(完整)高中数学必修1专题辅导一

高中数学必修1专题辅导一
高中数学必修1专题辅导一
一、知识清单
1、集合中的元素的性质有： 、 和 .
2、常用数集及其记法
Q
，
N
，
N
?
或
N
?
，
Z
，
R
.
3、集合与元素间的关系: 元素
a
与集合
M
的关系是 ，或者 .
4、集合的表示法
① ：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
② ：{
x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素
③ ：用数轴或韦恩图来表示集合.
5、集合的分类： 、 、
6、子集、真子集、集合相等


7、集合
A
有
n
个元素，则它有 个子集，

个真子集，

个非空子集，

非空真子集.
8、交集、并集、补集



二、精典例题
例1.集合A={x
x?2k,k?Z
} ,B={
xx?2k?1,k?Z
} ,C={
xx?4k?1,k?Z
}又
a?A,b?B,
则有（ ）
A.（a+b）
?
A B. (a+b)
?
B C.(a+b)
?
C D. (a+b)
?
A、B、C任一个
?
例2.满足条件{1,2,3}
?
?
M
?
{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是 .
例3.含有三个实数 的集合既可表示成
{a,
b
,1}
，又可表示成
{a
2,a?b,0}
，则
a
a
2003
?b
2004
?
.
例4. 若集合
为 .
例5. 已知集合
A?{xx
2
?4?0}
，集合
B?{x ax?2?0}
，若
B?A
，求实数
a
的取值集合．


1 10
只有一个元素，则实数的值

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例6. 集合
A?{x1?x?7}
，集合
B?{xa?1?x?2a?5}
，若满足A?B?{x3?x?7}
，求
实数
a
的值．




例7. 已知集合
A?{x?1?x?3}
，
B?{y x
2
?y,x?A}
，
C?{yy?2x?a,x?A}
，若满足< br>C?B
，求实数
a
的取值范围．





例8.已知
A?xx?4x?3?0,B?xx?ax?a?1?0,C?xx?m x?1?0,

?
2
??
2
??
2
?且AUB?A,AIC?C,求a,m
的值或取值范围.







例9.已知集合
求实数的取值范围。










2 10
，，若，

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三、高考直通车
一、选择题
1．设
A
＝{1,4,2
x
}，若
B
＝{1，
x
}，若
B
?
A
，则
x
＝( )
A．0 B．－2 C．0或－2 D．0或±2
2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合
A
＝{
x
|
x
－2
x
＞0}，
B
＝{
x
|－5＜
x
＜5 }，则
( )
A．
A
∩
B
＝? B．
A
∪
B
＝R C．
B
?
A
D．
A
?
B

3．(2013·山东卷)已知集合
A
＝{0,1,2}，则集合
B
＝{
x
－
y
|
x< br>∈
A
，
y
∈
A
}中元素的个数
是( )
A．1 B．3 C．5 D．9 4．(2014·广州模拟)已知集合
A
，
B
均为全集
U
＝{1,2,3,4}的子集，且?
U
(
A
∪
B
)＝{4 }，
2
2
B
＝{1,2}，则
A
∩?
U
B
＝( )
A．{3} B．{4} C．{3,4} D．?
5．(2014·孝感调研)满足
M
?{
a
1
，< br>a
2
，
a
3
，
a
4
}，且
M
∩{
a
1
，
a
2
，
a
3
}＝{
a
1
，
a
2
}的集合
M
的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(2014·佛山段考)已知集合
M
＝{
y
|
y
＝
x
－2}，集合
N
＝{
x
|
y
＝
x
－2}，则有( )
A．
M
＝
N
B．
M
∩(?
R
N
)＝? C．
N
∩(?
R
M
)＝? D．
N
?
M

二、填空题
7．(2014·阜宁调研)集 合
A
＝{
x
|
x
－
x
－2≤0}，
B
＝{
x
|2≤1}，则
A
∩(?
R
B
)＝__________.
8．(2014·扬州月考)已知集合
M
＝{
a,
0}，
N
＝{
x
|2
x
－3
x
＜0，
x
∈Z}，如果
M
∩
N
≠?，
则
a
＝__________.
9．(2014·新余联考)已知集合{
x
|
ax
－
ax
＋1＜0}＝?，则实数
a
的取值范围是
__________．
10.某班有学生
50
人，其中体育爱好者
38
人，音乐爱好者
34
人，还有
6
人既不爱好体育也
不 爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人

11、设
S
是实数集R的非空子集，如果?
a
，
b
∈
S
， 有
a
＋
b
∈
S
，
a
－
b
∈
S
，则称
S
是一
个“和谐集”．下面说法不正确的是______ ____．
A．存在有限集
S
，
S
是一个“和谐集”
B ．对任意无理数
a
，集合
{
x
|
x
＝
ka
，
k
∈Z

}
都是“和谐集”
C．若
S
1
≠
S
2
，且
S
1
，
S
2
均是“和谐集”，则
S
1
∩
S
2
≠?
D．对任意两个“和谐集”
S
1
，
S
2
，若
S1
≠R，
S
2
≠R，则
S
1
∪
S2
＝R
三、解答题
2
2
2
22
x
3 10

