高中数学必修一集合与函数

高中数学必修一《集合与函数》

集合的概念与集合的表示


概 念
元素的性质
集


合
表
示
方
法
把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性
列
举
法
描
述
法
①元素不重复
②元素无顺序
③元素间用“，”隔开
①写清楚集合中元素的代号，如{x∈>0}，不能写成{x>2}；
②说明该集合中元素的性质；
③所有描述的内容都写在大括号内。
一般地，用大写拉丁字母如A、B、C表示集合，用小写拉丁字母a、
元素与集合的关系 b、c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就说a属于集合
A，记作a∈A；如果a不是集 合A的元素，就说a不属于A，记作
?
。
常用数集及其记法
N为零和正整 数组成的集合，即自然数集，N
*
或为正整数组成的集合；
Z为整数组成的集合；Q为 有理数组成的集合，R为实数组成的集合。


例题1 判断下列命题是否正确，并说明理由。
（1）{R}；
?
y?2x
（2）方程组
?
的解集为{1，2}；
y?x ?1
?
（3）{
2
－1}={
2
－1}={（x，y）2
－1}；
（4）平面内线段的垂直平分线可表示为{}。
答案：（1）{R }是不正确的，R通常为{为实数}，即R本身可表示为全体实数的集合，
而{R}则表示含有一个字母 R的集合，它不能为实数的集合。
?
y?2x
的解集为{1，2}是不对的，因为解 集的元素是有序实数对（x，
y?x?1
?
?
x?1
y），正确答案 应为{（x，y）|
?
}={（1，2）}。
y?2
?
（2）方程 组
?
（3）{
2
－1}={
2
－1}={（x，y）
2
－1}是不正确的。
{
2
－1}表示的是函数自变量的集合，它可以为{
2
－1}={∈R}。
{
2
－1}表示的是函数因变量的集合，它可以为{
2
－1}={≥－1}。
1 22

高中数学必修一《集合与函数》
{（x，y）
2
－1}表示点的集合，这些点在二次函数
2
－1的图象上。
（4）平面上线段的垂直平分线可表示为{}，该命题是正确的。
知识点拨：正确理解集合的 表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表
示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的 解集必须为{（x，y）|
?
?
x??
}的形式；对描
?
y ??
述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。

例题2 已知a∈{1，－1，a
2
}，则a的值为。
答案：∵a∈{1，－1，a
2
}，
∴a可以等于1，－1，a
2
。
（1）当1时，集合则为{1，－1，1}，不符合集合元素的互异性。故a≠1。
（2）同上，－1时也不成立。
（3）
2
时，得0或1，1不满足，舍去，0时集合为{1，－1，0}。
综上，0。
知识点拨：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意
集合元素 的互异性、确定性。

随堂练习：下列各组对象中不能构成集合的是……（ ）
A. 高一（1）班全体女生 B. 高一（1）班全体学生的家长
C. 高一（1）班开设的所有课程 D. 高一（1）班身高较高的男同学
知识点拨：根据集合的概念进行判断。因为A、B、C中所给对象都是确定的，从而可
以构成集 合；而D中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构
成集合。若将D中“身高 较高的男同学”改为“身高175 以上的男同学”，则能构成集合。
答案：D

判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序
性，特别是 确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，
要么该元素不属于集合 ，而不是模棱两可。
例题 判断以下对象能否组成集合。
（1）高一（1）班的身高大于1.75 m的学生；
（2）高一（1）班的高个子学生。
答案：（1）高一（1）班中身高大于1.75 m的学生是确定的，因此身高大于1.75 m的学
生可以组成集合。
（2）高一（1）班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合。




（答题时间：15分钟）
2 22

高中数学必修一《集合与函数》
1. 下列集合表示法正确的是（ ）
A. {1，2，3，3}
B. {全体有理数}
C. 0＝{0}
D. 不等式x－3>2的解集是{>5}
2. 下列语句
①集合{0②集合{1，2，1}含有三个元素；
③正整数集可以表示为{1，2，3，4，…}；
④由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}。
正确的是（ ）
A. 只有①和④
C. 只有③
A. {是不大于9的非负奇数}
B. {≤9，x∈N}
C. {1≤x≤9，x∈N}
D. {0≤x≤9，x∈Z}
4. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A. {＝1}
C. {x＝1}
A. 第一象限内的点集
B. 第三象限内的点集
C. 第一、三象限内的点集
D. 第二、四象限内的点集
6. {（x，y）＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为
。
B. {（y－1）
2
＝0}
D. {1}
B. 只有②和③
D. 只有③和④
3. 集合{1，3，5，7，9}用描述法表示应是（ ）
5. 集合M＝{（x，y）<0，x∈R，y∈R}是指（ ）


1. D
2. D 解析：①表示无限集，不能一一列举，故①不正确；②含有相同的元素，②不正确；
③、④正确。
3. A
4. C 解析：A、B、D三项表示的集合都是{1}，而C选项表示含有一个方程的集合。
5. D 解析：<0表示x>0且y<0或x<0且y>0。因此集合M表示第二、四象限内的点集。
6. {（0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}

集合的运算

3 22

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子 集
对于两个集合A、B，如果集合A中的
定 义 任意一个元素都是集合B中的元素，
称集合A为集合B的子集
符号语言 若任意x∈A，有x∈B，则
?
。
表示方法
性 质
子集个数
空 集
A为集合B的子集，记作
?
或
?
。
A不是B的子集时，记作
①
?
②
?
③
?
，
?
?
?

