高中数学必修一专题复习

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第一章 集合与函数概念
知识架构















列

举






集合
映射
函数
集合与函数概念
集
合
表
集
合
的
集
合
的
映
射
的
概
函
数
及
其
函
数
基
本
描
述
图
示
包
相
交 并 补
函函
数
的
表< br>单
调
性
与
函
数
的
奇
子集与真子集
数
的







- 1 - - 1 - 57

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第一讲 集合
★知识梳理
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；
3.集合中元素与集合的关系：


文字语言
属于
不属于
符号语言
?

?

4.常见集合的符号表示
数集
符号
自然数集 正整数集
N
?
或
N
?

整数集 有理数集 实数集 复数集
N

Z

Q

R

C



二： 集合间的基本关系
表示
关系
相等
文字语言

集合A与集合B中的所有元素
都相同
子集 A中任意一元素均为B中的元
素
真子集 A中任意一元素均为B中的元
素，且B中至少有一元素不是
A的元素
空集 空集是任何集合的子集，是任
符号语言
A?B
且
B?A
?

A?B

A?B
或
B?A

AB

?
?A
，
?
B
（
B?
?
）
- 2 - - 2 - 57

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何非空集合的真子集
三：集合的基本运算
①两个集合的交集:
A
②两个集合的并集:
A
B
=
?
xx?A且x?B
?
;
B
=
?
xx?A或x?B
?
;
③设全集是U,集 合
A?U
,则
C
U
A?
xx?U且x?A

交

并

补

??
AB?{x|x?A,
且
x?B}

AB?{x|x?A,
或
x?B}

C
U
A?
?
xx?U且x?A
?




方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.
★重、难点突破
重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合
的交 、并、补三种运算。
重难点：
1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，
在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；
2．集合的表示法
（1）列举 法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性
质，如
xy?f (x)
、
yy?f(x)
、
(x,y)y?f(x)
等的差别，如果 对集合中代表元素认
识不清，将导致求解错误：
??????
(3)Venn
图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用
Venn
图 。
- 3 - - 3 - 57

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3．集合间的关系的几个重要结论
（1）空集是任何集合的子集，即
?
?A

（2）任何集合都是它本身的子集，即
A?A

（3）子集、真子集都有传递 性，即若
A?B
，
B?C
，则
A?C

4．集合的运算性质
（1）交集：①
A?B?B?A
；
②
A?A?A
；
③
A?
?
?
?
；
④
A?B?A
，
A?B?B
⑤
A?B?A?A?B；
（2）并集：①
A?B?B?A
；
②
A?A?A
；
③
A?
?
?A
；
④
A?B?A
，
A?B?B
⑤
A ?B?A?B?A
；
（3）交、并、补集的关系
①
A
?
C
U
A?
?
；
A
?
C
U
A
?
U

②
C
U
(A
?
B)
?< br>(C
U
A)
?
(C
U
B)
；
CU
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B)

★热点考点题型探析
考点一：集合的定义及其关系
题型1：集合元素的基本特征
[例1]（2008年江西理）定义集合运算：
A?B?
?
z|z?xy,x ?A,y?B
?
．设
A?
?
1,2
?
,B??
0,2
?
，则集合
A?B
的所有元素之和为（ ）
A．0；B．2；C．3；D．6
[解题思路]根据
A?B
的定义，让x
在
A
中逐一取值，让
y
在
B
中逐一取值，< br>xy
在值就是
A?B
的元素
[解析]：正确解答本题,必需清楚集合
A?B
中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知
A?B
=
?0,2,4
?
，故应选择D
【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题 因为背景公平，所以成为高考的一个热点，
这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的 互异性。
- 4 - - 4 - 57

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题型2：集合间的基本关系
[例2]．数集
X?
?
(2n?1)
?
,n?Z
?
与
Y?
?
(4k?1)
?
,k?Z
?
之的关系是（ ）
A．
XY
；B．
YX
； C．
X?Y
；D．
X?Y

[解题思路]可有两种思路：一是将X
和
Y
的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之
间的关系进行判 断。
[解析] 从题意看，数集
X
与
Y
之间必然有关系，如果A成 立，则D就成立，这不可能；
同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C
【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，
逐个进行检 验，不方便进行检验的，就设法举反例。
[新题导练]
1．第二十九届夏季奥林匹克运动 会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥
运会比赛的运动员}，集合B={参加 北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比
赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）
A．
A?B
B.
B?C
C.
A?B?C
D.
B?C?A

[解析] D；因为全集为
A
，而
B?C
=全集=
A

2．( 2006?山东改编）定义集合运算:
A?B?z?xy?xy,x?A,y?B
,设集合?
22
?
A?
?
1,0
?
,
B??
2,3
?
,则集合
A?B
的所有元素之和为
[解析]18，根据
A?B
的定义，得到
A?B?
?
0,6 ,12
?
，故
A?B
的所有元素之和为18
3．(2007·湖北 改编）设
P
和
Q
是两个集合，定义集合
P?Q?
?
x|x?P,且x?Q
?
，如果
P?
?
xlog
3
x?1
?
，
Q?
?
xx?1
?
,那么
P? Q
等于
[解析]
x1?x?3
；因为
P?x log
3
x?1?(0,3)
，
Q?xx?1?(?1,1)
，所以
??????
P?Q?(1,3)

4．研究集合
A?xy?x?4
，
B?yy?x?4
，
C?(x,y)y?x?4
之间的关系
[解析]
A
与
C
，
B
与
C
都无 包含关系，而
B
?
2
??
2
??
2
?A
；因为
A?xy?x
2
?4
表示
??
y? x
2
?4
的定义域，故
A?R
；
B?yy?x
2< br>?4
表示函数
y?x
2
?4
的值域，
??
- 5 - - 5 - 57

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B?[? 4,??)
；
C?(x,y)y?x
2
?4
表示曲线
y?x
2
?4
上的点集，可见，
B
与
C
，
B与
C
都无包含关系
考点二：集合的基本运算
[例3] 设集合A?xx?3x?2?0
，
B?xx?2(a?1)x?(a?5)?0

（1） 若
A?B?
?
2
?
，求实数
a
的值；
（ 2）若
A?B?A
，求实数
a
的取值范围若
A?B?
?2
?
，
??
A
，而
A
?
2
??
22
?
[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根 据已知条件求参数。
[解析]因为
A?xx?3x?2?0?
?
1,2
?
， < br>2
??
（1）由
A?B?
?
2
?
知，
2?B
，从而得
2?4(a?1)?(a?5)?0
，即
22
a
2
?4a?3?0
，解得
a??1
或
a??3
< br>当
a??1
时，
B?xx?4?0?
?
2,?2
?< br>，满足条件；
当
a??3
时，
B?xx?4x?4?0?
?
2
?
，满足条件
2
?
2
?
??
所以
a??1
或
a??3

（2）对于集合
B
，由
??4(a?1)?4(a?5)?8(a?3)

因为
A?B?A
，所以
B?A

①当
??0
，即
a??3
时，
B?
?
，满足条件；
②当
? ?0
，即
a??3
时，
B?
?
2
?
，满足 条件；
22
1,2
?
才能满足条件， ③当
??0
，即< br>a??3
时，
B?A?
?
5
?
?
1?2?? 2(a?1)
?
a??
由根与系数的关系得
?
?
?
2
，矛盾
2
?
1?2?a?5
?
a
2
? 7
?
故实数
a
的取值范围是
a??3

【名师指引 】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要
注意集合的子集要考虑空 与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.
- 6 - - 6 - 57

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★抢分频道
基础巩固训练：
1． （09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集
U

A

B

U?R,A?
?
xx(x?3)?0
?
,B?
?
xx??1
?
, 则右图中阴
影部分表示的集合为 ( )
A．
xx?0
；B．
x?3?x?0
；C．
x?3?x ??1
；D．
xx??1

[解析]C；图中阴影部分表示的集合是
A?B
，而
A?x?3?x?0
，故
????????
??
A?B?
?
x?3?x??1
?

2. （韶关09届高三摸底考 ）已知
A?xx(1?x)?0,B?xlog
2
x?0
则
AA．
(0,1)
；B．
(0,2)
；C．
(??,0)
；D．
(??,0)
????
B
=
(0,??
?

[解析] A；因为
A?x0?x?1
，
B?x0?x?1
，所以< br>A?B?x0?x?1

3. （苏州09届高三调研考）集合
{?1,0,1}
的所有子集个数为
[解析]8；集合
{?1,0,1}
的所有子集个数为
2
3
?8

4.（09年无锡市高三第一次月考）集合
A
中的代表元素设为
x
，集合
B
中的代表元素设为
y
，
若
?x?B< br>且
?y?A
，则
A
与
B
的关系是
[解析]
B?A
或
A?B??
；由子集和交集的定义即可得到结论
5．(2008年天津)设集合
S?x|x?2?3,T?
?
x|a?x?a ?8
?
,S?T?R
，则
a
的取值
范围是（ ）
A．
?3?a??1
；B．
?3?a??1

C．a??3
或
a??1
；D．
a??3
或
a??1

[解析]A；
S?x|x?2?3?xx??1或x?5
，
T?
?
x|a?x?a?8
?
，
S?T?R

????????
????
所以
?
?
a??1
，从而得
?3 ?a??1

a?8?5
?
综合提高训练：
6．
P?m? 1?m?0
,
Q?m?Rmx?4mx?4?0对于任意实数x恒成立

??
?
2
?
- 7 - - 7 - 57

v1.0 可编辑可修改
则下列关系中立的是( )
A．
P
Q
; B．
Q
P
;C．
P?Q
;D．
P?Q?
?

?
m?0
[解析]A；当
m?0
时，有
?
，即 < br>2
?
??(4m)?4?m?(?4)?0
Q?
?
m?R?1 ?m?0
?
；当
m?0
时，
mx
2
?4mx?4? 0
也恒成立，故
Q?
?
m?R?1?m?0
?
，所以
P
Q

1,2,3,4,5
?
，
Q?
?
3,4,5,6,7
?
，记 7.设
f(n)?2n?1(n?N)
，
P?
?
??
?
?n?N
?
f(n)?Q
，则
(P
?
?
CQ
?
?
?
?
n?Nf(n)?P
?
，
Q
P
N
)
?
(Q
?
C
N
P)
＝( )
1,2
?
;
C.
?
3,4,5
?
; D.
?
1,2,6,7
?

A.
?
0,3
?
; B.
?
?
?
?
?
?
?
?
0,1,2
?
，
Q
?
?< br>CQ
1,2,3
?
，所以
(P
[解析] A；依题意得
P
0
?
，
N
)?
?
??< br>?
?
CP
?
(Q3
?
，故应选
A
N
)?
?
8．（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义 A?B?{xx?A?B且x?A?B}
，已知A=
{x|y?2x?x
2
}
，B=
{y|y?2
x
,x?0}
，
则A×B等于（ ）
A．
?
0,??
?
；B．
?
0,1
? ?
2,??
?
；C．
?
0,1
?
?
2,? ?
?
；D．
?
0,1
?
(2,??)

[ 解析]D；
2x?x
2
?0?0?x?2
，∴A=[0，2]，
x? 0?2
x
?1
，∴B=（1，＋∞），
∴A∪B=[0, ＋∞），A∩B=（1，2]，则A×B＝
?
0,1
?
(2,??)



