(北师大版)高一数学必修1全套教案

(北师大版)高一数学必修1全套
教案

第一章 集合
课 题:§0 高中入学第一课 （学法指导）
教学目标： 了解高中阶段数学学习目标和基本能
力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考
意向，掌握 高中数学学习基本方法，激发学生学
习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安
排。
教学过程：
一、欢迎词：
1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一
级学 校深造。希望同学们能够以新的行动，
圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同
学们取得优异成 绩，实现宏伟目标。
2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐
劳、严肃认真、严格要求
3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定
一年，…
4、本节课和同学们谈谈几个问 题：为什么
要学数学？如何学数学？高中数学知识结

构？新课程标准的基本思路？本期数学教
学、活动安排？作业要求？
二、几个问题：
1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗
透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高 科
技应用的需要；生活实践应用的需要。
2.如何学数学：
请几个同学发表自己的看法 → 共同完善归
纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；
独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，
在学习中有的放矢，形成学习能力。
高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不
同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能
够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参
考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，
如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料.
3.高中数学知识结构：
书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必

修③、④），高二上 期（必修⑤、选修系列），
高二下期（选修系列），高三年级：复习资
料。
知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系
列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）
能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能
力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。
4.新课程标准的基本理念：
①构建共同基础，提供发展平台； ②提供
多样课程，适应个性选择； ③倡导积极主动、
勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思
维能力； ⑤发展学生的数学应用意识； ⑥与时
俱进地认识“双基”； ⑦强调本质，注意适度形
式化； ⑧体现数学的文化价值； ⑨注重信息技
术与数学课程的整合； ⑩建立合理、科学的评
价体系。
5.本期数学教学、活动安排：
本期学习内容：高一必修①、②，共72课时，

必修① 第一章13 课时(4+4+3+1+1)＋第二章14
课时(6+6+1+1)＋第三章9课时(3+4+1+1) ；必修
②第一章8课时（2+2+2+1+1）＋第二章10课时
（3+3+3+1）＋第三章 9课时（2+3+3+1）＋第四
章9课时（2+4+2+1）.
上课方式：每周新授5节，问题集中1节。
学习方式：预习后做节后练习；补充知识写在
书的边缘；
主要活动：学校、全国每年的数学竞赛；数学
课外活动（每期两次）。
6.作业要求： （期末进行作业评比）
① 课堂作业设置两本；② 提倡用钢笔书写，
一律用铅笔、尺规作图，书写规范；③ 墨迹、
错误用橡皮擦擦干净，作业本整洁；④ 批阅用
“？”号代表错误，一般点在错误开始处；⑤ 更
正自觉完成；⑥ 练习册同步完成，按进度交阅，
自觉订正；⑦ 当天布置，当天第二节晚自习之
前交（若无晚自习，则第二天早读之前交）。⑧ 每

次作业按A、B、C、D四个等级评定，分别得分
5、4、3、1 ，每本作业本完成后自行统计得分并
上交科代表审核、教师评定等级，得分90％～
98％为优 良等级，98％及以上为优秀等级；
三、了解情况：初中数学开课情况；暑假自学情
况；作图工具准备情况。


课题: §1.1集合的含义与表示（一）
一. 教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素
与集合的属于关系；
(2)知道常用数集及其专用记号；
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序
性；
(4)会用集合语言表示有关数学对象；
(5)培养学生抽象概括的能力.
2. 过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集

合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3. 情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习
的积极性.
二. 教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
教学过程：
一、新课引入：
集合是近代数学最基本的内容之一，
许多重要的数学分支都建立在集 合理论的
基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，
其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后
学习数学知识准备必要的条件。
二、讲授新课：
1.集合有关概念的教学：
考察几组对象：① 1～20以内所有的质数；

② 到定点的距离等于定长的所有点；③所有的
锐角三角形；④x, 3x+2, 5y-x, x+y；⑤东
2322
升高中高一级全体学生； ⑥方程
x
2
?3x?0
的所有实
数根；⑦ 隆成日用品厂2005年8月生产的所有
童车；⑧2005年1月,广东所有出生婴儿。
A.提问：各组对象分别是一些什么？有多少个
对象？（数、点、形、式、体、解、物、人）
B.概念：一般地，我们把研究对象统称为元素
（element）,把一些元素组成的总体叫 作集合
（set）（简称集）。
C.讨论集合中的元素的特征：
分析“好心的人” 与“1,2,1”是否构成集合？
→结论：对于一个给定的集合，集合中的元素是
确定的，是互 异的，是无序的。即集合元素三特
征。
确定性：某一个具体对象，它或者
是一个给定 的集合的元素，或者不是该
集合的元素，两种情况必有一种且只有

一种成立。
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素。
无序性：集合中的元素没有顺序。
D.分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：
不等式x-3>0的解；3的倍数；方程x
2
－2x＋1
＝0的解； a,b ,e,x,y,z；最小的整数；周长为
10cm的三角形；中国古代四大发明；全班每个
学生 的年龄；地球上的四大洋；地球的小河流
E. 集合相等：构成两个集合的元素是一样的.
2.集合的字母表示：
① 集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元
素用小写的拉丁字母表示。
② 如果a是集合A的元素，就说a属于(belong
to)集合A，记作：a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not
belong to)集合A，记作：a
?
A。
③ 练习：设B＝{1,2,3,4,5}，则5 B，0.5
B， 3 B， -1 B。

3.最常见的数集：
① 分别写出全体自然数、全体整数、全体有理
数、全体实数的集合。
② 这些数集是最重要的，也是最常见的，我们
用符号表示：N、Z、Q、R。
③ 正整数集的表示，在N右上角加上“*”号或
右下角加上“+”号。
④ 练习： 填∈或
?
：0 N，0 R，3.7 N，
3.7 Z，
?3
Q，
3?2
R
三.小结：①概念：集合与元素；属于与不属于；
②集合中元素三特征；③常见数集。
四、巩固练习： 1.口答：P5 思考；P6 1题。
2.思考：x∈R，则{3,x,x －2x}中元素x所应满
2
足的条件？(变：－2是该集合元素)
3.探究：A={ 1,2}，B={{1},{2},{1,2}}，则A与
B有何关系？试试举同样的例子

课 题:§1.2 集合的含义与表示（二）
教学要求：更进一步理解集合、元素等概念，掌
握集合的表示方法，会用适当的方法表示集合。
教学重点：会用适当的方法表示集合。
教学难点：选择恰当的表示方法。
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：集合概念？什么叫元素？集合中元素有
什么特征？集合与元素有何关系？
2.集合A={x＋2x＋1}的元素是 ，若1∈A，
2
则x= 。
3.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素
分别是什么？ 有何关系？
二、讲授新课：
1. 列举法的教学：
① 比较：{方程
x
2
?1?0
的根}、
{?1,1}
、
{x?R|x
2
?1?0}

② 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用
花括号“{ }”括起来。→P4 例1

③ 练习：分别表示方程x(x－1)=0的解的集合、
2
15以内质数的集合。
注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}
不同。
2. 描述法的教学：
① 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集
合的方法，一般形式为
{x?A|P}
，其中x代表元素，
p是确定条件。 →P5 例2
② 练习： A.“不等式x-3>0的解”与“抛物线
y＝x-1上的点的坐标”用描述法表示
2
B. 用描述法表示方程x(x－1)=0的解的集
2
3x?2y?2合、方程组
?
解集。
?
2x?3y?27
?
C.用描 述法表示：所有等边三角形的集合、方
程x+1=0的解集。
2