或。
真 子 集
若集合
?
，但存在元素x∈B，且
?
，称集合A是集合B的真子集
若集合
?
，但存在元素x∈B，且
?
，则

若集合A是集合B的真子集，记作
。
，且
n
或
?
A
?

含n个元素的集合A的子集个数为
2

含n个元素的集合A的真子集个数为
2
n
－1
A。
不含 任何元素的集合，记为
?
。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为
?
?< br>A；若A非空（即A≠
?
），则有
?
集合的运算：
1. 并集的概念
（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
（2）符号语言表示：A∪{∈A，或x∈B}。
（
3
）图形语言（图）表示：
2. 交集的概念
（1）自然语言表 示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合
A与B的交集。
（2）符号语言表示：A∩{∈A，且x∈B}。
（
3
）图形语言表示（图）：
3. 补集的概念
（1）自然语言表 示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集
合，称为集合A相对于全集U的补集， 简称为集合A的补集。
（2）符号语言表示：{∈U，且
?
}。
，阴影部分表示
A
。

。

。

（
3
）图形语言表示（图）：


例题1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。
（1）{
?
}表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集；
4 22

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（3）{1，2，3}不是{3，2，1}；
（4）{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}；
（5）如果
?
且A≠B，那么B必是A的真子集；
（6）
?
与
?
不能同时成立。
思路导航：对每个说法按照相关的定义进行分析，认真地与定义中的要素进行对比，即
答案： （1）不正确。应该改为：{
?
}，表示这个集合的元素是
?
。
（ 2）不正确。空集是任何非空集合的真子集，也就是说空集不能是它自身的真子集。
这是因为空集与空集 相等，而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集。由此也发
现了，如果一个集合是另一个集合 的真子集，那么这两个集合必不相等。
（3）不正确。{1，2，3}与{3，2，1}表示同一集合。
（4）不正确。{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}，
?
。
（5）正确。
（6）不正确。时，
?
与
?
能同时成立
知识点拨：结合本题，要注意以下几点：
（1）{
?
}不表示空集，它表示 以空集为元素的集合，所以（1）不正确。空集有专用的
符号“
?
”，不能写成{?
}，也不能写成{ }。
（2）分析空集、子集、真子集的区别与联系。
（3）不正确。两个集合是不是相同，要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是
不是都有相同的元 素与之对应，而不必考虑各元素的顺序。
（4）不正确。注意到
?
是每个集合的子集。所以这个说法不正确。
（5）正确。
?
包括两种情形：
?
和。
（6）不正确。时，
?
与
?
能同时成立。

例题2 已知集合{
2
－32=0，a∈R}，若A中元素至多只有一个，求a的取值范围。
知识点拨：对于方程
2
－32=0，a∈R的解，要看这个方程左边的二次项的系数，0或a≠ 0
时，方程的根的情况是不一样的。则集合A的元素也不相同，所以首先要分类讨论。
答案：（1）0时，原方程为－32=0
?
2
，符合题意；
3
9
。
8
（2）a≠0时，方程
2
－32=0为 一元二次方程，Δ=9－8a≤0
?
a≥
∴当a≥
9
时，方程
2
－32=0无实根或有两个相等实数根，这都符合题意。
8
9
综合（1）（2），知0或a≥。
8

例题3 设 集合A＝{－<1，x∈R}，B＝{1范围是（ ）
A. {0≤a≤6}
C. {≤0或a≥6}
B. {≤2或a≥4}
D. {2≤a≤4}
知识点拨：本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。
由－<1得－1∵A∩B＝?
∴可以分两种情况来讨论，一种是A集合在B集合的左边，一种是A集合在B集合的
5 22

高中数学必修一《集合与函数》
右边。
如图，由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6。

答案：C

随堂练习：满足{1，3}∪{1，3，5}的所有集合A的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
知识点拨：根据A∪B的定义可知，集合{1，3，5}应该是集合{1，3}和A的元素并在一起构成的集合，所以A中必有元素5，且其他元素只能从1，3中选出一个或两个或不选，
因此A 有四种可能：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}。
答案：D

（答题时间：15分钟）
则A中孤立元的个数为个。
2. 设－5∈{
2
－－5＝0}，则集合{
2
－4x－a＝0}中所有元素之和为。
3. 用另一种方法表示下列集合。
（1）{绝对值小于2的整数}；
（2）{能被3整除，且小于10的正数}；
（3）{＝，x<5且x∈Z}；
（4）{－3，－1，1，3，5}。