第2讲 函数与映射的概念
★
知识梳理
1．函数的概念
(1)函数的定义：
设
A、B
是两个非空的数集 ，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中的每一个数
x
， 在
- 8 - - 8 - 57

v1.0 可编辑可修改 < br>集合
B
中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从
A
到B
的一个函数，通常记为
y?f(x),x?A

(2)函数的定义域、值域
在函数
y?f(x),x?A
中，
x< br>叫做自变量，
x
的取值范围
A
叫做
y?f(x)
的定 义域；与
x
的值相对应的
y
值叫做函数值，函数值的集合
?
f(x)x?A
?
称为函数
y?f(x)
的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则
2．映射的概念
设
A、B
是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中的任意元素， 在集合
B
中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从
A
到< br>B
的映射，通常记为
f:A?B

★
重、难点突破
重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域
难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域
重难点：1．关于抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误
问题1：已知函数
y?f(x)
的定义域为
[a，b]
，求
y?f(x?2)
的定义域
[误解]因为函数
y?f(x)
的定义域为
[a，b]
， 所以
a?x?b
，从而
a?2?x?2?b?2

故
y?f(x?2)
的定义域是
[a?2,b?2]

[正 解]因为
y?f(x)
的定义域为
[a，b]
，所以在函数
y?f( x?2)
中，
a?x?2?b
，
从而
a?2?x?b?2
，故
y?f(x?2)
的定义域是
[a?2,b?2]

即本题的实质是求
a?x?2?b
中
x
的范围
问题2：已 知
y?f(x?2)
的定义域是
[a，b]
，求函数
y?f(x)< br>的定义域
[误解]因为函数
y?f(x?2)
的定义域是
[a，b]
，所以得到
a?x?2?b
，从而
a?2?x?b?2
，所以函数
y?f(x)
的定义域是
[a?2,b?2]

[正解]因为函数< br>y?f(x?2)
的定义域是
[a，b]
，则
a?x?b
，从 而
a?2?x?2?b?2

- 9 - - 9 - 57

v1.0 可编辑可修改
所以函数
y?f(x)
的定义域是
[a?2,b?2]

即本题的实质是由
a?x?b
求
x?2
的范围
即
f(x)
与
f(x?2)
中
x
含义不同
2． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方 法，如求函数
y??sin
2
x?2cosx?4
，可变为
y??s in
2
x?2cosx?4?(cosx?1)
2
?2
解决
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数
y?log
1
(?x
2
?2x?3)
就是利用函数
y?log
1
u
和
u??x
2
?2x?3
的值域来求。
2
2
2x?1
的值域
2
x?2x?2
2x?11
2
由
y?
2
得
yx?2(y?1)x?2y?1?0
，若
y?0
，则得
x??
，所以
y?0
是
2x?2x?2
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数
y?
函数值域中的一个值；若
y?0
，则由
??[?2(y?1)]?4y(2y?1) ?0
得
2
3?133?13
3?133?13
?y?且y?0
，故所求值域是
[,]

22
22
2cosx?3
的值域，因为
cosx?1
2c osx?3555
，而
cosx?1?(0,2]
，所以
?y??2??(? ?,?]
，故
cosx?1cosx?1cosx?12
1
y?(??,?]

2
3x
（5）利用基本不等式求值域：如求函数
y?
2
的值域
x?4
（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数
y?
当
x?0
时，
y?0
；当
x?0
时，
y?
3
x?
4
x
，若
x?0
，则
x?
44
?2 x??4

xx
若
x?0
，则
x?
444
33
??(?x?)?2(?x)?()?4
，从而得所求值域是
[?,]

x?x?x
44
42
（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数
y ?2x?x?2(x?[?1,2])
的值域
因
y?8x?2x?2x(4x?1)
，故函数
y?2x?x?2(x?[?1,2])
在
(?1,?)
上 递减、在
3242
1
2
11115
(?,0)
上递增、在< br>(0,)
上递减、在
(,2)
上递增，从而可得所求值域为
[,30]

2228
- 10 - - 10 - 57

v1.0 可编辑可修改
（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可 根据图象直观地得出函数的值域（求某些
分段函数的值域常用此法）。
★
热点考点题型探析
考点一：判断两函数是否为同一个函数
[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数
（1）
f(x)?x
2
，
g (x)?
3
x
3
；
x
?
1
（2）
f(x)?
，
g(x)?
?
x
?
?1
x?0,< br>x?0;

（3）
f(x)?
2n?1
x
2n?1< br>，
g(x)?(
2n?1
x)
（4）
f(x)?
2n ?1
（
n
∈N）；
*
x
2
x?1
，g(x)?x
2
?x
；
2
（5）
f(x)?x?2x ?1
，
g(t)?t?2t?1

[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
[解析] （1）由于
f(x)?
所以它们不是同一函数.
x
2
?x
，
g(x)?
3
x
3
?x
，故它们的值域及对应法则都不相 同，
?
1
（2）由于函数
f(x)?
的定义域为
(??,0 )?(0,??)
，而
g(x)?
?
x
?
?1
域为 R，所以它们不是同一函数.
x
x?0,
x?0;
的定义
（3）由 于当
n
∈N时，2
n
±1为奇数，∴
f(x)?
2n?1< br>x
2n?1
?x
，
g(x)?(
2n?1
x)
*
2n?1
?x
，
它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一 函数.
（4）由于函数
f(x)?x
x?1
的定义域为
xx?0< br>，而
g(x)?
??
x
2
?x
的定义域为
?
xx?0或x??1
?
，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数
【名师指引】构成函数的 三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应
关系确定的，所以，如果两个函数的定 义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函
- 11 - - 11 - 57

v1.0 可编辑可修改
数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原 因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域
及对应法则
f
不变的条件下，自变量变换 字母对于函数本身并无影响，比如
f(x)?x?1
，
2
f(t)?t
2
?1
，
f(u?1)?(u?1)
2
?1
都可视为同一 函数.
[新题导练]
1．(2009·佛山) 下列函数中与函数
y?x
相同的是( )
x
2
A .y
= (
x
); B.
y
=
t
; C.
y
=
x
; D.
y
=
x
2
3
3
2

[解析] B；因为
y
=
t
?t
，所以应选择B
2．(09年重庆南开中学)与函数
y?0.1
A.
y?2x?1(x?
lg(2x?1)
3
3
的图象相同的函数是 （ ）
11111
；C.
y?)
；B.
y?(x?)
； D.
y?||

22x?12x?122x?1
lg(2x?1)
[解析] C；根据对数恒等式得
y?0.1
域为
(,??)
，故应选择C
考点二：求函数的定义域、值域
题型1：求有解析式的函数的定义域
[例2].（ 08年湖北）函数
f(x)?
?10
lg
1
2x?1
?1
lg(2x?1)
，且函数
y?0.1
的定义
2x?1
1
2
1
ln(x
2
?3x?2??x
2
?3x? 4)
的定义域为( )
x
A.
(??,?4)?[2,??)
;B .
(?4,0)?(0,1)
；C.
[,?4,0)?(0,1]
;D.
[,?4,0)?(0,1)

[解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。
[解析]欲使函数
f(x)
有意义，必须并且只需
?
x
2
?3x?2?0
?
2
?
?x?3x?4?0
?x?[?4, 0)?(0,1)
，故应选择
D

?
22
?
x?3 x?2??x?3x?4?0
?
x?0
?
【名师指引】如没有标明定义域， 则认为定义域为使得函数解析式有意义的
x
的取值范围，
实际操作时要注意：①分母不 能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为
非负数；④零指数幂中，底数不等于0； ⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几
- 12 - - 12 - 57

v1.0 可编辑可修改
个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； ⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问
题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先 原则，实际问题的定义域
不要漏写。
题型2：求抽象函数的定义域
[例3]（20 06·湖北）设
f
?
x
?
?lg
2?x
x
??
2
?
，则
f
?
??
?f
??
的定义域为（ ）
2?x
?
2
??
x
?
A
.
?< br>?4,0
?
?
?
0,4
?
；
B
.
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?
；
C
.
?
?2,?1
?
?
?
1,2
?；
D
.
?
?4,?2
?
?
?
2,4
?

x
??
2
?
[解题思路]要求复合函数
f
?
??< br>?f
??
的定义域，应先求
f(x)
的定义域。
?
2
??
x
?
?
?2?
?
2?x
?
[解析]由
?0
得，
f(x)
的定义域为
?2?x?2
，故
?
2?x
?
?2?
?
?
解得
x?
?
?4,?1
?
x
?2,
2

2
?2.< br>x
?
1,4
?
。故
?
x
??
2?
f
??
?f
??
的定义域为
?
?4,?1< br>?
?
?
1,4
?
.选B.
?
2
? ?
x
?
【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数
f(x)
的定义 为
[a,b]
，则函数
f[g(x)]
的定义域
是满足不等式
a?g(x)?b
的
x
的取值范围；一般地，若函数
f[g(x)]
的定义域是
[a,b]
，指
的是
x?[a,b]
，要求
f (x)
的定义域就是
x?[a,b]
时
g(x)
的值域。
题型3；求函数的值域
[例4]已知函数
y?x?4ax?2a?6(a?R)，若
y?0
恒成立，求
f(a)?2?aa?3
的值
域
[解题思路]应先由已知条件确定
a
取值范围，然后再将
f(a)
中的绝对 值化去之后求值域
[解析]依题意，
y?0
恒成立，则
??16a?4(2 a?6)?0
，解得
?1?a?
所以
f(a)?2?a(a?3)??(a? )
2
?
2
2
3
，
2
f(a)
m in
17
，从而
f(a)
max
?f(?1)?4
，
4
31919
?f()??
，所以
f(a)
的值域是
[? ,4]

244
3
2
【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往 都要依据函数的单调性求函数的最值。
[新题导练]
- 13 - - 13 - 57

v1.0 可编辑可修改
3.（2008安徽文、理）函数
f(x)?
x?2?1
log
2
(x?1)
的定义域为 ．
[解析]
[3,??)
；由
?
?
x?2?1?0?
x?1?0,x?1?1
解得
x?3

4．定义在
R
上的函数
y?f(x)
的值域为
[a,b]
，则函数
y?f (x?1)
的值域为( )
A．
[a?1,b?1]
；B．
[a,b]
；C．
[a?1,b?1]
；D．无法确定
[解析] B； 函数
y?f(x?1)
的图象可以视为函数
y?f(x)
的图象向右平移一个 单位而得到，
所以，它们的值域是一样的
5．(2008江西改) 若函数
y?f( x)
的定义域是
[1,3]
，则函数
g(x)?

