新人教版高中数学必修一全套教案

第一章 集合与函数概念

§1．1集合
1.1.1 集合的含义与表示（第一课时）
教学目标：1.理解集合的含义。
2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。
3.熟记有关数集的专用符号。
4.培养学生认识事物的能力。
教学重点：集合含义
教学难点：集合含义的理解
教学方法：尝试指导法
教学过程：
引入问题
（I）提出问题
问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？
问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？
讨论问题：按小组讨论。
归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的 问题，因此需用集合的语言加以描述
（板书标题）。
复习问题
问题3：在小学和初 中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式
x?7?3
的 解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。
（II）讲授新课
1．集合含义
观察下列实例
（1）1~20以内的所有质数；
（2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星；
（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；
（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；
（5）所有的正方形；
（6）到直线
l
的距离等于定长
d
的所有的点；
（7）方程
x?3x?2?0
的所有实数根；
（8）银川九中2004年8月入学的高一学生全体。
通过以上实例，指出：
（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 < br>说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。
（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母
a,b,c…表示。
问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？
2. 集合元素的三个特征
1
第 页
2

问题：
（1）A={1，3}，问3、5哪个是A的元素？
（2）A={所有素质好的人}，能否表示为集合？B={身材较高的人}呢？
（3）A={2，2，4}，表示是否准确？
（4）A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}，是否表示为同一集合？
由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：
（1） 确定性：
设A是一个给定 的集合，a是某一具体的对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况
必有一种而且只有一 种成立。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）
“中国古代四大发 明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大
的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合
元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于
?
”及 “不属于
?
两种)
若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a
?
A；
若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a
?
A。
如A={2， 4，8，16}，则4
?
A，8
?
A，32
?
A.(请学生 填充)。
（2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。
说明:一个给定集合中的 元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素
时,一定是指两个不同的元 素. 如:方程(x-2)(x-1)=0的解集表示为
?
1,-2
2
?,而不是
?
1,1,-2
?

（3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换. 。
3.常见数集的专用符号
N：非负整数集（自然数集）

N*或N
+
：正整数集，N内排除0的集
Z：整数集
Q：有理数集
R：全体实数的集合
（III）课堂练习
1.课本P
2、3
中的思考题
2.补充练习：
（1） 考察下列对象是否能形成一个集合？
① 身材高大的人 ②所有的一元二次方程
③ 直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体
⑤ 比2大的几个数 ⑥
2
的近似值的全体
⑦ 所有的小正数 ⑧所有的数学难题
（2） 给出下面四个 关系:
3
?
R,0.7
?
Q,0
?
{0},0?
N,其中正确的个数
是:( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
（3） 下面有四个命题:
①若-a
?
Ν,则a
?
Ν ②若a
?
Ν,b
?
Ν,则a+b的最小值是2
2
③集合N中最小元素是1 ④ x+4=4x的解集可表示为{2,2}
其中正确命题的个数是( )
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3






（IV
）课时小
结
1.集
合的含
义；
2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象 是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集
合的表示，无序性可用于判定集合的关系。
2
第 页

3.常见数集的专用符号.
（V）课后作业
一、 书面作业
1. 教材P
11
，习题1.1 A组第1题
2. 由实数-a, a,
a
,
a
, -
5
a
为元素组成的集合中,最多有几个元素? 分别为
25
什么?
3. 求集合{2a,a+a}中元素应满足的条件?
4. 若
2
1?t
?
{t},求t的值.
1?t

1.1.1 集合的含义与表示（第二课时）
教学目标：
1.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）
2.通过实例能使学生选择自然语言、 图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受
集合语言的意义和作用
教学重点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）
教学难点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）的理解
教学方法：尝试指导法和讨论法
教学过程：
（I）复习回顾
问题1：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明.
问题2：集合与元素关系是什么？如何表示？
问题3：常用的数集有哪些？如何表示？
（II）引入问题
问题4：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的? 如表示下列数中的正数
4.8,-3,
2
,-0.5,
1
,+73,3.1
3



4.8,
1
,+73,3.1,
3
方法1:
2

方法2: {4.8,
2
,
1
,+73,3.1}
3
问题5：在初中学习不等式时,如何表示不等式x+3<6的解集?（可表示为:x<3）
(III) 讲授新课
一、集合的表示方法
问题4中，方法1为图示法，方法2为列举法.
1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.
说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；
(2)一般不必考虑元素之间的顺序；
(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
3
第 页

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分 元素,以提供某种规律,
其余元素以省略号代替；

例1．用列举法表示下列集合：
(1)小于5的正奇数组成的集合；
(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；
(3)从51到100的所有整数的集合；
(4)小于10的所有自然数组成的集合；
(5)方程
x?x
的所有实数根组成的集合；
(6)由1~20以内的所有质数组成的集合。
问题6：能否用列举法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。
2. 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写
在大括号里的方法)。
表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素； p叫做元素x所具有的公共属性；A={x
∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的， 即若x具有性质p，则x
?
A；若x
?
A,则x
具有性质p。
说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；
(2)应防止集合表示中的一些错误。
如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1, y=2},{x∣1,2}，用{实数集}或{全体实数}表示R。
例2．用描述法表示下列集合：







(1) 由适合x-x-2>0的所有解组成的集合;
(2) 到定点距离等于定长的点的集合;
(3) 抛物线y=x上的点;
(4) 抛物线y=x上点的横坐标;
(5) 抛物线y=x上点的纵坐标;
2
2
2
2
2
例3．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程
x?2?0
的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。


二、集合的分类
例4．观察下列三个集合的元素个数
1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x
?
R∣0?
R∣x+1=0}
2
2
由此可以得到
?
有限集:含有有限个元素的集合
?< br>集合的分类
?
无限集:含有无限个元素的集合

?
空集:不含有任何元素的集合?(empty?set)
?
三、文氏图
集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下：
画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：
4
第 页

表示任意一个集合A 表示{3，9，27}
说明：边界用直线 还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边
就行，但不能理解成圈内 每个点都是集合的元素.
(IV)课堂练习
1.课本P
4
思考题和P
6
思考题及练习题。
2.补充练习

?
x?y?2
?
a.方程组 的解集用列举法表示为________；用描述法表示
?
x?y?5
为 .
b. {(x,y) ∣x+y=6，x、y∈N}用列举法表示为 .
c.用列举法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集?
(1){x∣x为不大于20的质数}; (2){100以下的,9与12的公倍数};
(3){(x,y) ∣x+y=5,xy=6};
d.用描述法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集?
(1){3,5,7,9}; (2){偶数};
(3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),…};
e.判断下列集合是有限集还是无限集或是空集?
(1){2,4,6,8,…}; (2){x∣1 (3){x
?
Z∣-1?
N∣3f.判断下列关系式是否正确?
(1) 2
?
Q; (2) N
?
R; (3) 2
?
{(2,1)}
(4) 2
?
{{2},{1}}; 年(5) 菱形
?
{四边形与三角形}; (6) 2
?
{y∣y=x};
2
(V)课时小结
1.通过学习清楚表示集合的方法，并能灵活运用。
2.注意集合?在解决问题时所起作用。
（VI）课后作业
1.书面作业：课本P
11
习题1.1 A组题第2、3、4题。
1.1.2 集合间的基本关系（1课时）
教学目标：1.理解子集、真子集概念；
2.会判断和证明两个集合包含关系；
3.理解“

”、“ ”的含义；

4.会判断简单集合的相等关系；
5.渗透问题相对的观点。
教学重点：子集的概念、真子集的概念
教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算
教学方法：讲、议结合法
5
第 页

教学过程：
（I）复习回顾： 问题1：元素与集合之间的关系是什么?
问题2：集合有哪些表示方法? 集合的分类如何?
（Ⅱ）讲授新课
观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？
(1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.
(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.
(3) A={正方形}，B={四边形}.
(4) A=
?
，B={0}.
（5）A={银川九中高一（11）班的女生}，B={银川九中高一（11）班的学生}
通过观察就会发现，这五组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有：
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，
我们就说集合 A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A
?
B（或B
?
A）,即若任意 x
?
A,
有x
?
B，则A
?
B(或A
?< br>B)。
这时我们也说集合A是集合B的子集。
如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作A B（或B A），即:若存在
x
?
A,有x
?
B，则A B(或B A)
说明：A
?
B与B
?
A是同义的，而A
?
B与B< br>?
A是互逆的。
规定:空集
?
是任何集合的子集，即对于任意一个集 合A都有
?
?
A。
例1．判断下列集合的关系.
(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;
(5) A={x| (x-1)=0}， B={y|y-3y+2=0};
(6) A={1,3}， B={x|x-3x+2=0};
(7) A={-1,1}， B={x|x-1=0};
（8）A={x|x是两条边相等的三角形} B={x|x是等腰三角形}。
问题3：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？
2
2
22
?
集合A与集合B的元素完全相同，从而有：
2.集合相等
定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素 （即A
?
B），
同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即B
?
A），则称集合A等于集合B，记作
A=B。如：A={x|x=2m+1，m
?
Z }，B={x|x=2n-1，n
?
Z}，此时有A=B。
问题4：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是）
（2）除去
?
与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？（包含于A，但不等于A）
3.真子集：由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：
(1)A
?
A (任何集合都是其自身的子集)；
(2)若A
?
B，而且A
?
B（ 即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集合B的真子集，记作A B。
≠
（空集是任何非空集合的真子集）
(3)对于集合A，B，C，若A B，B C，即可得出A C；对A B，B C，同样有A C, 即：包含关系
≠≠≠
6
第 页
???
?