1. 集合A＝{2，3，5}，当x∈A 时，若x－1?A，x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元”，
4. 下面三个集合①{＝x
2
＋1}；②{＝x
2
＋1}；③{（x，y）＝x
2
＋1}。
（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们各自的含义是什么？
5. 已知
?
M
?
{1，2，3，…，9}，若a∈M且10－a∈M，则集合M的个数为（ ）
A. 29 B.30 C.32 D.31
6. 设集合S＝{A
0
，A
1
，A
2
，A
3
}，在S上定义运算
?为
?
＝，其中k为被4除的余数，
i，j＝0，1，2，3，则满足关系式（?
）
?
A
2
＝A
0
的x（x∈S）的个数为
（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 设全集I＝{1，2，3，…， 9}，A，B是I的子集，若A∩B＝{1，2，3}，就称集对（A，
B）为“好集”，那么所有“好 集”的个数为（ ）
A. 6！ B. 6
2
C. 2
6
D. 3
6

1. 1
∴2不是孤立元；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4?A，

解析：当x＝2时，x－1＝1?A，x＋1＝3∈A，
6 22

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∴3不是孤立元；
当x＝5时，x－1＝4?A，x＋1＝6?A，
∴5是孤立元。
2. 2
解析：∵－5∈{
2
－－5＝0}，
∴－5是方程x
2
－－5＝0的根。
∴（－5）
2
＋5a－5＝0，a＝－4。
∴x
2
－4x－a＝0即x
2
－4x＋4＝0，
∴x
1
＝x
2
＝2。
又∵集合中的元素是互异的，
∴{
2
－4x－a＝0}＝{2}。
3. 解：（1）列举法表示为{－1，0，1}。
（2）列举法表示为{3，6，9}。
（3）列举法表示为{0，1，2，3，4}。
（4）描述法表示为{＝2n－1，－1≤n≤3，n∈Z}。
4.
解：（1）是互不相同的集合。
（2）集合①{＝x
2
＋1}的代表元素是 x，满足条件y＝x
2
＋1中的x∈R，
∴{＝x
2
＋1}＝R；
集合②{＝x
2
＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x
2
＋1的y 的取值范围是y≥1。
∴{＝x
2
＋1}＝{≥1}；
集合③{（x，y ）＝x
2
＋1}的代表元素是（x，y），是满足y＝x
2
＋1的数对（x， y）的集
合；也可以认为是坐标平面内的点（x，y），由于这些点的坐标满足y＝x
2
＋1，
∴{（x，y）＝x
2
＋1}＝{抛物线y＝x
2
＋1上的点}。
5. D
解析：由题意，知M≠
?
且1与9，2与8，3与7，4与6 这4组数都要满足：每组数
的某一个数在集合M中，这组数的另一个也必定在集合M中，所以集合M的个 数为
135
C
5
?C
5
2
?C
5
?C
5
4
?C
5
?2
5
?1?31
。
6. B
解析：本题考查学生阅读理解能力与根据信息解决问题的能力。x＝A
0< br>时，（
?
）
?
A
2
＝A
2
≠A0
；
x＝A
1
时，（
?
）
?
A2
＝A
2
?
A
2
＝A
0
；
x＝A
2
时，（
?
）
?
A
2
＝A
0
?
A
2
＝A
2
≠A
0
；
x＝ A
3
时，（
?
）
?
A
2
＝A
2< br>?
A
2
＝A
0
；
所以选B。
7. D 解析：要使A∩B＝{1，2，3}，必须满足集合A，B中都含有元素1，2，3，且对全集
中的其他 6个元素中的每一个，要么在集合A中，要么在集合B中，或既不在A中也不在
B中，于是这6个元素所 在集合的不同情况有3×3×3×3×3×3＝3
6
种。而这6个元素所在集合
的不同 情况种数即为“好集”的个数。故选D。

7 22

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集合的应用


有关集合运算的性质
（1）A∪∪A；A∪；A∪
?
。

A
B
A
B
A (B)
A
B

（2）A∩∩A；A∩；A∩
?
=
?
。


A
B




A (B)


（3）（A）∪；（A）∩
?
；（A）。
（4）A∩
?
?
；A∪
?
?
；A∩
?
∪。
（5）（A∪B）=（A）∩（B），（A∩B）=（A）∪（B）。
A
B
A
B


例题1 设A、B、I均为非空集合，且满足
??
，则下列各式中错误的是（ ）
A. （A）∪ B. （A）∪（B）
C. A∩（B）=
?


D. （A）∩（B）
答案：对A选项，（A）∪（A∩（B））；
对B选项，（A）∪（B）=（A∩B）；
对C选项，A∩（B）=（A∪B）=
?
；
对D选项，（A）∩（B）=（A∪B）。
综上所述，应选B。
知识点拨：（1） 可根据题意画出韦恩图，借助于图形的直观性，对照选项A、B、C、D
即可求解。
（2）根 据题意
??
构造集合A、B、I，不妨设｛1｝，｛1，2｝，｛1，2，3｝，利用特殊值< br>代入法可求解。
（3）根据集合的反演律求解，即（A∪B）=（ A）∩（ B）；（A∩B）=（ A）
8 22

