)
2
，a
2
＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解：①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)
2
＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
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页 22

当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a
2
＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
10．用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数；
(2)方程x
2
＋y
2
－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)二次函数y＝x
2
－10的图象上的所有点组成的集合．
解：(1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．
?
?
x＝2，(2)方程x＋y－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)＋(y＋3)＝0，∴
?

?
?
y＝－3，
2222

∴方程的解集为{(2，－3)}．
(3)“二次函数y＝x
2
－10的图 象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x
2
－10}．

?< br>6
?
11．(1)已知集合M＝
?
x∈N
?
1＋x< br>∈Z
?
?
?

?
?
?
，求M； < br>?
?
??
6
??
(2)已知集合C＝
?
1＋ x
∈Z
?
x∈N
?
，求C.
?
??
??

6
解：(1)∵x∈N，∈Z，
1＋x
∴1＋x应为6的正约数．
∴1＋x＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5.
∴M＝{0,1,2,5}．
6
(2)∵∈Z，且x∈N，
1＋x
∴1＋x应为6的正约数，
6
∴1＋x＝1,2,3,6，此时分别为6,3,2,1，
1＋x
∴C＝{6,3,2,1}．
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页 23

2
?
?
?
y＝kx－2x－1，
?
?
有且只有一个元素，试求出实数k的值，并12．若集合A＝
?
?x，y?
?
?
y＝0
?
??

用列举法表示集合A.
1
2
?
??
y＝kx－2x－1， y＝－2x－1，
x＝－，
?
??
2
解：当k＝0时，方程组
?
可化为
?
解得
?
此
??
?
?
y＝0
?
y＝0，
?
y＝0，


1
时集合A为－，0；
2
当k≠0时，要使集合A有且只有一个元素，则方 程kx
2
－2x－1＝0有且只有一个根，
?
?
k≠0，
所 以
?

2
?
?
Δ＝?－2?
＋4k＝0，
2
?
?
y＝kx－2x－1，
解得k＝－1，代入
?
中得
?
y＝0
?
2
?
?
y＝－x－2x－1，
?

?
y＝0，
?



?
?
x＝－1，
解得
?

?
?
y＝0，
即A＝{(－1,0)}．
1
??
－，0
?
?
；当k＝－1时，A＝{(－1,0)}． 综上可知，当k＝0时，A＝
?
?
?
2
?
??











1．1.2 集合间的基本关系
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页 24

子 集
[提出问题]
具有北京市东城区户口的人组成集合A，具有北京市户口的人组成集合B.
问题1：集合A中元素与集合B有关系吗？
提示：有关系，集合A中每一个元素都属于集合B.
问题2：集合A与集合B有什么关系？
提示：集合B包含集合A.
[导入新知]
子集的概念
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中
定义
任意一个元素都是集合B中的元素 ，我们就
说这两个集合有包含关系，称集合A为集合
B的子集
记法与读法
记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或
“B包含A”)
图示

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
结论 (2)对于集合A，B，C，若A?B，且B?C，
则A?C

[化解疑难]
对子集概念的理解
(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合 B中的元素，
即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}?{－1,0,1}，则0∈{0,1}，0∈ {－1，0,1}．
(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包 含A，
此时记作AB或B?A.
(3)注意符号“∈”与“?”的区别：“?”只用于集合与 集合之间，如{0}?N，而不能
写成{0}∈N；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能 写成0?N.

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页 25

集合相等
[提出问题]
设A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．
问题1：三边相等的三角形是何三角形？
提示：等边三角形．
问题2：两集合中的元素相同吗？
提示：相同．
问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？
提示：是．是.
[导入新知]
集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A) ，此时，集合A
与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
[化解疑难]
对两集合相等的认识
(1)若A?B，且B?A，则A＝B；反之， 如果A＝B，则A?B，且B?A.这就给出了证
明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A?B 与B?A同时成立即可．
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.
真子集
[提出问题]
给出下列集合：
A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．
问题1：集合A与集合B有什么关系？
提示：A?B.
问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？
提示：集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中．
[导入新知]
真子集的概念
定义
记法
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A
是集合B的真子集
记作AB(或BA)
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页 26

图示

(1)A
结论
(2)A?B且A≠B，则A
[化解疑难]
对真子集概念的理解
(1)在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
B
B且BC，则AC；
(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.
空 集
[提出问题]
一个月有32天的月份组成集合T.
问题1：含有32天的月份存在吗？
提示：不存在．
问题2：集合T存在吗？是什么集合？
提示：存在．是空集．
[导入新知]
空集的概念
定义
记法
规定
特性
[化解疑难]
?与{0}的区别
(1)?是不含任何元素的集合；
(2){0}是含有一个元素0的集合，?{0}．
我们把不含任何元素的集合，叫做空集
?
空集是任何集合的子集，即??A
(1)空集只有一个子集，即它的本身，???
(2)A≠?，则?A

集合间关系的判断
[例1] (1)下列各式中，正确的个数是( )
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页 27

①{0}∈{0, 1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0 ,1)}；⑥0＝{0}．


A．1
C．3
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1 ，n∈N
*
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
*
}．
[解] (1)选B 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一
集合，任 何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有
单元素0的集合， 空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以?{0}；对
于⑤，{0,1}是含有两个 元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，
所以{0,1}与 {(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正
确的 ．
(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含
关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
B．2
D．4
③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
*
，因此 集合M含有元素“1”，
而集合N不含元素“1”，故NM.
M. 法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N
[类题通法]
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否 属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不
是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任 意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B
不是A的子集；
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页 28

若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于 不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点
值的取舍．
[活学活用]
已知集合M＝{x|x＝1＋a
2
，a∈N
*
}，P＝{x|x＝a
2
－4a＋5，a∈N
*
}，则M与P的关系为( )
A．M＝P
C．P?M
B．M?P
D．MP
解析：选D ①对于任意x∈M，x＝1＋a
2
＝(a＋2)
2
－4(a＋2)＋5，
∵a∈N
*
，∴a＋2∈N
*
，
∴x∈P，由子集定义知M?P.
②∵1∈P，此时a
2
－4a＋5＝1， 即a＝2∈N
*
，而1?M，
∴1＋a
2
＝1在a∈N
*
时无解．
综合①②知，MP.
有限集合子集的确定
[例2] (1)已知集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}，则A的真子集的个数是( )
A．16
C．7
(2)满足{1,2}
B．8
D．4
M?{1,2,3,4,5}的集合M有________个．
[解析] (1)∵A＝{x |0≤x＜3且x∈N}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集的个数为2
3
－1＝7. (2)由题意可得{1,2}M?{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素 3,4,5
中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有五个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合M共有7个．
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页 29

[答案] (1)C (2)7
[类题通法]
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2
n
个子集．
(2)含n个元素的集合有(2
n
－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2
n
－1)个非空子集．
(4)含有n个元素的集合有(2
n
－2)个非空真子集．
(5)若集合A 有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A?B?C，则符合条件的
集合B有2
m
－
n
个．
[活学活用]
已知集合A{x∈N|－1＜x＜3 }，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A共有
多少个？并用恰当的方法表示这些集合．
解：这样的集合共有3个．
∵{x∈N|－1＜x＜3}＝{0,1,2}，A{0,1,2}且A中至少有一个元素为奇数， < br>∴当A中含有1个元素时，A可以为{1}；当A中含有2个元素时，A可以为{0,1}，{1,2}.
集合间关系的应用
[例3] 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x ≤a＋3}．若B?A，求实数a的取
值范围．
[解] 当B＝?时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，

??
?
a＋3≥2a，
?
a＋3≥2a，
可得
?< br>或
?

??
?
a＋3<－1
?
2a>4，< br>解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}．
[类题通法]
利用集合关系求参数应关注三点
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页 30

(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借 助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，
还要注意验证端点值，做到准确无 误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表
示．
(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
[活学活用]
已知集合A＝{x|1解：①当a＝0时，A＝?，满足A?B.
?
12
?
?
. ②当a>0时，A＝
?
x
?
?
aa
??

又∵B＝{x|－1如图作出满足题意的数轴：

?
1
∴
?
a
≥－1，
2
?
a
≤1 ，
a>0，


∴a≥2.
?
21
?
?
③当a<0时，A＝
?
x
?
?
aa
.
??

∵A?B，如图所示，

?
2
∴?
a
≥－1，
1
?
a
≤1，
∴a≤－2.
a<0，

综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥2或a≤－2}．
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页 31

2.利用集合的包含关系求参数

[典例] 已知集合A＝{x|－ 2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A?B，求实数m的
取值范围．
[解] ∵A?B，
2m－1>m－6，
?
?
∴
?
m－6≤－2，
?
?
2m－1≥5，
m>－5，
?
?解得
?
m≤4，
?
?
m≥3，
故3≤m≤4.
∴m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
[多维探究]
1．本例中，若B?A，求实数m的取值范围．
解：①当B＝?时，m－6>2m－1，即m<－5；
m－6≤2m－1，
?
?
②当B≠?时，
?
m－6≥－2，
?
?
2m－1≤5，
即m∈?.
故实数m的取值范围是{m|m<－5}．


2．在本例中，若将“A?B”改为“A
解：∵A≠B，
∴两不等式端点不可能同时成立，但最终答案与本例一致．
3．若将本例中的不等式变为方程，试解决如下问题：
已知集合A＝{x|x
2＋4x＝0}，B＝{x|x
2
＋2(a＋1)x＋a
2
－1＝0，a∈ R}，若B?A，求实数
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页 32

B”，求实数m的取值范围．





m≥－ 5，
?
?
解得
?
m≥4，
?
?
m≤3，< br>

a的取值范围．
解：A＝{x|x
2
＋4x＝0}＝{0，－4}，
∵B?A，
∴B＝?或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．
①当B＝?时，方程x
2
＋2(a＋1)x＋a
2
－1＝0无实数根，
则Δ<0，即4(a＋1)
2
－4(a
2
－1)<0.
∴a<－1.
?
?
Δ＝0，
②当B＝{0}时，有
?