③ 简写 原则：从上下文关系来看，
x?R
、
x?Z
明
确时可省略，如
{x|x?3k?2,k?Z}
,
{x|x?0}

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元

素，如{(x,y)|y= x+3x+2}与 {y|y= x+3x+2}
不同，只要不引 起误解，集合的代表元素也可省
略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ } 已包含“所有”的意思，
所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}
也是错误的。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据
具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一
般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜
采用列举法。
④练习：试用适当的方法表示方程x-8x=0的解
3
22
集。
三、巩固练习：
1. P5 3,4题。
2.用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数
3.集合A＝{x|
x
4< br>∈Z，x∈N}，则它的元素
?3
是 。
4.已知集合A＝{x|-3

＝x+1，x∈A}，则集合B用列举法表示
2
是 。
5.已 知集合A＝{x|x＝2n，且n∈N}，B＝{x|x－
2
6x＋5=0}，用∈或
?
填空：
4 A，4 B，5 A，5 B 6.设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的
倍数}，求属A且属B的元素集合 。
7.若集合
A?{?1,3}
，集合
B?{x|x
a= ， b= 。
四.小结：集合的两种表示方法，关键是会用适
当的方法表示集合。


课 题:§2 集合间的基本关系
一. 教学目标:
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别
给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
2
?ax?b?0}
，且
A?B
，则

(3)能使用
venn
图表达集合间的关系，体会直观
图示对理解抽象概念的作用 .
2. 过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基
本关系，体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想 ．
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子
集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
三.学法
1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.
讨论，发现集合间的基本关系.
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的
方法表示下列集合？
（1）10以内3的倍数； （2）1000以内
3的倍数

2.用适当的符号填空： 0 N； Q； -1.5
R。
3.导入：类比实数的大小关系，如5<7， 2≤2，
试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
二、讲授新课：
1. 子集、空集等概念的教学：
①比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关
系：
A?{3,6,9}
与
B?{x|x?3k,k?N且k?333}
； *
C?
?
西乡一中学生
?
与
D?
?
西 乡一中高一学生
?
；
与
F?{0,1,2}

E?{x| x(x?1)(x?2)?0}
②定义：如果集合
A
的任何一个元素都是集合
B
的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合
A是集合B的子集（subset）。记作：
A?B(或B?A)

读作：A包含于（is contained in）B，或
B包含（contains）A


当集合A不包含于集合B时，记作
A?B

③用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

A?B(或B?A)

④集合相等定义：
A?B且B?A
，则A?B
中的元素是一
样的，因此
A?B
.
⑤真子集定义：若集 合
A?B
，存在元素
x?B且x?A
，
则称集合
A
是集合
B
的真子集（proper subset）。
记作：A B（或B A）。 读作：A真包含于B
（或B真包含A）。
⑥练习：举例子集、真子集、集合相等；探讨
{x|x
2
?3?0}
。
⑦空集定义：不含有任何元素的集合称为空集
（empty set），记作：
?
。并规定：空集是任何
集合的子集，是任何非空集合的真子集。
⑧填空：1 N， → 比较：
{1}
N。
a?A
与
{a}?A
。
⑨讨论：A与A有和关系？
A?B,B?C
，则由什么
结论？
2.教学例题：（1）写出集合
{a,b,c}
的所有的子集，
并指出其中哪些是它的真子集。

（2）已知集合
A?{x|x?3?2}
,
B?{x|x?5}
，并表示
A、
B
的关系。
出示例题 → 师生共练 → 推广：n个
元素的子集个数
3. 练习：已知集合A＝{x|x－3x＋ 2＝0}，B＝
2
{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N},用适当符号填空：
A B，A C，{2} C,2 C
三、巩固练习：
1. 练习： 书P9 1，2，3，4，5题。
2. 探究：已知集合
A?{x| a?x?5}
，
B?{x|x?2}
，且满足
A?B
，求实数
a
的取值范围。
四.小结： 子集、真子集、空集、相等的概念及
符号；Venn图图示；一些结论。注意包含与属
于



课 题:§3.1 集合的基本运算（一） 交集、

并集
一. 教学目标：
1. 知识与技能
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会
求两个简单集合的交集与并集.
(2)能使用Venn图表达集合的运算，体会直
观图示对理解抽象概念的作用.
2. 过程与方法
学生通过观察和类比，借助Venn图理解集
合的基本运算.
3.情感.态度与价值观
(1)进一步树立数形结合的思想.
(2)进一步体会类比的作用.
(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内
容时的简洁和准确.
二.教学重点.难点
重点：交集与并集的概念.
难点：理解交集概念.符号之间的区别与联系．
三.学法
1.学法：学生借助Venn图，通过观察.类比.
思考.交流和讨论 等，理解集合的基本运算.教学

过程：
一、复习准备：
1.已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则A S，
{x|x∈S且x
?
A}= 。
2.用适当符号填空：0 {0} 0 Φ Φ
{x|x＋1＝0,X∈R}
2
{0} {x|x<3且x>5} {x|x>6} {x|x<－2
或x>5} {x|x>－3} {x>2}
二、讲授新课：
1.教学交集、并集概念及性质：
① 探讨：设
A?{4,5,6,8}
，
B?{3,5,7,8}
， 试用Venn图表示
集合
A
、
B
后，指出它们的公共部分（交）、合 并
部分（并）.
② 讨论：如何用文字语言、符号语言分别表示
两个集合的交、并？
③ 定义交集：一般地，由所有属于集合A且属
于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交
集（intersection set），记作A∩B，读“A交

B”，即：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
④ 讨论：A
∩B与A、B、
B
A(A
B
A B
A

B∩A的关系？ → A∩A＝ A∩Φ＝
⑤ 图示五种交集的情况：…
⑥ 练习（口答）：
A＝{x|x>2}，B＝{x|x<8}，则A∩B＝ ；
A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩
B＝ 。
⑦定义并集： 由所有属于集合A或属于集合B的
元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union
set）。记作：A∪B，读作：A并B。用描述法表
示是：…
⑧分析：与交集比较，注意“所有”与“或”条
件；“x∈A或x∈B”的三种情况。
⑨讨论：A∪B与集合A、B的关系？→ A∪A＝ A
∪Ф＝ A∪B与B∪A
⑩练习（口答）： A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，

则A∪B＝
设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A
∪B＝ ;
A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ ，A
∩B＝ 。
2.教学例题：
1.出示例1：设A＝{x|-14或x<－5}，求A∩B、A∪B。
格式 → 结果分析 → 数轴分析 → 比较：解
方程组 → 变：A＝{x|-5≤x≤8}
2. 指导看书P11 例1、P12 例2。
3.练习： 设A＝{(x,y)|4x＋y＝6}，B＝
{(x,y)|3x＋2y＝7}，求A∩B。
格式 → 几何意义 → 注意结果 → 变题：
B：4x＋y＝3 或 B:8x＋2y＝12
三、巩固练习： 1.若{-2，2x,1}
?
{0,x,1}
2
＝{1,4}，则x的值 。
2.已知x∈R，集合A={-3,x,x＋1}，B={x－3，
2

2x－1,x＋1}，如果A∩B={-3}，求A∪B。
2
（解法：先由A∩B={-3}确定x）
3.已知集合A＝{x|a-1且A∩B＝Ф，求a的取值范围。
4.若A＝{(x,y)|y＝
6}，B＝{(x,y)|y＝x＋1}，
x
则A
?
B＝ ；
四.小结：交集与并集的概念、符号、图示、性
质；熟练求交集、并集（数轴、图示）。


课 题: §3.2集合的基本运算（二）全集与
补集
一. 教学目标：
1. 知识与技能
(1)会求两个简单集合的交集与并集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含
义，会求给定子集的补集.
(3)能使用Venn图表达集合的运算，体会直
观图示对理解抽象概念的作用.