具有“传递性”。
4.证明集合相等的方法：
（1） 证明集合A，B中的元素完全相同；（具体数据）
（2） 分别证明A
?
B和B
?
A即可。（抽象情况）对于集合A， B，若A
?
B而且B
?
A，则A=B。
（III） 例题分析：
例2．判断下列两组集合是否相等？
（1）A={x
|
y=x+1}与B={y
|
y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}
例3．(教材P
7
例3)写出{a，b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
例4．解不等式x-3>2，并把结果用集合表示。
结论：一般地，一个集合元素若为n个， 则其子集数为2个，其真子集数为2-1个，其
非空子集数为2－1个，其非空真子集数为2－2个，特 别地，空集的子集个数为1，真
子集个数为0。

(IV) 课堂练习
1.课本P
7
，练习1、2、3;
2.设A={0，1}，B={x|x
?
A}，问A与B什么关系？
3.判断下列说法是否正确？
（1）N
?
Z
?
Q
?
R； （2）
?
?
A
?
A；
（3）{圆内接梯形}
?
{等腰梯形}； （4）N
?
Z；
（5）
?
?
{
?
}； （6）
?
?
{
?
}
4.有三个元素的集合A，B，已知A ={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y
的值。
（V）课时小结
1. 能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；
注意： 子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。（因为：“空集是任何集合的子集”，但空集
中不含任 何元素；“A是A的子集”，但A中含有A的全部元素，而不是部分元素）。
2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
nn
nn
3． 注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”，“不包含”；
4. 注意区别“
?
”与“
?
”的不同涵义。 （
?
与{
?
}的关系）

（VI）课后作业
1. 书面作业
(1)课本P
12
，习题1.1A组题第5、6题。
(2)用图示法表示 （1）
A
?
B （2）A B


1.1.3 集合间的基本运算（1课时）
教学目标：1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4．认识由具体到抽象的思维过程，并树立相对的观点。
教学重点：交集与并集概念、补集的概念、数形结合的运用
教学难点：理解交集与并集概念、符号之间的区别与联系，补集的有关运算
教学方法：发现式教学法
教学过程：
7
第 页

（I） 复习回顾
问题1: (1)分别说明A
?B
与A=B的意义；
(2)说出集合{1,2,3}的子集、真子集个数及表示；
（II）讲授新课
问题2：观察下面五个图（投影1）,它们与集合A,集合B有什么关系?

图1—5（1）给出了两个集合A、B；
图（2）阴影部分是A与B公共部分；
图（3）阴影部分是由A、B组成；
图（4）集合A是集合B的真子集；
图（5）集合B是集合A的真子集；
指出：图（2）阴影部分叫集合A与B的交集；图（3）阴影部分叫集合A与B的并集.由此可有：
1.并集：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B 的并集，
即A与B的所有部分，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。 如上述图
（3）中的阴影部分。
2.交集：
一般地，由所有属于集合A且属于集合 B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的交集，
即A与B的公共部分，记作A∩B（读作“A交B”） ，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。如上述图（2）
中的阴影部分。
3.一些特殊结论
由图1—5（4）有: 若A
?B
,则A∩B=A；
由图1—5（5）有: 若B
?A
,则A
?
B=A；
特 别地，若A，B两集合中，B=
?
，,则A∩
?
=
?
, A
?
?
=A。


4.例题解析 (师生共同活动)
8
第 页

例1．设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B。
[涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案](图
1—6)
解：在 数轴上作出A、B对应部分如图A∩B={x|x>-2}∩
{x|x<3}={x|-2例2．设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B。
[此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B].(图1--7)
解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}。
例3．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。
[运用文氏图解答该题](图1--8)
解：
?
A={4，5，6，8 }，B={3，5，7，8}，则A∪B={4，5，6，8}∪
{3，5，7，8}={3，4，5， 6，7，8}。
例4．设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∪B。
解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角
形}。
例5．设A={x|-1[利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求](图1
—9)
解：A∪B={x|-1例6．教材P
9
例7。
问题3: 请看下例
A={班上所有参加足球队同学}
B={班上没有参加足球队同学}
S={全班同学}
那么S、A、B三集合关系如何.






分析
：
(借助于文氏图)集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合，则有
5.全集
如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全< br>集，记作U。如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的
补集C< br>U
Q就是全体无理数的集合。
6.补集(余集)
一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即A S），由U中所有不属于A的元
素组成 的集合，叫做U中集合A的补集（或余集），记作C
U
A，即C
U
A={x| x∈U，且x A}
图1—3阴影部分即表示A在U中补集C
U
A。
7.举例说明
例7、例8见教材P
11
例8、例9。
9
第 页

补充例题：解答下列各题：
（1）若S={2，3，4}，A={4，3}，则C
S
A={2} ；
（ 2）若S={三角形}，B={锐角三角形}，则C
S
B={直角三角形或钝角三角形} ；
（3）若S={1，2，4，8}，A=?，则C
S
A= S ；
（4）若 U={1，3，a+2a+1}，A={1，3}，C
U
A={5}，则a=-1
?5
；
2
（5）已知A={0，2，4}，C
U
A={-1，1}， C
U
B={-1，0，2}，求B={1，4}；
（6）设全集U={2，3，m+ 2m-3}，A={|m+1|，2}，C
U
A={5}，求m的值；（m= - 4或m=2）
（7）已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x-5x+m=0，x∈U}，求 C
U
A、m；（答案：C
U
A={2，
3}，m=4；C
U
A={1，4}，m=6）
(8).已知全集U=R,集合A={x|0?
5},求C
U
A,C
U
(C
U
A)。
（III）课堂练习：
(1)课本P
11
练习1—4；
(2)补充练习：
1．已知M={1}，N={1，2}，设A={（x，y）|x∈M，y ∈N}，B={（x，y）|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B。
[A∩B={(1,1)},A∪ B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}]
2．已知集合M
?
{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )；
A 3个 B 4个 C 6个 D5个
3．设集合A={-1,1}, B={x|x-2ax+b=0}, 若B
??
, 且B
?A
, 求a, b的值。
2
2
2
(IV) 课时小结
1．在并、交问题求解过程中，充分利用数轴、韦恩图。
2．能熟练求解一个给定集合的补集；
3．注重一些特殊结论在以后解题中应用。(如:C< br>U
(C
U
A)=A)
(V)作业
1．书面作业
课本P
12
，习题1.1A组题第7--10题。
2．复习作业:
课本P
12
，习题1.1B组题及后面的“阅读与思考”——集合中元素的个数。
1.2.1 函数的概念（2课时）
教学目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。
3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。
教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法。
教学难点：函数概念的理解。
教学方法：自学法和尝试指导法
教学过程：
（Ⅰ）引入问题
问题1 初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数）
问题2 初中所学函数的 定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x和y，，如果给定了一个x的
值，相应地确定唯一的一个 y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）。
（Ⅱ）函数感性认识
教材 例子（1）：炮弹飞行时间的变化范围是数集
A?{x0?x?26}
，炮弹距地面的高度h的 变化范
第
10
页

围是数集
B?{h0?h?845}
，对应关系
h?130t?5t
（*）。从问题的实际意义可知，对于数集A中的
任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都 有唯一确定的高度h和它对应。
例子（2）中数集
A?{t1979?t?2001}
，
B?{S0?S?26}
，并且对于数集A中的任意一个时间
t，按图中曲线，在 数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。
例子（3）中数集
A?{1991,1 992,?,2001},B?{53.8,52.9,?,37.9(%)}
，且对于数集A中的每一
个时间（年份），按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。
（III）归纳总结给函数“定性”
归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为 两个数集A、B间的一种对应关系：对数集A
中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确 定的y和它对应，记作
f:A?B
。
（IV)理性认识函数的定义
设A、 B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B
中都有唯 一确定的数f(x)和它对应，那么就称
f:A?B
为从集合A到集合B的一个函数，记作2
y?f(x),x?A
，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的 值相对应的y的值叫做
函数值，函数值的集合
{f(x)x?A}
叫做函数的值域。
定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；
（1）对应法则f(x)是一个 函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，
在不同的函数中，f的 具体含义不一样；
y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不 能使用解析式，这时就必须
采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还 常用g(x)、F(x)、G(x)等符号
来表示；
自变量x在其定义域内任取一个确定的值 a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x+3x+1,
当x=2时的函数值是： f(2)=2+3×2+1=11。
注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。
（2）定义域是自变量x的取值范围；
注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；
如：y=x(x
?R)与
y=x(x>0)； y=1与y=x
220
2
2
②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的 所有实数x的集合；在实际中，
还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；
如：一个矩形的 宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x，此函数的定义域为x>0,而不是
x?R
。 < br>2
（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的 值域也随
之确定。
(V)区间的概念
设a、b是两个实数，且a（1）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做闭区间，表示为
?
a ,b
?
；
（2）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做开区间 ，表示为
?
a,b
?
；
（3）满足不等式
a?x?b的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为
?
a，b
?
；
（4 ）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为
?
a ,b
?
；
说明
：
① 对于
?
a,b
?< br>，
?
a,b
?
，
?
a，b
?
，?
a,b
?
都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端
点 ，称b-a为区间长度；
② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：
11
第 页

不等式表示法：3x3?x?7
；区间表示法：
?
3，7
?；
③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包 括
在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；
④ 实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，
“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x
?
a, x>a, x
?
b, x∞）、(-∞,b)、(-∞,b)。
例题分析：
例1．已知函数
f(x)?
（1）求函数的定义域；
（2）求
f(?3),f()
的值；
（3）当a>0时，求
f(a),f(a?1)
的值。
分析：函数的定义域 通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式
y?f(x)
，
而 没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。（解略）
例2．求下列函数的定义域。
（1）
f(x)?
??
x?3?
1
，（教材第17页例1）
x?2
2
3
1
1
；(2)
f(x)?x?4?x? 2
；(3)
f(x)?x?1?
2?x
(1?2x)(x?1)
分 析
：
给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么 就认为
函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。
从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集< br>合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；
（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那 么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的
集合。
由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。
例3．下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？（书P
18
例2）
x
2
(1) y=(
x
); (2) y=
x
; (3) y=
x
; (4)y= y=.
x
2
3
3

2
分析
：
判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，这两个函数才算相同。（解略）
课堂练习：课本P
19
练习1、2、3。
课时小结：
本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法 。函数定义中注意的问
题及求定义域时的各种情形应该予以重视。
课后作业
1、书面作业：课本P
24
习题1.2A组题第1，2，3，4题；B组第1、2题。
1.2.2 函数的表示方法（第一课时）
第
12
页

教学目标：1.进一步理解函数的概念；
2.使学生掌握函数的三种表示方法；
教学重点：函数的表示方法
教学难点：函数三种表示方法的选择
教学方法：自学法和尝试指导法
教学过程：
（Ⅰ）引入问题
1.回忆函数的两种定义；
2.函数的三要素分别是什么？ ?
x
2
?2(x?2)
3．设函数
f(x)?
?
，则
f(?4)?
，若
f(x
0
)?8
，则
x
0
= 。
?
2x(x?2)
（II）讲授新课
函数的三种表示方法
（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：
如
y?3x
2
?2x?1,S?
?
r
2
,C?2
?
r,S?6t
2
等。
优点：
?
量间的关系；
?
简明，全面地概 括了变
意一个自变量所对应的函数值；
?
可以通过解析式求出任