2
?
?
a－1＝0，
∴a＝－1.

?
?
Δ＝0，
③当B＝{－4}时，有
?
无解．
2
?
a－8a＋7＝0，
?
④当B＝{0，－4}时，由一元二次方程的根与 系数的关系可得a＝1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－1}．


[随堂即时演练]
1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b }?{b，a}；③?＝{?}；④{0}＝?；⑤?
{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是( )
A．1
C．4
B．3
D．6
解析：选C ①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错
误，?表 示空集，而{?}表示的是含?这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为?∈{?}；
④错误，? 表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为?{0}；⑤正确，
空集是任何非空 集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．
2．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方 形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C
之间的关系是( )
A．A?B?C B．B?A?C
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页 33

C．A

B?C D．A＝B?C
解析：选B 集合A，B，C关系如图．

3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，则实数m＝________.
解析 ：∵B?A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，
∴m∈A，∴m＝4.
答案：4
4．已知A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义某种运算：A*B＝{x|x ＝x
1
＋x
2
，x
1
∈A，x
2
∈B}，
则A*B中最大的元素是________，集合A*B的所有子集的个数为________． 解析：由题意知A*B＝{2,3,4,5}，∴A*B中最大的元素是5，集合A*B有4个元素，∴所< br>有子集个数为2
4
＝16.
答案：5 16
5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．
(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；
(2)若B是A的子集，求a的取值范围；
(3)若A＝B，求a的取值范围．
解：(1)若A是B的真子集，即AB，则a>2，即a的取值范围是{a|a＞2}．
(2)若B是A的子集，即B?A，则a≤2，即a的取值范围是{a|a≤2}．
(3)若A＝B，则必有a＝2.
[课时达标检测]
一、选择题
k1
k
1
???
?
?
?
x
x＝＋，k∈ Z
?
，
x＝＋，k∈Z
?
，1．设集合M＝
?
x< br>?
N＝k∈Z，则正确的是( )
?
24
?
42
????

A．M＝N
C．MN
B．MN
D．M与N的关系不确定
k
1
2k＋1
k
1
k＋2
解析：选B 集合M中的元素x＝＋＝(k∈Z)，集合N中的元素x＝＋＝(k
244424
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页 34

∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，因此MN.
2．已知集合M＝{x|－5A．P＝{－3,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤3，x∈N}

解析：选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3?M，集合Q中的元素2?< br>M，集合R中的元素－3?M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S?M，且SM.
3．已知集合P＝{x|x
2
＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q? P，则a的值是( )
A．1
C．1或－1
B．－1
D．0,1或－1
解析：选D 由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q?P，知a＝1或a
＝－1.
4．已 知非空集合P满足：①P?{1,2,3,4,5}，②若a∈P，则6－a∈P，符合上述条件的
集合 P的个数是( )
A．4
C．7
B．5
D．31
解析：选C 由a∈P,6－a∈P，且P?{1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足 的条件
是1,5同时选；2,4同时选；3单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1, 5}，{2,4}，
{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5} ，共7个．
5．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0， y<0}，那么( )
A．PM B．MP
C．M＝P D．MP
?
?
x＋y<0，
?
x<0，
解析：选C ∵
?
∴
?
∴M＝P.
?
y<0.
?
xy>0，
?
二、填空题
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页 35

y
6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝(x，y)＝1，则A，B的关系是__ ______．
x
??
y
＝1
?
＝{(x，y)|y＝x ，且x≠0}．故B解析：B＝
?
?x，y?
?
?
x
??< br>
A.
答案：BA
7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事 散文”这四个文学概念之间的
关系，请作适当的选择填入下面的空格：

A为________；B为________；
C为________；D为________．
解析：由Venn图可得AB，CDB，A 与D之间无包含关系，A与C之间无包
含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学 概念之间的关系，可得A
为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．
答案：小说 文学作品 叙事散文 散文
8．已知集合A＝{x|ax
2
＋2x＋a＝0，a∈R }，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值
构成的集合为________．
解析：因为集 合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax
2
＋2x＋a＝0(a
∈R )仅有一个根．
当a＝0时，方程化为2x＝0，
∴x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
当a≠0时，Δ＝2
2
－4·a·a＝0，
即a
2
＝1， ∴a＝±1.此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.
答案：{0,1，－1}
三、解答题
9．由“2，a，b”三个元素构成的集合与 由“2a,2，b
2
”三个元素构成的集合是同一个
集合，求a，b的值．
2
??
?
a＝2a，
?
a＝b，
解：根据集合相等，有?
或
?

2
??
?
b＝b
?
b＝2a，

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页 36

?
??< br>?
a＝0，
?
a＝0，
解得
?
或
?
或
?
1
?
b＝1
?
??
b＝0
b＝
?
2
.

1
a＝，
4


?
?
?
a＝0，
再根据集合元素的互异性，得
?
或
?
1
?
b＝1
?
b＝
?
2
.

1
a＝，
4


10．已知A＝{x|x
2
－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B?A，求实数a组成的集合C.
解：由x
2
－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.
∴A＝{1,2}．
∵B?A，∴对B分类讨论如下：
①若B＝?，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.
②若B≠?，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．

11．设集合A ＝{1,3，a}，B＝{1，a
2
－a＋1}，且A?B，求a的值．
解：∵A?B，而a
2
－a＋1∈B，∴a
2
－a＋1∈A.
∴a
2
－a＋1＝3或a
2
－a＋1＝a.
当a
2
－a＋1＝3时，a＝2或a＝－1.
(1)a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，这时满足条件A?B；
(2)a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，这时也满足条件A?B.
当a
2
－a＋1＝a时，a＝1，此时A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，根据集合中元素的互 异性，故舍
去a＝1.
∴a的值为2或－1.
12．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
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页 37

(2)若A?B，求m的取值范围．
解：化简集合A，得A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为2
8
－2＝254(个)．
(2)①当m≤－2时，B＝??A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1因此，要B?A，
?
?
m－1≥－2，
则只要
?
?－1≤m≤2.
?
2m＋1≤5
?
综上所述，知m的取值范围是
{m|－1≤m≤2或m≤－2}．
1．1.3 集合的基本运算
第一课时 集合的并集、交集


并 集
[提出问题]
已知下列集合：
A＝{x|x
2
－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1,1,2,3 ,4}．
问题1：集合A与集合B各有几个元素？
提示：A＝{－1,1}，B＝{1,2,3,4}，即集合A有2个元素，集合B有4个元素．
问题2：若将集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？
提示：{－1,1,2,3,4}．
问题3：集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
提示：集合C中元素属于集合A或属于集合B.
[导入新知]
1．并集的概念
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页 38

文字
语言
符号
语言
图形
语言
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的
并集，记作A∪B(读作 “A并B”)
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

2.并集的性质
(1)A∪B＝B∪A，即两个集合的并集满足交换律．
(2)A∪A＝A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身．
(3)A∪?＝?∪A＝A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．
(4)A?(A∪B)，B?(A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．
(5)若A?B，则A∪B＝B，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合
本身．
[化解疑难]
理解并集应关注三点
(1)A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．
(2)“或”的数学内涵的形象图示如下：

(3)若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次.
交 集
[提出问题]
已知A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，C＝{3,4}．
问题1：集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？
提示：有．{3,4}．
问题2：集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
提示：集合C中的元素既属于集合A又属于集合B.
[导入新知]
1．交集的概念
文字 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B
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页 39

语言
符号
语言
图形
语言
的交集，记作A∩B(读作“A交B”)
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．
(2)A∩A＝A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．
(3)A∩?＝?∩A＝?，即任何集合与空集的交集等于空集．
(4)A∩B?A，A∩B?B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．
(5)若A?B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是
A.
[化解疑难]
理解交集的概念应关注四点
(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元
素．
(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．
(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝?.
(4 )定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元
素组成的 集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.