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∪（B）。

例题2 已知集合{a，b}，{∈A，}{
?
}，试判断A、B、C之间的关系。
知识点拨 ：B中元素x的取值来源于A，C中元素是A的子集。集合B中的代表元素
是x，x满足的条件是x∈A ，因此或，即{a，b}，而集合C则不然，集合C的代表元素虽
然也是x，但x代表的是集合，
?
，因此，{a}或{b}或{a，b}或
?
，即{
?
，{a}， {b}，{a，
b}}，此时集合C中的元素是集合，故B∈C，A∈C。
∴，B∈C，A∈C。
答案：，B∈C，A∈C。
知识点拨：对于元素与集合、集 合与集合之间的∈、
?
关系要理解透彻，“∈”用于描述
元素与集合之间的关系，即只 要元素a是构成集合A的一个元素，则a∈A，如{1}与{{1}，
{2}}，尽管{1}是一个集合 ，但{1}是构成集合{{1}，{2}}的一个元素，故{1}∈{{1}，{2}}，
“
?
”用于描述集合与集合之间的关系，如{1，2，3}
?
{1，2，3，4}。

例题3 某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参
加物理 、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有
4人，画出集合关系 图，并求出全班人数。
思路导航：本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化成符号语言，借 助于韦
恩图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解。
设参加数学、 物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，由题意可知A、
B、C三集合中元素的个数分 别为27、25、27，A∩B、B∩C、A∩C、A∩B∩C的元素个数分
别为10、7、11、4。 画出韦恩图：

可知全班人数为10+13+12+6+4+7+3=55（人）。
答案：

全班人数
55
人。

点评： 能正确使用一些集合符号把文字语言转化成符号语言、图形语言，是我们把实际
问题转化成数学问题的关 键，它实现了实际问题向数学问题的转化。

1. 解有关集合的交、并、补集时，可根 据题设条件构造出一些新的数学形式（韦恩图或符
合题设条件的集合A、B、I），并借助它认识和解决 原问题，这种构造法对解好选择题有很
大的帮助。
9 22

高中数学必修一《集合与函数》
2. 一般来说，元素与集合之间应该用“< br>?
”或“∈”；而“
?
，”应该出现于集合与集合之间；
?
作 为特殊集合应遵从
?
?
A，
?
A（非空）。但这不是绝对的，选择的 关键在于具体分
{
?
，1}都是对的。 析二者的关系。例{1，2}∈{{1，2} ，{1}}，而
?
∈{
?
，1}，
?
（答题时间：15分钟 ）
1. 若A、B、C为三个集合，A∈B＝B∩C，则一定有（ ）
A.
?
B.
?
C. A≠C D. A＝
?

2. 若集合A＝{1，2，x，4}，B＝{x
2
，1}，A∩B＝{1，4}，则满足条件的实数x的值为
（ ）
A. 4 B. 2或－2 C. －2 D. 2
3. 设集合S＝{－2，－1，0，1，2}，T＝{x∈1≤2}，则（S∩T）等于（ ）
A.
?

B. {2} C. {1，2} D. {0，1，2}
4. 设U为全集，M、P是U的两个子集，且（M）∩P＝P，则M∩P等于（ ）
A. M B. P C.
取值范围是（ ）
A. a＜1 B. a≤－1 C. a＞2 D. a≥2
6. 设满足y≥－1|的点（x，y）的集合为A，满足y≤－2的点（x，y）的集合为B，则A∩B所表示图形的面积是。
7. 设A＝{
2
+4x＝0}，B＝{
2
+2（1）
2
－1＝0}，若A∩B＝B，求a的值。
P D.
?

5. 设集合M＝{∈R且－1＜x＜2}，N＝{∈R且≥a，a＞0} ，若M∩N＝
?
，那么实数a的


10 22

高中数学必修一《集合与函数》

??
1. A 解析：由A∪B＝B∩C，知A∪，A∪，∴
??
。故选A。
2. C 解析：由 A∩B＝{1，4}，B＝{x2，1}，得x2＝4，得x＝±2，又由于集合元素互异，
∴x＝－2 。
3. B 解析：由题意，知T＝{≤1}，∴S∩T＝{－2，－1，0，1}，∴（S∩T）＝{2}。
4. D 解析：由（M）∩P＝P，知
?
，于是P∩M＝
?
。故选D。
5. D 解析：M＝{－1＜x＜2}，N＝{≤－a或x≥a}。若M∩N＝
?
，则－a≤－1且a≥
2，即a≥1且a≥2，综上a≥2。
3
解析：画出y≥ －1|及y≤－2的图象，则A∩B表示的图形为矩形；由交点坐标及
2
3
图象与坐标 轴的交点坐标简单计算即得
S
矩形
?
。
2
6.
7. a≤－1或a＝1。
解：A＝{
2
+4x＝0}＝{0，－4}。
（1）由A∩B＝B，得
?
。
∴B＝
?
或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}。
若B＝
?
，则4（1）
2
－4（a
2
－1）＜0，则a＜－1。
?
?2(a?1)?0,
若B＝{0}，则
?
2

?
a?1?0,
∴a＝－1。
?
?2(a?1)??8,
若B＝{－4}，则
?
2
无解。
?
a?1?16,
?
?2(a?1)??4,
若B＝{0，－4}， 则
?
2

?
a?1?0.
解得a＝1。
∴所求a的范围是a≤－1或a＝1。


函数概念及函数的表示



设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对
函数的定义
函数的三要素
于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它
对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作（x）
函数的定义域、值域、对应关系，符号表示为f：A→B，A为定义域，
11 22