[解析]
[,1)?(1,]
；因为
f(x)
的定义域为
[1,3]
，所以对
g(x)
，
1?2x?3
但
x?1故
f(2x)
的定义域是
x?1
1
2
3
2< br>13
x?[,1)?(1,]

22
6．(2008江西理改)若函数
y?f(x)
的值域是
[,3]
，则函数
F
?
x< br>?
?f
?
x
?
?
是
[解析]
[2,
2
3
1
的值域
f(x)
1012
令
t?f(x)
，则
F?t?(?t?3)

]
；
F(x)
可以视为以
f(x)
为变量的函数，
3t31t
2
?1(t?1)(t?1)
12
F
?
?1?2
?
2
?
，所以，在
F?t?[,1]
上是减函数，在
[1,3]
上是增函
ttt
2
t3
数，故
F(x)
的最大值是
考点三：映射的概念
【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：
（1）集合
A
、
B
及对应法则
f
是确定的，是一个 整体系统；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合
A
到集合
B
的对应，它与从集合
B
到集合
A
的对应关系一般是不同的；
（3 ）集合
A
中每一个元素，在集合
B
中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别 于一般
．．
对应的本质特征；
（4）集合
A
中不同元素，在集合
B
中对应的象可以是同一个；
- 14 - - 14 - 57

10
，最小值是2
3

v1.0 可编辑可修改
（5）不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象.
[新题导练]
7．集合
A
={3，4}，
B
={5，6 ，7}，那么可建立从
A
到
B
的映射个数是__________，从
B
到
A
的映射个数是__________.
[解析] 9 , 8；从
A
到
B
可分两步进行：第一步
A
中的元素3可有3种对应方 法（可对应5
或6或7），第二步
A
中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不 同的映射种数
N
1
＝3×3
＝9.反之从
B
到
A< br>，道理相同，有
N
2
＝2×2×2＝8种不同映射.
8．若
f :y
=3
x
+1是从集合
A
={1，2 ，3，
k
}到集合
B
={4，7，
a
，
a
+3
a
}的一个映射，求自然
数
a
、
k
的值及集合
A
、B.
[解析]
a
=2，
k
=5，
A
={1，2，3，5}，
B
={4，7，10，16}；
∵
f< br>（1）=3×1+1=4，
f
（2）=3×2+1=7，
f
（3）=3 ×3+1=10，
f
（
k
）=3
k
+1，由映射的定义知< br>42
??
?
a?10,
?
a?3a?10,
（1）< br>?
或（2）
?

24
??
?
a?3a? 3k?1,
?
a?3k?1.
42
∵
a
∈N，∴方程组（1 ）无解.
解方程组（2），得
a
=2或
a
=－5（舍），3
k
+1=16，3
k
=15，
k
=5.
∴
A
={1，2，3，5}，
B
={4，7，10，16}.
★抢分频道
基础巩固训练：
1．(2007·广东改编) 已知函数
f( x)?
1
1?x
的定义域为
N
，
g(x)?ln(1?x)
的定义域为
M
，则
M?N?

[解析]
(?,??)
；因为
M?(?1,??),N?(??,1),故
M?N?R

2．函数
y?log
1
(3x?2)
的定义域是
3
[解析]
(
2
3
,1]
；由
0?3x ?2?1
得到
2
?x?1

3
2
x
?1
3．函数
y?
x
的值域是
2?1
2
x
?1
y?1y?1
x
x
?0< br>，即[解析]
(?1,1)
；由
y?
x
知
y?1，从而得
2?
，而
2?0
，所以
1?y1?y
2?1< br>- 15 - - 15 - 57

v1.0 可编辑可修改
?1?y?1

4．（广东从化中学09届月考）从集合A到B的映射中,下列说法正确的是( )
A ．B中某一元素
b
的原象可能不只一个；B．A中某一元素
a
的象可能不只一 个
C．A中两个不同元素的象必不相同； D．B中两个不同元素的原象可能相同
[解析]A；根据映射的定义知可排除B、C、D
5．（深圳中学09届高三第一学段考试） 下列对应法则
f
中，构成从集合A到集合
B
的映射是




A．
A?{x|x?0},B?R,f:x?|y|?x

B．
A?{?2,0,2},B?{4},f:x?y?x

C．
A ?R,B?{y|y?0},f:x?y?
D．
A?{0,2},B?{0,1},f:x?y ?
2
2
1

x
2
x

2
[解析]D；根据映射的定义知，构成从集合A到集合
B
的映射是D 6．（09年执信中学）若函数
y?x?3x?4
的定义域为
[0,m]
,值域为
[?
围是（ ）
A．
?
0,4
?
；B．
[，

3]
； C．
[，4]
；D．
[，??）
2
25< br>，?4]
，则
m
的取值范
4
3
2
3
2
3
2
253
，其图象的对称轴为直线
x?
，
4 2
2525
其最小值为
?
，并且当
x?0
及
x?3
时，
y??4
，若定义域为
[0,m]
，值域为
[?，?4 ]
，
44
3
则
?m?3

2
[解析]B； 因为函数
y?x?3x?4
即为
y?(x?)
2
?
2
3
2
综合提高训练：
8．（05天津改）设函数
f(x)?ln
2?xx1
，则函数
g(x)?f()?f()
的定义域是
2?x2x
?
?2?
?
112?x
?
[解析] < br>(?4,?)?(,4)
；由
?0
得，
f(x)
的定义域为< br>?2?x?2
。故
?
222?x
?
?2?
?
?
解得
?4?x??
x
?2
2

1
?2
x
11
或
?x?4
。
22
1
9．设函数
f(x)?x
2
?x?
的定义域是
[n,n ?1]
(
n
是正整数)，那么
f(x)
的值域中共有
2
- 16 - - 16 - 57

v1.0 可编辑可修改
个整数
111
?(x?)
2
?
，可见，< br>f(x)
在
[n,n?1]
(
n
是正整
224
11
数)上是增函数，又
f(n?1)?f(n)?[(n?1)
2
?(n ?1)?]?(n
2
?n?)?2n?2

22
[解析]
2 n?2
；因为
f(x)?x
2
?x?
所以，在
f(x)的值域中共有
2n?2
个整数
第3讲 函数的表示方法
★知识梳理
一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
★重、难点突破
重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念
难点：分段函数的概念，求函数的解析式
重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：
（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数
f[g(x)]
的解析式，则可用换元法或配凑法；
问题1．已知二次函数
f(x)
满足
f(2x?1)?4x?6x?5
，求< br>f(x)

方法一：换元法
令
2x?1?t(t?R)
，则
x?
2
2
t?1t?1
2
t?1
，从而
f (t)?4()?6??5?t
2
?5t?9(t?R)

222
所以
f(x)?x?5x?9(x?R)

方法二：配凑法
因为
f(2x?1)?4x?6x?5??(2x?1)?10x?4?(2x?1)?5(2 x?1)?9

222
- 17 - - 17 - 57

v1.0 可编辑可修改
所以
f(x)?x?5x?9(x?R)

2
1
方法三：待定系数法
2
2
6
5
2< br>因为
f(x)
是二次函数，故可设
f(x)?ax?bx?c
，从而由
f(2x?1)?4x?6x?5
可求
0
1
003
1
时间
4
6
时间时间
出
a?1、b??5、c?9
，所以< br>f(x)?x?5x?9(x?R)

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
f(x)

问题2：已知函数
f(x)
满足
f(x)?2f()?3x
，求
f( x)

因为
f(x)?2f()?3x??
①
2
1
x
1
x
111
代
x
得
f()?2f(x)?3? ??
②
xxx
12
由①②联立消去
f()
得
f( x)??x(x?0)

xx
以
★热点考点题型探析
考点1：用图像法表示函数
[例1] （09年广东南海中学）一水池有
2
个进水口,
1
个出水口,一个口的进、 出水的速度如
图甲、乙所示.某天
0
点到
6
点,该水池的蓄水量如图 丙所示．给出以下
3
个论断：
进水量 出水量 蓄水量





甲 乙 丙
（1）
0
点到
3点只进水不出水；（2）
3
点到
4
点不进水只出水；（3）
4< br>点到
6
点不进水不出水．
则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) .
．．．
[解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。
[解析] 由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个
单位，3个小时共进 水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进
水口进水，出水口出水，故②错 误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两
个进水口都进水，同时出水口也出水，故③ 不一定正确。从而一定不正确的论断是（2）
．．．
【名师指引】象这类给出函数图象让考生 从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它
- 18 - - 18 - 57

v1.0 可编辑可修改
要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发 现其性质。高考中的热点题型是“知式
选图”和“知图选式”。
[新题导练]
1． (05辽宁改)一给定函数
y?f(x)
的图象在下列图中，并且对任意
a
1
?(0,1)
，由关系式
a
n?1
?f(a
n
)? 0
得到的数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?0(n?N
*
)
，则该函数的图象是（ ）
A

B
C
D
[解析] A.；令
?
?
a
n
?x
，则
y?f(x)
等价于
a
n ?1
?f(a
n
)
，
y?f(x)
是由点
(an
,a
n?1
)
组
?
a
n?1
?y
成，而又知道
a
n
?a
n?1
，所以每各点都在
y =x
的上方。
2．(2005·湖北)函数
y?e
|lnx|
?| x?1|
的图象大致是( )







[解析] D；当
x?1
时，
y?x?(x?1)?1
， 可以排除A和C；又当
x?
排除B
13
时，
y?
，可以
22
考点2：用列表法表示函数
[例2] （07年北京）已知函数
f(x)
，
g(x)
分别由下表给出


x

f(x)

1
1
2
3
3
1
x

g(x)

- 19 - - 19 - 57

1
3
2
2
3
1

则

v1.0 可编辑可修改
f[g(1)]
的值为 ；满足
f[g(x)]?g[f(x)]
的
x
的值是
[解题思路]这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。
[解析]由表中对应值知
f[g(1)]
=
f(3)?1
；
当
x?1
时，
f[g(1)]?1,g[f(1)]?g(1)?3
，不满 足条件
当
x?2
时，
f[g(2)]?f(2)?3,g[f(2)]?g (3)?1
，满足条件，
当
x?3
时，
f[g(3)]?f(1) ?1,g[f(3)]?g(1)?3
，不满足条件，
∴满足
f[g(x)]?g[ f(x)]
的
x
的值是
x?2

【名师指引】用列表法表示 函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关
系，用好对应关系即可。
[新题导练]
3．（09年山东梁山）设
f
、
g
都是由< br>A
到
A
的映射，其对应法则如下表（从上到下）：
映射
f
的对应法则是表1
原象
象
映射
g
的对应法则是表2


原象

象
则与
f[g(1)]
1
4
2
3
3
1
4
2
相同的是（ ）
1
3
2
4
3
2
4
1 A．
g[f(1)]
；B．
g[f(2)]
；C．
g[f(3) ]
；D．
g[f(4)]

[解析] A；根据表中的对应关系得，
f[g(1)]?f(4)?1
，
g[f(1)]?g(3)?1

4．（0 4年江苏改编）二次函数
y?ax?bx?c
（
x
∈R）的部分对应值如下表 ：
2
x

－3 －2 －1 0 1 2 3
0
4
6
y

6 0 －4 －6 －6 －4
2
则不等式
ax?bx?c?0
的解集是
[解析]
(?2,3)
；由表中的二次函数对应值可得，二次方程
ax2
?bx?c?0
的两根为－2和3，
- 20 - - 20 - 57

v1.0 可编辑可修改
又根据
f(0)?f(?2)< br>且
f(0)?f(3)
可知
a?0
，所以不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集是
(?2,3)

考点3：用解析法表示函数
题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
1?x
1?x
2
[例3] （04湖北改编）已知
f(
，则
f(x)
的解析式可取为
)
=
2
1?x
1?x
[解题思路]这是复合函数的解析式求 原来函数的解析式，应该首选换元法
[解析] 令
故应填
1?xt?12t2x
，∴
f(t)?
2
.∴
f(x)?
2
.
?t
，则
x?
1?xt?1
t?1x?1
2x

2
1?x
【名师指引】求函数解析式的常用方法有：① 换元法（ 注意新元的取值范围）；② 待定
系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整 体代换（配凑法）；④构
造方程组（如自变量互为倒数、已知
f(x)
为奇函数且g(x)
为偶函数等）。
题型2：求二次函数的解析式
[例4] （普宁市 城东中学09届高三第二次月考）二次函数
f(x)
满足
f(x?1)?f(x)?2 x
，
且
f(0)?1
。
⑴求
f(x)
的解析式；
⑵在区间
[?1,1]
上，
y?f(x)
的图象恒在
y?2 x?m
的图象上方，试确定实数
m
的范围。
[解题思路]（1）由于已知< br>f(x)
是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，
可得求
2 x?m?f(x)
对于
x?[?1,1]
恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即 可。
[解析]⑴设
f(x)?ax?bx?c(a?0)
，则
2
f (x?1)?f(x)?[a(x?1)
2
b(x?1)?c]?(ax
2
? bx?c)