2. 过程与方法
学生通过观察和类比，借助Venn图理解集
合的基本运算.
3.情感.态度与价值观
(1)进一步树立数形结合的思想.
(2)进一步体会类比的作用.
(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内
容时的简洁和准确.
二.教学重点.难点
重点：交集与并集，全集与补集的概念.
难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区
别与联系．
三.学法与教学用具
1.学法：学生借助Venn图，通过观察.类比.
思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算.教学< br>过程：
一、复习准备：
1. 提问：.什么叫子集、真子集、集合相等？符
号分别是怎样的？
2. 提问：什么叫交集、并集？符号语言如何表

示？
3. 讨论：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，
则A、B、R有何关系？
二、讲授新课：
1.教学全集、补集概念及性质：
① 预备题：U={全班同学} 、A={全班参加足球队
的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则
U、A、B有何关 系？
②结论：集合B是集合U中除去集合A之后余下
来的集合。 → 画图分析
③定义全集（universe set）：含有我们所研究
问题中所涉及的所有元素构成的集 合，记作U，
是相对于所研究问题而言的一个相对概
念。
④定义补集（complementary set）：已知
集合U, 集合A
?U，由U中所有不属于A的元素
CA
，组成的集合，叫作A相对于U的补集，记作：
U
U
A
C
U
A
读作：“A在U中补集”，即
C< br>U
A?{x|x?U,且x?A}
。补集

的Venn图表示如右：
（说明：补集的概念必须要有全集的限制）
练：U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则
CA
= ，
U
C
U
B
= ； → 图形分析
⑤ 讨论：A.在解不等式时，把什么作为全集？
在研究图形集合时，把什么作为全集？
B. Q的补集如何表示？意为什么？
⑥ 练习（口答）：
设U＝{x|x<8，且x∈N}，A ＝
U
{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则
CA
＝ ；
设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则
C
＝ 。
2.教学例题：
课本P13例3 例4
补充例题：U＝{x|x<13，且 x∈N}，A＝{8的正
约数}，B＝{12的正约数}，求
CA
、
CB。
UU
U
A
出示 → 学生试逐个求 → 再试用图示求
3.练习：

设U=R，A＝{x|－1A∩B、A∪B、
CA
、
CB
。
UU
独立练习 → 方法小结：如何数轴分析
4.探究：结合图示分析，下面的一些集合运算基
本结论。
A∩B＝B∩A, A∩B
?
A, A∩B
?
B, A∩φ=φ;
A∪B=B∪A, A∪B
?
A, A∪B
?
B, A∪φ=A;
A∩CA=φ, A∪CA=S, C(CA)=A
UUUU
5.小结： 补集、全集的概念；补集、全集的符
号；图示分析（数轴、Venn图）。
三、巩固练习：
1.已知U={x∈N|x≦10}，A={小于10的正奇数}，
B={小于11的质数}， 则CA= 、CB= 。
UU
2.已知集合A={0,2,4,6}, CA={-1,-3,1,3}，
U
CB={-1,0,2}，则B= 。（ 解法：Venn图法
U
3.定义A—B={x|x∈A，且x
?
B}，若< br>M={1,2,3,4,5},N={2,4,8}，则N—M= 。
四.小结:全集与补集

§4.1-2高中数学第一章测试题
班级 姓名
学号
1、集合
（ ）
A、
{x|?2?x?3}
B、
{x|1≤x?2}
C、
{x|?2?x≤1}

D、
{x|2?x?3}

2、集合
（ ）
A、
?
B、
{x|?1?x?1}
C、
{x|1?x?2}

D、
{x|2?x?3}

3、若集合
（ ）
A、
{?1,0,1,2}
B、
{0,1,2}
C、
{?1,0,1}

D、
{0,1}

4、 满足条件
（ ）
A、4 B、3 C、
MU{1}?{1,2,3}
M?{?1,0,1,2},N?{x|x(x?1)?0}
A?{x|?1?x?2},B?{x|1?x?3}
A?{x|?2?x?2},B?{x| ?1≤x?3}
，那么
AUB?

，那么
AIB?

，则
MIN?

的集合
M
的个数是

2 D、1
5、设全集
I ?{a,b,c,d,e}
，集合
M?{a,b,c},N?{b,d,e}
，那么< br>痧
I
MI
I
N
是（ ）
A、
{d}
C、
{a,c}

?
B、
D、
{b,e}

6、设集合
A?{x?Z|?10≤x≤?1},B?{x?Z|x≤5}
，则
AUB
中
元素的个数是（ ）
A、11 B、10 C、
16 D、15
7、已知全集
U?{1,2,3, 4,5,6,7},M?{3,4,5},N?{1,3,6}
，则集合
{2,7}
等 于（ ）
UU
A、
MIN
B、
痧MI
D、
MUN

N
C、
痧MU
UU
N

8、如果集合
P?
?
xx??1
?
，那么 （ ）
A、
0?P
B、
?
0
?
?P
C、
??P

D、
?
0
?
?P

9、设全集
U?{a, b,c,d}
，集合
M?{a,c,d},N?{b,d}
，则
(?M)I< br>U
N?
（ ）
A、{ b } B、{ d } C、
{ a, c } D、{b, d }
10、设全集
U?
?
1,2,3,4,5,6
?
，集合
A?
?
1,2 ,3,
?
,B?
?
2,4,5
?
，则
?
U
(AIB)等于
（ ）

?
6
?
C、
?
1,3，4，5，6
?
A、
?
2
?
B、
3，4,5
?
D、
?
1，
11、设 全集
S?{1,2,3,4,5,6,7}
，集合
A?{1,3,5,7}
， 集合
B?{3,5}
，
则 ( )
A、
S?A?B
B、
S?
?
?A
?
UB
C、
S?AU
?
?B
?

SS
D、
S?
?
痧A
?
U
?
B
?

SS< br>12、已知集合
A?{1,2,3,4}
，那么
A
的真子集的个数是< br>（ ）
A、15 B、16 C、
3 D、4
13、已知集合
M?{(x,y)| x?y?2},N?{(x,y)|x?y?4}
，那么集
合
MIN
为（ ）
A、
x?3,y??1
B、
(3,?1)
C、
{3,?1}

D、
{(3,?1)}
14、设集合
U?{1,2,3,4,5},A?{1,2,3},B?{2,5}
，则< br>（ ）
A、
{2}
B、
{2,3}
C、
{3}

D、
{1,3}

15、若
U?{1,2,3,4},M?{1,2 },N?{2,3}
，则
?(MUN)?
（ ）
U
AI(?
U
B)?

{1,2,3}
B、
{2}
C、
{1,3,4}
A、
D、
{4}

16、设集合
P?{1,2,3,4,5,6}, Q?{x?R|2≤x≤6}
，那么下列结

论正确的是（ ）
A、
PIQ?P
B、
PIQ?Q
C、
PUQ?Q

D、
PIQ?P

17、设 全集是实数集R，
M?{x|?2≤x≤2}
，
N?{x|x?1}
，
则
?MIN
等于（ ）
A、
{x|x??2}
B、
{x|?2?x?1}
C、
{x|x?1}

R
D、
{x|?2?x?1}

18、已知集合
M?{x| x?a?0},N?{x|ax?1?0}
，若
MIN?N
，
则实数
a
等于（ ）
A、
1
B、
?1
C、
1
或
?1
D、
1
或
?1
或0
19、已知集合
A?{x|x≤2,x ?R},B?{x|x≤a},
且
A?B,
则实数
a
的取值范围是
20、设集合
A?{5,(a?1)}
，集合
B?{a,b}
。若< br>AIB?{2}
，则
AUB?