高中数学必修一《集合与函数》
B为值域C的一个扩集，（即C为B的子集）f为对应关系
（x）的内涵
两个函数相等
当自变量为x时，经过f对应的函数值为f（x），即（x）不一定有具
体解析式
两 个函数的三要素相同
?
定义域、对应关系、值域相同
?
定义域、
对应 关系相同

例题1 下列对应是从集合M到集合N的函数的是（ ）
A. ，，f：x→
1

x?1
x
B. ，（正实数组成的集合），f：x→
C. {≥0}，，f：x→y
2

D. ，{≥0}，f：x→
2

思路导航：本题主要考查函数的定义。A. 对于M中的元素－1，N中没有元素与之对
应，故该对应不是从M到N的函数。B. 对于M中任意值为负数的元素，N中没有元素与
之对应，该对应f：M→N不是函数。C. 对于M中的 任一元素，如4，通过对应法则f：x→y
2
得到N中有两个元素±2与之对应，故f：x→y
2
不是从M到N的函数。
答案：D
点评：判断一个对应法则是否构成函数 ，关键是看给出定义域内的任意一个值，通过给
出的对应法则，看是否有且只有一个元素与之对应。

例题2 下列四组函数中，有相同图象的一组是（ ）
A. －1，
(x?1)
2
B.
x?1
，
x?1

x?1
2x
2
?4
C. 2，
2

x?2
D. 1，
0

思路导航：A. －1与
(x?1)
2
－1|的对应法则不同；B.
x?1
的定义域 为［1，+∞），
x?1
的定义域为（1，+∞），两函数的定义域不同；D. 1的定义域为 R，
0
的定义域为（－
x?1
2x
2
?4
∞，0） ∪（0，+∞），两函数定义域不同；C. 2与
2
是两相等的函数，所以图象相同。
x?2
选C。
答案：C
点评：1. 定义域、对应关系、值域分别相同的函数有相同的图象，三要素中只要有一项
不同 ，两个函数就不相等。由于值域由定义域与对应关系所确定，所以判断函数是否相等，
只要判断定义域与 对应关系是否相同即可。
2. 判断对应法则是否相同，可以化简以后再判断，但是必须通过原函数解析式求函数的
定义域。

例题3 如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，其下底是
⊙O的 直径，上底的端点在圆周上，梯形周长y是否是腰长x的函数？如果是，写出函数关
系式，并求出定义域 。
12 22

高中数学必修一《集合与函数》

思路 导航：判定两个变量是否构成函数，关键看两个变量之间的对应关系是否满足函数
定义。该题中的每一个 腰长都能对应唯一的周长值，因此周长y是腰长x的函数。若要用腰
长表示周长的关系式，应知等腰梯形 各边长，已知下底长为2R，两腰长为2x，因此只需用
已知量（半径R）和腰长x把上底表示出来，即 可写出周长与腰长的函数关系式。
如上图，2R，C、D在⊙O的半圆周上，设腰长，作⊥， 垂足为E，连结，那么∠是直
角，由此△∽△。
x
2

。
2R
x
2
∴－22R－
。
R
∴
2
·，即
∴周长y满足关系式
x
2
x
2
22（2R－
）=－
+24R，
RR
x
2
即周长y和腰长x间的函数关系式－+24R。
R

?
?
x?0,
∵是圆内接梯形，∴>0，>0， >0，即
?
2
解不等式组，得函数
?
x
?0,
?< br>2R
?
?
x
2
2R??0.
?
R
?
y的定义域为
{02
R}。
x
2
?2x?4R
，y的定义域为{02
R}。 答 案：函数关系式为
?
R
点评：该题是实际应用问题，解题过程是从实际问题出发，利用 函数概念的内涵，判断
是否构成函数关系，进而引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定 义域，并
结合问题的实际意义作出回答。这个过程实际上就是建立数学模型的最简单的情形。













A



特殊映射
特殊性
1. 集合A、B都是非空数集。

B
2. 自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的
集合C叫做函数的值域。

注意：值域C并不一定等于集合B，而只能说C是B的一个子集。

13 22

高中数学必修一《集合与函数》


几何三要素


定义域A 对应法则f 值域B


f是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键，所以必须是确定的，
且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应。


（答题时间：15分钟）
1. 下列四组中f（x），g（x）表示相等函数的是（ ）
A. f（x）＝x，g（x）＝（）
2
B. f（x）＝x，g（x）＝
C. f（x）＝1，g（x）＝ D. f（x）＝x，g（x）＝
2. 下列函数中，定义域不是R的是（ ）
A. y＝＋b B. y＝
C. y＝x
2
－c D. y＝
3. 已知函数f（x）＝2x－3，x∈{1，2，3}，则f（x）的值域为。
4. 已知函数f（x）＝x
2
＋x－1.
（1）求f（2），f（），f（a）。
（2）若f（x）＝5，求x.
5. 下列式子中不能表示函数y＝f（x）的是（ ）
A. x＝y
2
＋1 B. y＝2x
2
＋1
C. x－2y＝6 D. x＝