（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：
如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。
优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）：
如：
（III）例题分析：

优点：直观形象地表示自变量的变化。
例1（书P
19
）.某种 笔记本的单价是5元，买x（
x?{1,2,3,4,5}
个笔记本需要y元,试用函数的三种
表示法表示函数
y?f(x)
。
解：这个函数的定义域是数集
{1 ,2,3,4,5}
，用解析法可以将函数
y?f(x)
表示为
y?5x
，
x?{1,2,3,4,5}
。
用列表法可以将函数
y?f(x)
表示为
笔记本数x
钱数y
图象法略。
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
说明：
函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。
例2．下表是某校高一（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
第
13
页

王伟
张城
赵磊
班级平均分
98
90
68
88.2
87
76
65
78.3
91
88
73
85.4
92
75
72
80.3
88
86
75
75.7
95
80
82
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。
分析：画出“成绩”与“测试时 间”的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始终高
于班级平均水平，学习情况比较稳定 而且成绩优秀。张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上
下波动，而且波动幅度较大。赵磊同 学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，
表明他的数学成绩在稳步提高。
（IV）课堂练习：课本P
23
练习1、2。
（V）课时小结：
本节课我们学习了函数的表示方法。
（VI）课后作业
1、书面作业：课本P
24
习题1.2第5、6、8题。
1.2.2 函数的表示方法（第二课时）
教学目标：1.进一步理解函数的概念；
2.使学生掌握分段函数及其简单应用。
教学重点：分段函数的理解
教学难点：分段函数的图象及简单应用
教学方法：自学法和尝试指导法
教学过程：
（Ⅰ）引入问题
1．函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？
2．如何作出函数
y?x
的图象？
（II）讲授新课
例1．作出 函数
y?x
的图象和
y?x?1
的图象，并分别求出函数的值域。
注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。
例2．国内投寄信函（ 外埠），假设每封信函不超过20g时付邮资80分；超过20g不超过40g时付邮资160
分；依次 类推，每封xg(
0?x?100
)的信函付邮资为：
?
80(x?
?
0,20
?
)
?
160(x?
?
20,40< br>?
)
?
?

y?
?
240(x?
?
60,80
?
)
, 画出这个函数的图象。
?
320(x?
?
60,80
?
)
?
?
?
400(x?
?
80,100
?
)
说明：
表示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2），对于这类分几个式子表示的函数称为 分段函数。
注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。
例3．（教材P
21
例6）
例4．作出下列各函数的图象：
第
14
页

?
1
?
x2
?2x(x?0)
?
(0?x?1)
（1）
f(x)?
?
x
； （2）
f(x)?
?
2

?x?2 x(x?0)
?
?
?
x(x?1)
对第（2）小题的函数，试根据< br>a
的取值讨论方程
f(x)?a
的根的个数问题。
练习：
?
x?2(x??1)
?
2
1．在函数
f(x)?
?
x(?1?x?2)
中，若
f(x)?3
，则
x
的值为 。
?
2x(x?2)
?
?
x?1(x?0)
?
2 ．已知
f(x)?
?
?
(x?0)
，则
f{f[f(?1) ]}
= 。
?
0(x?0)
?
作业：课本P24
习题1.2第7、9题。
1.2.2 函数的表示方法（第三课时）
教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法；
2.使学生了解象、原象的概念；
3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念；
4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。
教学重点：映射、一一映射的概念
教学难点：映射、一一映射的概念
教学方法：讲授法
教学过程：
（I）复习回顾
1：前面学习的元素与集合的关系“∈”、“ ”，集合与集合的关系“ ”、“
≠
” 、“?”；
2：在初中学过一些对应的例子
（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；
（2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一有序实数对（x,y）和它对应；
（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应。
（II）讲授新课
1. 映射的概念
a.观察下列对应：（为简明起见，这里的A、B都是有限集合）
?
第
15
页

（对每个对应都要强调对应法则，集合顺序）
问题1：这四个对应的共同特点是什么？
对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则?，在集合B中都有确定的元素和它对应。
问题2：观察图（2）、（3）、（4），想一想这三个对应有什么共同特点？
这三个对应的 共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则?，在右边集合B中都
有唯一的元素 和它对应。
b.映射的定义
一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则?，对于 集合A中的任何一个元素，
在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及A 到B的对应法
则f）叫做集合A到集合B的映射。记作：f：A→B
由此定义：（2），（3），（4）三个对应都是A到B的映射，（1）的对应不是A到B的映射。
（2）f: x
?sinx
; (3)f: x
?
x; (4)f: x
?
2x
2
c.象，原象的概念
给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B。如 果在对应法则f的作用下，元素a
和元素b对应，则元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做元素 b（在f下）的原象。
注意：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可；
（2）A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“f：A→B”表示A到
B的映射，符号“f：B→A”表示B到A的映射，两者是不同的；
（3）集合A中的元素一 定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以构成映射），但两个（或两个以上）
元素可以允许有相同的 象（如图（3））；
例：“A={0,1,2},B={0,1,12},f:取倒数”就不可以构成 映射，因为A中元素0在B中无象（4）集合B中
的元素在A中可以没有原象（如图（4）），即使有也 可以不唯一（如图（3））；
（5）A={原象}，B
?
{象}。
d.例题分析：
例：判断下面的对应是否为集合A到集合B的映射,并说明理由（投影3）。
第
16
页

（1）设A={1，2，3，4}，B= {3，4，5，6，7，8，9}。f:
x?2x?1
;
（2）设A=N，B={0，1}，f:
x?x除以2得的余数
；
*
（3）设A={1，2，3，4}，B={1，
111
,
，}，f:
x?x 取倒数
；
23
4
（4）设A={
(x,y)x?2,x?y?3, x?Z,y?N
}，B={0,1,2}，f:(
x,y)?x?y
;
2.一 一映射的概念
问题3：观察图（2）、（3）、（4），想一想这三个对应有什么不同特点？
分析：（3）是多对一（即多个元素有同一个象）；
（4）是一对一（但B中有的元素在A中没有原象）；
（2）是一对一（且B中所有元素在A中都有原象）；
再观察下图：(投影4)


由此有：
“一一映射”的定义：
一般地，一个映射f：A→B，若满足：
a. 对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象;(单射)
b. 集合B中每一个元素都有原象；（满射）
那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
例：分析上面图中或上面例题中对应是否为集合A到集合B的一一映射？为什么？
注意：
（1）一一映射是一种特殊的映射（A到B是映射，B到A也是映射，或从一一映射定义解释）；
（2）若在映射f：A→B中，象的集合C≠B ，则映射不是一一映射，即C=B是一一映射的必要条件。 （想
一想为什么不充分？）
（因 为映射f：A→B未指出对于集合A中的不同元素的集合B中有不同的象。即f：A→B可能是多对一的
情形。）
（III）课堂练习：课本P
23
练习4。
（IV）课时小结：
本节课我们学习了映射的定义、表示方法、象与原象的概念、一一映射的定义。强调注意的问题（前面所
述）指出：映射是一种特殊的对应：多对一、一对一；一一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，B到 A
也是映射。
（V）课后作业：
1、书面作业：课本P
24
，习题1.2A组题第10题。
§1．3函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值（第一课时）
第
17
页

教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念；
2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；
3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；
4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；
5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
教学重点：函数单调性的概念
教学难点：函数单调性的判断和证明
教学方法：讲授法
教学过程：
（I）复习回顾
1.函数有哪几个要素？
2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？
3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？
4.区间的表示方法.
前面 我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，
板书课 题）。
（II）讲授新课
1.引例：观察y=x的图象，回答下列问题
问题1：函数y=x的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？
2
2
?
随着x的增加，y值在增加。
问题2：怎样用数学语言表示呢？
y
2
=f(x
2
).当 x
1
2
时，f(x
1
)<
?
设x< br>1
、x
2
∈[0，+∞]，得y
1
=f(x
1
),
f(x
2
).
(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。
结论：这时，说y
1
= x在[0，+∞]上是增函数。（同理分析y轴左
侧部分）由此可有：
2.定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值 x
1
、x
2
,当x
1
?
x
2
时都 有f(x
1
)<
f(x
2
).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
如果对于属于I内 某个区间上的任意两个自变量的值x
1
、x
2
，当x
1
2
时都有
f(x
1
)>f(x
2
).那么就是f( x)在这个区间上是减函数。
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y= f(x)在这一区间具
有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函 数的图象是
上升的，减函数的图象是下降的。
注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
（2）注意区间上所取两点x
1
,x
2
的任意性；
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。
（III）例题分析
例1.下图是定义在闭区间
?
?5,5
?
上的函数y=f(x)的图象，根 据图象说出函数的单调区间，以及在每
第
18
页
2

一个区间上的单调性（课本P
29
例1）。 < br>问题3：y=f(x)在区间
?
?5,?2
?
，
?
1 ,3
?
上是减函数；在区间
?
?2,1
?
，
?3,5
?
上是增函数，那么在两个区间的
公共端点处，如：x=-2,x=-1, x=3处是增函数还是减函数？
分析：
函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点， 由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没
有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研 究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区
间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调 。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括
端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）。
说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，
它需要根据单调函数的定义进行证明。
例2．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 证明：设任意x
1
、x
2
∈R，且x
1
2
.
则f(x
1
)- f(x
2
)=(3x
1+2)-(3x
2
+2)=3(x
1
-x
2
). 由x
1
2
得x
1
-x
2
<0.∴ f(x
1
)- f(x
2
)<0,即f(x
1
)2
).
∴f(x)=3x+2 在R上是增函数。
分析
：
判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
a.设x
1< br>、x
2
∈给定区间，且x
1
2
；
b.计算f(x
1
)- f(x
2
)至最简；
c.判断上述差的符号；
d.下结论。
例3．教材第29页例2。
（IV）课堂练习 课本P
32
练习1—3
注意：通过观察图象，对 函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正
确性，是发现和解决问题 的一种常用数学方法。
（V）课时小结
本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记 ：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义
的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行 判断和证明。
（VI）课后作业
1、书面作业：课本P
39
习题1.3A组题1、2、3题。
1.3.1 单调性与最大（小）值（第二课时）
教学目标：1.使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；
2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系；
3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法；
4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；
5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
教学重点：函数最值的含义
教学难点：单调函数最值的求法
教学方法：讲授法
教学过程：
（I）复习回顾
1．函数单调性的概念；
2．函数单调性的判定。
第
19
页