21、设集合
M?{x|?1≤x?2},N?{x|x≤a}
，若
MIN??
，则
的取值 范围是
22、增城市数、理、化竞赛时，高一某班有24
名学生参加数学竞赛， 28名学生参加物理竞赛，
19名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化
三科竞赛的有7名， 只参加数、物两科的有5名，
只参加物、化两科的有3名，只参加数、化两科
的有4名。若该班 学生共有48名，问没有参加
任何一科竞赛的学生有多少名？

a

第二章函数
§2.1函数的概念
教材分析： 函数是描述客观世界变化规律的重要
数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量
之间的依赖关系， 同时还用集合与对应的
语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型
化的思想．
教学目的 ：（1）在上一小节学习的基础上理解用
集合与对应的语言来刻画函数，
体会对应关系在刻画函 数概念
中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某
些函数的定义域；
教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应
的语言来刻画函数；
教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域
和值域的区间表示；
教学过程：
一．引入课题
复习初中所学函数的概念，强调函数的模型

化思想。
思考: (1) y=1(x∈R)是函数吗？
(2) y=x与y= 是同一函数吗？

几百年来，随着数学的发展，对函数概念的
理解不断深入，对函数 概念的描述越来越清晰。
现在，我们从集合的观点出发，还可以给出以下
的函数定义。
（先认识几个对应）
二．新课教学
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的
对应关系f，使对于 集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那
么就称f：A→ B为从集合A到集合B的一个函
数．
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫 做自变量，x的取值范围A叫做函
数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，
函数值的集 合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
x
2
x

1
“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母○
表示，如“y=g(x)”；
2
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应○
的函数值，是一个数，而不是f乘以x．
③ 两个函数相同必须是它们的定义域和对
应关系分别完全相同.
④有时给出的函数没有明确说明定义域,这
时它的定义域就是自变量的允许取值范围.
2． 构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半
闭区间；
（2）无穷区间； （3）区间的数轴表
示．
（1）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做 闭
区间，表示为
?
a,b
?
；
（2）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做开
区间，表示为
?
a,b
?
；
（3）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做半
开半闭区间，表示为
?
a，b
?
；
（4）满足不等式
a?x?b
的实 数的x集合叫做也
叫半开半闭区间，表示为
?
a,b
?
；
说明：
① 对于
?
a,b
?
，
?
a,b< br>?
，
?
a，b
?
，
?
a,b
?都称数a和数
b为区间的端点，其中a为左端点，b

为右端点，称b-a为区间长度；
② 引入区间概念后，以实数为元素的集
合就有三种表示方法：
不等式表示法：37
?
； 示法：
?
x3?x?7
?
；区间表示法：
?
3，
③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以
a和b为端点的线段来表示，在图中，
用实心点表示包括在 区间内的端点，
用空心点表示不包括在区间内的端
点；
④ 实数集R也可以用区间表 示为（-∞，
+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读
作“负无穷大”，“+∞”读作“正 无穷
大”，还可以把满足x
?
a, x>a, x
?
b, x的 实数x的集合分别表示为[a,+
∞]、（a,+∞）、(-∞,b)、(-∞,b) 。（见
演示）
（二）例题讲解
1. 一次函数y=ax+b(a≠0)定义域是R,值域是
R.。
2
+bx+c (a≠ 0)的定义域是二次函数y=axR，
4ac?b
{yy?
4ac?b
}{yy?
2
2
4a
}
4a

值域是
当a＞0时,为: 当a＜
0时,为:

2. 某山海拔7500m, 海平面温度为25°C,气温
是高度的函数, 而且高度每升高100m, 气 温下
降0.6°C.请你用解析表达式表示出气温T随高
度x变化的函数,并指出其定义域和值 域.


2
2
3. 已知 f (x)=3x－5x+2, 求f (3),f (－ ), f
(a), f (a+1) , f [f (a)].

4.下列函数中与函数y=x相同的是 ( B ).
A．
y?
?
x
?
B.
y?x
C .
y?x

2
3
32
三．课堂练习 P31. 练习1， 2 （解
答见课件）.
四．小结
在初中函数定义 的基础上进一步用集合与
对应的语言描述了函数的定义及其相关概
念，介绍了求函数定义域和判 断同一函数的

典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
五．作业
2
f
?
2)
?
??2,
?

f(
?
1. P38.习题2-2 A组 1，2.
2
2. 若f (x) = ax
－ , 且 求 a.

§2.2 函数的表示法
教学目标：
1.使学生掌握函数的常用的三种表示法；
2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方
法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点；
3.使学生理解分段函数及其表示法，会处
理某些简单的分段函数问题；
4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思
想方法，激发学生的学习热情。
教学重点：
函数的三种表示法及其相互转化，分段函
数及其表示法
教学难点：
根据不同的需要选择恰当的方法表示函
数，分段函数及其表示法。
教学过程：
一、 新课引入

复习提问：函数的定义及其三要素是什么？
函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ
上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不
同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们
理解函数的性质，是研究函数的重要手段。
请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示
法？
答：列表法是、图像法、解析法
二、新课讲解
请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分
内容，思考下列问题：
1. 列表法是、图像法、解析法的分别是怎样
定义的？
2. 这三种表示法各有什么优、缺点？
在学生回答的基础上师生共同总结:(多媒体
课件显示)
列表法 图像法 解析法
定用表格的形式把 用图像把两个一个函数的对应
义两个变量间的函 变量间的函数关系可以用自变
数关系表示出来关系表示出来量的解析式表示
的方法 的方法 出来的方法

不必通过计算就可以直观地表能叫便利地通过
优能知道两个变量示函数的局部计算等手段研究
之间的对应关变化规律，进函数性质
点系，比较直观 而可以预测它
的整体趋势
缺只能表示有限个有些函数的图一些实际问题难
元素的函数关系 像难以精确作以找到它的解析
点 出 式
函数的三种表示法并不是相互独立的，它们
可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常
熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表
法是、图像法、解析法来表示和研究它们。
下面我们再通过几个具体实例来研究函数
的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。
例1、 请画出下列函数的图像。

?
x,x?0
y?x?
?
?
?x,x?0

解：图像为第一和第二象限的角平分线，
y
如图2-5所示

x


本题体现的是由数到形的变化，是数形结合的
数学思想方法。
问1.如何作出函数
y?x?1
的图像？
2.如何作出函数
y?x?1
的图像？
3. 如何作出函数
y?x?2?3
的图像？
4.思考：如何由函数
y?x
的图像得到函数
y?x?a?b
的图像？
5.试求函数
y?x
与函数y=1的图像围成的图
形的面积。
例2、 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质
量和对应的邮资如表2-5:

(多媒体课件显示)
表2-5
0?m

?20
信函质量
20?m?40

40?m?60

60?m?80

80?m?100

(m)g
邮资(M)1.20
元
画出图像，并写出函数的解析式。
分析：要让学 生明白当信函质量
0?m?20
时邮
资M=1.20是信函质量m的函数，是一种典型 的
多对一的函数，可以通过多媒体动画演示让学生
体会。
解：邮资M是信函质量m的函数，函数图
像如图2-6所示
2.40 3.60 4.80 6.00


图2-6
函数解析式为：

?
1.20
?
2.40
?
?
M?
?
3.60
?
4.80
?
?
?
6.00
,0?m? 20
,20?m?40
,40?m?60
,60?m?80
,80?m?10 0

注：像这样在定义域内的不同区间上对
应着不同的解析式的函数叫分段函数
1. 分段函数是一个函数，而不是几个函数；
2. 分段函数的定义域是所有区间的并集，值
域是各段函数值域的并集；
3. 分段函数的求解策略：分段函数分段解。
例3、 某质点在30s内运动速度v是时间t
的函 数，它的图像如图2-7。用解析法表示这个函
数，并求出9s时质点的速度。(多媒体课件显示)



解：速度是时间的函数，且在不同的区间上
对应这不同的解析 式，因此速度是时间的分段函

数，我们应当分段处理。
1.当
0?t?5
时，可设
和（5，15）代入，得
?
10?b
?
?
15?5k?b
v?kt?b(k?0)
，将（0，1 0）

?v?t?10

请同学们拿出笔和纸算出
20?t?30
5?t?10
，
10?t?20
，
时所对应的解析式。
?

