高中数学必修1~5、选修2-1~2-3、选修4-4~4-5公式、定理

高中数学必修1~5、选修2-1~2-3、选修4-4~4-5公式、定理
1.集合
{a
1
,a
2
,?,a
n
}
的 子集个数共有
2
n
个真子集有
2
n
–1个非空子集有
2
n
–1个非空的真子集有
2
n
–2个.
2.常见结论的否定形式
原结论 反设词
是 不是
都是 不都是
大于 不大于
小于 不小于
对所有
x
， 存在某
x
，
成立 不成立
原结论 反设词
至少有一个 一个也没有
至多有一个 至少有两个
至少有
n
个 至多有（
n?1
）个
至多有
n
个
至少有（
n?1
）个

p
或
q

?p
且
?q


p
且
q

?p
或
?q

对任何
x
， 存在某
x
，
不成立 成立
3.偶函数 f(-x)=f(x) 奇函数f(-x)=-f(x)，f(0)=0，二次项系数为0
4.指数函数y=
a
x
(a>0,且a≠1) 3.对数函数y=
log
a
x
(a>0,且a≠1)
01
01
图

像

定义
域
值域
图

像
定义
域
值域


R
(0,+∞)
(0,+∞)
R
性 (1)过定点(0,1)，即x=0,y=1
质 (2)在R上是减函数 (2) 在R上是增函数

332233
性 (1)过定点(1,0)，即x=1,y=0
质 (2)在(0,+∞)是减函数 (2) 在(0,+∞)是增函数
22
5.
a?b?(a?b)(a?ab?b)

a?b?(a?b)(a?ab?b)

6.柱体、锥体、台体的体积公式：
V
柱体
=
S
h (
S
为底面积，
h
为柱体高)
V
锥体
=
V
台体
=
1
3
Sh
(
S
为底面积，
h
为柱体高)
1
3
(
S
’+
S'S
+
S
)
h
(
S
’,
S
分别为上、下底面积，
h
为台体高)
4
3
3
2
球体：
V
球体
=
πR

S
球体
=
4πR

7.两点P
1
(x
1
,y
1
) ,P
2
(x
2
,y
2
)间的距离公式：| P
1
P
2
|=
(x
2
?x
1
) ?(y
2
?y
1
)

点P
0
(x
0
,y
0
)到直线L：Ax+By+C=0的距离：
d
=
两 平行线间的距离：
d
=
|C
1
?C
2
|
A ?B
22
22
|Ax
0
?By
0
?C|
A ?B
22

空间两点P
1
(x
1
,y
1
, z
1
),P
2
(x
2
,y
2
, z
2
)间的距离公式：| P
1
P
2
|=
(x< br>2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1)
2
?(z
2
?z
1
)
2

8. P(x,y)关于点Q(a,b)对称，P`(2a-x,2b-y)
P(x,y)关于原点O(0,0)对称，P`(-x, -y)
P(x,y)关于点Q(a,y)对称，P`(2a-x, y)
P(x,y)关于点Q(x,b)对称，P`(x,2b-y)
9.向量平行的坐标表示 设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2,y
2
)
，且b
?
0，则a∥b(b
?
0)< br>?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
10. 平面向量的坐标运算
(1)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y2
)
，则
a
+
b
=
(x
1
? x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=< br>(x
2
,y
2
)
，则
a
-
b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(3)设
a
=
(x
1
,y
1< br>)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
·
b
=
(x
1
x
2
?y< br>1
y
2
)

11. 向量的平行与垂直
设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=< br>(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0，则：
b
=0
?x
1
x
2
?y
1
y2
?0
.
a
∥
b
?
b
=
?
a
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
a
?
b
(
a
?
0)
?

a
·
(
π?
?
)=
?sin
?
， cos(
π?
?
)=
?cos
?
， tan(
π?
?
)=tan
?

sin(
?
?
)=
?sin
?
， cos(
?
?
)=
cos
?
， tan(
?
?
)=
?tan
?

sin(
π?
?
)=
sin
?
， cos(
π?
?
)=
?cos
?
， tan(
π?
?
)=
?tan
?

sin(
ππππ
?
?
)=
cos
?
， cos(
?
?
)=
sin
?
， sin(+
?
)=
cos
?
， cos(+
?
)=
?sin
?

2222
(
?
?
?
)=cos
?
cos
?
+sin
?
sin
?
cos(
?
+
?
)= cos
?
cos
?
-sin
?
sin
?

Sin(
?
+
?
)=sin
?
cos
?< br>+cos
?
sin
?
Sin(
?
?< br>?
)=sin
?
cos
?
-cos
?
sin
?

tan
?
?tan
?
1?tan
?< br>tan
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
tan(
?
+
?
)= tan(
?
?
?
)=
2tan
?
1?tan< br>?
2
2
sin2
?
=2sin
?
cos?
cos2
?
=cos
2
?
-sin
2
?
=2cos
2
?
?1
=
1?2sin
?
tan2
?
=
tan
?
+tan
?
= tan(
?
+
?
)(
1?
tan
?
tan
?
) tan
?
-tan
?
= tan(
?
-
?
)(
1?
tan
?
tan
?
)
sin
2
?
2
=
1?cos
?
2
cos
2
?
2
=
2
1?cos
?
2
2
tan
2
a
?
2
=
1?cos
?
1?cos
?