（II）讲授新课
通过观察二 次函数
y?x
2
和
y??x
2
的最高点和最低点引出函数最 值的概念（板书课题）
1．函数最大值与最小值的含义
一般地，设函数
y?f(x )
的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足：
（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
；
（2）存 在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
。
那么，我们称
M
是函数
y?f(x)
的最大值.
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数
y?f(x)
的最小值吗？
2．二次函数在给定区间上的最值
对二次函数
y?ax
2
?bx? c(a?0)
来说，若给定区间是
(??,??)
，则当
a?0
时， 函数有最小值是
4ac?b
2
4ac?b
2
，当
a?0时，函数有最大值是；若给定区间是
[a,b]
，则必须先判断函数在这个区间
4 a4a
上的单调性，然后再求最值（见下列例题）。
3．例题分析
例1．教材第30页例题3。
例2．求函数
y?
2
在区间[2，6 ]上的最大值和最小值（教材第31页例4）。
x?1
分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。
变式：若区间为
[?6,?2]
呢？
例3．求函数
y?x
2
?1
在下列各区间上的最值：
（1）
(??,??)
（2）[1，4] （3）
[?6,?2]
（4）
[?2,2]
（5）
[?2,4]

练习：教材第32页第4题。
作业：教材第39页习题1.3 A组题第5题。
1.3.2 奇偶性
教学目标：1.使学生理解奇函数、偶函数的概念；
2.使学生掌握判断某些函数奇偶性的方法；
3.培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。
教学重点：函数奇偶性的概念
教学难点：函数奇偶性的判断；函数奇偶性，单调性的综合使用
教学方法：讲授法
教学过程：
（I）复习回顾
1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。
2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？
轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）
中心对 称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转
180?
，能够与另一图形重合）
这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性（导入课题，板书课题）。
第
20
页

（II）讲授新课
1.偶函数
（1）观察函数y=x的图象（如右图）
①图象有怎样的对称性？
?
关于y轴对称。
②从函数y=f(x)=x本身来说，其特点是什么？
2
2
?
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。
例如：f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2)；
f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)=f(1)；
111111

由于（-x）=x ∴f(-x)= f(x).
22
f(?)?，f()?，即f(?)?f()。
242422
…… 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=x的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称 点
(-x,y)也在函数y=x的图象上，这时，我们说函数y=x是偶函数。
（2）定义：
一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那
么函数f(x)就叫做偶函数。
例如：函数
f(x)?x
2< br>?1
,
f(x)?
2.奇函数
（1）观察函数y=x的图象（投影2）
①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值
有什么关系？
3
22
2
2
,
f(x)?x
等都是偶函数。
2
x?11
?
也是一对相反数。
②这个事实反映在图象上，说明函 数的图象有怎样的对称性
3
呢？
?
函数的
图象关于原点对称。即如果 点（x,y）是函数y=x的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）
也在函数y=x 的图象上，这时，我们说函数y=x是奇函数。
（2）定义
33
f(?x)??f (x)
，那一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
么函数f(x)就叫做奇函数。
例如：函数
f(x)?x,f(x)?
3.奇偶性
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。
（III）例题分析
例1.判断下列函数的奇偶性。
（1）f(x)=x+2x; （2）f(x)=2x+3x; （3） f(x)=x+2x+5;
（4） f(x)=x,x
?
?
0,??
?
; （5） f(x)=
2
3422
1
都是奇函数。
x
11
; （6） f(x)=x+;
xx
分析
：
① 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；
②函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既 不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（x∈R
或x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶 函数。
③从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；
第
21
页

其次f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关 于原点不
对称，则函数没有奇偶性。
例2.已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在< br>?
0，??
?
是增函数。证明y=f(x)在
?
??，0?
上也
是增函数。
证明：设x
1
2
<0，则-x
1
>-x
2
>0.∵f(x)在（0，+∞）上是增函数。
∴f(-x
1
) >f(-x
2
),又f(x)在R上是奇函数。
∴-f(x
1
)> -f(x
2
),即f(x
1
)< f(x
2
).
∴函数y= f(x)在（0，+∞）上是增函数。
变题：已知函数y=f(x)在R上是奇 函数，而且在
?
0，
证明y=f(x)在
?
??，??
?< br>是减函数。
0
?
上
也是减函数。
结论：由例2可有：
奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；
偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；
（IV）课堂练习：课本P
36
练习1，2
（V）课时小结
本节 课我们学习了函数奇偶性的定义，判断函数奇偶性的方法以及函数奇偶性与单调性的综合使用。
特别要注 意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无
用功；对 于函数单调性，奇偶性的综合题，要深入分析、理清思路、总揽全局、各个击破。
（VI）课后作业
书面作业：课本p
39
习题1.3 A组第6题和B组第1、2题
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
§2．1指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）
教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；
2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；
3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解
教学方法：学导式
教学过程：
第一课时：
（I）复习回顾
引例：填空
第
22
页

（n?N)
； a=1（a
?0)
；
a
（1）
a?a?a?0
n*
?n
???????
n个a
?
1
(a? 0,n?N
*
)

n
a
（2）
a?a?a
mnm?n
(m,n∈Z)；
(a
m
)
n
?a
mn
(m,n∈Z)；
(ab)
n
?a
n
?b
n
(n∈Z)
（3）
9?_____
； -
9?_____
；
（4）
(a)
2
?_____(

a?0)
；
a
2
?________
（II）讲授新课
1.引入：
0?______

（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（ 其中：因为
a?a
可看作
a?a
mnm?n
,所以
a?a? a
mnm?n
可以归入性质
a?a?a
mnm?n
a
na
n
a
n
m?n
；又因为
()
可看作
a?a
，所以
()?
n
可以归入性质
b
bb
(ab )
n
?a
n
?b
n
(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数 幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学
习n次根式（
n?N
*
）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：
2=4 ，（-2）=4
?
2，-2叫4的平方根
2
3
5
2
2=8
?
2叫8的立方根； （-2）=-8
?
-2叫-8的立方根
3
2=32
?
2叫32的5次方根 … 2=a
?
2叫a的n次方根
n
分析：若2=4，则2叫4的平方根；若2=8，2叫做8的立方根；若 2=32，则2叫做32的5次方根，类
似地，若2=a，则2叫a的n次方根。由此，可有：
2.n次方根的定义：（板书）
一般地，如果
x?a
，那么x叫做a的n次方根（
n
th root）,其中
n?1
，且
n?N
。
问题1：n次方根的定义 给出了，x如何用a表示呢？
x?
n
a
是否正确？
分析过程： < br>例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a的3次方根。（要
求完整地叙述求解过程）
解：因为3=27，所以3是27的3次方根；因为
(?2)
5
=-32，所以-2是-32的5次方根；
3
6
n
235n?
因为
(a
2
)
3
?a
6
，所以a 是a的3次方根。
26
结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方 根是正数，负数的n次方根是负数,
任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为
x?
n
a
。
从而有：
3
27?3
，
5
?32??2
，
3
a
6
?a
2

例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。
解：因为
2?16
，
(?2)
4
?16
，所以2和-2是16的4次方根；
第
23
页
4

因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。
结论2：当 n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n
次方根。 此时正数a的n次方根可表示为：
?
n
a(a?0)

其中
n
a
表示a的正的n次方根，
?
n
a
表示a的负的n次方根 。
例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。
解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。
结论3：0的n次方根是0，记作
n
0?0,即
n
a
当a=0时也有 意义。
这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：
3.n次方根的性质：（板书） < br>n
?
?
a,n?2k?1
n
a
叫根式，n叫根指数， a叫被开方数。
x?
?
(k?N*)
其中
n
?
?
?a,n?2k
n
注意：根式是n次方根的一种表示形式， 并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。
4.根式运算性质：（板书）
①，结果仍为被开方数。
（
n
a）?a
，即一个数先开方，再乘方 （同次）
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？
例4：求
3
(?2)
3
，
5
2
5
，
4
3
4
，
(?3)
2

由所得结果，可有：（板书）
n
②
a?
?
n
n
?
a,n为奇数；
?
|a|,n为偶数

性质的推导如下：
第
24
页

性质①推导过程：
当n为奇数时，
x?
n
a,由x
n
?a得(
n
a)
n
?a

当 n为偶数时，
x??
n
a,由x
n
?a得(
n
a)
n
?a

综上所述，可知：
(
n
a)
n
?a

性质②推导过程：
当n为奇数时，由n次方根定义得：
a?
n
a
n

当n为偶数时，由n次方根定义得：
a??
n
a
n

则
|a|?|?
n
a
n
|?
n
a
n
综上所述：
(
n
a)
n
?
?
?a,n为奇数
?
|a|，n为偶数

注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。
（III）例题讲解
例1．求下列各式的值：
324
3
4
（4）
(a?b)
2
（a>b）
（1）（－8）（2）（－10）（3）（ 3－
?
）
注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。
（III）课堂练习：求下列各式的值
(1)
5
?32
(2)
(?3)
4
(3)
(2?3)
2
(4)
5?26

（IV）课时小结
通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。
（V）课后作业
1、书面作业：
a.求下列各式的值
3
（1）－27

(2)a
6
2

(4)(
（3）（?－4）
x?1
2
)

3?x
b.书P
59
习题2.1 A组题第1题。

2、预习作业：
a.预习内容：课本P
50
—P
52
。
b.预习提纲：
（1）根式与分数指数幂有何关系？
（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？


第
25
页

第二课时：
（I）复习回顾
1.填空
5
（1）
3
?64?______,
（2）< br>4
81?______,32?_______；?
4
81?______；
3
12
（3）
(
4
3)
4
?__ ____,
(4)
5
a
10
?_____,

(
5
6)
5
?______；
a?_______；
5（5）
5
（?2）?___,
7
(?3)
7
?____ _
； （6）
6
(?4)
6
?____,
4
54
?______.