?2ax?a?b
与已知条件比较得：
?
?
2 a?2,
?
a?1,
解之得，
?
又
f(0)?c?1
，
?
a?b?0
?
b??1
?f(x)?x
2
?x?1

- 21 - - 21 - 57

v1.0 可编辑可修改
⑵由题意得：
x
2
?x? 1?2x?m
即
m?x
2
?3x?1
对
x?
??1,1
?
恒成立，
2
易得
m?(x?3x?1)
min
??1

考点4：分段函数
题型1：根据分段函数的图象写解析式
[例5] (07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药
物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立
方米空气中含药量
y
（毫克）与时间
t
（小时）成正比；
?
1
?
药物释放完毕后，
y
与
t
的函数关系式为y?
??
?
16
?
1?a
（
a
为常数 ），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药 量
y
（毫克）与时间
t
（小时）之间的函数关
系式为 ；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药
物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。
[思路点拨]根 据题意，药物释放过程的含药量
y
（毫克）与时间
t
是一次函数，药物释放完 毕
后，
y
与
t
的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数 ，然后再由所得的表达式解
决（Ⅱ）
[解析] （Ⅰ）观察图象，当
0?t?0.1
时是直线，故
y?10t
；当
t?0.1
时，图象过
(0. 1,1)

0.1?a
?
1
?
所以
1?
? ?
?
16
?
?
10t,0?t?0.1
?
，即a?0.1
，所以
y?
?
1
t?0.1

() ,t?0.1
?
?
16
0.1?a
?
1
?
（Ⅰ）
??
?
16
?
0.1?a
?
1
?< br>?0.25?
??
?
16
?
?
1
?
?
??
?
16
?
0.5
?t?0.6
，所以至少需 要经过
0.6
小时

【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。
题型2：由分段函数的解析式画出它的图象
例6] (2006·上海)设函数
f( x)?x
2
?4x?5
，在区间
[?2,6]
上画出函数
f (x)
的图像。
- 22 - - 22 - 57

v1.0 可编辑可修改






[思路
点拨]
需将来绝对值符号打开，即先解
x
2
?4x?5?0
，然后依分界点将函数分段表示，再画出图
象。
2
?
?
x?4x?5
[解析]
f(x)?x?4x?5?
?
2
?
?
?(x?4x?5)
2
?2?x??1或 5?x?6
?1?x?5
,如右上图.
【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理 ，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符
号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时 附上自变量的各取值范围。
[新题导练]
?
2x?3(x?0)
，则
f
?
9．（09年潮州金山中学）已知函数
f(x)?
?< br>2
?
f
?
1
?
?
?
?

x?1 (x?0)
?
[解析] 2；由已知得到
f[f(1)]?f(2?1?3)?f(?1)?(?1)?1?2

x?1
?
?
2
?
,x?2.
10．（06山东改编）设< br>f(x)?
?
则不等式
f(x)?2?0
的解集为 < br>2
?
?
log
2
(x?1),x?2,
2
[ 解析]
(1,2)?(5,??)
；当
x?2
时，由
f(x)?2 ?0
得
2
?
x?1
?2
，得
1?x?2

2
当
x?2
时，由
f(x)?2?0
得
log2
(x?1)?2
，得
x?5

x
2
备选例题1： (2005·江西)已知函数
f(x)?
（a
，b为常数）且方程
f
(
x
)－
x
+12= 0有
ax?b
两个实根为
x
1
=3,
x
2
=4.
（1）求函数
f
(
x
)的解 析式；（2）设k>1，解关于
x
的不等式；
f(x)?
(k?1)x?k< br>
2?x
x
2
?x?12?0
得 [解析]（1）将
x
1
?3,x
2
?4分别代入方程
ax?b
- 23 - - 23 - 57

v1.0 可编辑可修改
?
9< br>??9
?
?
a??1
x
2
?
3a?b
解得
?
,所以f(x)?(x?2).

?
2?x
?b?2
?
16
??8
?
?
4a?b
x
2
(k?1)x?kx
2
?(k?1)x?k
?,可化为?0
（2 ）不等式即为
2?x2?x2?x
即
(x?2)(x?1)(x?k)?0.

①当
1?k?2,解集为x?(1,k)?(2,??).

②当
k ?2时,不等式为(x?2)(x?1)?0解集为x?(1,2)?(2,??);

③
当k?2时,解集为x?(1,2)?(k,??)
.
备选例题2：（06重庆）已知定义域为R的函数
f(x)
满足
2
f
?
f(x)?x
2
?x
?
?f(x)?x
2?x.

（I）若
f(2)?3
，求
f(1)
;又若
f(0)?a
，求
f(a)
;
（II）设有且仅有 一个实数
x
0
，使得
f(x
0
)?x
0
， 求函数
f(x)
的解析表达式
解：(I)因为对任意x?R,有f(f(x)-x< br>2
?x)?f(x)?x
2
?x

所以f(f(2)-2
2
?2)?f(2)?2
2
?2
又由f(2)=3,得f(3-2?2）?3?2?2,即f(1)?1
若f(0 )=a,则f(a?0
2
?0)?a?0
2
?0,即f(a)?a
2 2

(II)因为对任意x?R，有f(f(x)?x
2
?x)?f(x)? x
2
?x.
又因为有且只有一个实数x
0
，使得f(x
0
)?x
0
所以对任意x?R,有f(x)?x
2
?x?x
0
2
在上式中令x?x
0
，有f(x
0
)?x
0
?x
0
?x
0
2
又因为f(x
0
)?x
0
，所以x
0
?x
0
?0，故x
0
=0或x
0
=1

若x
0
=0，则f(x)?x
2
?x?0，即f(x)?x
2
?x
但方程x
2
?x ?x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x
0
?0
若x
0
=1，则有f(x)?x
2
?x?1,即f(x)?x
2
?x?1 .易验证该函数满足题设条件。
综上，所求函数为f(x)?x
2
?x?1 (x?R)
★
抢分频道
基础巩固训练：
1．（09年广州高三年级第一学期中段考）函数
y?f
?
x
?
的图象如图2所示.观察图象可知
- 24 - - 24 - 57

v1.0 可编辑可修改
函数
y?f
?
x
?
的定义域、值域分别是（ ） A.
?
?5,0
?
?
?
2,6
?
,< br>?
0,5
?
；B.
?
?5,6
?
,
?
0,??
?

C.
?
?5,0
?
?< br>?
2,6
?
,
?
0,??
?
；D.
?
?5,??
?
,
?
2,5
?

[解析] C；由图象可以看出，应选择C
-5
O
y

5
2
2
图2
6
x

2．（09年惠州第一次调研考）某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：
前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的
产量
y
与时间
t
的函数图像可能是（ ）




t
ttt

o

4
o

4
o

4
o

4
8
8
88

C
AB
D

[解析] B；前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随x的变大而变小，后四年年
y

y

y

y













产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，∴选B．
2
x?bx?c,x?0,
若
f(?3)?f(0)
,
f(?1)??2
,则关3．（2004 ·湖南改编）设函数
f(x)?
2,x?0.
?
于
x
的方程
f(x)?x
的解的个数为
[解析] 3；由
f (?3)?f(0)
,
f(?1)??2
可得
b?3,c?0
，从而 方程
f(x)?x
等价于
?
x?0
?
x?0
?< br>x?0
或
?
2
，解
?
2
得到
x?0
或
x??2
，从而得方程
f(x)?x
?
x?f(x)?2
x?3x?xx?3x?x
?
??
的解的个数为3
4．（05江苏）已知
a,b
为常数，若
f(x)?x?4x?3
，
2
f(ax?b)?x
2
?10x?24
，则
5a?b=
[解析] 2；因为
f(x)?x?4x?3
，所以 2
f(ax?b)?(ax?b)
2
?4(ax?b)?3?a
2
x
2
?(2ab?4a)x?(b
2
?4b?3)

又< br>f(ax?b)?x
2
?
a
2
?1
?
?10 x?24
，所以，
?
2ab?4a?10

?
b
2
?4b?3?24
?
- 25 - - 25 - 57

v1.0 可编辑可修改
解得
?
?
a?1
?
a??1
或
?
，所以
5a?b?2
< br>?
b?3
?
b??7
?
a，a?b
，函数
f (x)?max
?
sinx,cosx
?
(x?R)

?< br>b，a?b
5．对
a、b?R，
记
max
?
a，b< br>?
?
?
的最小值是（ ）
A.
?1
；B.
2
2
；C.
?
；D.
1

2
2
[解析] C；作出
f(x)?sinx
和
g(x)?cosx
的图象即可得到函数 < br>f(x)?max
?
sinx,cosx
?
(x?R)
的最小 值是
?
2

2
1
x?[0,)
?
f
1
(x)
2
其中 6．（中山市09届高三统测）已知函数
f(x)?
?

?
f
2
(x)
x?[
1
,1]
2
1
f
1(x)??2(x?)
2
?1
，
f
2
(x)??2x?2
。作出函数
f(x)
的图象；
2



[解析] 函数
f(x)
图象如下： < br>说明：图象过
?
0,
?
?
1
??
1
??
1
?
?
、
?
,1
?
、
?1,0
?
点；在区间
?
0,
?
上的图象为上凸的曲线段 ；在区间
2
?
?
2
?
?
2
?
?< br>1
?
,1
?
上的图象为直线段
?
?
2
?
综合提高训练：
7．（09年惠州第二次调研考 ）如图，动点
P
在正方体
ABCD?A
1
B
1
C< br>1
D
1
的对角线
BD
1
上．过
- 26 - - 26 - 57

v1.0 可编辑可修改
点
P< br>作垂直于平面
BB
1
D
1
D
的直线，与正方体表面相 交于
M，N
．设
BP?x
，
MN?y
，
则函数y?f(x)
的图象大致是（ ）
D
1

A
1

D

A

M

B
1

P

N

B

C
1

y

y

y

y

C

O

A．
x

O

B．
x

O

C．
x

O

D．
x


[解析] B；过点
P
作垂直于平面
BB
1
D
1
D
的 直线，当点
P
运动时，线与正方体表面相交于
可以看出
x
与
y
的变化趋势
M，N
两点形成的轨迹为平行四边形，
递增再递减，并且在x
的中点值时
y
取最大
8．（06重庆）如图所示，单位圆中
AB
的长为
x
，
f(x)表示弧
AB
AB所围成的弓形面积 的2倍，则函数
y?f(x)
的图像是（ ）
[解
析]
D ；
如
图
所示，单位圆中
AB
的长为
x
，
f (x)表示弧
AB
与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当
AB
的
长小 于半圆时，函数
y?f(x)
的值增加的越来越快，当
AB
的长大于半圆时， 函数
y?f(x)
的值增加的越来越慢，所以函数
y?f(x)
的图像是D.
9．（06福建）已知
f(x)
是二次函数，不等式
f(x)?0
的 解集是
(0,5),
且
f(x)
在区间
?
?1,4
?
上的最大值是12。


（I）求
f(x)
的解析式；
（II）是否存在实数
m,
使得方程
f(x)?
是先
??< br>与弦
37
?0
在区间
(m,m?1)
内有且只有两个不等的< br>x
实数根若存在，求出
m
的取值范围；若不存在，说明理由。
[解析 ]（I）
f(x)
是二次函数，且
f(x)?0
的解集是
(0,5) ,

- 27 - - 27 - 57

v1.0 可编辑可修改
?
可设
f(x)?ax(x?5)(a?0).