?
t?10,0?t?5
?
3t,5?t?10
?
v(t)?
?
?
30,10?t?20
?
?
? 3t?90,20?t?30

由上式可得，t=9s时，质点的速度是

v(9)?3?9?27(cms)

问1.如何求质点在t=19s、20s、0.2s时的速
度呢？
2.求
v(v(9))
的值；
3.当
v(t)?27(cms)
时，对应的时间t是多少？
3解法1：（分段函数分段解）
①当
0?t?5
时，
v(t)?t?10?27
解得
t?17
（舍）
②当
5?t?10
时，
v(t)?3t?27
解得
t?9

③当
10?t?20
时，

v(t)?30?27
无解
解得
t?21

④当
20?t?30
时，
v(t)??3t?90?27
综上可知
t?9
或21
解法2：（ 数形结合）由v与t图像可知只有
5?t?10
和
20?t?30
时，
v(t)?27(cms)
才可能成立，故
或
v(t)?3t?27v(t)??3t?90?27
解得
t?9
或21
三、 思考交流
第1、2题。
四、课堂练习
第1、2、3题。
五、课堂小结
师生共同归纳本节主要内容
1. 函数的三种表示法和各自的优缺点；
2. 分段函数及其解法；
3. 函数解析式的求法。
六、布置作业
P34习题2-2 A组 第1、2题。
七、板书设计
§2.2 函数的二、例题
表示法 例1
一、函数的三种
三、分段函数

表示法及其各自
优缺点





例2


例3
§2.23函数解析式的求法
教学目标：让学生了解函数解析式的求法。
重点：对f的了解，用多种方法来求函数的解析
式
难点：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组
法等方法的运用。
教学过程
例1.求函数的解析式
(1) f9[（x+1)= , 求f (x); 答案：f (x)=
x
2
－x＋1（x≠1）
练习1：已知f( +1)= x+2 ,求f(x) 答案：f
(x)=x2－1(x≥1)

(2) f (x) = 3x2+1, g (x) = 2x －1 , 求f[g(x)];
答案：f[g(x)]＝12x2－12x＋4
练习2：已知：g(x)=x+1,f[g (x)]=2x2+1,求f(x-1)
答案：f(x-1)=2x2-8x+9
(3)如果函数f (x)满足af (x)+f()=ax,x∈R且x
≠0,a为常数，且a≠±1,求f (x)的表达式。答案：
f (x)= (x∈R且x≠0)
练习3： 2f (x) － f (－x) = lg (x+1), 求 f (x).
答案：f(x)= lg(x+1)+lg(1－x) (－1 例2.已知f (x)是一次函数，并且满足3f (x+1)
- 2f (x-1)＝2x+17,求f (x).
答案：f (x)=2x+7.
练习4：已知f (x)是二次函数，满足f(0)=1且f
(x+1) - f (x)＝2x,求f (x)
答案：f (x) = x2- x+1
例3.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1，并且对
任意实数x,y
有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x) 答案：f
(x) =x2+x+1

练习5：函数f(x)对任何x∈R恒有 f(xx)=f(x1)+f
(x2),已知f(8)=3,
则f()=
例4.已知函数y=f(x)的图像如图所示，求f(x)
练习6：已知函数f(x)的图像是由两条射线和开
口向下的抛物线组成，
求f(x)解析式

例5.已知定义在R上的函数y=f(x)关于直线x=2
对 称并且x∈[0,2]上的解析式为y=2x-1,则f(x)在
x∈[2,4]上的解析式为 y=7-2x
练习7：设函数y=f(x)关于直线x=1对称，若当
x≤1时，y=x
2
+1,
则当x>1 时，f(x)= x
2
-4x+5

课堂小结：求函数的解析式的方法较多，应根椐
题意灵活选择，但不论是哪种方法 都应注意自变
量的取值范围，对于实际问题材，同样需注意这
一点，应保证各种有关量均有意义 。

布置作业：
1、若g(x)=1-2x , f[g(x)] = (x≠0),求f()的值。
2、已知f(x - )=x + , 求f(x-1)的表达式.
3、已知f(x)=9x+1,g(x)=x,则满足f[g(x)]= g[f(x)]
的x的值为多少？
4、已知f(x)为一次函数且f[f(x)] = 9x+4,求f(x).

教后反思：


2.3 映 射
教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法；
2.使学生了解象、原象的概念；
3.使学生通过简单的对应图示了解
一一映射的概念；
4.使学生认识到事物间是有联系的，
对应、映射是一种联系方式。
教学重点：映射、一一映射的概念
教学难点：映射、一一映射的概念

教学方法：讲授法
教学过程：
（I）复习回顾
在初中学过一些对应的例子（投影）；
（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点
和它对应；
（2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一
有序实数对（x,y）和它对应；
（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面
积和它对应；
（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内
都有唯一的抛物线和它对应。
（Ⅱ）新课讲授
一．实例分析
１. 集合Ａ＝｛全班同学｝，集合Ｂ＝（全班同< br>学的姓｝，对应关系是：集合Ａ中的每一个
同学在集合Ｂ中都有一个属于自己的姓.
２. 集合Ａ＝｛中国，美国，英国，日本｝，Ｂ
＝{北京，东京，华盛顿，伦敦｝，对应关系
是：对于集合Ａ中的每一个国家，在集合Ｂ
中都有一个首都与它对应.

３. 设集合Ａ＝｛１,－３,２,３,－１,－２｝，
集合Ｂ＝｛ ９，０，４，１，５｝,对应关
系是：集合Ａ中的每一个数，在集合Ｂ中都
有一个其对应的平方 数.

三个对应的共同特点：
（１）第一个集合中的每一个元素在第二个集合
中都有对应元素；
（２）对于第一个集合中的每一个元素在第二个
集合中的对应元素是唯一的.

二．抽象概括
1. 映射的概念
两个集合Ａ与Ｂ间存在着对应关系，而且对
于Ａ中的每一个元素x，Ｂ中总有唯一的一个元
素y与它对应，就称这种对应为从Ａ到Ｂ的射
映，Ａ中的元素x称为原像，Ｂ中的对应元素y
称为x的像， 记作f:x y .
注意：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对
应法则，缺一不可；
（2）A，B 可以是数集，也可以是点集或
其它集合。这两个集合具有先后顺

序： 符号“f：A→B”表示A到B的
映射，符号“f：B→A”表示B到A
的映射，两者是不同的 ；
（3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一
的，但两个（或两个以上）元素可以允许< br>有相同的象；例：
“A={0,1,2},B={0,1,12},f:取倒数”就
不可 以构成映射，因为A中元素0在B中
无象
（4）集合B中的元素在A中可以没有原象，即
使有也可以不唯一；
（5）A={原象}，B
?
{象}。

2.思考交流
（1） Ｐ３７ 练习１
（2） 函数与映射有什么区别和联系？
结论： 1. 函数是一种特殊的映射;(数集到数
集的映射)
２. 映射是函数的推广。
3. 一一映射（一种特殊映射）
（1）A中每一个元素在B中都有唯一的像与之
对应；