并集的运算
[例1] (1)(广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )
A．{－1,0,1}
C．{－1,0,2}
B．{－1,0,1,2}
D．{0,1}
(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2
A．{x|x>－2}
C．{x|－2B．{x|x>－1}
D．{x|－1[解析] (1)M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．
(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
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[答案] (1)B (2)A
[类题通法]
并集的运算技巧
(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点
值．
[活学活用]
若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x
2
}，A∪B＝{ 1,4，x}，则满足条件的实数x有( )
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
解析：选C 从A∪B＝{1,4，x}看它与集合A，B元素之间的关系，可以发 现A∪B＝A，
从而B是A的子集，则x
2
＝4或x
2
＝x，解得x ＝±2或1或0.当x＝±2时，符合题意；当x
＝1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当x＝ 0时，符合题意．因此x＝±2或0.
交集的运算
[例2] (1)(天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
[解析] (1)因为集合B中，x∈A，
所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.
即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.
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页 41

(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．

则由交集的定义，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
[答案] (1)D (2)A

[类题通法]
求交集运算应关注两点
(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．
(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．
[活学活用]
已知M＝{1,2，a
2
－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的 值．
解：∵M∩N＝{3}，∴3∈M，
∴a
2
－3a－1＝3，即a
2
－3a－4＝0，
解得a＝－1或4.
但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，
当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．
∴a＝4.
交集、并集的性质及应用
[例3] 已知集合A＝{x|－3k的取值范围．
[解] ∵A∪B＝A，∴B?A，
∴分B＝?和B≠?两种情况讨论．
①当B＝?时，k＋1>2k－1，∴k<2.
②当B≠?，则根据题意如图所示：

人教版高中数学必修一教材用书
页 42

k＋1≤2k－1，
?
?
根据数轴可得
?
－3?
?
2k－1≤4，
5
解得2≤k≤.
2


5
??
综合①②可得k的取值范围是
?
k|k≤
2
?
.
??
[类题通法]
并集、交集的性质应用技巧
对于涉及集 合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A∪B＝A，则B?A，反之也
成立；若A∩B＝B，则 B?A，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解．
[活学活用]
把本例中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．


解：∵A∩B＝A，∴A?B.
又∵A＝{x|－3??
k＋1≤－3，
由数轴(如图所示)可知
?
解得k∈?，
?
2k－1≥4，
?


即当A∩B＝A时，k的取值范围为?.


2.含字母的集合运算忽视空集或检验

[典例] (1)已知M＝{2，a
2
－3a＋5,5}，N＝{1，a
2
－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则 a的
值是( )
A．1或2
C．2
B．2或4
D．1
(2)已知集合A＝{x|x
2
－3x＋2＝0}，B＝{x|x< br>2
－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值
人教版高中数学必修一教材用书
页 43

范围为________．
[解析] ( 1)∵M∩N＝{2,3}，∴a
2
－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1, 5,3}，M
＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合 题意．
(2)由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，
∴当B＝?时，(－2)
2
－4(a－1)<0，解得a>2；
当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；
当2∈B时 ，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a的取
值范围是{a |a≥2}．
[答案] (1)C (2){a|a≥2}
[易错防范]
1．本 例(1)中的M∩N＝{2,3}有两层含义：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N只
有这两个 公共元素．因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．
2．在本例(2)中，A∩B＝B?B?A，B可能为空集，极易被忽视．
[成功破障] < br>设集合M＝{x|－2范围为________．

1
解析：由M∩N＝N，得N?M. 故当N＝?，即2t＋1≤2－t，t≤时，M∩N＝N成立；
3
当N≠?时，由图得

2－t<2t＋1，
?
?
?
2t＋1≤5，
?< br>?
2－t≥－2，

1
解得3
综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}．
答案：{t|t≤2}

[随堂即时演练]
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页 44

1．已知表示集合M＝{－1,0,1}和P＝{0,1,2,3}关系 的Venn图如图所示，则阴影部分表
示的集合是( )

A．{0,1}
C．{－1,2,3}
B．{0}
D．{－1,0,1,2,3}
解析：选A 由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是M∩P，因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，所以M∩P＝{－1,0,1}∩{0,1,2,3}＝{0,1}．
5
??
0＜x＜，x∈Z
?
，如果M∩N≠?，则a等于( ) 2．已知集合M＝{a,0}，N＝
?
x
?
2
?
??

A．1
C．1或2
B．2
5
D.
2
??
5
??
0＜x＜，x∈Z
?
＝{1,2}， 解析：选C ∵N＝
?
x
?
2
?
又∵M＝{a,0}，M∩N≠?，
∴a＝1或a＝2.
3．若集合A＝{x|－1________.
解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}．


答案：R {x|4≤x<5}
4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且 A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可 知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在
表示1的点的左边，所以a≤1.
答案：{a|a≤1}
5．设集合A＝{2，－1，x
2
－x＋1}，B＝ {2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，
求实数x，y的值及A∪B.
解：由已知A＝{2，－1，x
2
－x＋1}，
B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C得：
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页 45

7∈A,7∈B且－1∈B，
∴在集合A中x
2
－x＋1＝7，
解得x＝－2或3.
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，
又∵2∈A，故2∈A∩B＝C，
但2?C，故x＝－2不合题意，舍去．
当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7.
1
故有2y＝－1，解得y＝－，
2
经检验满足A∩B＝C.
1
综上知，所求x＝3，y＝－.
2
此时，A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}，
故A∪B＝{－4，－1,2,7}．
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|x≥－1}
C．{x|0＜x≤2}
B．{x|x≤2}
D．{x|－1≤x≤2}
解析：选A 借助数轴可知A∪B＝{x|x≥－1}．

2．设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于( )
A．S∩T
C．?
B．S
D．T
解析：选B ∵(S∩T)?S，∴S∪(S∩T)＝S.
3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a
2
}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0
C．2
B．1
D．4
解析：选D ∵A∪B＝{0,1,2，a，a
2
}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a
2
}＝{4,16}，∴a＝4.
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页 46

4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2}
C．{2,5}
解析：选D ∵A∩B＝{2}，
∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，
∴a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}．
∴A∪B＝{1,2,5}．
5．如图所示 的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，则阴影部分表示的集合为
( )
B．{1,5}
D．{1,2,5}

A．{x|0＜x＜2}
B．{x|1＜x≤2}
C．{x|0≤x≤1，或x≥2}
D．{x|0≤x≤1，或x＞2}
解析：选D 因为A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B ＝{x|x≥0}，阴影部分为A∪B中除去A∩B
的部分，即为{x|0≤x≤1，或x＞2}．
二、填空题
6．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数为________．
解析：∵M∪{1}＝{1,2,3}，∴M＝{1,2,3}或{2,3}，即M的个数为2.
答案：2
7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两 项运动
都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设 所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5
＝30－8 ?x＝12.
答案：12

8．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x ＜a}，若A∩B≠?，则a的取值范围是____________．
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页 47

解析：由图可知，若A∩B≠?，则a＞－1，即a的取值范围为{a|a＞－1}．

答案：{a|a＞－1}
三、解答题
?
1
?
9．已知S＝{x|2x
2
－px＋q＝0}，T＝{x|6x
2
＋(p＋2 )x＋q＋5＝0}，且S∩T＝
?
2
?
，求S∪
??
T.
?
1
?
解：∵S∩T＝
?
2
?
，
??
11
∴∈S，且∈T.
22
??
?
p－2q －1＝0，
?
p＝－7，
因此有
?
?
?

??
?
p＋2q＋15＝0
?
q＝－4.
?
1
?< br>从而S＝{x|2x
2
＋7x－4＝0}＝
?
2
，－4
?
.
??
?
11
?
T＝{x|6x
2
－5x＋1＝0}＝
?
2
，
3
?
.
??
?
1
??
11
??
11
?
∴S∪T＝
?< br>2
，－4
?
∪
?
2
，
3
?
＝
?
2
，
3
，－4
?
.
??????

10．集合A＝{x|－1(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．
解：(1)如下图所示，A＝{x|－1
∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)，
∴a≤－1，即a的取值范围为{a|a≤－1}．
(2)如下图所示，A＝{x|－1
∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间(含点x＝1，但不含点x＝－1)，
∴－1
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页 48

11．已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x<－1，或x>5}．若A∪B＝R，求a的取值范 围．
解：在数轴上标出集合A，B，如图．

?
?
a＋8≥5，
要使A∪B＝R，则
?

?
?
a<－1，
解得－3≤a＜－1.
综上可知，a的取值范围为{a|－3≤a＜－1}．
12．已知A＝{x|x
2< br>－ax＋a
2
－19＝0}，B＝{x|x
2
－5x＋6＝0}，C＝ {x|x
2
＋2x－8＝0}，且?
(A∩B)，A∩C＝?，求a的值．
解：B＝{x|x
2
－5x＋6＝0}＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2,3}，C ＝{x|x
2
＋2x－8＝0}＝{x|(x－
2)(x＋4)＝0}＝{2，－4} ，∵A∩B≠?，A∩C＝?，∴3∈A，将x＝3代入x
2
－ax＋a
2
－ 19＝0得：
a
2
－3a－10＝0，解得a＝5或－2.
当a＝5时，A＝{x|x
2
－5x＋6＝0}＝{2,3}与A∩C＝?矛盾；
当a＝－2时，A＝{x|x
2
＋2x－15＝0}＝{3，－5}符合题意．
综上a＝－2.
第二课时 补集及综合应用


全 集
[导入新知]
全集的定义及表示
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全
集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
[化解疑难]
对全集概念的理解
“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例
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页 49

如：我们常把实数 集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作
全集.