（II）讲授新课
分析：对于“填空”中的第四 题，既可根据n次方根的概念来解：
?(a
2
)
5
?a
10
,?
5
a
10
?a
2
；
也可根据n次方 根的性质来解：
5
a
10
?
5
(a
2
)< br>5
?a
2
。
问题1：观察
5
a
10
?a
2
,
4
a
12
?a
3
，结果的指数 与被开方数的指数，根指数有什么关系？
?a
5
10
?a
105
?a,a
2
4
12
?a
12
3
?a
4
，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写
成分数指数幂的形 式。
问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如 ：
3
a?a
是否可行？
2
2
3
分析：假设幂的运 算性质
(a)?a
mnmn
对于分数指数幂也适用，那么
(a)?a
2
2
3
3
2
?3
3
这说明
a
也是
a
2?a
，
2
3
2
2
3
2
3
的3次方根，而
a
也是a的3次方根（由于这里n=3，a的3次方根唯一），于 是
a?a
。这说明
2
2
3
3
a?a
可行。
2
2
3
由此可有：
1.正数的正分数指数幂的意义：
m
n
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N*,且n?1
)
注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a的幂指数n与根式的根 指数
n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。
问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？
分析：正例：
(?8 )?
反例：
(?8)?
4
12
12
4
n
1
3
1
3
3
?8??2,
5
(?2)
10< br>?(?2)
2
6
10
5
?(?2)
2
?4, (?2)?
3
(?2)
2
等等；
2
3
3
12
?8??2,(?8)?
6
(?8)
2
?2,而实际上?
；又如：
36
3
4
124
（?8）?（?8）?（?8），（?8）?
4
8
12
?
4
（8
3
）? 8
3
。这样就产生了混乱，因此“a>0”这个限
第
26
页

制不可少。至于
(?8)?
1
3
3
1
?8??2
，这是正确的，但此时
(?8)
不能理解为分数指数幂，不能 代表有
3
1
3
102
2
5
5
理数（因为不 能改写为），这只表示一种上标。而
(?2)?(?2)
5
,(?2)
3?
3
(?2)
2
，那是因为
6
(?2)
10< br>?2
10
,(?2)
2
?2
2
，负号内部消化了。
问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？
分析：正数的负分数指数幂的定义 与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义
相仿。
2.负分数指数幂：
m
n
a
?
?
1
a< br>m
n
(a?0,m,n?N*,且n?1)

3.0的分数指数幂：
0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。
说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；
（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；
（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即
a
r
a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)
；
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?Q)

(ab )
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)

(4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用
(a
n
)
来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。
（5）同样可规定
a
p
(p?0,p是无理数）的意义：

① a表示一个确定的实数；
② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关证明略；
③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。
（III）例题讲解
p
m
n
?a
n?
m
n
?a
m
1－3
16
－
3
100，（），（）
4
例2．求值：< br>8，
481
－
2
3
1
2
分析：此题主要运用 有理指数幂的运算性质。
1
＝10
－1
＝；
10
解： < br>33
（－）
1
－3
16
－
2
4?
2
－3
27
－3（－2）?（－3）
（）＝（2
－2
）＝2＝ 2
6
＝64；（）
4
＝（）
4
＝（）＝。
4813 38
8＝（2
3
）＝2
3?
2
3
2
32
3
＝2
2
＝4；100＝（10
2
）＝10
－
1
2
－
1
2
1
2?（－）
2
第
27
页

例3．用分数指数幂的形式表示下列各式：
a
2
?a,a
3
?
3
a
2
,aa(式中a?0)

分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。
解：
1
21
2
2
3
5
2
a?a?a?a?a
3
3
23
2
3
22
2?
?a;
?a;
3
4
11
3
a?a?a?a?a
11
22
3?
aa?(a?a)?(a)?a.
（IV）课堂练习
课本P
54
练习：1、2
（V）课时小结
通过本节学习，要求大 家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的
运算性质。
（V）课后作业
1、书面作业：课本P
59
习题2.1A组题第2,3题
2、预习作业
（1）预习内容：课本P
52
例题4、5。
（2）预习提纲：
a.根式的运算如何进行？
b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？
第三课时：
教学目标 ：1.掌握根式与分数指数幂的互化；
2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；
3.培养学生的数学应用意识。
教学重点：有理指数幂运算性质运用。
教学难点：化简、求值的技巧
教学方法：启发引导式
教学过程
（I）复习回顾
1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质
分数指数幂概念 有理指数幂运算性质
m
n
31
22
a?
n
a
m

aa?a
rsr?s
(a?0,r,s?Q)
；
a
?m
n
?
n
a
m
＝
1
n
am

(a)?a(a?0,r,s?Q)

rrr
rsrs

(a?0,m,n?N*,且n?1)

(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)

2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0）
第
28
页

5
a
2

（II）讲授新课
1
4
x

x
6
x

(a)
3

例1．计算下列各式（式中字母都是正数）
(1)(2ab)(?6ab)?(?3ab);

(2)(mn?).

分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除 ，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。
（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后 可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一
用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式 表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，
但：
① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；
③ 根式需化成最简根式。 2
3
1
2
1
2
1
3
1
65
6
1
4
3
8
8
(1)(2ab)(?6ab )?(?3ab)
解：
?[2?(?6)?(?3)]a
211
??
326
2
3
1
2
1
2
1
3
16
5
6
(2)(mn)
1
4
8
1
4< br>3
8
8
?
3
8
3
b
115
??
236

?(m)(n)
3?3

?4ab
0
?4a;
例2．计算下列各式：
m
2
?m?n?
3
n
(1)
a
2
a
3
a2
(a?0);

(2)(
3
25?125)?
4
5

分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。
（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。
解：

(1)
5
6
a
2
3
2
a?a
6
?
a
1
2
2
3
2
?a
12
2? ?
23

25?125)?5?(5?5)?5(2)(
3
4
2
3
3
2
1
4
a?a
?5?5?5?5?55
12
5
4
2
3
1
4
3
2< br>1
4
21
?
34
?5
31
?
24< br>
?a?a
5
;
?5?5?
12
5
5
?5
4
5.
例3．求值：
(1)5?26?7?43?6?42;(2) 23?
3
1.5?
6
12

分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
第
29
页

解：
(1)5?26?7?4 3?6?42
?(3)
2
?23?2?(2)
2
?2
2?2?23?(3)
2
?2
2
?2?22?(2)
2
? ((3?2))
2
?(2?3)
2
?(2?2)
2
?|3? 2|?|2?3?|?|2?2|
?3?2?2?3?(2?2)?22
注意：此题开方后先带 上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。
1
3
1
2
36
( 2)23?1.5?12＝2?3?（）?（3?2）
2
3
6
1
2< br>
＝2
11
1－＋
33
?3
111
＋＋236
＝2?3＝6
要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变 形技巧。
（III）课堂练习
计算下列各式：
1
3
1
－3
4
（1）16－（）－（）
162

4
0?2
（2）[?5?3?()]
15
要求：学生板演练习，做完后老师讲评。
（IV）课时小结
通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值， 并掌握一定的解题技巧，如凑
完全平方、寻求同底幂等方法。
（V）课后作业
课本P
59
习题2.1A组题第4题
1
2
2.1.2 指数函数及其性质（第一课时）
教学目标：1、理解指数函数的概念
2、根据图象分析指数函数的性质
3、应用指数函数的单调性比较幂的大小
教学重点：指数函数的图象和性质
教学难点：底数a对函数值变化的影响
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂
x
次后，得到的细
胞个数
y< br>与
x
的函数关系式是：
y?2
．
这个函数便是我们将要研究 的指数函数，其中自变量
x
作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常
量。
（二）新课讲解：
1．指数函数定义：
x
一般地，函数
y?a
（
a?0
且
a?1
）叫做指数函数，其中
x
是自变 量，函数定义域是
R
．
x
第
30
页

练习：判断下列函数是否为指数函数。
①
y?x
2
②
y?8
x
③
y?(2a?1)
x
（
a?


1
且
a?1
）④
y?(?4)
x

2
⑤
y?
?
x
⑥
y?5
2x

2
?1
⑦
y?x
x

⑧
y??10
x
．
2.指数函数
y?a
x
（
a?0
且
a?1
）的图象：
例1．画
y?2
x
的图象（图（1））．
解：列出
x,y
的对应表，用描点法画出图象
x

…
y?2
x

…










-3
0.13
-2
0.25
-1.5
0.35
-1
0.5
-0.5
0.71

0
1
0.5
1.4
1
2
1.5
2.8
2 3
4 8
…
…
1
y?()
x

2
y?2
x

图（1）
例2．画
y?()
的图象（图（1））．
x

… -3
1
y?()
x

… 8
2
1
2
x
-2 -1.5 -1 -0.5
4 2.8 2 1.4
0
1
0.5 1 1.5 2 3 …
0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 …
1
x
2
说明：一般地， 函数
y?f(x)
与
y?f(?x)
的图象关于
y
轴对称。
x
3．指数函数
y?a
在底数
a?1
及
0?a?1
这两种情况下的图象和性质：
a?1

0?a?1


x
指出函数
y?2
与
y?()
图象间的关系？
图
象

性
质
（3）过点
(0,1)
，即
x?0
时
y?1

（4）在
R
上是增函数 （4）在
R
上是减函数
（1）定义域：
R

（2）值域：
(0,??)


x
例3．已知指数函数
f(x)?a(a?0,a?1)
的图象经过点
(3,
?
)
，求
f(0),f(1),f(?3)
的值（教 材第
56页例6）。
例4．比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.7,1.7
；
(2)0.8
2.53?0.1
,0.8
?0.2