（2）A中的不同元素的像也不同；
（3）B中的每一个元素都有原像。

三．知识应用
1. 已知集合A＝{x│x≠0，x∈R}，B＝R，对应
法则是“取负倒数”
(1) 画图表示从集合A到集合B的对应（在集合
A中任取四个元素）；
(2) 判断这个对应是否为从集合A到集合B的映
射；是否为一一映射？
(3) 元素－2的象是什么？－3的原象是什么？
(4) 能不能构成以集合B到集合A的映射？

2. 点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)，
(1) 求点（２，３）在映射f下的像；
（2）求点(4，6)在映射f下的原象.
答案：(1) 点(2,3)在映射f下的像是(1,7);
(2) 点（4，6）在映射f下的原象是（52，
1）
3. 设集合A＝{1,2,3,k},B＝ {4,7,a
4
,a
2
＋3a},
其中a,k∈N,映射f:A→B ，使B中元素

y＝3x＋1与A中元素x对应，求a及k的值.
（a＝2 , k＝5 ）

四．问题探究
判断下列对应是否Ａ到Ｂ的映射和一一映
射？ （答案见教材全解p70）









五．小结：

本节课我们学习了映射的定义、表示方法、
象与原象的概念、一一映射的定义。强调 注意的
问题（前面所述）指出：映射是一种特殊的对应：
多对一、一对一；一一映射是一种特殊 的映射：
A到B是映射，B到A也是映射。
(1)A?R,B?R
?
,x? A,f:x?|x|
(2)A?N,B?N
?
,x?A,f:x?|x?1|
(3)A?{x|x?2,x?Z},B?{y|y?0,y?N}
x?A,f:x?y?x
2
?2x?2
(4)A?[1,2],B?[a,b](a?b),x?A
f:x?y? (b?a)x?2a?b

六．课后作业

§3函数的单调性
教学目的：
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解
函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的
单调性．
教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函
数的单调性．
教学过程：
阅读与思考

? 1、阅读教材
? P36的实例分析及思考交流止。

180
160
140120
100
80
60
40
20
0
3575
1
4
2
4
2
4
2
4
24
2
5
0
5
0
5
0
5
05
0
5
1
5
1
5
1
5
19

? 2、思考问题
（1）从P36图2-15 （北京从
2003每日新增非典病例的变化统
计图）看出，形势从何日开始好转？
（2）从P36图2-16你能否说出y随x
如何变化？
德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据
时间间隔
20分钟之后
1小时之后
8-9小时之后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆保持量
58.2%
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
刚刚记忆完毕 100%

…
保持量（百分数）
100
80
60
40
20
…
艾宾浩斯遗忘曲线

问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？
0
1 2 3 4
天数
1
问题1、 作出下列函数的图象并指出图象的变
(4) y
,
?
化趋势:


y

y

(1) y?x?1(2) y??2x?2
(3) y??x
2
x
y?x?1
1

-
O
y??2x?2
x

y??x
2
2

1
O
x

y?
1
x
y

y



O

x

O
x

问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下
降趋势”的意思吗？

在某一区间内，
图象在该区间呈上升趋势 当x的值增大时，函
数值y也增大
图象在该区间呈下降趋势 当x的值增大时，
函数值y反而减小
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？

y
y?f(x)
f(x
1
)
O

在给定区间上任取x
1
,x
2
,
f(x
2
)
x
2x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
结论： 函数f (x)
在给定区间上为递增的。

x
1
x

如何用x与 f(x)来描述下降的图
y

象？
y?f(x)
f(x
2
)
在给定区间上任取x
1
,x
2
,
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
f(x
1
)
O

结论： 函数f (x)
x

在给定区间上为递减的。

x
1
x
2

y
y=f(x)
f(x
1
)
O
x
1

x
2


f(x)
x
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A
，

?
区间I A. 如果对于区间I内的任意两个值
x
1
，
x
2
，当
x
1
＜
x
2
时，都有
f
（x
1
）＜
f
（
x
2
）
那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数.
y
y=f(x)
f(x
1
)
O
x
1

x
2


f(x)
x
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，
?
区间I A. 如果对于区间I内的任意两个值
x
1
，
x
2
，当
x
1
＜
x
2
时，都有
f
（x
1
）＜
f
（
x
2
）
那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数.
单调区间
如果函数y=f(x)在区间I是单调增函数 或单调减
函数,那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调

性.
单调增区间和单调减区间统称为单调区间.
[例1] 证明函数f(x)?2x?1在区间
（??，??）上是增函数。
证明：
设x
1
,x
2
是区间(??,??)内任意
（条件）
两个实数，且x
1
?x
2
。
f(x
1
)?f(x
2
)?(2x
1
?1)?(2x
2
?1)?2(x
1
?x
2
)
?x
1
?x
2
, ?x< br>1
?x
2
?0
?f(x
1
)?f(x
2)?0
即f(x
1
)?f(x
2
)
（论证结果）
则函数f(x)?2x?1在区间(??,??)
是增函数。
（结论）
例 ３、求证：函数
f(x)??
练一练
0
?
上是单调增函数．
?
??，
1
?1
在区间
x
证明：
设
x1
,x
2
是（0，+∞）上的任意
两个实数，且
x
1< br>?x
2
．
则f(x
1
)?f(x
2
)?(?
x?x
2
1111
?1)?(??1)???
1
x
1
x
2
x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
?x
2
?0,x
1
x
2
? 0,?f(x
1
)?f(x
2
)
故f(x)??
1
?1在区间
?
0，??
?
上是单调增函数．
x

[例2] 判断函数f(x)?x
2
?2x 的
单调性，并加以证明。
y
f(x)?x?2x
1
o
2
x
2
单调递减区间：
(??, 1）
单调递增区间：
[1 ,??)
【练习】：
1、判断函数f(x)=1x在(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论.
减函数

2、判断函数f(x)=1x在(0，+∞)上
减函数
【
想一想】：能否说函数f(x)=1x在(－∞，+∞)
答
：

不能. 因为x=0不属于f(x)=1x的定义域.

解题步骤
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x
1
＜x
2
, 并且是某个区间上任意二个值;
(2). 作差 f(x
1
)－f(x
2
)
(3). 判断 f(x
1
)－f(x
2
) 的符号:
① 分解因式, 得出因式x
1
－x
2 .

② 配成非负实数和.


(4). 作结论.

小结
1. 概念
定义法
2. 方法
图象法


§4.1 二次函数的图像
教学目的：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k的作
用；领会二次函数图像移动的方法
教学重点：二次函数的图像中a,b,c,h,k的作用
教学难点：领会二次函数图像移动的方法
教学方法：逐层推进
教学过程：
一． 复习引入
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
(1) y = (x+2)
2
-1， (2) y = -
(x-2)
2
+2 ， (3) y = a (x+h)
2
+k
二．问题探索
探索问题1：
y?x2
和
y?ax(a?0)
的图像之间有什么
2
关系？

实践探究1：在同一坐标系中做出下列函数的图
像;
y?x
2
;
y?2x
2
;
y?
1
2
x
2

观察发现1:
22１.二次函数y=ax(a?0)的图像可由的y=x图
像各点纵坐标变为原来的a倍得到.
２.a决定了图像的开口方向: a>o开口向上，a<0
开口向下.
3. a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大
小:|a|越小图像开口就越大
巩固性训练一：
下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排
列为 (4),(2),(3),(1).
f(x)?
1
2
x
4
1
;
f(x)?
1
x
;
f(x)??x
;
f(x)??3x