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12.已知集合
求实数








的取值范围。
，，且
A?B?B
，
13．(2014·荆门月考)已知
A
＝{x
||
x
－
a
|＜4}，
B
＝{
x< br>|(
x
－4
x
－1)＞4}．
(1)若
a
＝1，求
A
∩
B
；
(2)若
A
∪
B
＝R，求实数
a
的取值范围．








14．（20 14·北京）已知集合
A
＝{
x
|
x
－2
x
－3≤0，
x
∈R}，
B
＝{
x
|
x
－ 2
mx
＋
m
－4≤0，
222
2
x
∈R，
m
∈R}．
(1)若
A
∩
B
＝[0,3]，求实数
m
的值；
(2)若
A
??
R
B
，求实数
m
的取值范 围．








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4 10

高中数学必修1专题辅导一
二、知识清单
1、集合中的元素的性质有： 、 和 .
2、常用数集及其记法
Q
，
N
，
N
?
或
N
?
，
Z
，
R
.
3、集合与元素间的关系: 元素
a
与集合
M
的关系是 ，或者 .
4、集合的表示法
① ：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
② ：{
x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素
③ ：用数轴或韦恩图来表示集合.
5、集合的分类： 、 、
6、子集、真子集、集合相等

7、集合
A
有
n
个元素，则它有 个子集，

个真子集，

个非空子集，

非空真子集.
8、交集、并集、补集

二、精典例题
例1.集合A={x
x?2k,k?Z
} ,B={
xx?2k?1,k?Z
} ,C={
xx?4k?1,k?Z
}又
a?A,b?B,
则有（ ）
A.（a+b）
?
A B. (a+b)
?
B C.(a+b)
?
C D. (a+b)
?
A、B、C任一个
?
例2.满足条件{1,2,3}
?
?
M
?
{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是 .
例3.含有三个实数 的集合既可表示成
{a,
b
,1}
，又可表示成
{a
2,a?b,0}
，则
a
a
2003
?b
2004
?
.
例4. 若集合
为 .
例5. 已知集合
A?{xx
2
?4?0}
，集合
B?{x ax?2?0}
，若
B?A
，求实数
a
的取值集合．
例6. 集合
A?{x1?x?7}
，集合
B?{xa?1?x?2a?5}
，若满足
A?B?{x3?x?7}
，求
实数
a
的值．
例7. 已 知集合
A?{x?1?x?3}
，
B?{yx
2
?y,x?A}，
C?{yy?2x?a,x?A}
，若满足
只有一个元素，则实数的值
C?B
，求实数
a
的取值范围．

例8.已知
A?xx? 4x?3?0,B?xx?ax?a?1?0,C?xx?mx?1?0,

5 10 ?
2
??
2
??
2
?

高中数学 必修1专题辅导一
且AUB?A,AIC?C,求a,m
的值或取值范围.

例9.已知集合
求实数的取值范围。
解：方法1

，，若，
，中至少含有一个负数，即方程至少有
一个负根。
当方程有两个负根时，，，
当方程有一个负根与一个正根时，
当方程有一个负根与一个零根时，


或或
6 10

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从而实数的取值范围为
方法2


，中至少含有一个负数
取全集
当A中的元素全是非负数时，
，
，
所以当
从而当
时的实数a的取值范围为
时的实数a的取值范围为


三、高考直通车
一、选择题
2
1．设
A
＝{1,4,2
x
}，若
B
＝{1，
x
}，若
B
?
A
，则
x
＝( )
A．0 B．－2
C．0或－2 D．0或±2
222
解析：因为
B
?
A
，则
x
＝4，或
x
＝2
x
，当
x
＝4时，
x
＝±2，但
x
＝2时，2
x
＝4，这
2 2
与集合的互异性相矛盾，当
x
＝2
x
时，
x
＝0 ，或
x
＝2，但
x
＝2时，
x
＝4，这与集合的互
异性相矛盾，综上所述，
x
＝－2或
x
＝0，选C.
答案：C < br>2
2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合
A
＝{
x
|< br>x
－2
x
＞0}，
B
＝{
x
|－5＜
x
＜5}，则
( )
A．
A
∩
B
＝? B．
A
∪
B
＝R
C．
B
?
A
D．
A
?
B