? f(x)
在区间
?
?1,4
?
上的最大值是
f(?1)?6 a.
，由已知，得
6a?12,

?a?2,
?f(x)?2x(x ?5)?2x?10x(x?R).
（II）方程
f(x)?
3
2

37
?0
等价于方程
2x
3
?10x
2
? 37?0.

x
22
设
h(x)?2x?10x?37,
则
h'(x)?6x?20x?2x(3x?10).

10
)
时，
h'(x)?0,h(x)
是减函数；
310
当
x?(,??)
时，
h'(x)?0,h(x)
是增函数 。
3
101
h(3)?1?0,h()???0,h(4)?5?0,
< br>327
1010
?
方程
h(x)?0
在区间
(3,) ,(,4)
内分别有惟一实数根，而在区间
(0,3),(4,??)
内没有
33
当
x?(0,
实数根，
所以存在惟一的自然数
m?3,
使得方程
f(x)?
的实数根。 < br>37
?0
在区间
(m,m?1)
内有且只有两个不同
x



第4讲 函数的单调性与最值
★知识梳理
函数的单调性定义：
设函数
y?f(x)
的定义域为
A
，区间
I?A

如果对于区间
I
内的任意两个值
x
1
，
x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说
y?f(x)
在区间
I
上是单调增函数，
I
称为
y?f(x)
的单调增区间
如果对于区间
I
内的任意两个值
x
1
，
x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)? f(x
2
)
，那么就说
- 28 - - 28 - 57

v1.0 可编辑可修改
y?f(x)
在区间
I
上 是单调减函数，
I
称为
y?f(x)
的单调减区间
如果用导数的语言来，那就是：
设函数
y?f(x)
，如果在某区间
I
上
f
?
(x)?0
，那么
f(x)
为区间I
上的增函数；
如果在某区间
I
上
f
?
(x )?0
，那么
f(x)
为区间
I
上的减函数；
1．
函数的最大（小）值
设函数
y?f(x)
的定义域为
A

如果存在定值
x
0
?A
，使得对于任意
x?A
，有
f(x)?f(x0
)
恒成立，那么称
f(x
0
)
为
y?f(x )
的最大值；
如果存在定值
x
0
?A
，使得对于任意x?A
，有
f(x)?f(x
0
)
恒成立，那么称
f( x
0
)
为
y?f(x)
的最小值。
★
重、难点突破
重点：掌握求函数的单调性与最值的方法
难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值
重难点：1.对函数单调性的理解
（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须
先求函数的定义域； （2）函数单调性定义中的
x
1
，
x
2
有三个特征：一 是任意性；二是大小，即
x
1
?x
2
(x
1
?x
2
)
；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；
（3）若用导数工具研究 函数的单调性，则在某区间
I
上
f
?
(x)?0
（
f
?
(x)?0
）仅是
f(x)
为
区间
I
上的增函数（减函数）的充分不必要条件。
（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明
y?f(x)
在某区间
I
上的单
调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取 值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，
不能用区间
I
上的两个特殊值来代替。 而要证明
y?f(x)
在某区间
I
上不是单调递增的，只
要举出反例 就可以了，即只要找到区间
I
上两个特殊的
x
1
，
x
2
，若
x
1
?x
2
，有
f(x
1
)?f(x
2
)
- 29 - - 29 - 57

v1.0 可编辑可修改
即可。如果用导数证明
y?f(x)
在某区间
I
上递增或递减，那么就证明在某区间
I
上
f
?
(x)?0
或
f
?
(x)?0
。
（5）函数的单 调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数
y?
1
分别在
(?? ,0)
x
和
(0,??)
内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即< br>(??,0)?(0,??)
内是单调递减
的，只能说函数
y?
1的单调递减区间为
(??,0)
和
(0,??)

x
（ 6）一些单调性的判断规则：①若
f(x)
与
g(x)
在定义域内都是增函数 （减函数），那么
。②复合函数的单调性规则是“异减同增”
f(x)?g(x)
在其公共定义域内是增函数（减函数）
2．函数的最值的求法
（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性 求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性
求最值。
（3）基本不等 式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取
得）。
（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法
（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐 标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化
范围。
★
热点考点题型探析
考点1 函数的单调性
题型1：讨论函数的单调性
?
1
,x?1,
?
[例1] (2008广东)设
k?R
,函数
f(x)?
?
1?x
F(x)?f(x)?kx,x?R.
?
?x?1,x?1
?
试讨论函数
F(x)
的单调性. < br>[解题思路]分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导
数来 研究。
- 30 - - 30 - 57

v1.0 可编辑可修改
?
1
?
1
,x?1,?kx
??
[解析]: 因为
f(x)?
?
1?x
,所以
F(x)?f(x)?kx?
?
1?x
,x?R
.
?
?x?1,x?1
?
?x?1?kx
??
(1)当x< 1时，1-x>0，
F
?
(x)?
1
?k,(x?1)

2
(1?x)
①当
k?0
时，
F
?
(x )?0
在
(??,1)
上恒成立，故F(x)在区间
(??,1)
上 单调递增；
②当
k?0
时，令
F
?
(x)?
k
1
x?1?
?k?0,(x?1)
，解得，
2
k
(1?x)
且当
x?1?
kk
?x?1时，
F
?
(x)?0
时，
F
?
(x)?0
；当
1?
kk
故F(x)在 区间
(??,1?
kk
)
上单调递减,在区间
(1?,1)
上单调递增；
kk
(2)当x>1时， x-1>0，
F
?
(x) ??
1
2x?1
?k,(x?1)

①当
k?0
时，
F
?
(x)?0
在
(1,??)
上恒成立，故F(x) 在区间
(1,??)
上单调递减；
②当
k?0
时，令
F
?
(x)??
1
2x?1
?k?0,(x?1)
，解得x?1?
1
，
4k
2
11
?
时，；当时，< br>F
?
(x)?0

F(x)?0
x?1?
4k
2
4k
2
11
故F(x)在区间
(1,1?
上单调递减, 在区间
)(1?,??)
上单调递增；
22
4k4k
且当
1?x?1?
综上得，①当k=0时，F(x)在区间
(??,1)
上单调递增，F( x)在区间
(1,??)
上单调递减；
②当k<0时，F(x)在区间
(? ?,1)
上单调递增，在区间
(1,1?
1
)
上单调递减,在区间
4k
2
(1?
k
1
(??,1?)
上单调递减,在 区间 上单调递增；③当时，F(x)在区间
k?0
,??)
2
k
4 k
k
,1)
上单调递增,在区间
(1,??)
上单调递减.
k
(1?
【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数 用注意
分段处理.
题型2：研究抽象函数的单调性
- 31 - - 31 - 57

v1.0 可编辑可修改
[例2] 定义在R上的函数y?f(x)
，
f(0)?0
，当
x
＞0时，
f(x) ?1
，且对任意的
a
、
b
∈R，
有
f
（< br>a
+
b
）=
f
（
a
）·
f
（
b
）.
（1）求证：
f
（0）=1；
（2）求证：对 任意的
x
∈R，恒有
f
（
x
）＞0；
（3）求证：
f
（
x
）是R上的增函数；
（4）若
f
（
x
）·
f
（2
x
－
x
）＞ 1，求
x
的取值范围.
[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值 ”，从关键等式和不等式的特点
入手。
[解析]（1）证明：令
a
=
b
=0，则
f
（0）=
f
（0）.
又
f
（0）≠0，∴
f
（0）=1.
（2）证明：当
x
＜0时，－
x
＞0，
∴
f（0）=
f
（
x
）·
f
（－
x
）=1 .
∴
f
（－
x
）=
2
2
1
＞0 .又
x
≥0时
f
（
x
）≥1＞0，
f(x)∴
x
∈R时，恒有
f
（
x
）＞0.
（3）证 明：设
x
1
＜
x
2
，则
x
2
－< br>x
1
＞0.
∴
f
（
x
2
）=f
（
x
2
－
x
1
+
x
1）=
f
（
x
2
－
x
1
）·
f
（
x
1
）.
∵
x
2
－
x
1
＞0，∴
f
（
x
2
－
x
1
） ＞1.
又
f
（
x
1
）＞0，∴
f
（x
2
－
x
1
）·
f
（
x
1< br>）＞
f
（
x
1
）.
∴
f
（
x
2
）＞
f
（
x
1
）.∴
f
（
x
）是R上的增函数.
（4）解：由
f
（
x
）·
f
（2
x
－
x
）＞1，
f
（0）=1得< br>f
（3
x
－
x
）＞
f
（0）.又
f
（
x
）是R
上的增函数，
∴3
x
－
x
＞0.∴0＜
x
＜3.
【名 师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“
f
（
x
2）=
f
［（
x
2
－
x
1
）+
x
1
］”
是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.
[新题导练]
1．（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数
f
?x
?
?log
2
4x?x
2
的单调递减区间是
- 32 - - 32 - 57

2
22
??

v1.0 可编辑可修改
（ ）
A．
(0,4)
; B．
(0,2)
; C．
(2,4)
; D．
(2,??)

[解析] C；由
4x?x
2
?0
得
0?x?4
，又由
u?4x?x??( x?2)?4
知函数
u
在
(2,4)
上
是减函数，根据复合 函数的单调性知函数
f
?
x
?
?log
2
4x?x
2
的单调递减区间是
(2,4)

2．（东皖高级中学09届高三月 考）函数
y?log
1
(x
2
?5x?6)
的单调增区间为 （ ）
2
22
??
A．
?
，??
?
；B．
(3，
2)

??)
；C．
?
??，?
；D．
(??，
[解析] D；由
x
2
?5x?6? 0
得
x?2
或
x?3
，又函数
u?x
2
? 5x?6?(x?)
2
?
在
(??，2)
上是减函数，
y? log
1
u
在
(0,??)
上是减函数，所以函数
2?
5
?
2
?
?
?
?
5
?2
?
5
2
1

4
2)

y? log
1
(x
2
?5x?6)
的单调增区间为
(??，2
3. (2008全国Ⅰ卷)已知函数
f(x)?x?ax?x?1
，
a?R
．
（Ⅰ）讨论函数
f(x)
的单调区间；
32
?
?
内是减函数，求
a
的取值范围． （Ⅱ）设函数
f(x)
在区间
?
?，
[解析] （1）
f( x)?x?ax?x?1
；（2）
a
≥
32
322
?
2
?
3
1
?
3
?
7

4
（1）
f(x)?x?ax?x?1
求导：
f
?
(x)?3x?2 ax?1

当
a
2
≤
3
时，
?≤
0
，
f
?
(x)
≥
0
，
f(x)
在
R
上递增
?a?a
2
?3
当
a
?3
，
f
?
(x)?0
求得两根为
x?