1. B 解析：对于A、C，函数定义域不同；对D，两函数对应关系不同。
2. B 解析：选项A、C都是整式函数，符合题意，选项D中，对任意实数x都成立。
3. {－1，1，3} 解析： 当x＝1时，
f（1）＝2×1－3＝－1，
当x＝2时，f（2）＝2×2－3＝1，
当x＝3时，f（3）＝2×3－3＝3，
∴f（x）的值域为{－1，1，3}。
4. 解：（1）f（2）＝2
2
＋2－1＝5，
f（）＝＋－1＝，f（a）＝a
2
＋a－1.
（2）∵f（x）＝x
2
＋x－1＝5，
∴x
2
＋x－6＝0，∴x＝2或x＝－3.
14 22

高中数学必修一《集合与函数》
5. A 解析：对于A，
由x＝y
2
＋1得y
2
＝x－1.
当x＝5时，
y＝±2，故y不是x的函数；
对B，y＝2x
2
＋1是二次函数；
对C，x－2y＝6?y＝
1
x－3是一次函数；
2


对D，由x＝得y＝x
2
（x≥0）是二次函数。故选A.
函数的单调性


性
质
增
函
数

减
函
数

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就
单调性与单调区间 说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单
调区间。
设函数f（x）的定义域为I 。如果对于定义域I内某个区
间D上的任意两个自变量的值x
1
、x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有
f（x
1
）＞f（x< br>2
），那么就说函数f（x）在区间D上是减函
数。
图 象 定 义
设函数f（x）的定义域为I。如果对于定义域I内某个区
间D上的任意两个自变量的值x1
、x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有
f （x
1
）＜f（x
2
），那么就说函数f（x）在区间D上是增函
数 。

例题1 利用单调性定义证明：函数f（x）=
x?1
在其定义域内是增函数。
思路导航：本 题是利用单调性定义证明函数单调性的一个典型例子，由于函数的定义域
没有给出，证明前要先求出定义 域，然后证明。
答案：证明：证法一：函数f（x）=
x?1
的定义域是x∈［1， +∞），任取x
1
、x
2
∈［1，
+∞）且x
1
＜ x
2
，则f（x
2
）－f（x
1
）=
x
2
?
1
－
x
1
?1

15 22

高中数学必修一《集合与函数》
=
(x
2
?1?x
1
?1)(x
2
?1)?x
1
?1)
x
2
?1?x
1
?1
?
x
2
?x
1
x
2
?1?x
1
?1
。
∵x
1
、x
2
∈［1，+∞），且x
1
＜x
2
，∴
x
2?
1
+
x
1
?1
＞0，x
2
－x1
＞0。
∴f（x
1
）＜f（x
2
），即函数f（x ）=
x?1
在其定义域上是增函数。
证法二：函数f（x）=
x?1
的定义域是x∈［1，+∞］，任取x
1
、x
2
∈［1，+∞）且x
1
＜x
2
，则
f(x
1
)
?
f(x2
)
x
1
?1
x
2
?1
?
x
1
?1
，
x
2
?1
∵x
1
、x
2
∈［1，+∞），且x
1
＜x
2
，∴0≤x
1< br>－1＜x
2
－1。
∴0≤
x
1
?1
x1
?1
＜1。∴＜1。∵f（x
2
）=
x
2
?
1
＞0，∴f（x
1
）＜f（x
2
）。
x
2
?1
x
2
?1
∴函数f（x）=
x?1
在其定 义域［1，+∞）上是增函数。
点评：函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是 连续的。用定义
证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差（或作商）——变形——定号——判断” 。当
函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数
式时常用此法。解决带根号的问题，常用的方法就是将分子、分母有理化。从形式上看是由
“－”变成 “+”。

例题2 f（x）是定义在（ 0，＋∞）上的增函数，且f（
（1）求f（1）的值。
（2）若f（6）= 1，解不等式 f（ x＋3 ）－f（
x
）= f（x）－f（y）
y
1
）＜2。
x
思路导航：（1）利用赋值法，在等式中令1，则f（1）=0。
36
（ 2）在等式中令36，6，则
f()?f(36)?f(6),?f(36)?2f(6)?2
。
6
故原不等式为：
f(x?3)?f()?f(36),
即f[x（x＋ 3）]＜f（36），又f（x）在（0，
＋∞）上为增函数，
1
x
?x?3?0
?
1153?3
?
故不等式等价于
?
?0< br>。
?0?x?
x2
?
?
?
0?x(x?3)?36
答案：（1）0 （2）
0?x?
153?3

2
点评：对于这种抽象函数问题，常利用赋值法解题。

例题3 作出函数f（x）=
x?2x?1?
单调区间。
思路导航：由于所给的函数是两个被 开方数和的形式，而被开方数恰能写成完全平方的
形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的形式，再 作图写出单调区间。
原函数可化为
16 22
2
x
2
?2x?1
的图象，并指出函数f（x）的

高中数学必修一《集合与函数》
?
?2x,
?
f（x）
x
2
?
2
x?
1
?x
2
?
2
x?
1
1－1
?
2,
?
2x,
?
答案：函数的图象如图所示：
x??1,
?1?x?1,

x?1.