(3)1.7
0.3
,0.9
3.1

第
31
页

（教材第57页例7）
小结：学习了指数函数的概念及图象和性质；
练习：教材第58页练习第1题。
作业：教材第59页习题2.1A组 第5、7题
2.1.2 指数函数及其性质（第二课时）
教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；
3.掌握比较同底数幂大小的方法；
4.培养学生数学应用意识。
教学重点：指数函数性质的运用
教学难点：指数函数性质的运用
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
1．指数函数的概念、图象、性质
2．练习：
（1）说明函数
y?4?x?3
图象与函数
y?4
?x
图象的关系；
（2）将函数
y?()
图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ；
（3）画出函数
y?()
的草图。
（二）新课讲解：
例1 ．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的
剩 留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效
数字）。
分析：通过恰当假设，将剩留量
y
表示成经过年数
x
的函数，并可列 表、描点、作图，进而求得所求。
解：设这种物质量初的质量是1，经过
x
年，剩留量是
y
.
经过1年，剩留量
y
=1×84%=0.84；
经过2年，剩留量
y
=1×84%=0.84；
……
一般地，经过x年，剩留量
y?0.84
，
根据这个函数关系式可以列表如下：
x
2
1
1
3
2x
1
2
x
x

y

0
1
1
0.84
2
0.71
3
0.59
4
0.50
5
0.42
6
0.35
x
用描 点法画出指数函数
y?0.84
的图象。从图上看出
y?0.5
，只需
x?4
.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半。
例2． 说明下列函数的图象与指数函数
y?2
的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）
y?2
x?1
x
； （2）
y?2
x?1x
x?2
．
解：（1）比较函数
y?2
与
y?2
的关系：
y?2
?3?1
与
y?2
?2
相等，
?2?1?1

y?2
与
y?2
相等，
y?2
2?1
与
y?2
3
相等 ，
……
由此可以知道，将指数函数
y?2
的图象向左平移1
第
32
页
x
个单位长度，就

得到函数
y?2
x?1
的图象。
（2）比较函数
y?2
x?2
与
y?2
x
的关系：
y?2
?1?2
与
y?2
?3
相等，

y?2
0?2
与
y?2
?2
相等，
y?2
3?2
与
y?2
1
相等 ， ……
由此可以知道，将指数函数
y?2
x
的图象向右平移2个单位长度，就 得到函数
y?2
x?2
的图象。
说明：一般地，当
a?0
时，将函数
y?f(x)
的图象向左平移
a
个单位得到
y?f(x? a)
的图象；当
a?0
时，将函数
y?f(x)
的图象向右平移|a|
个单位，得到
y?f(x?a)
的图象。
练习：说出下列函数图象之间的关系：
（1）
y?
11
与
y?
； （2）
y?3
?x
与
y?3
?x?a
；（3）
y?x
2
?2x< br>与
y?x
2
?2x
．
x?1x
例3．求下列函数的定义域、值域：
（1）
y?8
12x?1
a
x
?1
1
x
?x
(a?0,a?1 )
． （2）
y?1?()
（3）
y?3
（4）
y?
x
a?1
2
11
原函数的定义域是
{xx?R,x?}
，
22
解：（1）
?2x?1?0
∴
x?
令
t?
1
则
t?0,t?R

2x?1
t
∴
y?8(t?R,t?0)
得
y?0,y?1
，
所以，原函数的值域是
{yy?0,y?1}
．
（2）
?1?()?0
∴
x?0
原函数的定义域是
?
0,??
?
，
x
1
2
x
令
t?1?()
(x?0)
则
0?t?1
，
?y?t
在
?
0,1
?
是增函数 ∴
0?y?1
，
1
2
所以，原函数的值域是
?
0,1
?
．
（3）原函数的定义域是
R
，
令
t??x
则
t?0
，
?y?3
t
在
?
??,0
?
是增函数， ∴
0?y?1
，
所以，原函数的值域是
?
0,1
?
．
（4）原函数的定义域是
R
，
a
x
?1
y?1< br>(a?0,a?1)
得
a
x
??
由
y?
x< br>，
a?1
y?1
y?1
?a
x
?0
∴
??0
， ∴
?1?y?1
，所以，原函数的值域是
?
?1,1
?
．
y?1
说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。
小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解；
2．学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。
3．了解函数
y?f (x)
与
y?f(?x)
及函数
y?f(x)
与
y?f(x ?a)
图象间的关系。
作业：习题2.1 第6、8、9题

2.1.2 指数函数及其性质（第三课时）
教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；
2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；
第
33
页

3.培养学生的数学应用意识。
教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法
教学难点：指数函数性质的运用
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
1.指数函数的图象及性质
2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断
3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
（1）考查函数定义域是否关于原点对称；
（2）比较
f(?x)
与
f(x)
或者
?f(x)
的关系 ；
（3）根据函数奇偶性定义得出结论。
（二）新课讲解：
a
x
?1
例1．当
a?1
时，证明函数
y?
x
是奇函数。
a?1
证明：由
a?1?0
得，
x?0
，故函数定义域{xx?0}
关于原点对称。
x
a
?x
?1
(a?x
?1)a
x
1?a
x
f(?x)?
?x
?
??f(x)

?
a?1
(a
?x
?1)a
x
1?a
x
a
x
?1
∴
f(?x)??f(x)
，所以，函数
y?
x
是奇函数。
a?1
评析：此题证明 的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运
算性质。
2
(x?R)
，
x
2?1
（1）试证明：对于任意
a,f(x)
在
R
为增函数；
（2）试确定
a
的值，使
f(x)
为奇函数。
例2．设< br>a
是实数，
f(x)?a?
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、 奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题
型的解答方法。
（1）证明：设
x
1
,x
2
?R,x
1
?x
2
，则
22
)?(a?)

2
x
1
?12
x2
?1
22
?
x
2
?
x
1

2?12?1
2(2
x
1
?2
x
2
)，
?
x
1
x
2
(2?1)(2?1)
xx< br>xx
x
由于指数函数
y?2
在
R
上是增函数，且x
1
?x
2
，所以
2
1
?2
2
即
2
1
?2
2
?0
，
f(x
1
)?f(x
2
)
?(a?
?0
，
2
x
2
?1
?0
，所以，
f(x
1
)?f(x
2
)?0
即
f(x
1
)?f(x
2
)
．
因 为此结论与
a
取值无关，所以对于
a
取任意实数，
f(x)
在
R
为增函数。
又由
2?0
，得
2
1
x
x?1
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。
（2）解：若
f(x)
为奇函数，则
f(?x)??f(x)
， < br>22
2?2
x
22(2
x
?1)
??(a?
x
)
，变形得：
2a?
?x
即
a?
?x
，
??
x
2?12?1
(2?1)?2
x
2
x
?12?1
第
34
页

解得：
a?1
，所以，当
a?1
时,
f(x)
为奇函数。
评述：此题并非直接确定
a
值，而是由已知条 件逐步推导
a
值。应要求学生适应这种题型。
练习：（1）已知函数
f(x )
为偶函数，当
x?(0,??)
时，
f(x)??2
x?1
,求当
x?(??,0)
时，
f(x)
的解析
式。
（2）判断
y?a
x?4x
(a?0,a?1)
的单调区间。
小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。
作业：（补充）
2
2
x
?1
1．已知函数
f(x)?
x
，
2?1
（1）判断函数
f(x)
的奇偶性；
（2）求证函数
f(x)
在
x?(??,??)
上是增函数。
2．函数
y?3
2x
2
?3x?6
的单调递减区间是 ．
3.已知函数
f(x)
定义域为
R
，当
x?0
时有
f(x)
?()

1
3
x
2
?x
，求
f(x)
的解析式。
§2．2对数函数
2.2.1 对数与对数运算（三课时）
教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．
2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．
3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．
4．对数的初步应用.
教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则
教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导
教学方法：学导式
教学过程设计
第一课时
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？
20
生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）=1.07 220，所以20年后国民
20
生产总值是原来的1.072倍．
师：这是个实际应 用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习
的指数问题．
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？ < br>师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程
x
得:1.072=4．
我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是 上述问题的逆问题，即本节的对数
问题．
师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的 x次幂等于N，就是
a?N
，那么数x就叫做以a为底
N的对数，记作x=loga
N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子log
a
N叫做对数式．
对数这个定义的认识及相关例子:
(1)对数式log
a
N实际上就是指数式中的指数x的一种新的记法．
(2)对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．
实际上
a?N
这个式子涉及到了三个量a，x，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，x可求N，
即前面学过 的指数运算；知道x（为自然数时）、N可求a，即初中学过的开根号运算，记作
N?a
；知< br>道a,N可以求x，即今天要学习的对数运算，记作log
a
N= x．因此，对数是一 种新的运算，一种知道底和
幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的 记法为log
a
N，读作：以a
为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．
师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．
师：（板书）对数loga
N（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫
第
35
页
x
x
x

做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．
师：实际上指 数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，
请同学们填写下 列表格．

指数式
对数式
式子
a=N
log
a
N=x
x
名称
a

x

N





练习1 把下列指数式写成对数形式：
1
?
1
?
(1) 5
4
?625;(2)2
?6
?;(3)
??
?5.73< br>
64
?
3
?
练习2 把下列对数形式写成指数形式： < br>m
(1)log
1
16??4;(2)lg0.01??2;(3)ln10? 2.303

2
练习3 求下列各式的值：

（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）
2
因为2=4，所以以2为底4的对数等于2．

因为5=125，所以以5为底125的对数等于3．
（注意纠正学生的错误读法和写法．）
例题（教材第63页例题2）
师：由定义，我们还应注意到对数式log
a
N=b中字母的取值范围是什么？
生：a＞0且a≠1；x∈R；N∈R．
师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）
x
生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而a=N中N总是正数．
师：要特别强调的是：零和负数没有对数．
师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？
（根据本班情况决定是否设臵此问．）
生：因为若a＜0，则N取某些值时，x可能不存在， 如x=log
（-2）
8不存在；若a=0，则当N不为0时，
x不存在，如log< br>0
2不存在；当N为0时，x可以为任何正数，是不唯一的，即log
0
0有无 数个值；若a=1，
N不为1时，x不存在，如log
1
3不存在，N为1时，x可以 为任何数，是不唯一的，即log
1
1有无数多个
值．因此，我们规定：a＞0，a≠ 1．
x
（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从a=N出发回答较为简单．）
练习4 计算下列对数：
3
lg10000，lg0.01，
2
log4
，
3
log27
，
10
lg105
，5
1og1125
．
2
35
师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．
生：
2生：
3
log
2
4
=4
．这是因为log4=2，而2 =4．
2
2
log
3
27
=27．这是因为log
3
27=3，而3=27．
=105．
logN1og1125
3生：
10
lg105
生：我猜想
a
a
?N
，所 以
5
5
=1125．
师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式．
师：（板书）
a
log
a
N
?N
（a＞0，a≠ 1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）
（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．）
生：（板书）
证明：设指数等式a=N，则相应的对数等式为log
a
N=b，所以a=
a
bb
log
a
N
?N

第
36
页

师：你是根据什么证明对数恒等式的？
生：根据对数定义．
b
师：（分析小结）证明的关键是设指数等式a=N．因为要证 明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的
知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是 建立在指数基础之上的，所以必须先设出指
数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．
师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．
生：a＞0，a≠1，N＞0．
师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．
（给学生一分钟时间．）
师：（板书）
2=？2
4
=？
log8log2
生
：2
2
=8；2
4
=2．
师：第2题对吗？错在哪儿？