3
2
?
?a?a
2
?3
?
即
f(x)< br>在
?
??，
?
递增，
??
3
??
?
?a?a
2
?3?a?a
2
?3
??
?a?a< br>2
?3
?
，，??
?
递增
??
递减，?
????
333
????
?
?a?
?
?（2）
?
?
?a?
?
?
a
2
?32< br>≤
?
33
a
2
?31
≥
?
33，且
a
2
?
3
解得：
a
≥
7

4
- 33 - - 33 - 57

v1.0 可编辑可修改
考点2 函数的值域（最值）的求法
题型1：求分式函数的最值
x
2
?2x?a
[例3] （2000年上海）已知函数
f(x)?
,x?[1,??).

x
1
时，求函数
f(x)
的最小值；
2
11
[解题思路]当
a?
时，
f(x)?x??2，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可
22x
当
a?
以考虑均值 不等式或导数；
[解析]当
a?
111
时，
f(x)?x??2, f'(x)?1?
2

22x
2x
?
x?1
，?
f
?
(x)?0
。
?
f(x)
在区间
[1,??)
上为增函数。
?
f(x)
在区间
[1,??)上的最小值为
f(1)?
【名师指引】对于函数
f(x)?x?
7
。
2
1
?2,
若
x?0
，则优先考虑用均值不等式求最 小值，但
2x
11
)?2?2x??2?2?2

2x2x
要注意等号是否成立，否则会得到
f(x)?(x?
而认为其最小值为
2?2
，但实际上，要取得等号，必须使得
x?
11
，这时
x?[,??)

2x2
所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不 等式
恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，
利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；
题型2：利用函数的最值求参数的取值范围
x
2
?2x?a
[例4] （2000年上海）已知函数
f(x)?
,x?[1,??).

x
若对任意
x?[1,??),f(x)?0
恒成立,试求实数
a
的取值范围。
[解题思路] 欲求参数
a
的取值范围，应从
x?[1,??),f(x)? 0
恒成立的具体情况开始。
x
2
?2x?a
?0
在区间< br>[1,??)
上恒成立； [解析]
?
f(x)?
x
?
x
2
?2x?a?0
在区间
[1,??)
上恒成立；
?
x
2
?2x??a
在区间
[1,??)
上恒成立；
- 34 - - 34 - 57

v1.0 可编辑可修改
?
函数
y
?
x
2
?
2x
在区间< br>[1,??)
上的最小值为3，
?
?a?3

即
a??3

【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。
题型3：求三次多项式函数的最值
[例5]（09年高州中学）已知
a
为 实数，函数
f(x)?(x?1)(x?a)
，若
f
'
(?1)?0
，求
函数
y?f(x)
在
[?
2
3
,1]
上的最大值和最小值。
2
[解题思路]求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。
[解析]∵
f(?1)?0，由f(x)?x?ax?x?a,f
?
(x)? 3x?2ax?1
，

?3?2a?1?0,a?2,
……………………3分
，322
?f
?
(x)?3x
2
?4x?1
……………………4分
1
由f
?
(x)?3(x?)(x?1)
得：
3
1
当
f
?
(x)?0时，x??1或x??
……………………5分
3
1
当
f
?
(x)?0时，?1?x??
……………………6分
3
311
因此，
f(x)
在区间
[ ?,?1]和[?,1]
内单调递减，而在
[?1,?]
内单调递减，
23 3
150
且
f(x)
极大值
?f(?1)?2,f(x)
极 小值
?f(?)?

327
313
5013
又
f(?)?

f(1)?6,且?
，
28
278
3313
?f(x)在 [?,1]上的最大值f(1)?6,最小值f(?)?
，………………10分
228
【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求
考生熟练掌 握用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。
[新题导练]
4.（09年广东南海）若函数
y?3?x
2
ln(
M+m =
[解析] 6；由
f(x)?x
2
ln(
1?x
?
11
?
)
x?
?
?,
?
的最大值与最小值分别为M ,m，则
1?x
?
22
?
1?x
1
)?x
2
[ln(1?x)?ln(1?x)]
知
f(x)
在
[0,]上是增函数
1?x
2
- 35 - - 35 - 57

v1.0 可编辑可修改
又因为函数
f(x)?x
2
ln(
1?x
1?x
?
11
?
)
是奇函数，所以 函数
y?3?x
2
ln()
x?
?
?,
?
是增函数，
1?x
1?x
?
22
?
11
1?
1
2
)]?[3?(?
1
)
2
ln(
2
)]?6
故M+m=
[3?()
2
ln(
11
22
1?1?
22
1?
x
2
?ax?4
(x?0)
。 5.（高州中学09届模拟）已知函数
f(x)?
x
（Ⅰ）若
f(x)
为奇函数，求
a
的值；
（Ⅱ）若
f(x)
在
[3,??)
上恒大于0，求
a
的取值范围。
[解析]（Ⅰ）
a?0
；（Ⅱ）
a
的取值范围为
a??
（Ⅰ ）
f(x)
的定义域关于原点对称
13

3
(?x)
2
?a(?x)?4
??f(x)
∴
a?0
若
f(x)
为奇函数，则
f(?x)?
?x（Ⅱ）
f
?
(x)?1?
4

2
x
∴ 在
[3,??)
上
f
?
(x)?0
∴
f(x)在
[3,??)
上单调递增
∴
f(x)
在
[3,?? )
上恒大于0只要
f(3)
大于0即可,
∴
3a?13?0?a??
13

3
13

3
若
f(x)
在
[3,??)
上恒大于0，
a
的 取值范围为
a??
?2
x
?b
备选例题：（06年重庆）
已 知定义域为
R
的函数
f(x)?
x?1
是奇函数。
2?a
（Ⅰ）求
a,b
的值；
（Ⅱ）若对任意的
t?R< br>，不等式
f(t?2t)?f(2t?k)?0
恒成立，求
k
的取值范 围；
22
b?11?2
x
?0?b?1?f(x)?
[解析]（Ⅰ ）因为
f(x)
是奇函数，所以
f(0)?0
，即
a?2a?2< br>x?1
1
1?2
,
又由
?f(1)??f(?1)
知
??
2
?a?2.

a?4a?1
1?
- 36 - - 36 - 57

v1.0 可编辑可修改
1?2x
11
???
（Ⅱ）[解法一]由（Ⅰ）知
f(x)?
，易知< br>f(x)
在
(??,??)
上
2?2
x?1
22< br>x
?1
为减函数。又因
f(x)
是奇函数，从而不等式：
f(t?2t)?f(2t?k)?0

等价于
f(t?2t)??f(2t ?k)?f(k?2t)
，因
f(x)
为减函数，由上式推得：
22222
t
2
?2t?k?2t
2
．即对一切
t?R
有：
3t
2
?2t?k?0
，
从而判别式
??4?12k?0?k??.

1
3
1?2< br>x
[解法二]由（Ⅰ）知
f(x)?
．又由题设条件得：
x?12?2
1?2
t
2?2
即
(2
2
?2t
t
2
?2t?1
?
1?2
2t
2?2
2
?k
2t
2
?k?1
?0
，
2t
2
?k ?1
?2)(1?2
t
2
?2t
)?(2
t
2?2t?1
?2)(1?2
2t
2
?k
)?0
， 整理得
2
3t
2
?2t?k
?1,因底数2>1,故:
3t
2
?2t?k?0

1
3
上式对一切
t?R< br>均成立，从而判别式
??4?12k?0?k??.

★
抢分频道
基础巩固训练：
1．（华师附中09高三数学训练题）若函数
f(x)?x?|x? a|?b
在区间
(??,0]
上为减函数，
则实数
a
的取值 范围是（ ）
A.
a?0
；B.
a?1
；C.
a?0
；D.
a?1

2
?
?
x?x?a?b(x?a)
[解析] C；因为
f( x)?x?|x?a|?b?
?
，由其图象知，若函数
2
?
?
x?x?a?b(x?a)
2
2
f(x)?x
2
?|x?a|?b
在区间
(??,0]
上为减函数，则应有
a?0

2．（普宁市城东中学09）若函数
h(x)?2x?
围是（ ）
A．
[?2,??)
；B．
[2,??)
； C．
(??,?2]
；D．
(??,2]

[解析] A；若函数< br>h(x)?2x?
kk
?
在
(1,??)
上是增函数，则实数
k
的取值范
x3
kkk
?
在
(1,??)
上是增函数，则
h
?
(x)?2?
2
?0
对于
x3
x
- 37 - - 37 - 57

v1.0 可编辑可修改
x?(1,??)
恒成立，即
k??2x
2
对于x?(1,??)
恒成立，而函数
u??2x
2
(x?[1,??))< br>的最
大值为
?2
，实数
k
的取值范围是
[?2,?? )

3．（09汕头金中）下列四个函数中，在区间
(0,)
上为减函数的是（ ）
x
1
1
??
A．
y?x
??
；B．
y??()
x
；C．
y?xlog
2
x
；D．
y ?x
3

2
?
2
?
1
1
4
111
[解析] C；显然
y??()
x
在
(0,)
上是增函数，
y?x3
在
(0,)
上也是增函数
244
1
111
?
1
?
而对
y?x
??
求导得
y
?
?()
x
?x()
x
ln2?()
x
(1?xln2)< br>，对于
x?(0,)
，
y
?
?0

4
222
?
2
?
x
1
1
??
，所以
y?x
??
在区间
(0,)
上为增函数，从而应选择C
4
?
2
?
x
1
4．（09潮州金山中学）已知函数
f(x) ?x?2x?1
，若存在实数
t
，当
x?
?
1,m
?
时，
2
f(x?t)?x
恒成立，则实数
m
的最大值是（ ）
A．1；B．2；C．3；D．4
[解析] D；依题意，应将函数
f(x)< br>向右平行移动得到
f(x?t)
的图象，为了使得在
?
1,m
?
上，
f(x?t)
的图象都在直线
y?x
的下方，并且让
m
取得最大，则应取
t??2
，这时
m
取得最
大值4
5．（06北京改编）已知
f(x)?
?
值范围是
[解析]
[,)
；要
y?log
a
x
在
[1，??)
上是减函数，则
0?a?1
，要
(3a?1)x?4a
在
?
(3a?1)x?4a,x?1
是
(??,??)
上的减函数 ，那么
a
的取
logx,x?1
?
a
11
73(??,1)
上为减函数，则需
3a?1?0
并且
(3a?1)?1?4 a?0
，所以
11
?a?

73
6．（2008浙江理）已 知t为常数，函数
y?x
2
?2x?t
在区间[0，3]上的最大值为2，
则
t?