所以函数的递减区间是（－∞，－1］，函数的递增区间是［1，+∞）。
点评：若 所给的函数解析式较为复杂，可先化简函数解析式，作出草图，再根据函数的
定义域和图象的直观性写出 单调区间。去绝对值的关键是令每一个绝对值等于0，找到分界
点，再讨论去绝对值。

（答题时间：15分钟）
1. 设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的命题为（ ）
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增 ②若f（x）单调

递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增 ③若f（x）单调递减，g（x）单调递
增，则f（x）－g（x）单调递减 ④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）
单调递减
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
2. 已知函数f（x）在［－2，3］上单调，且f（－2）·f（3）<0，则方程f（x）=0在 ［－
2，3］内（ ）
A. 至少有一实根 B. 至多有一实根 C. 没有实根 D. 必有唯一实根
3. 设函数f（x）是（－∞，+∞）上的减函数，则（ ）
A. f（a）>f（2a） B. f（a
2
）C. f（a
2
）2
+1）4. f（x）是定义在R上的增函数，有下列函 数：①［f（x）］
2
是增函数；②
数；③－f（x）是减函数；④（x）|是增函数 。其中错误的结论是。
5. 已知函数f（x）
2
在（－∞，－1）上递减，在［－ 1，+∞］上递增，则f（x）在［－2，
2］上的值域为。
6. 函数
1
是减函
f(x)
1?x
的单调递减区间是。
1?x
7. 用定义证明－x
3
+1在（－∞，+∞）是递减函数。
8. 求函数2x－1－
13?4x
的最大值。
17 22

高中数学必修一《集合与函数》


1. C 解析：由函数单调性定义可得：②③正确，也可举反例否定①④命题。
2. D 解析：由于f（x ）在［－2，3］上单调，又f（－2）·f（3）<0，∴（x）在［－2，
3］上必与x轴有一交点 ，如下图。故选D。
3. D 解析：∵a
2
+1－（a－
∴a
2
+1>a。
1
2
3
）
+>0，
2
4

∵f（x）在（－∞，+∞）上为减函数，
∴f（a
2
+1）4. ①②④
解析：利用函数的单调性定义判断。
5. ［－1，8］
解析：由条件知：－
m
=－1，∴2。
2

∴f（x）
2
+2x，∴－1，（2）=8。

6. （－∞，－1）和（－1，+∞）
解析：解
1?x2
－1+，可得单调递减区间是（－∞，－1）和（－1，+∞）。
1?xx?1
7. 证明：设x
1
2
∈R，则Δ
2
－x
1
>0，
Δ（x
2
）－f（x
1
）=（－x
2
3
+1）－（－x
1
3
+1）

1
3
－x
2
3
=（x
1
－x
2
）（x
1
2
1
x
22
2
）
=（x
1
－x
2
）［（x
1
+
x
2
2
3
2
）
2
］。
4
2
∵x
1
－x
2
=－Δx<0，
18 22

高中数学必修一《集合与函数》
3
x
2
2
）
≥0，x
2
2
≥0且x
1
≠x< br>2
，
4
2
3
x
∴（x
1
+
2
）
2
2
2
>0，
4
2
（x
1
+
∴Δy<0，即函数f（x）=－x
3
+1在（－∞，+∞）上是递减函数。
13? t
2
13?t
2
t
2
111
2
8. 解法一：∵令
13?4x
（t≥0），则
，∴－1－－－－（1）
+6。 < br>44
2
22
1
（1）
2
+6在［0，+∞］上为减函 数，
2
11
∴当0时，y有最大值
。
2
13
解法二：函数的定义域为（－∞，）。
4
1313
∵2x－1在（－∞，
）上递增，
13?4x
在（－∞，）上递减，
44
13
∴2x－1－
13?4x
在（－∞，
）上为增函数。
4
1311
∴当时，y有最大值。
42
∵t≥0，∴－

函数的奇偶性



偶函数
性 质
图象关于y轴对称；
定义域关于原点对称。
图象关于原点对称；定义域关于原
奇函数
注意：
在公共定义域内，
（1）奇函数与奇函数之积是偶函数；
（2）奇函数与偶函数之积是奇函数；
（3）偶函数与偶函数之积是偶函数；
（4）奇函数与奇函数的和（差）是奇函数；
（5）偶函数与偶函数的和（差）是偶函数。
点对称；定义域中有零，则其图象
必过原点，即f（0）=0。
定 义
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个
x，都有f（－x）（x），那么函数f（x）就叫
偶函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个
x，都有f（－x）=－f（x），那么函 数f（x）
就叫奇函数
19 22

高中数学必修一《集合与函数》

例题1 已知f（x）是偶函数 ，且在（0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（－∞，0）
上是增函数还是减函数，并加以证明。
思路导航：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调
性必须用 定义证明。
答案：f（x）在（－∞，0）上是增函数。证明如下：
设x
1
2
<0，－x
1
>－x
2
>0，
∴f（－x
1
）2
）。
由于f（x）是偶函数 ，因此f（－x
1
）（x
1
），f（－x
2
）（x
2
）。
∴f（x
1
）2
），即f（x）在（－∞ ，0）上是增函数。
点评：利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区 间的
问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解
决问题。