师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？
（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）
生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式
a
a
?N
．
（师用红笔在两处a上重重地描写．）
师：最后说说对数恒等式的作用是什么？
生：化简！
师：请打开书64页，做练习4．
师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质．
师：负数和零有没有对数？并说明理由．
x
生：负数和零没有对数．因为定义中规定 a＞0，所以不论x是什么数，都有a＞0，这就是说，不论x
x
是什么数，N=a永远是正数 ．因此，由等式x=log
a
N可以看到，负数和零没有对数．
师：非常好．由于对 数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对
数．
师：（板书）性质1：负数和零没有对数．
师：1的对数是多少？
0
生：因为a=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．
师：（板书）1的对数是零．
师；底数的对数等于多少？
1
生：因为a=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．
师：（板书）底数的对数等于1．
师：给一分钟时间，请牢记这三条性质．
练习：课本第64页练习1、2、3、4题。
作业：课本第74页习题2.2A组题第1、2题。

第二课时
师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．
生：
a?a?a
mnm?n
logN
log8
2
log2
(m,n∈Z)；
(a)?a
mnmn
(m,n∈Z)；
(ab)?a?b
(n∈Z)，
nnn

师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）
（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即
log
a
（MN）=log
a
M+log
a
N．
（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）
师：我们要证明这个运算法则，用 眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和
性质，显然性质不能证明此式，所以只 有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运
算法则加以证明，因此，我们首先要把 对数等式转化为指数等式．
第
37
页

师：（板书）设
log
a
M=p，log
a
N=q
，由 对数的定义可以写成M=a，N=a．所以
pqp+q
M〃N=a〃a=a，
所以 log
a
（M〃N）=p+q=log
a
M+log
a
N．
pq
即 log
a
（MN）=log
a
M+log
a
N．
师：这个法则的适用条件是什么？
生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．
师：非常好．例如，（板书）log
2
（32×64）=？
生：log2
（32×64）=log
2
32+log
2
64=5+6=1 1．
师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．
师：（板书）log
6
2+log
6
3=？
生：log< br>6
2+log
6
3=log
6
（2×3）=1．
师：正确．由此例我们又得到什么启示？
生：这是法则从右往左的使用．是升级运算． 师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的
作用！
师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．

师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．
（给学生三分钟讨论时间．）
p q
生：（板书）设log
a
M=p，log
a
N=q．根据对数的定 义可以写成M=a，N=a．所以


师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数 的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，
我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1 ）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？
生：（板书）

师：非常漂亮． 他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要
比书上的更简单 ．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思
想不但在学习新 概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．
师：法则（2）的适用条件是什么？
生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．


师：（板书）lg20-lg2=？

师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．
师：（板书）
例1 计算：
第
38
页

（学生上黑板解，由学生判对错，并说明理由．）：
（1）
log
9
3+log
9
27=log
9
3×27=log
981=2；
（3）log
2
（4+4）=log
2
4+log
2
4=4；


生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）

生：第（3）题错！法则（1）的内容是：


生：第（4）题错！法则（2）的内容是：


师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？
生：首先，在同 底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的
商的对数的情 况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）．
师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即
log
a
（N）
n
=n〃log
a
N．
师：请同学们自己证明（给几分钟时间）
师：法则（3）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
师：观察式子结构特点并加以记忆．
生：从左往右仍然是降级运算．
53
师：例如，（板书）log
3
32=log
5
2=5log
5
2．练习计算（log
2
3 2）．
（找一好一差两名学生板书．）
35315
错解：（log
232）=log
2
（2）=log
2
2=15．
35333< br>正确解：（log
2
32）=（log
2
2）=（5log
2
2）=5=125．
（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）
师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即



师：法则（4）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
α
师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即
log
a
N=αlo g
a
N（α∈R）．
（师板书）
第
39
页

例2 用log
a
x，log
a
y，log
a
z表示下列各式：

解：




（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）
例3 计算：
解：（生板书） 7575
（1）log
2
（4×2）=log
2
4+log2
2=7log
2
4+5log
2
2=7×2+5×1=19．

师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容．
小结：通过本节课，应使学生明确 如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究）；如
何学习公式或法则（从公式推导，适 用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究）．针对高中数
学内容多、密度大、进度快的特点， 应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法．
练习：课本第68页练习第1、2、3题。
作业：课本第74页习题2.2A组题第3、4、5题。

第三课时
简略教案设计说明：
（1）对数换底公式（教材第64页“探究性问题”）
解决课 本第68页练习第4题和第75页第11题，另外补充公式：
log
a
m
b?
n


n
log
a
b
及应用。
m
（2）对数及对数运算性质的初步应用，解决课本第66页例5和例6，使学生体会数学来源于生活而 又
应用于生活的实际意义，并培养学生学习数学的兴趣。



2.2对数函数（三课时）
第一课时
教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对 数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体
会对数函数是一类重要的函数模型；
（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； （3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培
养学 生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．
教学重点：
掌握对数函数的图象和性质．
教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．
第
40
页

教学过程：
一、引入课题
1．（知识方法准备）
①学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？ < br>设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助
图象研究性质．
② 对数的定义及其对底数的限制．
设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．
2．（引例）
教材P
67
引例
处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：
碳14的含量P
生物死亡年数t
0.5

0.3

0.1

0.01 0.001

5730
1
2
然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系
t?log
生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数” ．（进而引入对数函数的概念）
二、新课教学
（一）对数函数的概念
1．定义：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a?1)
叫做对数函数。
其中
x
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

P
，
注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：
y?2log
2
x
，
y?log
5
x

5
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
②对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
巩固练习：（教材P
66
例5）
（二）对数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
①在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）
（1）
y?log
2
x

（2）
y?log
1
x

2
（3）
y?log
3
x

（4）
y?log
1
x

3
② 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：
图象特征
第
41
页
函数性质

a?1

0?a?1

a?1

0?a?1

非奇非偶函数
函数的值域为R
函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点（1，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
第一象限的图象
纵坐标都大于0
第二象限的图象
纵坐标都小于0


自左向右看，
图象逐渐下降
第一象限的图象
纵坐标都大于0
第二象限的图象
纵坐标都小于0
函数的定义域为（0，＋∞）
1
?
?1

增函数 减函数
x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

x?1,log
a
x?0

③ 思考底数
a
是如何 影响函数
y?log
a
x
的．（学生独立思考，师生共同总结）
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
（三）典型例题
例1．（教材P
71
例7）．
解：（略）
说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解．
巩固练习：（教材P
73
练习1、2）．
例2．（教材P
72
例8）
解：（略）
说明：本例主要考察学生 利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，
渗透应用函数的观点解决问 题的思想方法．
注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式．
巩固练习：（教材P
73
练习3）．
例2．（教材P
72
例9）
解：（略）
说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．
注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象．
巩固练习：（教材P
74
习题2．2 A组第6题）．
三、归纳小结，强化思想
本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数 函数的定义的基础上，掌握对数
函数的图象和性质是本小节的重点．
四、作业布臵
1． 必做题：教材P
74
习题2．2（A组） 第7、9题．
2． 选做题：教材P
75
习题2．2（B组） 第5题．

第二课时
教学目标：1．掌握对数函数单调性
2．掌握比较同底数对数大小的方法
3．培养学生数学应用意识
教学重点：利用对数函数单调性比较对数大小
第
42
页

教学难点：不同底数的对数比较大小
教学方法：学导式
教学过程
（I）复习回顾
师：上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即
当
a ?1
时，
y?log
a
x
在（0，+∞）上是增函数；
当
0?a?1
时,
y?log
a
x
在（0，+∞） 是减函数。
这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用。
（Ⅱ）讲授新课
1． 例题讲解：
例2．比较下列各组数中两个值的大小：
（1）
log
2
3.4,log
2
8.5
； （2）
log
0.3
1.8,log
0.3
2.7
；
（3）
log
a
5.1,log
a
5.9(a?0,a?1 )

分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小。
解：（1 ）考查对数函数
y?log
2
x
，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞ ）上是增函数，于是
log
2
3.4?log
2
8.5
。
（2）考查对数函数
log
，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上 是减函数，于是
0.3
x
。
log
0.3
1.8?log
0.3
2.7
师：通过例2（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对 数比较大小的一般步骤：
（1） 确定所要考查的对数函数；
（2） 根据对数底数判断对数函数增减性；
（3） 比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小
解：（3）当
a?1
时，
y?log
a
x
在（0，+∞）上是增函数，于是
log
a
5.1?log
a
5.9

当
0?a?1
时，
y?log
a
x
在（0，+∞）上是减函数，于是
log
a
5.1?log
a
5.9

评述：对数函数的增减性决定于对数的底 数是大于是还是小于是。而已知条件并未指明，因此需要对底数
a
进行讨论，体现了分类讨论的 思想，要求学生逐步掌握。
例3．比较下列各组中两个值的大小：
（1）
log
6
7,log
7
6
； （2）
log
3
?
,log
2
0.8

分 析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对
数 的大小。
解：（1）
?log
6
7?log
6
6?1
，
第
43
页

log
7
6?log
7
7?1
?log
6
7?log
7
6

（2）
?log
3
?
?log
3
1?0
；
log
2
0.8?log
2
1?0
?log3
?
?log
2
0.8
；
评述：例3仍是利用对数函 数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中
间插入1或0等，间接比较两个 对数的大小，例3（2）题也可与1比较。
（Ⅲ）课堂练习
课本P
73
练习
补充：比较
log
2
0.7与
log
1
0.8
两个值的大小
3
要求：学生板演，教师讲评
（Ⅳ）课时小结
师：通过本节学习，大家要 掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能逐步掌握分类讨论
的思想方法。
（V）课后作业
一、课本P
74
习题2.2（A组）8、12
二、1．预习内容：函数单调性、奇偶性证明
2． 预习提纲：
（1） 判断、证明函数单调性的通法；
（2） 判断、证明函数奇偶性的通法。


第三课时
教学目标：1．掌握对数函数单调性
2．掌握比较同底数对数大小的方法
3．培养学生数学应用意识
教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法
教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用
教学方法：学导式
教学过程
（I）复习回顾
师：上一节，我要求大家预习函数单调性、奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾。
1．判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设—作差—变形—判断
说明：变形目的 是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的
判断。
2．判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
① 考查函数定义域是否关于原点对称；
② 比较
f(?x)
与
f(x)
或者
?f(x)
的关系；
③ 根据函数奇偶性定义得出结论。
说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意。
第
44
页

