高中数学必修一函数的概念及其表示

函数的概念和函数的表示法
考点一：由函数的概念判断是否构成函数
函数概 念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合
B中 都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
例1. 下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是（ ）
① A={x
?
x∈Z}，B={y
?
y∈Z}，对应法则f：x→y=
x
;
3
2
② A={x
?
x>0,x∈R}, B={y
?
y∈R}，对应法则f：x→
y
=3x;
③ A=R,B=R, 对应法则f：x→y=
x
;
变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ）
y
O
2
y
O
y
O
y
O
X X X X

① ② ③ ④
变式2. 已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（ ）
A. y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点 B.y=f（x）图像与直线x=a没有交点
C.y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点 D.y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点
变式4.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有…( )
①y是x的函数 ②对于不同的x，y的值也不同
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式5．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤ 2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函
数关系的有( )







A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
考点二：同一函数的判定
函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。
例2. 下列哪个函数与y=x相同（ ）
①. y=
x
②.
y?x???
③.
y?
2
?
x
?
④.y=t ⑤.
y ?
2
3
x
3
；⑥.
y?x
2

变式1. 下列各组函数表示相等函数的是（ ）
x
2
?9
A.
y?
与
y?x?3
B.
y?x
2
?1
与
y?x?1

x?3
C.
y?x
（x≠0） 与
y?1
（x≠0） D.
y?2x?1
，x∈Z 与
y?2x?1
，x∈Z
0

变式2. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
（1）y
1
?
(x?3)(x?5)
x?3
y
2
?x ?5
（2）
y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)

2
（3）
f
1
(x)?(2x?5)

f
2
(x)?2x?5

考点三：求函数的定义域
（1）当f（x）是整式时，定义域为R；
（2）当f（x）是分式时，定义域是使分母不为0的x取值集合；
（3）当f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值集合；
（4）当f（x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值集合；
（5）当f（x）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x取值集合；
例3. ①函数
y?1?x?x
2
?1
的定义域是（ ）
A.
?
?1,1
?
B. ( -1 , 1 ) C. [ -1 , 1 ] D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ )
1
②函数
y
＝
x
＋1＋的定义域是(用区间表示)________．
2－
x
变式1. 求下列函数的定义域
(1)
f(x)?


11
； (2)
f(x)?3x?2
； (3)
f(x)?x?1?
.
x?22?x
x?1
??
( 4)
y?
0
x?x
(5)
y
＝；
|
x
|－2
1




求复合函数的定义域
例5. 已知函数f（
2x?1
）定义域为
?
?1,3
?
, 求f（x）的定义域



变式1. 已知函数f（
x?1
）的定义域为[ 0，3 ]，求f（x）的定义域




变式2. 已经函数f（x）定义域为[ 0 , 4], 求f
x



??
的定义域
2

考点四：求函数的值域
例6．求下列函数的值域
①
y?3x?1
， x∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 )


②
y?x?4x?6
，x∈
?
1,5
?
( 配方法 ：形如
y?ax?bx?c
)
22




变式1. 求下列函数的值域
2
①
y?2x?4x?3
②
f(x)?2x?3x?4

(?1?x?2)

2




考点五：求函数的解析式
例7 . 已知f（x）=
x?2x
，求f（
x?1
）的解析式 （ 代入法 拼凑法换元法 ）


变式1. 已知f（x）=
2x?1
， 求f（
x
）的解析式


变式2. 已知f（x+1）=
x?3x?3
，求f（x）的解析式


变式3. 已知
f(x?1)?x?2x
，试求
f(x)
的解析式.


例8. 若f [ f（x）] = 4x+3，求一次函数f（x）的解析式 （ 待定系数法 ）


变式1.一次函数
f(x)
满足
f[ f(x)]?4x?5
，求该函数的解析式.