23
22
2
探索问题2：
y?ax
2
(a?0)
和
y?a(x?h)
2
?k,(a?0)
的图像之间有什
么关系？
实践探究2：在同一坐标系中做出下列函数的图
像：
y?2x
2
；
y?2(x?1)
2
；
y?2(x?1)
2
?3

观察发现2：

二次函数y=a(x+h)
2
+k (a?0),a决定了二次
函数图像的开口大小及方向；
而且“a正开口向上，a负开口向下”；｜a｜
越大开口越小；
h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h
正左移，h负右移”；
k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k
正上移，k负下移”。
巩固性训练二：
１.将二次函数y=3x
2
的图像平行移动,顶点移
到（－３，２），则它的 解析式为
Y=3(x+3)
2
+2 。
2.二次函数y=f(x)与 y=g(x)的图像开口大小相
同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x
2
+1，
f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为
Y=(x-3)
2
+2 。

探索问题3：

y?ax (a?0)
，和
y?ax
22
?bx?c(a?0)
的图像之间有< /p>

什么关系？
观察发现3：一般的，二次函数
y?ax
y?a(x?h)
2
?k,(a?0)
y?ax
2
(a?0)2
?bx?c(a?0)
， 通
过配方就可以得到它的恒等形式：
。 从而知道，由
。
的图像经过平移就可以得
到
y?ax
发展性训练
2
?bx?c(a?0)
1. 由y=3(x+2)
2
+4的图像经 过怎样的平移变
换，可以得到y=3x
2
的图像.
右移2单位，下移4单位
2. 把函数y=x
2
-2x的图像向右平移２个单位，
再向下平移３个单位 所得图像对应的函数
解析式为 ： Y =(x-2)
2
-2(x-2)-3 = x
2
- 6x+5
= (x-3)
2
-4 。

三．课堂小结：
１.a,h,k对二次函数y =a(x+h)
2
+k图像的
影响。
２. y = x
2
与y =a(x+h)
2
+k 的图像变换规

律。
四．课后作业：

§4.2 二次函数的性质

教学目的：结合图像进一步掌握二次函数的性
质，领会二次函数的应用
教学重点：结合图像掌握二次函数的性质
教学难点：对性质的应用
教学方法：讲练结合
教学过程：
一．阅读与思考
1. 阅读教材.
2. 思考函数
y?ax
二．问题探究
y?ax
1. 求证：a<0时，
2
2
?bx?c(a?0)
的性质
在区间< br>(?
2
b
a
,??)
?bx?c(a?0)
上是减小 的。
2. 例2，例3
三．归纳
1、二次函数的问题，结合图像可以更直观形象。
2、 将
y?ax
2
?bx?c(a?0)
配方得
b
2
4ac?b
2
y?a(x?)?
2a4a
之

后，就可通过
a
，
b
?
2a
，
4ac?b
2
4a
, 直接得函数
的主要性质，并依此画出图像。
四．练习实践
1. 教材P53 练习

1、2、3、4.
2. 函数y =4x
2
- mx+5的对称轴为x=-2 ， 则
x=1时y =__D__
a .–7 b .1 c .17 d.
25
3. y = -x
2
- 6x + k图像顶点在x轴上，
则 k= __-9__ 。
五．课堂小结
1. 二次函数的几大性质
2.二次函数的几大性质的应用
六．课后作业

的最值
教学目标
知识重点
§4.3课题：二次函数在闭区间上
使学生通过对知识的运用加深
对知识的理解与掌握；在问 题解决
的过程中渗透数形结合的思想方法
和运动、变化的观点；引导学生挖
掘知识的作 用，提高运用知识分析
问题和解决问题的能力。
掌握闭区间上二次函数的最值
的求法

教学难点
数学思想
了解并会处理含参数的二次函
数的最值的求法
数形结合思想、分类讨论思想
教学方
教学过程 法和手
段
复习
① 复述函数单调性的概念
② 函数最值的定义
引例:求y?x
2
?2x?2的最值



通过引
例，激发

改变此函数的定义域，分别确定
学生进
函数的最值
一步研
引入 （1）[0,3]
究的兴

下面逐步给出
（2）[2,3]
（3）[-1,0]
2
趣，并引
入本课
的主题。

概念
分析
在闭区间[m,n]上，求二次函数
通过（1）、
y?a x?bx?c
的一般步骤：
（2）（3）、
b
2
4ac?b
2
(一)配方:y?a(x?)?
2a4a


逐步引
导 学生
利用一
（二）判断?
b
是否属于闭区间[m,n]
2a

求y??x
2
?2x在[0，2]上的最值
< br>元二次
函数的
图象分
析二次
函数在
闭区间
上的最值。










??1?[0,2]且函数在[0,2]上单调递减
解:y??(x?1)
2
?1

课堂
练习
?x?0时，y
max
?0< br>x?2时，y
min
??8





【例1】
求函数f(x)?x
2
?2ax?1,(x?[0,1])在下列 条件下的最大
值和最小值，并指出取得最值时x的值。
(1)a?0
(2)0?a?1
(3)a?1







例题
讲解
已知f(x)?x
2
?2ax?3,x?[?2,2], a?R
求函数的最值
【例2】



（定义域固定，对称轴
变化）
解：
f(x)?x
2
?2ax?3

因为函数 的
对称轴为x=-a。要求最值则要看
x=-a是否在区间[-2，2]之内
【例3】
已知f(x)?x
2

?2x?3,x?[t,t?2]
的最小值为g(t),试写出g(t)的解析式









学生积
极主动


（对称轴固定，
定义域变化）
解：
因
f(x)?x
2
? 2x?3?(x?1)
2
?4
为函数 地 利用
的对称轴为 x=1 固定不变,要求数形结
函数的最值,即要看区间[t,t+2]合的思
与对称轴 x=1的位置

想解决
问题。


小结
解决实际问题及求函数最值的
常用思想方法。

5幂

















数 § 函

教学目标
1、通过对幂函数概念的学习以及对幂函数
图 像和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念
的形成过程，培养学生的抽象概括能力。
2、使 学生理解并掌握幂函数的图像与性质，
并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生
的灵活思 维能力。
教学难点
幂函数图像和性质的发现过程
教学重点
幂函数的性质及运用
教学过程
一、 教学导入
数学和日常生活是密不可分的，观察下列问
题中的函数个有什么共同特征？
（1）如 果李斯在超市买了每支1元的水笔n
（支），那么他应支付p=n元。这里p是n的函
数。
（2）如果正方形的边长a，那么正方形的面
积为S=a
2
，这里S是a的函数。
（3）如果立方体的边长a，那么立方体的体
积为V=a
3
，这里V是a的函数。

（4）如果正方形的面积为S，那么这个正方
形的边长为a=S ，这里a是S的函数。
（5）如果壮壮t（s）内骑车行进了1（km），
那么他骑车的平均速度为v=t
-1
（
kms
），这里v
是t的函数。
由学生讨论，总结，即可得出：p=n，S=a
2
，
V=a
3
，a=S ，v=t
-1
都是自变量的若干次幂的
形式。
这节课，我们将来共同学习另一种函数—
—幂函数（老师板书课题）

二、 讲授新课
1、定义：一般地，函数y=x
a
叫做幂函数，其中
x是自变量，a是实常数。
判断一个函数是否是幂函数？注意：①是否为幂的形式；②自变量是幂的底数，指数可以是
任意实数。
例1、（1）y=x
a
与y=a
x
一样吗？
（2）在函数y=x+2，y=1，y=x
2
+x，y=2x
2
+3，
y=
x
1
中，哪几个函数是幂函数？
4
1
2
1
2
（3）已知幂函数y=f（x）的图像过点（2，