14.辅助角公式：asinx+bcosx=< br>a?b
(
a?b
2222
22
sinx+
b
a?b
22
cosx)
15.余弦定理
c?a?b?2abcosC

a?b?c?2bccosA

b?c?a?2accosB

b?c?a
2bc
222
22222

cosA?
1
2

cosB?
1
2
c?a?b
2ca
222

cosC?
1
2
a?b?c
2ab
222


S?

absinC

S?bcsinA

S?casinB

16.等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)
；
等差数列的前n项和：
S
n
?
n(a
1
?a
n< br>)
2
a
1
q
n

S
n?na
1
?
n(n?1)
2
d

17.等比数 列的通项公式：
a
n
?a
1
q
n?1
?
n *
?q(n?N)

等比数列的前n项和：
S
n
?
18.椭圆：
焦点的位置


图形
a
1
(1?q)
1?q

S
n
?
a
1
?a
n
q
1?q
(q?1)

焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准方程
x
a
2
2

y
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
(
a
>
b
>0)
?
x
b
2
2
?1
(
a
>
b
>0)
顶点
轴长
焦点
离心率
(±
a
,0) (0, ±
b
) (±
b
,0) (0, ±
a
)
长轴长2
a
，短轴长2
b

(±
c
,0)
e?
c
a
(0, ±
c
)


19.双曲线：
标准方程
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
(
a
>0,
b
>0)
y
a
2
2
?
x
b2
2
?1
(
a
>0,
b
>0)


图形

几
何
顶点
轴长
(±
a
,0)
c
a

(0, ±
a
)
实轴长|A
1
A
2
|=2
a,虚轴长|B
1
B
2
|=2
b

e?
性
离心率
质
焦点
渐近线
(±
c
,0)
y??
b
a
x

>1
(0, ±
c
)
y??
a
b
x

20.抛物线： 21.导数公式：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
基本初等函数的导数公式

y?2px

2

(
p
2
,0)


x??
p
2
1.若f(x)=
c
(
c
为常数)，则f’(x)=0

2.若f(x)=
x
?
(
?
?Q*
)，则f’(x)=
?
x
?
?1

3.若f(x)=sinx，则f’(x)=cosx
(
p
>0)


p
2
,0)

x?
p
2
2
4.若f(x)=cosx，则f’(x)=sinx

5.若f(x)=
a
x
，则f’(x)=
a
x
ln
a

6.若f(x)=
e
x
，则f’(x)=
e
x

y??2px

(?
(
p
>0)


x
2

?2py

(0,
p
2
)


y??
p
2
7.若f(x)=
log

a
x
，则f’(x)=
1
x
1
xlna

(
p
>0)


x
2
8.若f(x)=lnx，则f’(x)=
瞬时速度


??2py

(0,?
p
2
)


y?
p
2
?
?s
?
(t)?lim?s
?t
?t?0
?lim
s(t??t)?s(t)
?t.
?t?0

瞬时加速度
a?v
?
(t)?lim
?v
?t
?t?0
(
p
>0)


?lim
v(t??t)?v(t)
?t
.
?t?0
22. 推理与证明
1.归纳推理：由部分到整体，由个别到一般
2.类比推理：由特殊到特殊 3.演绎推理：由一般到特殊的推理
23.排列组 合：
C
n?1
?C
n
?C
n
24.二项式定理：< br>T
k?1
?C
n
a
kn?k
mmm?1

二项式系数的和：
C
n
?C
n
?C
n
?????C
n
?2

2
b
k
012nn
?
?b
25.离散型随机变量的均值与方差：
E(aX?b)?aE(X)?b
D
?
a
?
?
若X服从两点分布，则
E(X)?p
，
D(X)?p(1?p)

若
X~B(n,p)< br>，则
E(X)?np
，
D(X)?np(1?p)

(x?< br>?
)
2
?
2
2
a
?
D
< br>26.正态分布：
?
?
,
?
(x)?
1
2π
?
?
e
，
X?(??,??)

?
?E(x)

?
?D(x)

P(
?
?
?
<
x?
?
?
?
)
=0.6 826
P(
?
?2
?
<
x?
?
?2?
)
=0.9544
P(
?
?3
?
<< br>x?
?
?3
?
)
=0.9974
27.统计案例：
R
越大，意味着残差平方和越小拟合的效果越好；
R
越接近于1表示回归效果 越好。
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
22

28.极坐标和直角坐标的互化：
222
x?
?
cos
?
，
y?
?
sin
?

?
?x?y，
tan
?
?
y
x
(x?0)

(< br>?
为参数)
x
29.圆
(x?a)
2
?(y?b)< br>2
?r
2
的参数方程可表示为
?
?
?a?rcos< br>?
,
.

?
y?b?rsin
?
.
经过点
M
O
(x
o
,y
o
)
，倾斜角为
?
的直线l的参数方程可表示为
?
x
30.基本不等式：
?x
o
?tcos
?
,
(t为参数)
?
?
y?y
o
?tsin
?
.
定理1：如果
a,b?R
，那么
a
2
?b
2
?2ab
，当且仅当
a?b时，等号成立。
定理2：如果
a,b?0
，那么
a?b
2?ab
,当且仅当
a?b
时，等号成立。
?
3
定理3 ：如果
a,b,c?R
?
，那么
31.绝对值不等式：
a?b?c
3
abc
，当且仅当
a?b?c
时，等号成立。
定理1：如果
a,b?R
，则
|a?b|?|a|?|b|
，当且仅 当
ab?0
时，等号成立。
定理2：如果
a,b,c?R
，那么< br>|a?c|?|a?b|?|b?c|
，当且仅当
(a?b)(b?c)?0
时 ，等号成立。
32.二维式的柯西不等式：
定理：若
a,b,c,d?R
，则
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
，当且仅当
ad?bc
时，等号成立。
一般形式的柯西不等式：
定理：设
a
1
,a
2
, a
3
,?,a
n
，
b
1
,b
2
, b
3
,?,b
n
是实数，则
(a
1
?a
2
???a
n
)(b
1
?b
2
???b
n
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?? ?a
n
b
n
)
,当且仅当。
2222222