变式2．已知f(x)是 二次函数，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x－1，求f(x)的解析式.
2
2
2

变式3．已知二次函数f（x）＝x－bx＋c满足f（1＋x）＝f（1－x）， 且f（0）＝3，求f（x）解析式.


变式4.已知函数f（x）是一次函数， 且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）.



例9. 已知f（x）
?
2 f（
?
x）= x ，求函数f（x）的解析式 （ 消去法 方程组法 ）




变式1. 已知2 f（x）
?
f（
?
x）= x+1 ，求函数f（x）的解析式



变式2. 已知2 f（x）
?
f
?


考点六：函数的求值
例11. 已经函数f（x）=
2x?x
，求f（2）和f（a）+f (
?
a)的值

3
2
?
1
?
?
= 3x ，求函数f（x）的解析式
?
x
?
1?x
2
变式1. 已知f（2x）= ，求f（2）的值
x
例12. 已知函数

< br>f
?
x
?
?
?
5x?1??????x?0
，求f（1）+f（
?1
）的值
?
?
?3x?2???x?0???????
?
?
变式1. 已知函数
f
?
x
?
?
?
f
?
x?2
?
?????x??1
?
?
?
2x?2????????1?x?1
，求f [f（
?4
）]的值
?
?x????????x?1?
?
?????
?

变式2. 已知函数
f
?
???????????????? ?????n????
，求f（5）的值
?
n
?
?
??
1
?
??f(n?2)?????n?????
?
2
?????
?

?
?x
?
2
?
?
?????
x?
(
??,1]
1
????????
，求满足 f（x）=的x值 例13 . 设函数
f
?
x
?
?
?2
?
l
og
81
x
,
????x?(1,?? )
????
?



?
x
?
?
??????
x?1
变式1. 已知函数
f
?
x
?
?
?
????????
，若f（ x）=2，求x的值
?
??x?????x?1
??????
?



考点七：映射
例1．判断下列对应是否是映射？





变式1.判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4 }，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则
f:x?2x?1

（2）设< br>A?N,B?{0,1}
，对应法则
f:x?x除以2得的余数

（3 ）
A?N
，
B?{0,1,2}
，
f:x?x被3除所得的余数
（4）设
X?{1,2,3,4},Y?{1,,,}
f:x?x取倒数
< br>（5）
A?{x|x?2,x?N},B?N
，
f:x?小于x的最大质数



*
111
234

自主练习题
1、判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
y
y



0 x
0 x


(B

(A)

y
y
0 x
(D
0 x
(C)
2． 设集合P=
?
x0?x?4
?
,Q=
?
y0 ?y?2
?
,由以下列对应f中不能构成A到B的映射的是 （ ）
．．
A．
y?
1
2
x
B．
y?
1
3
x
C．
y?
2
3
x
D．
y
?
1
8
x

3．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．
y?1,y?
（ ）
x
2
B．
y?x?1?x?1,y?x
2
?1
C ．
y?x,y?
3
x
3
D．
y?|x|,y?(x)

x
4．函数
y?f(x)
的图象 与直线
x?1
的公共点数目是（ ）
A．
1
B．
0
C．
0
或
1
D．
1
或
2

5．设函数
f(x)?2x?3,g(x?2 )?f(x)
，则
g(x)
的表达式是（ ）
A．
2x?1
B．
2x?1
C．
2x?3
D．
2x?7

?
3x
2?4(x?0)
?
6．若函数
f(x)?
?
?
(x?0 )
，则
f(f(0))
= ．
?
0(x? 0)
?
?
x
2
?1(x?0)
7．已知函数
f(x )?
?
，若
f(x)?10
,则
x?
。
?
?2x(x?0)
8．若函数
f(2x?1)?x?2x
，则
f(3)
= .
9．求下列函数的定义域
（1）
y?




（5）
y?




2
x?8?3?x
（2）
y?
x?2

x
2
?4
(x?1)
0
x?x
3
（6）
f(x)?
x?1

x?1