[解析]1；显然函数y?x
2
?2x?t
的最大值只能在
x?1
或
x?3< br>时取到，
- 38 - - 38 - 57

v1.0 可编辑可修改
若在
x?1
时取到，则
1?2?t?2
，得
t?1
或
t??3

；
t?1
，
x?3
时，
y?2
；
t??3
，
x?3
时，
y?6
（舍去）
若在
x?3
时取到，则
9?6?t?2
，得
t? 1
或
t?5

t?1
，
x?1
时，
y?2
；
t?5
，
x?1
时，
y?6
（舍去）
所以
t?1

综合提高训练：
7.（06陕西改编）已知函数f(x)?ax?2ax?4(0?a?3),
若
x
1
?x
2< br>,x
1
?x
2
?a?1?0

则
f
1
(x)
与
f
2
(x)
的大小关系为
2
[解析]
f(x
1
)?f(x
2
)
；函数
f(x)?ax?2ax?4(0?a?3),
的图象开口向上，对称轴为
2< br>x??1
，因
0?a?3
，故
x
1
?x
2< br>?(1?a)?(?2,1)
，从而
x
1
?x
2
1< br>?(?1,)
，又
22
x
1
?x
2
，所以
x
2
的对应点到对称轴的距离大于
x
1
的对应点到对称轴的 距离，故
f(x
1
)?f(x
2
)

8．已知函 数
f(x)?
3x?21122009
(x?)
，求
f()?f() ???f()
的值
2x?122
[解析]
3x?23(1?x)?2
6027
??3
， ；为
f(x)?f( 1?x)?
2x?12(1?x)?1
2
令
S?f(
122009< br>)?f()???f()
，则
2
200920081
S?f()?f()???f()
，
2
从而
121
)?f()]?[f()?f()]???[f()?f()]
2

?2009?3
1220096027
所以
S?f(

)? f()???f()?
2
2S?[f(
9．（09年汕头金中）对于函数
f( x)?x?2x,在使f(x)?M
成立的所有常数M中，我
们把M的最大值－1叫做
f(x)?x?2x的下确界
，
则对于a,b?R且a,b不全为0,

2
2
- 39 - - 39 - 57

v1.0 可编辑可修改
a
2
?b
2
的下确界为（ ）
2
(a?b)
A．
11
；B．2；C．；D．4
24< br>a
2
?b
2
a
2
?b
2
a
2
?b
2
1
[解析] A；因为，
???
(a?b)2
a
2
?b
2
?2ab(a
2
?b
2
)?(a
2
?b
2
)
2
a
2
?b
2
1
故的下确界为
2
2
(a?b)
10．（08 年湖南）设
[x]
表示不超过
x
的最大整数（如
[2]?2
,
[]?1
）,对于给定的
n
?
N,
*
5
4
x
定义
C
n
?
n(n?1)
x(x?1)
?
?
(n?
?
x
?
?1)
(x?
?x
?
?1)
x
,
x
?
?
1,???
,
求当
x
?
?
,3
?
时，函数< br>C
8
的值域
[解析]
(4,
?
3
?< br>2
162883
38
]?(,28]
；当
x?[,2)
时，
[x]?1
，
C
8
x
?
，因为函数
u?
在
[,2)
上
2x
33x2
是减函数，得
4?
56
816
，因为
2?x(x?1)?6
，
?
；当
x?[2,3)
时，
[x]?2
，
C
8
x
?
x(x?1)
x3
由单调性得
2856
1628
?
3
?
??28
，故当
x
?
?
,3
?时，函数
C
8
x
的值域是
(4,]?(,28]

3x(x?1)
33
?
2
?









- 40 - - 40 - 57

v1.0 可编辑可修改



第5讲 函数的奇偶性和周期性
★知识梳理
1．函数的奇偶性的定义：
①对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f(?x )??f(x)
〔或
f(?x)?f(x)?0
〕，则
称
f(x)< br>为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数
f(x)
的定义域内任 意一个
x
，都有
f(?x)?f(x)
〔或
f(?x)?f(x)? 0
〕，则
称
f(x)
为偶函数. 偶函数的图象关于
y
轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶 性的函数，其定义域原点关于对称（也
就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对 称）
3． 函数的周期性命定义：
对于函数
f(x)
，如果存在一个非零 常数
T
，使得定义域内的每一个
x
值，都满足
f(x?T)?f( x)
，那么函数
f(x)
就叫做周期函数，非零常数
T
叫做这个函数 的周期。
★重、难点突破
重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用
难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用
重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
f (?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?
f(?x)
??1(f(x)?0),也可以利用函数图象的对
f(x)
称性去判断函数的奇偶性.注意①若
f(x) ?0
,则
f(x)
既是奇函数又是偶函数,若
f(x)?m(m?0)
,则
f(x)
是偶函数；②若
f(x)
是奇函数且在
x?0
处有定义，则
f(0)?0
③若在函数
f(x)
的定义域内有
f( ?m)?f(m)
，则可以断定
f(x)
不是偶函数，同样，若在
- 41 - - 41 - 57

v1.0 可编辑可修改
函数
f(x)
的定义域内有
f(?m)??f(m)
，则可以断定
f(x)不是奇函数。
2．奇偶函数图象的对称性
（1） 若
y?f(a?x)
是偶函数，则
f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)?f(x)
的
图象关于直线
x?a
对称；
（2） 若
y?f(b?x)
是偶函 数，则
f(b?x)??f(b?x)?f(2b?x)??f(x)?

f(x)
的图象关于点
(b,0)
中心对称；
3．函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要
难点是抽象函数周期的发现，主要 有几种情况：
（1）函数值之和等于零型，即函数
f(a?x)?f(b?x)?0(a?b)
< br>对于定义域中任意
x
满足
f(a?x)?f(b?x)?0(a?b)
，则有
f[x?(2b?2a)]?f(x)
，
故函数
f(x)
的周 期是
T?2(b?a)

（2）函数图象有
x?a
，
x?b(a?b)
两条对称轴型
函数图象有
x?a
，
x?b(a?b)
两条对称轴，即
f(a?x )?f(a?x)
，
f(b?x)?f(b?x)
，从而得
f[x?(2b ?2a)]?f(x)
，
故函数
f(x)
的周期是
T?2(b?a)

（3） 两个函数值之积等于
?1
，即函数值互为倒数或负倒数型
若
f(x?a)? f(x?b)?1(a?b)
，则得
f(x?2a)?f[(x?2a)?(2b?2a)]< br>，所以函数
f(x)
的周期是
T?2b?2a
；同理若
f(x ?a)?f(x?b)??1(a?b)
，则
f(x)
的周期是
T?2(b? a)

（4） 分式递推型，即函数
f(x)
满足
f(x?a)?< br>1?f(x?b)
(a?b)

1?f(x?b)
由
f(x? a)?
1?f(x?b)?1
(a?b)
得
f(x?2a)?
，进而 得
1?f(x?b)f(x?2b)
f(x?2a)?f(x?2b)??1
，由前 面的结论得
f(x)
的周期是
T?4(b?a)

- 42 - - 42 - 57

v1.0 可编辑可修改
★热点考点题型探析
考点1 判断函数的奇偶性及其应用
题型1：判断有解析式的函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
（1）
f
（
x
）=|
x
+1|－|
x
－1|；（2）
f
（
x
） =（
x
－1）·
1?x
；
1?x

?
x (1?x)
1?x
2
（3）
f(x)?
；（4）
f(x)?
?
|x?2|?2
?
x(1?x)
(x?0),
(x?0) .
[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。
[解析] （1）函数的定义域
x
∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵
f
（－
x
）=|－
x
+1|－|－
x
－1|=|
x
－1|－|
x
+1|=－（|
x
+1|－|
x
－1|）= －
f
（
x
），
∴
f
（
x
）=|
x
+1|－|
x
－1|是奇函数.
（2）先确定函数的定义域.由
既不是奇函数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
1?x
≥0，得－1≤
x
＜1，其定义域不对称于原点，所以
f
（
x
）
1?x
?1?x
2
?0,
?
?1?x?1,
由
?
得?

x?0且x??4.
?
|x?2|?2?0,
?
故
f
（
x
）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有
x
+2＞0.
1?(?x)
2
1?x
2
1?x
2
1?x
2
从而有
f
（
x
）= =，∴
f
（－
x
）==－=－
f
（
x
）
?x
x?2?2xx
故
f
（
x
）为奇函数. （4）∵函数
f
（
x
）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当
x
＞0时，－
x
＜0，
∴
f
（－
x）=（－
x
）［1－（－
x
）］=－
x
（1+
x
）=－
f
（
x
）（
x
＞0）.
当x
＜0时，－
x
＞0，∴
f
（－
x
）=－x
（1－
x
）=－
f
（
x
）（
x＜0）.
故函数
f
（
x
）为奇函数.
1
函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶【名师指引】○
函数的定义域为D, 则
x?D
时
?x?D
) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件
2
分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. ○
- 43 - - 43 - 57

v1.0 可编辑可修改
题型2：证明抽象函数的奇偶性
[例2] （09年山东梁山）定义在区间
(?1,1)
上的函数
f
(
x
)满足：对任意的
x,y?(?1,1)
，
都有
f(x)?f(y)?f(
求证
f
(
x
)为奇函数；
[思路点拨]欲证明
f(x)
为奇函数，就要证 明
f(?x)??f(x)
，但这是抽象函数，应设法充
分利用条件“对任意的x,y?(?1,1)
，都有
f(x)?f(y)?f(
“赋值”
[解析]令
x
=
y
= 0，则

x?y
)
.
1?xy
x?y
)
”中的
x,y
进行合理
1?xy
f
(0) +
f
(0) =
f(
∴
f
(0) = 0
0?0
)?f(0)

1?0










令
x
∈(－1, 1) ∴－
x
∈(－1, 1)
∴
f
(
x
) +
f
(－
x
) =
f
(
∴
f
(－
x
) =－
f
(
x
)
∴
f
(
x
) 在(－1，1)上为奇函数
x?x
1?x
2
) =
f
(0) = 0
【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函 数的不
等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是
f
(
x
1
) －
f
(
x
2
) =
f
(
x
1
) +
f
(－
x
2
)
[新题导练]
2
1．（09广东电白一中） 设函数
f
?
x
?
?x?1
?
x?a
?为奇函数，则
a?
___________。
??
2
[解析] 0；由函数
f
?
x
?
?x?1
?
x?a
?
为奇函数得到
f
?
0
?
?0
，即
0?1< br>?
0?a
?
?0

2
??
??
所以
a?0

2．（高州中学09届训 练题）已知函数
f(x)?ax
2
?bx?3a?b
是定义域为
[a ?1,2a]
的偶函
数，则
a?b
的值
是（ ）
1
A．0；B．；C．1；D．
?1

3
- 44 - - 44 - 57

v1.0 可编辑可修改
[解析]
B ；由
函数
f(x)?ax
2
?bx?3a?b
是定义域为
[ a?1,2a]
的偶函数得
b?0
，并且
a?1??2a
，即
a?
1
，所以
a?b
的值
是0
3
3．定义两种 运算：
a?b?a
2
?b
2
，
a?b?(a?b)
2
，则
f(x)?
2?x

(x?2)?2
是______ ________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）
[解析]奇；依
a ?b?a
2
?b
2
和
a?b?(a?b)
2
得
4?x
2
?
，其定义域为
[?2,0)?(0,2]
，所以
2
x?2?2
(x?2)?2
4?x
2
2?x
f( x)??
(x?2)?2
4?x
2
4?x
2
，可见，
f(x)
是奇函数
f(x)???
(2?x)?2x
ax
2?1
4．已知函数
f(x)?
（
a
、
b
、c
∈Z）是奇函数,又
f(1)?2
，
f(2)?3
，求
a
、
b
、
c
bx?c
的值.
[解析]
a?1
，得－
bx
+
c
=－（
bx
+
c< br>）.
，b?1，c?0
；
由
f
（－
x
）= －
f
（
x
）
4a?1
＜3，
a?1
1< br>解得－1＜
a
＜2.又
a
∈Z，∴
a
=0或
a
=1.若
a
=0，则
b
=，与
b
∈Z矛盾.∴< br>a
=1，
b
=1，
c
=0.
2
∴
c
=0，由
f
（1）=2，得
a
+1=2
b
，由< br>f
（2）＜3，得
考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用
[例3] （普宁 市城东中学09）已知奇函数
f(x)
是定义在
(?2,2)
上的减函数，若
f(m?1)?f(2m?1)?0
，求实数
m
的取值范围。
[思 路点拨]欲求
m
的取值范围，就要建立关于
m
的不等式，可见，只有从 f(m?1)?f(2m?1)?0
出发，所以应该利用
f(x)
的奇偶性和单调 性将外衣“
f
”脱去。

[解析]

f(x)
是定义在
(?2,2)
上奇函数
?
对任意
x?
(?2,2)
有
f
?
?x
?
??f
?
x
?