补 集
[提出问题]
A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{ 高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)
班的同学}．
问题1：集合A，B，U有何关系？
提示：U＝A∪B.
问题2：集合B中元素与集合U和A有何关系？
提示：集合B中元素在集合U中，不在集合A中．
[导入新知]
补集的概念及性质
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所
文字语言
[来源:][来源:Z*xx *]
有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补
集，简称为集合A的补集，记作?
U
A
[
来源
:][
来源
:
学
*
科
*
网
Z*X*X*K]

定义
[来源:学科网ZXXK]

符号语言 ?
U
A＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言

(1)?
U
A?U；(2)?
U
U＝?，?
U
?＝U；
性质 (3)?
U
(?
U
A)＝A；
(4)A∪(?
U
A)＝U；A∩(?
U
A)＝?
[化解疑难]
理解补集应关注三点
(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是 集合之间的一种运算．求集合A的补集的前
提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也 是不同的，因此，它们是互
相依存、不可分割的两个概念．
(2)?
U
A包 含三层意思：①A?U；②?
U
A是一个集合，且?
U
A?U；③?
U
A是由U中所有
不属于A的元素构成的集合．
(3)若x∈U，则x∈A或x∈?
U
A，二者必居其一．
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页 50

补集的运算
[例1] (1)(全国丙卷)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝ {4,8}，则?
A
B＝( )
A．{4,8}
C．{0,2,6,10}
B．{0,2,6}
D．{0,2,4,6,8,10}
(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或22
－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则
?
U
A＝________，?
U
B＝________.
[解析] (1) ∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴?
A
B＝{0,2,6,10 }．
(2)法一：在集合U中，
∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又∵A＝{x|x
2
－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴?
U
A＝{－5，－4,3,4}，?
U
B＝{－5，－4,5}．
法二：可用Venn图表示．

则?
U
A＝{－5，－4,3,4 }，?
U
B＝{－5，－4,5}．
答案：(1)C (2){－5，－4,3,4} {－5，－4,5}
[类题通法]
求补集的方法 求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，
由所有剩下的 元素组成的集合即为A的补集．
[活学活用]
已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}， ?
U
A＝{2,4,6}，?
U
B＝{1,4,6}，求集合B.
解：∵A＝{1,3,5,7}，?
U
A＝{2,4,6}，
∴U ＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∵?
U
B＝{1,4,6}，
∴B＝{2,3,5,7}.
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页 51

集合的交、并、补的综合运算
[例2] 已知全集U＝{x| x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，
(?
U< br>A)∪B，A∩(?
U
B)，?
U
(A∪B)．
[解] 如图所示．

∵A＝{x|－2U＝{x|x≤4}，
∴?
U
A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
?
U
B＝{x|x<－3，或2A∩B＝{x|－2故(?
U
A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩(?
U
B)＝{x|2?
U
(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．
[类题通法]
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举 出来，然后结合交集、并集、
补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理 起来，相对来说比
较直观、形象且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助 数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后
进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题 ．
[活学活用]
已知全集U＝{x|x<10，x∈N
*
}，A＝{2, 4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求?
U
(A∪B)，?
U
(A∩B )，(?
U
A)∩(?
U
B)，(?
U
A)∪(?
U
B)．
解：∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，
U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴?
U
(A∪B)＝{6,7,9}．
∵A∩B＝{5,8}，
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页 52

∴?
U
(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
∵ ?
U
A＝{1,3,6,7,9}，?
U
B＝{2,4,6,7,9}，
∴(?
U
A)∩(?
U
B)＝{6,7,9}，
(?
U
A)∪(?
U
B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
说明：作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．

补集的综合应用
[例3] 设全集U＝R，M＝{x|3a的取值范围．
[解] 解：?
U
P＝{x|x<－2，或x>1}，
∵M?
U
P，
?
U
P，求实数a
∴分M＝?，M≠?两种情况讨论．
①M≠?时，如图可得

?
?
3a<2a＋5，
?
3a<2a＋5，
?
或
?

?
3a≥1.
??
2a＋5≤－2
71
∴a≤－或≤a<5.
23
②M＝?时，应有3a≥2a＋5，∴a≥5.


综上可知，a的取值范围是
[类题通法]
.
利用补集求参数应注意两点
(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要
忘掉 空集的情形．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
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页 53

[活学活用]
已知集合A＝{x|x0 }．若A∩(?
R
B)＝?，求实数a的取值范围．
解：∵B＝{x|x<－1，或x>0}，
∴?
R
B＝{x|－1≤x≤0}，
因而要使A∩(?
R
B)＝?，结合数轴分析(如图)，
可得a≤－1.

即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．


1.补集思想的综合应用

[典例] (12分)已知集合A＝{x|x
2< br>－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求实数
m的取值范围．
[解题流程]


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页 54

[活学活用]
已知集合A＝{x|2m－1?？若存在，求实数m的 取值范围；若不存在，请说明理由．
解：先求A∩B＝?，分A＝?和A≠?讨论：
①若A＝?，则2m－1≥3m＋2，解得m≤－3，
此时A∩B＝?.
②若A≠?，要使A∩B＝?，则应有
2m－1<3m＋2，
?
?
?
2m－1≥－2，
?
?
3m＋2≤5，

m>－3，?
?
即
?
m≥－
1
，
2
?
?
m≤1.

1
所以－≤m≤1.
2
综上，当A∩B＝?时 ，m的取值范围是
又因为U＝R，所以当A∩B≠?时，m的取值范围是

所以A∩B≠?时，实数m的取值范围是
.


[随堂即时演练]
1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,6}，B＝{2,3,5}，则(?U
A)∩B＝( )
A．{3,5}
C．{1,2,3,5}
B．{4,6}
D．{1,2,4,6}
解析：选A ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,6}，
∴?
U
A＝{1,3,5}．又∵B＝{2,3,5}，
∴(?
U
A)∩B＝{3,5}．
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页 55

2．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )

A．A∩B
C．B∩(?
U
A)
B．A∪B
D．A∩(?
U
B)
解析：选C 由题图可知，阴影部分所表示的集合为B∩(?
U
A)．
3．已知集合A＝{3,4 ，m}，集合B＝{3,4}，若?
A
B＝{5}，则实数m＝________.
解析：∵?
A
B＝{5}，∴5∈A，且5?B.
∴m＝5.
答案：5
4．已知全集U＝R，M＝{x|－1U
N＝{x |0解析：∵U＝R，?
U
N＝{x|0∴N＝{x|x≤0，或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1＝{x|x<1，或x≥2}．
答案：{x|x<1，或x≥2}
5．设U＝R，已知集合A＝{x|－5(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(?
U
B)；
(4)B∩(?< br>U
A)；(5)(?
U
A)∩(?
U
B)．
解：如图(1)．
(1)A∩B＝{x|0≤x＜5}．
(2)A∪B＝{x|－5
(3)如图(2)．
?
U
B＝{x|x<0，或x≥7}，
∴A∪(?
U
B)＝{x|x<5，或x≥7}．
(4)如图(3)．
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页 56

(3)
?
U
A＝{x|x≤－5，或x≥5}，
B∩(?
U
A)＝{x|5≤x＜7}．
(5)法一：∵?
U
B＝{x|x<0，或x≥7}，
?
U
A＝{x|x≤－5，或x≥5}，画数轴如下图，

∴(?
U
A)∩(?
U
B)＝{x|x≤－5，或x≥7}． 法二：(?
U
A)∩(?
U
B)＝?
U
(A∪B)＝{ x|x≤－5，或x≥7}．
[课时达标检测]
一、选择题
1．设全集U＝{1 ,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(?
U
A)∩(?
U
B)＝( )
A．?
C．{1,5}
B．{4}
D．{2,5}
解析：选A ∵?
U
A＝{2,4}，?
U
B＝{1,3}，
∴(?
U
A)∩(?
U
B)＝?，故选A.
2．若全集U＝{1,2,3,4,5}，?
U
P＝{4,5}，则集合P可以是( )
A．{x∈N
*
||x|＜4}
B．{x∈N
*
|x＜6}
C．{x∈N
*
|x
2
≤16}
D．{x∈N
*
|x
3
≤16}
解析：选A 由题意得P ＝{1,2,3}．又因为选项A化简得{1,2,3}，选项B化简得{1,2,3,4,5}，
选项 C化简得{1,2,3,4}，选项D化简得{1,2}，故选A.
3．设集合U＝{－1,1,2, 3}，M＝{x|x
2
－5x＋p＝0}，若?
U
M＝{－1,1}，则实数 p的值为( )


A．－6
C．4
B．－4
D．6
解析：选D 由已知可得M＝{2,3}，则2,3是方程x
2
－5 x＋p＝0的两根，则p＝6，故
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页 57

选D.
4．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则( )
A．(?
U
M)?(?
U
N)
B．M?(?
U
N)
C．(?
U
M)?(?
U
N)
D．M?(?
U
N)
解析：选C ∵M∩N＝N，∴N?M，
∴(?
U
M)?(?
U
N)．
5．已知全集U＝{1,2 ,3,4,5}，集合A＝{x|x
2
－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则 集合
?
U
(A∪B)中元素的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选B A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，∴?
U
(A∪B)＝{3,5}，故选B.
二、填空题
6．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(?U
B)＝________.
解析：∵U＝R，B＝{x|x>1}，
∴?
U
B＝{x|x≤1}．
又∵A＝{x|x>0}，
∴A∩(?
U
B)＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0答案：{x|07．已知集合A＝{x|xR
B)＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：∵B＝{x|1R
B＝{x|x≤1或x≥2}．
又∵A∪(?
R
B)＝R，A＝{x|x观察?
R
B与A在数轴上表示的区间，如图所示：

可得当a≥2时，A∪(?
R
B)＝R.
答案：{a|a≥2}
8．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1 人教版高中数学必修一教材用书
页 58

________(用A，B或其补集表示)．


解析：如图所示，

由图可知C??
U
A，且C?B，
∴C＝B∩(?
U
A)．
答案：B∩(?
U
A)
三、解答题
9．设全集U＝R，M＝{x|3a＜x＜2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1 }，若M
取值范围．
解：?
U
P＝{x|x＜－2或x＞1}，
∵M?
U
P，
?
U
P，求实数a的
∴分M＝?，M≠?，两种情况讨论．
(1)M≠?时，如图可得
?
?
3a＜2a＋5，
?
< br>?
2a＋5≤－2，
?
?
?
3a＜2a＋5，
或?