1
8
），试求出这个函数的解析式。

2、对于幂函数y=x
a
，讨论当a=1，2，3，
1
，
2
-1时的函数性质
表格如下：

y=x y=xy=x
3
y=xy=x
-
2






1
2

1

定义
域
值
域
奇偶
性
单调
性
定
点















下面先请五位同学分别在黑板上画出每个函
数的图 像，其他同学可以在同一坐标系内作五个
幂函数的图像。（要给学生留出充分时间去研究

函数性质）
通过观察图像与表格
图像都通过（1，1） ；
（2）函数y=x ，y=x
3
，y=x
-1
是奇函数，函数
y=x
2
是偶函数；
（3）在第一象限内，函数y=x，y=x
2
，y=x
3
和
y=x 是增函数，函数y=x
-1
是减函数；
（4）在第一象限内，函数y=x
-1
的图像向上与y
轴无限接近，向右与x轴无限接近。
例2、求下列函数的定义域，并判断函数的奇偶
性
（1）f（x）=-2x
5
（2）g（x）=x
4
+2
（3）f（x）=-x+ x （4）g（x）=5x+ x

3、拓展题
证明幂函数f（x）= x
3
在R上是增函数
三、 课外作业

教学后记
本 节课主要从五个具体幂函数中认识幂函数的
一些性质，画五个幂函数的图像并由图像概括其
1< br>3
（1）函数y=x，y=x
2
，y=x
3
，y=x 和y=x
-1
的
1
2
1
2
2
5

性质是 教学中可能遇到的困难，所以要注意引导
学生亲自动手画图像、分组讨论等形式，让学生
自己去 探究，把主动权交给学生。

6.1-6.2高中数学第二章测试题
班级 姓名
学号 成绩
一、 选择题：（本题共12小题，每小题5分，共
60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是 符合题目要求的）
1、若
f(x)?
22
x?1
，则
f(3)?
（ ）
A、2 B、4 C、
D、10
y?f(x)
2、对于函数
（ ）
，以下说法正确的有
①
y
是
x
的函数； ②对于不同的
x,y
的值也不同；
③
f(a)
表示当
x?a
时函数
f(x)
的值，是一个常量；
④
f(x)
一定可以用 一个具体的式子表示出来。
A、1个 B、2个 C、
3个 D、4个
3、下列各组函数是同一函数的是 （ ）
①
f(x)??2x
3
与
g(x)?x?2x
；②f(x)?x
与
g(x)?x
2
；

③
f(x)?x
与
g(x)?
x
1
；④
f(x)?x
02
0
?2x?1
与
g(t)?t
2
?2t?1< br>。
A、①② B、①③ C、
③④ D、①④
4、二次函数
y?4x
2
?mx?5
的对称轴为
x??2
，则当
x?1
时，
y
的值为 （ ）
A、
?7
B、1 C、
17 D、25
5、函数
y?
D、
?
0,??
?

6、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ）
A、（1） B、（1）、（3）、（4） C、
（1）、（2）、（3） D、（3）、（4）
7、若
f:A?B
?x
2
?6x?5
的值域为 （ ）
A、
?
0,2
?
B、
?
0,4
?
C、
?
??,4
?

能构成映射，下列说法正确的有
（ ）
（1）A中的任一元素在B中 必须有像且唯一；
（2）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；
（3）B中的元素可以在A 中无原像；（4）像的
集合就是集合B。
A、1个 B、2个 C、
3个 D、4个

8、
f(x)
是定义在R上的奇函数，下列结论中，不
．
正确的是( )
．．
A、
f(?x)?f(x)?0
B、
f(?x)?f(x)??2f(x)
C、
f(x)gf(?x)≤0

D、
f
f
(
(
?
x
x
)
)
??1

9、如果函数f(x)?x
2
?2(a?1)x?2
在区间
?
??,4
?
上是减少
的，那么实数
a
的取值范围是（ ）
A、
a≤?3
B、
a≥?3
C、
a≤5

D、
a≥5

10、设函数
f(x)?(2a?1)x?b
是
R
上的减函数，则有
（ ）
11
A、
a?
1
B、
a?
C、
a≥

222
D、
a≤
1

2
11、定义在
R< br>上的函数
f(x)
对任意两个不相等实数
a,b
f(b)
，总 有
f(a
a
)?
?0
成立，则必有（ ）
?b
A、函数
f(x)
是先增加后减少 B、
函数
f(x)
是先减少后增加
C、
f(x)
在
R
上是增函数 D、
f(x)
在
R
上是减函数
12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最
好的顺序为 （ ）

（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里
了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇
到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为
了赶时间开始加速。
离开家
O
离开家
O
离开家
O
离开家
O

（
时

（
时

（
时

（
时

A、（1）（2）（4） B、（4）（2）（3） C、
（4）（1）（3） D、（4）（1）（2）
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共
20分，请把答案填写在答题纸上）
13
f(4)?
、已知
f(0)?1,f(n)?nf(n?1)(n?N
?
)
，则
。
2
14、将二次函数
y??2x
的顶点移到
(?3,2)
后，得到的
函数的解析式为 。
15、已知
y?f(x)
在定义域
(?1,1)
上是减函数，且
f(1?a)?f(2a?1)
，则
a
的取值范围
是 。

16、设
x?
?
x?2 (x≤?1)
?
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
?
2x (x≥2)
?
，若
f(x)?3
，则
。
三、解答题：（本题共5小题，共70分，解答应
写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、求下列函数的定义域：（12分）
（1）
y?

18、已知
(x,y)
在映射
f
的作用下的像是
(x?y,xy)
，求
(?2,3)
2x?1?3?4x
（2）
y?
1
x?2?1

在
f
作用下的像和(2,?3)
在
f
作用下的原像。（12
2
分）
19、证明：函数
f(x)?x
增加的。（14分）
20、对于二次函数
y??4x
坐标；
（2）画出它的图像，并说明其图像 由
y??4x
的图
2
2
?1
是偶函数，且在
?0,??
?
上是
?8x?3
，（16分）
（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点
像经过怎样平移得来；
（3）求函数的最大值或最小值；
（4）分析函数的单调性。
21、设函数
y?f(x)
是定义在
R
上的减函数，并且满
?
1
?足
f(xy)?f(x)?f(y)
，
f
?
??
?1< br>，
3
??

（1）求
f(1)
的值， （2）如果
f(x)?f(2?x)?2
，求x
的取值范围。（16分）
第三章 指数函数与对数函数


§1正整数指数函数
一. 教学目标：
1．知识与技能
（1）理解正整数指数函数的概念和意义；
（2）理解和掌握正整数指数函数的图象和性
质；
（3）体会具体到一般数学讨论方式及数形结
合的思想；
2．情感、态度、价值观
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务
于生活的哲理.
（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.

§2.1指数概念的扩充
一．教学目标：
1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式

的概念；
（2）掌握分数指数幂和根式
之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算
性质；
（4）培养学生观察分析、抽
象等的能力.
2．过程与方法：
通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂
的概念，进而学习指数幂的性质.
3．情态与价值
（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗
透“转化”的数学思想；
（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一
丝不苟的学习习惯；
（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.
二．重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的
理解；
（2）掌握并运用分数指数幂的
运算性质；
2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解

教学过程：
一、复习
1.零指数、负整数指数的概念，以及它们
之间的关系.
2.浓缩后的3条法则是什么？怎样浓缩
好？

二、新课引入与讲解

在初中已学过，若是
大于1的整数，

是
的整数倍，那么

若
右端的
不是
就是一个分数
的整数倍，那么上式中

例如，当< br>＝2，
＝3时，，

了(引入自然，合理)

显然不能用正整数指
数幂来解释,所以必须对的分数指数幂重新定
义，为此规定，在