例题2 若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）（1－x） ，求当x≥0时，
函数f（x）的解析式。
思路导航：将x＜0时f（x）的解析式转化到x＞0的区间上，这是解决本题的关键。
由于 f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=－f（x）=－{（－x）［1－（－x）］}（1）；
当0时，f（0）=－f（0），即f（0）=0。
∴当x≥0时，f（x）（1）。
答案：当x≥0时，f（x）（1）
点评：判断分段函数的奇偶性时，应对x在各个区间上分 别讨论，由x的取值范围确定
相应的函数表达式，最后要综合得出在定义域内总有f（－x）（x）或f （－x）=－f（x），从
而判定其奇偶性。

例题3 设f（x）在R上是偶函 数，在区间（－∞，0）上递增，且有f（2a
2
1）＜f（3a
2
－2a+ 1），求a的取值范围。
思路导航：要求a的取值范围，就要列关于a的不等式（组），因而利用函数 的单调性、
奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数式”是关键。
答案：由f（x）在R上 是偶函数，在区间（－∞，0）上递增知f（x）在（0，+∞）上递
减。
∵2a
2
1=2（
1
2
7
1
2
）
+
＞0， 3a
2
－2a+1=3（a－）
2
+
＞0，
3
483
且f（2a
2
－2a+1）＜f（3a
2
－2a+1），
∴2a
2
1＞3a
2
－2a+1，
即a
2
－3a＜0。
解得0＜a＜3。
点评：该例题在求解过程中，要注意利用偶函数的对称性，一侧递增，一侧递减。


20 22

高中数学必修一《集合与函数》
复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关，其规律可列表如下：
（1）若函数f（x） 、g（x）、f［g（x）］的定义域都是关于原点对称的，那么由（x），（u）
的奇偶性得到［g（ x）］的奇偶性的规律如下：
函数
（x）
（u）
［g（x）］
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇偶性
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
即当且仅当（x）和（u）都是奇函数时，复合函数［g（x）］是奇函数。
（2）若函数（x）在区间［a，b］上是单调函数，函数（u）在［g（a），g（b）］或［g
（ b），g（a）］上也是单调函数，那么复合函数［g（x）］在区间［a，b］上是单调函数，其
单调 性规律如下：
函数
（x）
（u）
［g（x）］

增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
单调性
减函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
即当（x），（u）增减性相同时，［g（x）］为增函数；增减性相反时，［g（x）］为减函数。
（答题时间：15分钟）
1. 下列命题中错误的是（ ）
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数
②奇函数的图象一定过原点
③偶函数的图象与y轴一定相交
④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数
A. ①② B. ③④
C. ①④ D. ②③
2. 已知f（x）＝x
7
＋
5
＋－5，且f（－3）＝5，则f（3）＝（ ）
A. －15 B. 15
C. 10 D. －10
3. 已知偶函数（fx）在区间[0，＋∞）单调递增，则满足（f2x－1）<的x取值范围是（ ）
A. B.
C. ` D.
4. 若f（x ）＝
2
＋＋c（a≠0）为偶函数，则g（x）＝
3
＋
2
＋ 的奇偶性为。
5. 已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x
2
＋x－2，求f（x），g（x）
的表达式。
6. 函数f（x）＝是定义在（－1，1）上的奇函数，且＝，求函数f（x）的解析式。
7. 定义在（ －1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且f（1－a）＋f（1－a
2
）<0，求实数a< br>的取值范围。



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高中数学必修一《集合与函数》
1. D
交，故③错。
2. A

解析：f（x）＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝为偶函数， 其图象与y轴不相
解析：解法1：f（－3）＝（－3）
7
＋a（－3）
5< br>＋（－3）b－5＝－（3
7
＋a·3
5
＋3b－5）
－10 ＝－f（3）－10＝5，
∴f（3）＝－15.
解法2：设g（x）＝x
7
＋
5
＋，则g（x）为奇函数，
∵f（－3）＝g（－3）－5＝－g（3）－5＝5，
∴g（3）＝－10，∴f（3）＝g（3）－5＝－15.
3. A
解析：由题意得|2x－1|<，－<2x－1<
<2x<，4. 奇函数
解析：由f（x）＝
2
＋＋c（a≠0）为偶函数得b＝0， 因此g（x）＝
3
＋，∴g（－x）＝－
g（x），
∴g（x）是奇函数。
5. f（x）＝x
2
－2，g（x）＝x.
解析：f（－x）＋g（－x ）＝x
2
－x－2，由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f（x）
－g（x） ＝x
2
－x－2
又f（x）＋g（x）＝x
2
＋x－2，两式联立得：
f（x）＝x
2
－2，g（x）＝x。
6. f（x）＝。
解析：因为f（x）是奇函数且定义域为（－1，1），
所以f（0）＝0，即b＝0.
又＝，所以＝，
所以a＝1，所以f（x）＝。
7. {0解析：由f（1－a）＋f（1－a
2
）<0及f（x）为奇函数得，f（1－a）2
－1），
∵f（x）在（－1，1）上单调减，
∴ 解得0故a的取值范围是{022 22