?
?
3a≥1，

71
∴a≤－，或≤a＜5.
23
(2)M＝?时，
应有3a≥2a＋5?a≥5.
71
综上可知，a≤－，或a≥.
23< br>10．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3(1)求A∪B，(?
R
A)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
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页 59

解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3所以A∪B＝{x|2≤x<10}．
因为A＝{x|2≤x<7}，
所以?
R
A＝{x|x<2，或x≥7}，
则(?
R
A)∩B＝{x|7≤x<10}．
(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x2，
所以a的取值范围为{a|a>2}．

11．设全集I＝R，已知集合M＝{x| (x＋3)
2
≤0}，N＝{x|x
2
＋x－6＝0}．
(1)求(?
I
M)∩N；
(2)记集合A＝(?
I
M) ∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实
数a的取值范围．
解：(1)∵M＝{x|(x＋3)
2
≤0}＝{－3}，
N＝{x|x
2
＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∴?
I
M＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴(?
I
M)∩N＝{2}．
(2)A＝(?
I
M)∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，
∴B?A，
∴B＝?或B＝{2}，
当B＝?时，a－1>5－a，
∴a>3；
?
?
a－1＝2，
当B＝{2}时，
?

?
?
5－a＝2，
解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
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页 60

12．已知全集U＝{小于10的正整数 }，A?U，B?U，且(?
U
A)∩B＝{1,8}，A∩B＝{2,3}，
(?< br>U
A)∩(?
U
B)＝{4,6,9}．
(1)求集合A与B； < br>(2)求(?
R
U)∪[?
Z
(A∩B)](其中R为实数集，Z为整 数集)．
解：由(?
U
A)∩B＝{1,8}，知1∈B,8∈B；
由(?
U
A)∩(?
U
B)＝{4,6,9}，
知4,6,9?A，且4,6,9?B；
由A∩B＝{2,3}，知2,3是集合A与B的公共元素．
因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
所以5∈A,7∈A.
画出Venn图，如图所示．

(1)由图可知A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,8}．
(2)(?
R
U)∪[?
Z
(A∩B)]＝{x|x∈R，且x≠2，x≠3}．
1.2函数及其表示
1．2.1 函数的概念

函数的概念
[提出问题]
某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用 时间t(s)的平方成
1
正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt
2
， 其中g取9.8 ms
2
.
2
问题1：时间t和物体下落的距离s有何限制？
提示：0≤t≤3,0≤s≤44.1.
问题2：时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？
提示：确定．
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页 61

问题3：下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？
提示：不能．
[导入新知]
函数的有关概念
设A，B是非空的数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中任意一
函数的概念 个数x ，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为
从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
定义域
值域
y＝f(x)，x∈A
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域
[化解疑难]
理解函数的概念应关注五点
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集 ，即A，B中的元素只能
是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的 函数是不存
在的．
(2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A，但函数的值域 不一定是非空数
集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性 、唯一性，即对于非空数集A中的任意一
个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯 一性)的元素y与之对应．这三性只
要有一个不满足，便不能构成函数．
(4)y＝f(x) 仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．
区 间
[导入新知]
区间的概念及表示
定义
{x|a≤x≤b}
{x|a≤x{x|a{x|a{x|x≥a}
{x|x>a}
名称
闭区间
半开半闭区间
半开半闭区间
开区间
半开半闭区间
开区间
符号
[a，b]
[a，b)
(a，b]
(a，b)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
数轴表示






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页 62

{x|x≤a}
{x|xR
[化解疑难]
半开半闭区间
开区间
开区间
(－∞，a]
(－∞，a)
(－∞，＋∞)



1．理解区间概念的注意点
(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；
(2)区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；
(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；
(4)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立．
2．关于无穷大的两点说明
(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．






函数的判断
[例1] (1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是( )

(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？
①f：把x对应到3x＋1；
②g：把x对应到|x|＋1；
1
③h：把x对应到
x
；
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页 63

④r：把x对应到x.
[解] (1)选D y是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之
对应．图象A，B ，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定
的y和它对应．但图象D不是 ，它表示的对应关系中，对于自变量x，大多都有两个函数值
和它对应，不符合函数的定义．
(2)①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x
＋1都有 唯一确定的值与之对应．如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应．
同理，②也是实数集R上的一个函数．
1
③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在．
x
④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，x的值不存在．
[类题通法]
1．判断所给对应是否为函数的方法
(1)首先观察两个数集A，B是否非空；
( 2)其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，即不能没有数y
对应数x，也不 能有多于一个的数y对应x.
2．根据图形判断对应是否为函数的方法步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3) 若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以
上的交点，则不是函 数．
[活学活用]
在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是( )
x
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝；
3< br>②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y
2
＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x
2
＋y
2
＝25；
④A＝R，B＝R，对应关系f：x→y＝x
2
；
⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.
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页 64

A．①⑤⑥
C．②③④
B．②④⑤⑥
D．①②③⑤
解析：选D ①在对应关系f 下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它
对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关 系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，
所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数 (除去5与－5外)在B中有两个数
与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确 定y是x的函数．④⑥
显然满足函数的特征，y是x的函数．
求函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域：
?x＋1?
2
(1)y＝－1－x；
x＋1
(2)y＝
5－x
.
|x|－3
?
?
x＋1≠0，
[解] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
?
解得x≤1且x≠－1，
?
?
1－x≥0，
即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．

?
?
5－x≥0，
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满 足
?
解得x≤5且x≠±3，
?
|x|－3≠0，
?
即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．



[类题通法]
求函数的定义域应关注四点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分
母不为0；② 偶次根式的被开方数非负；③y＝x
0
要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的 和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得
各式子都有意义的公共部分的集合．
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页 65

(4) 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，
而应该用并集符号“ ∪”连接．
[活学活用]
求下列函数的定义域：
(1)y＝
(3)y＝
－x
； (2)y＝x－1·1－x；
2x－3x－2
2
3
； (4)y＝(x－1)
0
＋
1－1－x
2
.
x＋1
?
?
?
x≤0，
?
－x≥0，
解：(1)
?
?
?

12
?
?
?
2x－3x－2≠0
?
x≠2且x≠－
2
，


?
1
?
x≤0，且x≠－
?
. ∴函数的定义域为
?
x
?
2
?
??

?< br>?
x－1≥0，
(2)
?
?x＝1.∴函数的定义域为{1}． ?
?
1－x≥0
?
?
x≠0，
?
1－1－x≠ 0，
(3)
?
?
?

?
x≤1.
?
?
1－x≥0



∴函数的定义域为{x|x≤1，且x≠0}．
?
2
≥0，
(4)
?
x＋1
?
x＋1≠0，
x－1≠0，

解得x＞－1，且x≠1.
∴函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠1}．
求函数值和值域
[例3] 已知f(x)＝
1
(x∈R，且x≠－1)，g (x)＝x
2
＋2(x∈R)．
1＋x
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(x)，g(x)的值域．
1
[解] (1)∵f(x)＝
，
1＋x
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页 66

∴f(2)＝
1
＝.
1＋2
3
1
又∵g(x)＝x
2
＋2，
∴g(2)＝2
2
＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝
11
＝.
1＋6
7
(3)f(x)＝
1
的定义域为{x|x≠－1}，
x＋1
∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
g(x)＝x
2
＋2的定义域为R，最小值为2，
∴值域是[2，＋∞)．
[类题通法]
求函数值域的方法
求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：此方法是 求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直
接看出其值域的方法；
(3 )分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的
形式，便于求值域 ；
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±cx±d)，通过换元把它们转化为有理
函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
[活学活用]
求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x
2
－2x＋3，x∈[0,3)；
2x＋1
(3)y＝；
x－3
(4)y＝2x－x－1.
解：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值
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页 67

域为{2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x
2
－2x＋3＝(x－1)
2
＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得
函数的值域为[2,6)．
2x＋12?x－3?＋7
77
(3)(分离常 数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2.故函数的值
x－3x－3x－3x－3
域为(－ ∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)(换元法)设t＝
1
15
t－
?
2
＋，x－1，则t≥0且x＝t
2
＋1，所以y＝2(t
2
＋1)－t＝2
?
?
4
?
8
由t≥0，
15，＋∞
?
. 再结合函数的图象[如图(2)]，可得函数的值域为
?
8
??