由条件
f(m?1)?f(2m?1)?0
得f(m?1)??f(2m?1)
=
f(1?2m)

f(x)
是定义在
(?2,2)
上减函数
- 45 - - 45 - 57

v1.0 可编辑可修改
12
?m?

23
12
?
实数
m
的取值范围是
??m?

23
?
?2?1?2m?m?1?2
，解得
?
【名师指引】 利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式

[例4]设函数
f
(< br>x
)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，
f
(2
a
+
a
+1)<
f
(3
a
－2
a
+1).求
a
的取值范围，并在该范围内求函数
y
=(
22
22
1
a
2
?3a?1
)的单调递减区间.
2
[思路点拨]欲由
f
(2
a
+
a
+1)<
f
(3
a
－2
a
+1)求
a
的取值范围，就要设法利用函数
f
(
x
)的单调性。
而函数
y
=(
1< br>a
2
?3a?1
)是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决
2
[解析]设0<
x
1
<
x
2
,则－x
2
<－
x
1
<0，∵
f
(
x
)在区间(－∞,0)内单调递增，
∴
f
(－
x
2
)<
f
(－
x
1
),∵
f
(
x
)为偶 函数，∴
f
(－
x
2
)=
f
(
x
2
),
f
(－
x
1
)=
f
(
x< br>1
),
∴
f
(
x
2
)<
f
(
x
1
).∴
f
(
x
)在(0，+∞)内单调递 减.
1712
又2a
2
?a?1?2(a?)
2
??0, 3a
2
?2a?1?3(a?)
2
??0.

4833由
f
(2
a
+
a
+1)<
f
(3a
－2
a
+1)得：2
a
+
a
+1>3
a
－2
a
+1.解之，得0<
a
<3.
又
a< br>－3
a
+1=(
a
－
∴函数
y
=(
2
2222
3
2
5
)－.
24
3
1a
2
?3a?1
)的单调减区间是
[,??)

22
3
2
3
结合0<
a
<3,得函数
y
=()
a?3a?1
的单调递减区间为［，3).
22
【名师指引】偶函数 在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称
的两个区间上的单调性相同。
[新题导练]
5．（普宁市城东中学09届高三模拟）若
f(x)
是奇函数 ，且在
?
0,??
?
内是增函数，
又
f(3)?0
，则
xf(x)?0
的解集是（ ）
A.
{x?3?x?0或x?3}
；B.
{xx??3或0?x?3}

C.
{xx??3或x?3}
； D.
{x?3?x?0或0?x?3}

[解析]D；因为
f(x)
在
?
0,??
?
内是增函数，
f(3)?0
，所以当
0?x?3
时，
f(x)?0
；
当
x?3
时，
f (x)?0
，又因
f(x)
是奇函数，其图象关于原点对称，所以当
?3?x ?0
时，
f(x)?0
；当
x?3
时，
f(x)?0
，可见
xf(x)?0
的解集是
{x?3?x?0或0?x?3}

- 46 - - 46 - 57

v1.0 可编辑可修改
6．（2007·天津改编）在
R
上定义的函数
f
?
x?
是奇函数，且
f
?
x
?
?f
?
2? x
?
，若
f
?
x
?
在区
间
?1,2
?
是减函数，则函数
f
?
x
?
（ ）
A.在区间
?
?3,?2
?
上是增函数，区间
?
3,4
?
上是增函数
B.在区间
?
?3,?2
?
上是增函数，区间
?
3,4
?
上是减函数
C.在区间
?
?3,?2
?
上是减函数，区间
?
0,1
?
上是增 函数
D.在区间
?
?2,?1
?
上是减函数，区间
?3,4
?
上是减函数
[解析] C；由
f
?
x
?
?f
?
2?x
?
知
f
?
x
?
的图象关于直线
x?1
对称，由
f
?
x
?
在区间
?
1,2
?
是减函
数知
f
?
x?
在区间
?
0,1
?
是增函数，又由
f
?x
?
?f
?
2?x
?
及
f
?
x
?
是奇函数，得到
f
?
x?2
?
?f[2?( x?2)]?f(?x)??f(x)
，进而得
f
?
x?4
?
?f(x)
，所以
f
?
x
?
是以4为
周期的函数 ，故
f
?
x
?
在
?
?3,?2
?
上是减函数。
7．
（普宁市城东中学09
届高三模拟
）定义在R上的奇函数
f(x)
有最小正周期4，且
3
x
。求
f(x)
在
?
?2,2
?
上的解析式
x?
?
0,2
?
时，
f(x)?
x
9?1
?
3
x
?9
x
?1
,0?x?2,
?
?
[解析]
f(x )?
?
0,x?{?2,0,2},

?
3
x
?< br>?
x
,?2?x?0
?
9?1
?
3
?x3
x
?
x
,
⑴当
?2?x?0
时，
0??x?2,f(?x)?
?x
9?19?1
3
x
又
f( x)
为奇函数，
?f(x)??f(?x)??
，
1?9
x
当
x?0
时，由
f(?0)??f(0)?f(0)?0f(x)
有最小正 周期4，
?f(?2)?f(?2?4)?f(2)?f(?2)?f(2)?0

- 47 - - 47 - 57

v1.0 可编辑可修改
?
3
x
?
9
x
?1
,0?x?2,
?
?
综上，
f(x)?
?
0,x?{?2,0,2},

?
3
x
?
?
x
,?2?x?0
?
?
9?1
考点3 函数奇偶性、周期性的综合应用
[例5] （09年惠州第三 次调研考）已知定义在
R
上的偶函数
f(x)
满足
f(x?2)?f (x)?1
对
于
x?R
恒成立，且
f(x)?0
，则f(119)?
________
[思路点拨]欲求
f(119)< br>，应该寻找
f(x)
的一个起点值，发现
f(x)
的周期性

[解析]由
f(x?2)?f(x)?1
得到
f(x?2)?
1，从而得
f(x?4)?f(x)
，可见
f(x)
f(x)
是以 4为周期的函数，从而
f(119)?f(4?29?3)?f(3)
，
又由已知等式得
f(3)?
1

f(1)
又由
f( x)
是
R
上的偶函数得
f(1)?f(?1)

又在已知等 式中令
x??1
得
f(1)?f(?1)?1
，即
f(1)?1
所以
f(119)?1

【名师指引】近年将函数的奇偶性、周期性综 合在一起考查逐步成为一个热点，解决问题的
关键是发现函数的周期性（奇偶性）。
[新题导练]
8．（执信中学09届训练题）设
f
?
x
?
是定义在
R
上的正值函数,且满足
f
?
x?1
?
f
?
x?1
?
?f
?
x
?
.若< br>f
?
x
?
是周期函数,则它的一个周期是（ ）
< br>A
.
3
；
B
.
2
；
C
.< br>6
；
D
.
4

[解析]
C
；由f
?
x
?
是定义在
R
上的正值函数及
f
?
x?1
?
f
?
x?1
?
?f
?
x
?
得
f
?
x?1
?
?
f
?
x
?
f
?
x?1
?
f(x?1)
?
，
f
?
x?2
?
?
，
f
?
x?1
?
f[(x?1)?1]f(x)
- 48 - - 48 - 57

v1.0 可编辑可修改
f(x?1)< br>f(x?2)1
f(x)
f
?
x?3
?
???
，所以
f
?
x?6
?
?f(x)
，即
f
?
x
?
的一个周期是6
f(x?1)f(x?1)f(x)
9．（ 06年安徽改编）函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满 足条件
f
?
x?2
?
f(x)?1
，若
f
?
1
?
??5,
则
f
?
?5
?
?
__________
1
1
[解析]
?
；由
f< br>?
x?2
?
f(x)?1
得
f
?
x?2?
?
，进而得
f
?
x?4
?
?f(x)

f(x)
5
111
???
所以
f
?
?5
?
?f(?5?4)?f(?1)?
f(?1?2)f(1)5
★抢分频 道
基础巩固训练：
1．（普宁市城东中学09届月考）已知
f(x)
是定义在R上的函数，且满足
“2为函数
f(x)
的一个周期”的 ( )
f(1?x)?f(1?x)
，则“
f(x)
为偶函数”是（ ）
A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件
[解析]C；由
f(1?x)?f(1?x)
得
f(x?2)?f[1?(1?x)] ?f[1?(1?x)]?f(?x)

若
f(x)
为偶函数，则
f (x?2)?f(x)
，即2为函数
f(x)
的一个周期；
若2为函数f(x)
的一个周期，则
f(x?2)?f(x)
，又由
f(1?x)? f(1?x)
得
f(x?2)?f(?x)
，所以
f(?x)?f(x)< br>，即
f(x)
为偶函数
2．（汕头市金山中学09年模拟）若偶函数
f(x)
在
(??,?1)
上是增函数，则下列关系式中成
立的是（ ）
3
2
33
C．
f(2)?f(?1)?f(?)
；D ．
f(2)?f(?)?f(?1)

22
A．
f(?)?f( ?1)?f(2)
；B．
f(?1)?f(?)?f(2)
；
3
2
[解析]D；因为
f(x)
为偶函数，故
f(2)?f(?2)
，又
?2??
是增函数，所以
f(2)?f(?)?f(?1)

3??1
，
f(x)
在
(??,?1)
上
2
3< br>2
3．（09年深圳
翠园
、宝安中学）
设函数
f(x)
(x∈R)为奇函数，
f(1)?
1
，
2
f(x?2)?f(x)?f(2)
，则
f(5)?
（ ）
- 49 - - 49 - 57

v1.0 可编辑可修改
5
；D．5
2
15
[解析]
C；特取
f(x)? x
，则
f(5)?

22
3
x
?3
?x< br>4．（湛江市09年高三调研）函数
f(x)?
在其定义域内是( )
2
A．0；B．1； C．
A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数
C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数
3
?x
?3
x
??f(x)
，故
f(x)
是奇函数；又 [解析]B；因为
f (?x)?
2
3
x
?3
?x
1
x
1
x
f(x)??[3?()]
，可见
f(x)
是增函数，所以应选
B
223
5．（中山市09年高三统考）偶函数
f(x)(x?R)
满足：
f(?4)?f(1)?0
，且在区间
[0,3]
与
[3,??)< br>上分别递减和递增，则不等式
xf(x)?0
的解集为（ ）
A．(??,?4)?(4,??)
；B．
(?4,?1)?(1,4)

C ．
(??,?4)?(?1,0)
；D．
(??,?4)?(?1,0)?(1,4)

[解析]D；由已知条件通过
f(x)(x?R)
的草图得知函数
f(x)(x?R)
的值在
(??,?4)
、
(?1,1)
、
(4,??)
上都为正，在
(?4,?1)
、
(1,4)
上为负， 故不等式
xf(x)?0
的解集为
(??,?4)?(?1,0)?(1,4)

6．
（09年深圳九校联考）
已知
f(x)
是定义域为R的奇函数，若当
x?(0,??)
时，
f(x)?lgx
，则满足
f(x)?0
的
x
的取值范围是 ．
[解析]
(?1,0)(1,??)
；当
x?0
时，
? x?0
，由已知条件得
f(?x)?lg(?x)
，又
?
lgx,x?0

f(x)
是定义域为R的奇函数，故得
f(x)??lg(?x)
，即
f(x)?
?
?lg(?x),x?0
?
当
x?0
时由
f(x)?0
得
x?1
；当x?0
时由
f(x)?0
得
?1?x?0

综合提高训练：
7．设
f(x)
是
(??,??)
上的奇 函数，
f(x?2)?f(x)?0
，当
0?x?1
时，
f(x)? x
，
- 50 - - 50 - 57