师：接下来，我们一起来看例题
（Ⅱ）讲授新课
例4．判断下列函数的奇偶性：
（1）
f(x)?lg
1?x
；（ 2）
f(x)?ln(1?x
2
?x)

1?x
分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行
1? x
?0
可得
?1?x?1
，所以函数的定义域为：（
?1,1
）关于原点对称，
1?x
1?x1?x
?1
1?x1?x
?lg ()??lg??f(x)
，即
f(?x)??f(x)
，所以函数
f(x) ?lg
又
f(?x)?lg
奇
1?x1?x1?x1?x
解：（1） 由
函数。
评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算 性质。说明判断
对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形。 < br>解：（2）由
1?x
2
?x?0
可得
x?R
，所以函 数的定义域为R关于原点对称，又
2
f(?x)?ln(1?x?x)
?ln
(1?x
2
?x)(1?x
2
?x)
1?x
2
?x
?ln
1
1?x
2
?x
??ln(1?x
2
?x??f(x)

即
f(?x)??f(x)
，所以函数
f(x )?ln(1?x
2
?x)
是奇函数。
评述：此题定义域的确定可能稍有困 难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技
巧，应要求学生掌握。
例5． （1）证明函数
f(x)?log
2
(x
2
?1)
在
(0,??)
上是增函数。（2）问：函数
f(x)?log
2
(x
2
?1)
在
(??,0)
上是减函数还是增函数？
分析：此题目 的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底
数对数大小的方法 。
证明：设
x
1
,x
2
?(0,??)
，且x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)?log
2
(x
1
?1)?log
2
(x2
?1)

2
2
?0?x
1
?x
2< br>?x
1
?1?x
2
?1
，又
?y?log
2
x
在
(0,??)
上是增函数，
∴
log
2(x
1
?1)?log
2
(x
2
?1)
，即< br>f(x
1
)?f(x
2
)

∴函数
f(x) ?log
2
(x?1)
在
(??,0)
上是增函数
（2）题证明可以依照上述证明过程给出
评述：此题可引导学生总结函数
f(x)? log
2
(x?1)
的增减性与函数
y?x?1
的增减性的关系，并
可在课堂练习之后得出一般性的结论。
（Ⅲ）课堂练习
（1）证明函数
y?log
1
在
(??,0)
上是减函数；
2
(x?1)
第
45
页
2
22
2
22
2
2

2< br>（2）判断函数
y?log
1
(x?1)
在
(??,0)上的增减性。
2
（Ⅳ）课时小结
师：通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函 数的性质应用，并掌握证明函数单调性、奇偶性的通法，
提高数学应用的能力。
（V）课后作业
1．求
y?log
0.3
(x
2
?2x)
的单调递减区间；
2．求
y?log
2
(x
2< br>?4x)
的单调递增区间；
第三章 函数的应用
§3．1函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数
2.让学生了解函数的零点与方程根的联系
3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用
4．培养学生动手操作的能力
教学重点：确定方程实数根的个数
教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象
教学方法：探讨法
教学过程：
引入问题
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根与二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象有什么关系？
通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）：
1．函数零点的定义：
对于函数
y?f(x)
，我们把使
f(x)?0
的实数
x
叫做函数< br>y?f(x)
的零点.这样，函数
y?f(x)
的
零点就是方程
f(x)?0
的实数根，也就是函数
y?f(x)
的图象与
x
轴的 交点的横坐标。
2．一般结论
方程
f(x)?0
有实数根
?函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点
3．函数变号零点具有的性质
对于任意函数
y?f(x)
，只要它的图象是连续不间断的，则有
（1）当 它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。如函数
f(x)?x?2x?3
的图象在零点< br>?1
的
左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点
?1
时，函数值由 正变为负，再通过第二个零点3时，函数
值又由负变成正（见教材第87页“探究”题）。
（2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。
4．注意点
（1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。
（2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。
5．勘根定理
如果函数y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有
f(a)?f(b)?0
那么函数
第
46
页
2

y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零 点，即存在
c?(a,b)
，使得
f(c)?0
，这个
c
也 就是方程
f(x)?0
的实数
根。
例1．求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点个数。
分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：
（1）利用计算器或计算机作
x,f(x)
的对应值表；
（2）作出函数
y?f(x)
的图象；
（3）确定
y?f(x)
的单调性；
（4）若在区间
[a,b]< br>上连续，并且有
f(a)?f(b)?0
，那么函数
y?f(x)
在区 间
(a,b)
内有一个实数根；
（5）结合单调性确定其定义域内零点个数，即实数根个数。
结合计算机利用几何画板作出函数的图象观察。
2
的零点所在的大致区间是（ ）
x
1
A．（1，2） B．（2，3） C．
(1,)
和（3，4） D．
(e,??)

e分析：从已知的区间
(a,b)
，求
f(a)
和
f(b)
，判断是否有
f(a)?f(b)?0
。
解：因为
f(1)??2?0, f(2)?ln2?1?0
，故在（1，2）内没有零点，非A。
例2．函数
f(x )?lnx?
又
f(3)?ln3?
2
?0
，所以
f(2) ?f(3)?0
，所以
f(x)
在（2，3）内有一个零点，选B。
32
例3．若方程
2ax?x?1?0
在（0，1）内恰有一解，求实数
a
的取值范围。
分析：令
f(x)?2ax
2
?x?1
在（ 0，1）内恰有一解，则
f(0)?f(1)?0
，解出
a
。
2< br>?(2a?2)?0
解：令
f(x)?2ax?x?1
，因为方程在（0，1） 内恰有一解，所以
f(0)?f(1)?0
，即
?1
，
解得
a?1
。
例4．二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
中，
a? c?0
，则函数的零点个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定
分析：分析条件
a?c?0
，
a
是二次项系数，确定抛物线的开口方向，
c?f(0)
，所以
2
a? c?a?f(0)?0
，由此得解。
解：因为
c?f(0)
，所以
a?c?a?f(0)?0
，即
a
与
f(0)
异号，即
?< br>所以函数必有两个零点，故选B。
练习：
教材第88页练习1、2题。
说 明：练习1让学生自己动手操作，要启发学生将等号右边的项移至等号左边，然后将等号左边的代
数式设 为函数
f(x)
，再通过探究函数的零点去得出方程的根的情况。练习2要借助几何画板作出各 个函
数的图象判断零点所在大致区间。
作业：
教材第92页习题3.1A组题第2题。

?
a?0
?
a?0
或
?

?
f(0)?0
?
f(0)?0
3.1.2 用二分法求方程的近似解（两课时）
第
47
页

教学目标：1.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解
2.了解用二分法是求方程近似解的常用方法
3.通过二分法求方程的近似解使学生体会方程与函数之间的关系
4．培养学生动手操作的能力
教学重点：用二分法求方程的近似解
教学难点：用二分法求方程的近似解
教学方法：探讨法
教学过程：
引入问题
我们已经知道函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点个数是一个 ，那么进一步的问题是如何找出这个零点？
引出课题——（板书）
新课讲解
解决上 述问题的一个直观的想法是：如果能够将零点所在范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，
我们可以 得到零点的近似值。为了方便，通过“取中点”，不断地把函数
f(x)
的零点所在的区间一分 为二，
使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值。这样的方法称为二分法。
一、用二分法求函数
f(x)
零点近似值的步骤
通过上述问题的分析解答总 结：在给定精确度
?
，用二分法求函数
f(x)
零点的近似值的步骤是： < br>1．确定区间
[a,b]
，验证
f(a)?f(b)?0
，给定精确度
?
；
2．求区间
(a,b)
的中点
x
1
?
3．计算
f(x
1
)
：
（1）若
f(x
1
)
=0，则
x
1
就是函数的零点，计算终止；
（2） 若
f(a)?f(x
1
)?0
，则令
b?x
1
（此 时零点
x
0
?(a,x
1
))
；
（3）若
f(x
1
)?f(b)?0
，则令
a?x
1
（此时零点< br>x
0
?(x
1
,b))
。
4．判断是否达到精确度
?
：即若
a?b?
?
，则得到零点近似值
a或b
； 否则重复2--4。
由函数的零点与相应方程根的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解。由于计 算量较大，而且是
重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成 计算。
二、二分法的评注
1．用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不使用； 2．从引入函数零点的概念到函数零点的研究和求解，应用到由特殊到一般的转化思想，通过学习提
高函数思想和数形结合的能力。
三、例题讲解
例1．借助计算器或计算机用二分法求方程
2?3x?7
的近似解（精确到0.1）。
解：原方程即
2?3x?7?0,令f(x)?2?3x?7
，用计算器或计算机作出 函数
f(x)?2?3x?7
的
对应值表与图象：
xxx
x
a?b
；
2
x

0 1 2 3
第
48
页
4 5 6 7

y?2
x
?3x?7

-6 -2 3 10 21 40 75 142
观察右图和表格，可知
f(1)?f(2)?0
，说明在区间（1，2）内有 零点
x
0
。 y
取区间（1，2）的中点
x
1?1.5
，用计算器可的得
f(1.5)?0.33
。 o x
因为
f(1)?f(1.5)?0
，所以
x< br>0
?(1,1.5)
，再取
(1,1.5)
的中点
x
2
?1.25
，
用计算器求得
f(1.25)??0.87
，因此
f(1.25)?f(1.5)?0
，所以
x
0
?(1.25,1. 5)
。
同理可得
x
0
?(1.375,1.5),x
0< br>?(1.375,1.4375)
，由
1.37?51.43?75
时
1
区间
0.0?62
，
5
此
0.
(1.375,1 .4375)
的两个端点，精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1. 4。
例2．求函数
y?x
3
?2x
2
?x?2
的 零点，并画出它的图象。
略解：
y?x
3
?2x
2
?x? 2?(x?2)(x?1)(x?1)
，所以零点为
?1,1,2
，3个零点把横轴分 成4个区
间，然后列表描点画图。 y
例3．已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d的图象如图所示，则
A．
b?(??,0)
B．
b?(0,1)
C．
b?(1,2)
D．
b?(2,??)
0 1 2 x
略解：选A。
例4．已知函数
f(x)?mx?(m?3)x?1
的图象与
x
轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数
m
的
取值范围是（ ）
A．
(0,1]
B．
(0,1)
C．
(??,1)
D．
(??,1]

略解：选D.
练习
教材第91页练习1、2题和第92页第1题。
作业
教材第92页第3、4、5题。
2
第
49
页