3.相等函数的判断

[典例] 下列各组函数：
x
2
－x
①f(x)＝
x
，g(x)＝x－1；
xx
②f(x)＝
x
，g(x)＝；
x
③f(x)＝x＋1·1－x，g(x)＝1－x
2
；
④f(x)＝?x＋3?
2
，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程 与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝
80x(0≤x≤5)．
其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)．
[解析] ①不是相等函 数，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.②不是
相等函数，对应法则 不同，f(x)＝
1
，g(x)＝x.③是相等函数，定义域、对应法则都相同．④
x
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页 68

不是相 等函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤是相等函数，定义域、对应法则都相同．
[答案] ③⑤
[易错防范]
1．若只注意对应关系，忽视定义域，则易误认为① 中f(x)与g(x)是同一函数，从而导致
解题错误．
2．若认为不同的字母表示的函数是 不同的函数，则会误认为⑤中的两个函数是不同的，
从而导致解题错误．
3．讨论函数是否为 同一函数问题时，要保持定义域优先的原则，判断两个函数是否相
等，要先求定义域，若定义域不同，则 不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对
应关系是否相同．
[成功破障]
与函数y＝x＋1相等的函数是( )
x
2
－1
A．y＝
x－1
C．y＝x
2
＋2x＋1
B．y＝t＋1
D．y＝(x＋1)
2

解析：选B 选项A，D与原函数的定义域不同，选 项C与原函数的对应关系不同，选
项B与原函数定义域、对应关系都相同，故选B.

[随堂即时演练]
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
x
2
－9
A．y＝与y＝x＋3
x－3
B．y＝x
2
－1与y＝x－1
C．y＝x
0
(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
解析：选C 选项A中两函数的定义域不同；选项B，D中两函数的对应关系不同．
2．下列图形(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)中，表示y是x的函数的是( )

解析：选D 根据函数的定义，对于非空数集A中每一个确定的x值，非空数集B中都
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页 69

有唯一确定的y值与之对应，只有图形D符合函数的定义．
3．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3){x|x>－1，且x≠2}＝________.
答案：(1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)



4．函数y＝2x＋41－x的值域为________(用区间表示)．
解析：令t＝
y＝2x＋4
1－x，则x＝1－t
2
(t≥0)，
1－x＝2－2t
2
＋4t＝－2(t－1)
2
＋4.
又∵t≥0，∴当t＝1时，y
max
＝4.
故原函数的值域是(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
1－x
5．若f( x)＝(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f(f(2))的值．
1＋x
1－01－1
解：f(0)＝＝1，f(1)＝＝0，
1＋01＋1
1－?1－a?
a
f(1－a)＝＝(a≠2)，
1 ＋?1－a?2－a
1－2
1－
1＋2
1－f?2?
f(f(2)) ＝＝＝2.
1＋f?2?1－2
1＋
1＋2
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x|
C．f(x)＝x＋1
解析：选C 验证C，f(x)＝x＋1.
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页 70

B．f(x)＝x－|x|
D．f(x)＝－x

∵f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，
∴f(2x)≠2f(x)，即f(x)＝x＋1不满足f(2x)＝2f(x)，故选C.
2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( )
A．f(x)＝x＋1·x－1，
g(x)＝?x＋1??x－1?
B．f(x)＝(2x－5)
2
，g(x)＝2x－5
1－x1＋x
C．f(x)＝
2
，g(x)＝
2

x＋1x＋1
?x?
4
?
t
?
2
D．f(x)＝
x
，g(t)＝
?
t
?
解析：选D A中， f(x)＝x＋1·x－1的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝?x＋1??x－1?的
定义域为{ x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝(2x－5)
2
的定义域为
1－x
5
??
?
?
x
x≥
?
，g (x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝与
2
???
x
2
＋1

?x?
4
?
t
?
2
＝t(t>0)的定g(x)＝
2
的对应关系不同，不相等．D中，f( x)＝＝x(x>0)与g(x)＝
x
?
t
?
x＋1
义域与 对应关系都相同，它们相等．
3．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y |0≤y≤1}为值域的函数的图
象是( )
1＋x

解析：选C A中的值域不是[0,1]，B中的定义域不是[0,1]，D中的图形不是函数的图
象．
4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝x
1
C．y＝
x

B．y＝
1

x
D．y＝x
2
＋1
1
解析：选B y＝x的值域为[0 ，＋∞)，y＝
x
的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x
2
＋1的值域为[1，＋∞)．
人教版高中数学必修一教材用书
页 71

25
－，－4
?
，5．若函数y＝x
2
－3 x－4的定义域为[0，m]，值域为
?
?
4
?
则m的取值范围是( )
A．(0,4]
3
?
C.
?
?
2
，3
?

25
－，－4
?
B.
?
?
4
?
3
，＋∞
?
D.
?
?
2
?
解析：选C 当x＝0，x＝3时，y＝－4，
325
当x＝时，y＝－.
24
3
?
∴m∈
?< br>?
2
，3
?
，选C.
二、填空题
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
1
解析：由题意3a－1>a，得a>.
2
1
?
答案：< br>?
?
2
，＋∞
?



1
7．设f(x)＝，则f(f(x))＝________.
1－x
x－1
1
解析：f(f(x))＝＝＝
x
.
1
1－x－1
1－
1－x
1－x
1
答案：
x－1
(x≠0，且x≠1)
x
x－1
的定义域为R，则m的取值范围为________．
mx
2
＋x＋3
3
8．若函数f(x)＝
解析：要使原函数有意义，必须mx< br>2
＋x＋3≠0，由于函数的定义域是R，故mx
2
＋x＋3≠0
对一 切实数x恒成立．
当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意．
1
当m≠0时，有Δ＝1
2
－12m<0，解得m>.
12
1
??
m>
?
. 故综上可知，m的取值范围是
?
m
?
?
12
??

1
?
答案：
?
?
12
，＋∞
?

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页 72

三、解答题
9．(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x
2
＋1)的定义域；
(2)已知f(x＋1)的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域．
解：(1)∵函数f (x
2
＋1)中的x
2
＋1相当于函数f(x)中的x，∴0≤x
2
＋1≤1，
∴－1≤x
2
≤0，∴x＝0，
∴f(x
2
＋1)的定义域为{0}．
(2)∵f(x＋1)的定义域为[0,3]，
x＋1≤2， ∴0≤x≤3，∴1≤
∴f(x)的定义域为[1,2]．
10．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)
2
＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝(x－1)
2
＋1；
(3)f(x)＝
5x＋4
；
x－1
(4)f(x)＝x－x＋1.
解：(1)函数的定义域为{－1,0,1, 2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]
2
＋1＝5，同理可得f(0)＝2，
f (1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．


(2)函数的定义域为R，因为(x－1)
2
＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
5x＋4
9
(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{ y|y≠5}．
x－1x－1
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，
故函数的定义域是{x|x≥－1}．
设t＝x＋1，则x＝t
2
－1(t≥0)，
1
5
t－
?
2
－. 于是f(t)＝t
2
－1－t＝
?
?
2
?
4
5
又因为t≥0，故f(t )≥－.
4
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页 73

5
??
y≥－
?
. 所以函数的值域是
?
y
?
4
?
??


11．已知函数f(x)＝x
2
＋1，x∈R.
(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
解：(1)f(1)－f(－1)＝(1< br>2
＋1)－[(－1)
2
＋1]＝2－2＝0；
f(2)－f(－2 )＝(2
2
＋1)－[(－2)
2
＋1]＝5－5＝0；
f(3) －f(－3)＝(3
2
＋1)－[(－3)
2
＋1]＝10－10＝0.
(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：
由题意得f(－x)＝(－x)
2
＋1＝x
2
＋1＝f(x)，
∴对任意x∈R，总有f(x)＝f(－x)．
x
2
12．已知函数f(x)＝.
1＋x
2
1
??
1
?
的值； (1)求f(2)＋ f
?
，f(3)＋f
?
2
??
3
?
1?
(2)求证：f(x)＋f
?
?
x
?
是定值；
1
??
1
?
＋…＋f(2 017)＋f
?
1
?
的值． (3)求f(2)＋f
?
＋f (3)＋f
?
2
??
3
??
2 017
?
解：(1)∵f(x)＝，
1＋x
2
2
x
2
?
1
?
2
?
2
?
1
?
2
∴f(2)＋f
?
＝＋＝1，
?
2
?
1＋2
2
1
?
2
?
1＋
?
2
?
?
1
?
2
?
3
?
1
?
3
f(3)＋f
?
＝＋＝1.
?
3
?
1＋3
21
2
?
1＋
?
?
3
?
2
?< br>1
?
2
2
x
2
＋1
x
??
1
xx
1
?
(2)证明：f(x)＋f
?
?
x?
＝
1＋x
2
＋
?
1
?
2
＝
1＋x
2
＋
x
2
＋1
＝
x
2＋1
＝1.
1＋
?
x
?
2
1
?(3)由(2)知f(x)＋f
?
?
x
?
＝1，
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页 74

1
??
1
?
＝1， ∴f(2)＋f
?＝1，f(3)＋f
?
2
??
3
?
1
??1
?
＝1. f(4)＋f
?
＝1，…，f(2 017)＋f
?
4
??
2 017
?
1
??
1
?
＋…＋f(2 017)＋f
?
1
?
＝2 016. ∴f(2)＋f
?
＋ f(3)＋f
?
2
??
3
??
2 017
?
1．2.2 函数的表示法
第一课时 函数的表示法

函数的表示法
[提出问题]
(1)如图是我国人口出生率变化曲线：

(2)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离
氰化物浓度
50
0.678
100
0.398
200
0.121
300
0.05
500
0.01
问题1：实例(1)中的图能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，自变量是什么？
提示：能．表示出生率是年份的函数，其中年份为自变量．
问题2：实例(2)中的表格能表 示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，定义域是什么？
值域是什么？
提示：能．表示浓度 是距离的函数．其中，定义域为{50,100,200,300,500}，值域为
{0.678,0 .398,0.121,0.05,0.01}．
问题3：实例中的函数关系能否用解析式表示？
提示：不能．并不是所有的函数都有解析式．


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页 75

[导入新知]

[化解疑难]
三种表示方法的优、缺点比较

解
析
法
列
表
法
图
象
法

优 点
一是简明、全面地概括了变量间的关系；
二是可以通过解析式求出 任意一个自变
量所对应的函数值
不通过计算就可以直接看出与自变量的
值相对应的函数值
缺 点
不够形象、直观，而且并不是所有的函数
都可以用解析式表示
它只能表示自变量取较少的有限值的对
应关系
直观形象地表示出函数的变化情况，有利
于通过图形研究函数的某些性质
只能近似地求出自变量所对应的函数值，
有时误差较大

函数的表示方法
[例1] (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵
轴 表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )

(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．

x
1 2 3
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页 76

f(x)

2 3 1
[解析] (1) 由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后
来曲线比较平缓，又因纵轴表 示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
(2)由表格可知f(3)＝1，
故f(f(x))>f(3)，即f(f(x))>1.
∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.
[答案] (1)D (2)3或1
[类题通法]
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图象法、解析法均是函 数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满
足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函 数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际
操作中，仍以解析法为 主．
[活学活用]
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一 过程中汽车的
行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )

解析：选A 由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小．
速度由小变大时，路程曲线 上升得越来越快，曲线显得陡峭；匀速行驶中路程曲线上升
速度不变；速度由大变小时，路程曲线上升得 越来越慢，曲线显得平缓．
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
f(x)

x
g(x)
1
3
2
2
3
1
1
2
2
1
3
1
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页 77

(1)f(g(1))＝________；
(2)若g(f(x))＝2，则x＝________.
解析：(1)由表知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.
(2)由表知g(2)＝2，又因g(f(x))＝2，得f(x)＝2，
再由表知x＝1.
答案：(1)1 (2)1
函数图象的作法及应用
[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
2
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
x
(3)y＝x
2
＋2x，x∈[－2,2]．
[解] (1)列表：
x
y
0
1
1

2
2
1
3
3

2
4
2
5
当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．

(2)列表：
x
y
2
1
3
2

3
4
1

2
5
2

5
…
…
2
当x∈[2，＋∞)时，图象是 反比例函数y＝
x
的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]．
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页 78

(3)列表：

x
y

画图象，图象是抛物线y＝x
2
＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－
1,8]．
－2
0
－1
－1
0
0
1
3
2
8

[类题通法]
1．作函数图象的三个步骤
( 1)列表．先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值
f(x)，用表 格的形式表示出来．
(2)描点．把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在坐标平面上描出来．
(3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
[注意] 所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应该是关键处的点．
2．常见函数图象的画法技巧
(1)对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即得；
(2)对于二次函数的图象，描出与坐标轴的交点、顶点，连线即得．
[活学活用]
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页 79

作出下列函数图象：
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x
2
－4x－3(0≤x<3)．
解：(1)∵x∈Z且|x|≤2，
∴x∈{－2，－1,0,1,2}．
所以图象为一直线上的孤立点(如图①)．
(2)∵y＝2(x－1)
2
－5，∴当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.
所画函数图象如图②.



3.函数解析式的求法

[典例] (1)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式．
(2)已 知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[解] (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b
＝a
2
x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
∴a
2
x＋ab＋b＝4x＋8，
2
?
??
?< br>a＝2，
?
a＝4，
?
a＝－2，
即
?
解得
?
8
或
?

??
?
?
ab＋b＝ 8，
?
b＝－8.
?
b＝
3



8
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
3
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页 80

(2)设f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1 )
2
＋b(x＋1)＋1－(ax
2
＋bx＋1)＝2x.
整理得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式性质知上式中对应项系数相等，
?
?
2a＝2，
∴
?

?
a＋b＝0，
?
解得a＝1，b＝－1，
∴f(x)＝x
2
－x＋1.
[多维探究]
上例为“已知函数的 类型，求函数的解析式”的问题．解决此类问题的方法是待定系数
法，即引入参数设出函数的解析式，然 后利用条件确定所设的参数的具体值，即可求出其结
果．
对于函数解析式的求解还有如下几种类型，应注意掌握．
1．已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式
解决此类问题的方法为“直接代入法 ”．直接代入法主要解决已知f(x)的解析式，求
f(g(x))的解析式的问题，其解法为用g(x )替换f(x)解析式中的所有自变量x.
例：已知f(x)＝2x
2
＋1，求f(x＋1)的解析式．
解：因为f(x)＝2x
2
＋1，
所以f(x＋1)＝2(x＋1)
2
＋1＝2x＋4x＋3.
2．已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式
解决此类问题常见的方法有“整体代 入法”和“换元法”．“整体代入法”是把g(x)视
为一个整体，将f(g(x))的解析式转化为含 g(x)的表达式，然后直接整体代换g(x)，即可求出
解析式，此种方法不必求出x，可以减少运算 量．“换元法”是通过引入参数t进行式子的
变形，从而得到f(x)的表达式，这是解此类型题的通法 ．
例：求下列函数的解析式：
1＋x
?
1＋x
1
(1) 已知f
?
?
x
?
＝
x
2
＋
x，求f(x)；
(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)．
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页 81

2

解：(1)法一：(换元法)
1＋x
11
令t＝
x
＝
x
＋1，得x＝，则t≠1.
t－1
2
1＋x
?
1＋x
11
?
把x＝代入f
?
x
?
＝< br>x
2
＋
x
，得
t－1
f(t)＝
1
1＋
?
t－1
?
2
??
?
1
?
2
?
t－1
?
＋
1
＝(t－1)
2
＋1＋ (t－1)
1
t－1
＝t
2
－t＋1.
∴所求函数的解析式为
f(x)＝x
2
－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
法二：(配凑法)
?
1＋x
?
1＋x＋2x－2x
1∵f
?
＋
x

?
＝
x
2
?< br>x
?
?
1＋x
?
2
1＋x－x
＝
? ?
－
x

x
??
?
1＋x
?
2< br>1＋x
＝
??
－
x
＋1，
?
x
?
∴f(x)＝x
2
－x＋1.
1＋x
1
又∵＝＋1≠1，
xx
∴所求函数的解析式为f(x)＝x
2
－x＋1(x≠1)．
(2)法一：(换元法)
令x＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)
2
，
∴f(t)＝(t－1)
2
＋2?t－1?
2
＝t
2
－1.
2
∴f(x)＝x
2
－1(x≥1)．
法二：(配凑法)
∵x＋2x＝(x＋1)
2
－1，
∴f(x＋1)＝(x＋1)
2
－1.
人教版高中数学必修一教材用书
页 82

又∵x＋1≥1，∴f(x)＝x
2
－1(x≥1)．
1< br>?
3．已知的式子中含有f(x)，f
?
?
x
?
或f (x)，f(－x)形式的函数，求f(x)的解析式
1
解决此类问题的方法为“方程组法” ，即用－x替换x，或用
x
替换x，组成方程组进行
求解．
例：(1)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，求f(x)；
1
?
(2)已知f(x)－2f
?
?
x
?
＝3x＋2，求f(x)．
解：(1)在原式中以－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，
?
?
af?x?＋f?－x?＝bx，
于是得
?

?
af?－x?＋f?x?＝－bx.
?
bx
消去f(－x)，得f(x)＝ .
a－1
故f(x)的解析式为f(x)＝x.
a－1
b
1
?
13
(2)在原式中用
x
替换x，得f
?
－2f(x)＝
?
x
?
x
＋2，
?
－2f?x? ＝
3
＋2，
?
f
?
?
x
?
x于是有
?
?
1
?
＝3x＋2.f?x?－2f
?
?
x
?
1


1
?
2
消去f< br>?
，得f(x)＝－x－
?
x
?
x
－2.



[随堂即时演练]
1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看 着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡
了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已 晚，乌龟还是先到达
了终点．用s
1
，s
2
分别表示乌龟和兔子所行 的路程，t为时间，则下图中的s_t函数图象与故
事情节相吻合的是( )
人教版高中数学必修一教材用书
页 83

解析：选B 由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而乌龟的路程始终在增加
且比兔子早到终点，故选B.
2.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
解析：选C 由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． < br>3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)， (3,1)，
则f(f(3))的值等于________．

解析：据题图知f(3)＝1，∴f(f(3))＝f(1)＝2.
答案：2
4．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则3f(x＋1)＝3[k(x＋1)＋b]＝3kx＋3k＋3b＝6x＋4，
?
?
?
k＝2，
?
3k＝6，
所以
?
解得
?
2
3k＋3b＝4，
b＝－，
?
?
?
3
?



2
所以f(x)＝2x－.
3
人教版高中数学必修一教材用书
页 84

2
答案：2x－
3
5．(1)已知函数f(x)＝x
2
，求f(x－1)；
(2)已知函数f(x－1)＝x
2
，求f(x)．
解：(1)f(x－1)＝(x－1)
2
＝x
2
－2x＋1. (2)法一(配凑法)：因为f(x－1)＝x
2
＝(x－1)
2
＋2( x－1)＋1，所以f(x)＝x
2
＋2x＋1.
法二(换元法)：令t＝x－1， 则x＝t＋1，可得f(t)＝(t＋1)
2
＝t
2
＋2t＋1，即f(x) ＝x
2
＋2x
＋1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于( )
A．2x＋1
C．2x－3
B．2x－1
D．2x＋7
解析：选B ∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B. < br>2．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，
注满为止 ．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确
的有( )

A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
解析：选A 对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正
确，选A.
3．观察下表：
x
f(x)
g(x)
则f(g(3)－f(－1))＝( )

A．3 B．4
－3
4
1
－2
1
4
－1
－1
2
1
－3
3
2
3
－2
3
5
－4
人教版高中数学必修一教材用书
页 85

C．－3 D．5
解析：选B 由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，∴f(g(3)－f(－1))＝f(－3)＝4.
1
1
x－
?
＝x
2
＋
2
，则f( x)的表达式为( ) 4．已知x≠0，函数f(x)满足f
?
?
x
?< br>x
1
A．f(x)＝x＋
x

C．f(x)＝x
2

B．f(x)＝x
2
＋2
1
x－
x
?
2
D．f(x)＝
?
??< br>11
1
x－
?
＝x
2
＋
2
＝
?
x－
?
2
＋2， 解析：选B ∵f
?
?
x< br>?
x
?
x
?
∴f(x)＝x
2
＋2. 5．已知函数f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(1 2)＝( )
A．p＋q
C．p＋2q
B．2p＋q
D．p
2
＋q
解析：选B 由f(ab)＝f(a)＋f(b)，∴f(12)＝f(4)＋f(3)＝2f(2)＋f(3)＝2p＋q.
二、填空题
m
6．已知函数f(x)＝x－
x
，且此函数图象过点 (5,4)，则实数m的值为________．
m
解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－
x
，得m＝5.
答案：5
1
7．若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝______.
2
?
解析：由
?
1
f?－2?－f?2?＝－4，
?
2
?
?
2f?2?－f?－2?＝8，
得
?

1< br>?
?
f?－2?－
2
f?2?＝－4.
38
相加得f (2)＝4，f(2)＝.
23
8
答案：
3
1
f?2?－f?－2?＝4，
2



8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一
次函数 图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.
人教版高中数学必修一教材用书
页 86

解析：设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，
?
?
330＝30a ＋b，
代入点(30,330)与点(40,630)，得
?

?
?
630＝40a＋b，
?
?
a＝30，
解得
?

?
?
b＝－570.
即y＝30x－570，
若要免费，则y≤0，∴x≤19.
答案：19
三、解答题
9．已知f (x＋4)＋f(x－1)＝x
2
－2x，其中f(x)是二次函数，求函数f(x)的解析式 ．
解：设f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋4)＋f (x－1)＝a(x＋4)
2
＋b(x＋4)＋c＋a(x－1)
2
＋b(x －1)＋c＝x
2
－2x.
整理得2ax
2
＋(6a＋2b)x＋ (17a＋3b＋2c)＝x
2
－2x.


2a＝1，
?
?
∴
?
6a＋2b＝－2，
?
?
17a＋3b＋ 2c＝0，
151
∴f(x)＝x
2
－x－.
222
< br>?
?
5
解得
?
b＝－
2
，
1
?
c＝－
?
2
.
1
a＝，
2


10.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一
个边长为x的小正方形，然 后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体
积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．
解：由题意可知该盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，
∴此盒子的体积V＝(a－2x)
2
·x＝x(a－2x)
2
，
人教版高中数学必修一教材用书
页 87

??
a－2x>0，
a
其中自变量x应满足
?
即02
?
x>0，
?
a
0，
?
. ∴此盒子的 体积V以x为自变量的函数式为V＝x(a－2x)
2
，定义域为
?
?
2
?

11．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒 成立，且f(x)＝0的两个实数根
的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解 析式．
解：∵f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称．
于是，设f(x)＝a(x－2)
2
＋k(a≠0)，
则由f(0)＝3，可得k＝3－4a，
∴f(x)＝a(x－2)
2
＋3－4a＝ax
2
－4ax＋3.
∵ax
2
－4ax＋3＝0的两实数根的平方和为10，
6
22< br>∴10＝x
2
1
＋x
2
＝(x
1
＋x
2
)－2x
1
x
2
＝16－，
a
∴a＝1，∴f(x)＝x
2
－4x＋3.
b
12．某 企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y＝ax＋
x
.且当x＝2
时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．
(1)写出函数y关于x的解析式；
(2)用列表法表示此函数，并画出图象．

?
?
x＝2，
解：(1)将
?
?
y＝100，?

?
?
x＝7，
b
?
代入y＝ax＋
x
中，
?
y＝35，
?

?
2a＋
2
＝100，
得
?
b
7a＋
?
7
＝35
b
< br>??
?
4a＋b＝200，
?
a＝1，
?
?
?
?

??
?
49a＋b＝245
?
b＝196.

196
所以所求函数解析式为y＝x＋
x
(x∈N,0(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：
x
y
x
1
197
11
2
100
12
3
68.3
13
4
53
14
5
44.2
6
38.7
16
7
35
17
8
32.5
18
9
30.8
19
10
29.6
20 15
人教版高中数学必修一教材用书
页 88

y
28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8
依据上表，画出函数y的图象如图所示，由20个点构成的点列．

第二课时 分段函数与映射

分段函数
[提出问题]
某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5千米以内，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．
问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？
提示：有函数关系．
问题2：若有函数关系，函数的表达式是什么？
?
?
2， 0＜x≤5，
提示：y＝
?

?
?
3， 5＜x≤10.
问题3：x与y之间有何特点？
提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同．
[导入新知]
如果函数y ＝f(x)，x∈A，根据自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关
系，称这样的函数为分 段函数．
[化解疑难]
分段函数的三要点
(1)分段函数是一个函数，切不可把 它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各
段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段 函数自变量的取值范围．
(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写
人教版高中数学必修一教材用书
页 89

成几个集合的形式．
(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变 量的取值范围内的函数值的集合，
再求出它们的并集.
映 射
[提出问题]
A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}．
对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆．
问题1：从集合A到集合B能构成函数吗？
提示：不能．
问题2：从集合A到集合B的对应有什么特点？
提示：对于集合A中的任何一个三角形，在集合B中都有唯一的外接圆与之对应．
[导入新知]
映射的定义
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意
一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f ：A→B为从集合
A到集合B的一个映射．
[化解疑难]
映射与函数的区别与联系
名称

区别与联系
函数中的两个集合A和B必须是非空
数集
映射中的两个集合A和B可以是数
集，也可以是其他集合，只要非空
即可
函数 映射
区别
联系 函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推广，但不一定是函数

分段函数求值问题
x＋1，x≤－2，
?
?
2
[例1] 已知函数f(x)＝
?
x＋2x，－2?
?
2x－1，x≥2.


?
－
5
??
的值； (1)求f(－5)，f(－3)，f
?
f
??
2
??
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页 90

(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，
5
－∈(－∞，－ 2]，知f(－5)＝(－5)＋1＝－4，f(－3)＝(－3)
2
＋2×(－3)＝3－2 3.
2
55
33
－
?
＝
?
－
?
＋1＝－，且－2<－<2， ∵f
?
?
2
??
2
?
22
?
－
5
??
＝f
?
－
3
?
＝
?
－
3
?
2
＋2×
?－
3
?
＝
9
－3＝－
3
. ∴f
?
f
??
2
???
2
??
2
??
2
?
44
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．
当－22
＋2a＝3，即a
2
＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2，符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
[类题通法]
1．求分段函数的函数值的方法
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段 的解析式求值．当出现
f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止．
2．求某条件下自变量的值的方法
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检
验．
[活学活用]
4－x，x＞0，
?
?
已知函数f(x)＝
?
2，x＝0，
?
?
1－2x，x＜0.
(1)求f(f(－2)) 的值；
(2)求f(a
2
＋1)(a∈R)的值；
(3)当－4≤x＜3时，求f(x)的值域．
解：(1)∵f(－2)＝1－2×(－2)＝5，
∴f(f(－2))＝f(5)＝4－5
2
＝－21.
人教版高中数学必修一教材用书
页 91

2