解析：∵
x
(
x
－ 2)＞0，∴
x
＜0或
x
＞2.
∴集合
A
与
B
可用图象表示为
7 10

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由图象可以看出
A
∪
B
＝R，故选B项．
答案：B 3．(2013·山东卷)已知集合
A
＝{0,1,2}，则集合
B
＝{
x
－
y
|
x
∈
A
，
y
∈
A
}中元素的个数
是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
解析：当
x
，
y
取相同的数时，
x
－y
＝0；当
x
＝0，
y
＝1时，
x
－
y
＝－1；当
x
＝0，
y
＝
2时，
x
－< br>y
＝－2；当
x
＝1，
y
＝0时，
x
－y
＝1；当
x
＝2，
y
＝0时，
x
－
y
＝2；其他则重复．故
集合
B
中有0，－1，－2,1,2，共5个元素， 应选C.
答案：C
4．(2014·广州模拟)已知集合
A
，
B
均为全集
U
＝{1,2,3,4}的子集，且?
U
(
A∪
B
)＝{4}，
B
＝{1,2}，则
A
∩?
U
B
＝( )
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．?
解析：画出venn图可知
A
∪
B
＝{1,2,3}，∵
B
＝{1,2}，∴
A
∩?
U
B
＝{3}，选A.
答案：A
5．(2014·孝感调研)满足
M
?{
a
1< br>，
a
2
，
a
3
，
a
4
}， 且
M
∩{
a
1
，
a
2
，
a
3
}＝{
a
1
，
a
2
}的集合
M
的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由
M< br>∩{
a
1
，
a
2
，
a
3
} ＝{
a
1
，
a
2
}得：
a
1
，< br>a
2
∈
M
，
a
3
?
M
，又
M
?{
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
}，所
以集合
M
只可能是{
a< br>1
，
a
2
}或{
a
1
，
a
2
，
a
4
}，选B.
答案：B
22
6．(20 14·佛山段考)已知集合
M
＝{
y
|
y
＝
x－2}，集合
N
＝{
x
|
y
＝
x
－2 }，则有( )
A．
M
＝
N
B．
M
∩(?
R
N
)＝?
C．
N
∩(?
R
M
)＝? D．
N
?
M

2222
解析：对于函数
y
＝
x
－2，由于
x
≥0，所以
y
＝
x
－2 ≥－2，故函数
y
＝
x
－2的值域
2
为[－2，＋∞)，且 函数
y
＝
x
－2的定义域为R，∴
M
＝[－2，＋∞)，< br>N
＝R，故A、D均错误，
对于B选项，?
R
N
＝?，∴M
∩(?
R
N
)＝?，故选项B正确．
答案：B
二、填空题
2
7．(2014·阜宁调研)集合
A
＝{
x
|
x
－
x
－2≤0}，
B
＝{
x
|2
x
≤1}，则
A
∩(?
R
B
)＝______ ____.
2
x
解析：由题意知，
A
＝{
x
|< br>x
－
x
－2≤0}＝{
x
|－1≤
x
≤2} ，由
B
＝{
x
|2≤1}知，
B
＝{
x
|
x
≤0}，所以?
R
B
＝{
x
|
x
＞0}，所以
A
∩(?
R
B
)＝{
x
|0＜x
≤2}，即
A
∩(?
R
B
)＝(0,2]．
答案：(0,2]
8 10

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8．(2014·扬州月考)已知集合
M
＝{
a,
0}，
N
＝{
x
|2
x
－3
x
＜0，
x
∈Z}， 如果
M
∩
N
≠?，
则
a
＝__________.
3
解析：
N
＝{
x
|0＜
x
＜，
x
∈Z}＝{1}，因为
M
∩
N
≠?，所以
a
＝1 .
2
答案：1
2
9．(2014·新余联考)已知集合{
x|
ax
－
ax
＋1＜0}＝?，则实数
a
的取值范围是
__________．
解析：{
x
|
ax
－
a x
＋1＜0}＝?即
ax
22
2
?
?
a
＞ 0，
?
－
ax
＋1＜0无解，当
a
≠0时，
2?
Δ
＝
a
－4
a
≤0，
?

得0＜
a
≤4，当
a
＝0时，不等式无解，适合题意，故0≤
a≤4.
答案：0≤
a
≤4
10.某班有学生
50< br>人，其中体育爱好者
38
人，音乐爱好者
34
人，还有
6人既不爱好体育也
不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 < br>11、设
S
是实数集R的非空子集，如果?
a
，
b
∈
S
，有
a
＋
b
∈
S
，
a
－
b
∈
S
，则称
S
是一
个“和谐集”．下面说法不 正确的是__________．
A．存在有限集
S
，
S
是一个“和谐集”
B．对任意无理 数
a
，集合
{
x
|
x
＝
ka
，< br>k
∈Z

}
都是“和谐集”
C．若
S
1< br>≠
S
2
，且
S
1
，
S
2
均 是“和谐集”，则
S
1
∩
S
2
≠?
D．对任意两 个“和谐集”
S
1
，
S
2
，若
S
1
≠R，
S
2
≠R，则
S
1
∪
S
2
＝R
解析：方法一：显然集合{0}是和谐集，选项A为真命题；对任意无理数
a
，
x
1
＝
k
1
a
，
x
2
＝
k
2
a
，
x
1
±
x
2
＝(
k
1
±
k
2
)
a
，
k
1
±
k
2
∈Z，所以集合{
x
|
x
＝< br>ka
，
k
∈Z}都是“和谐集”，选项B
为真命题；若
S1
≠
S
2
，且
S
1
，
S
2< br>均是“和谐集”，显然0∈
S
1,
0∈
S
2
，则S
1
∩
S
2
≠?，选项C为
真命题．故选D.
方法二：显然
S
1
＝{
x
|
x
＝3
k< br>，
k
∈Z}，
S
2
＝{
x
|
x＝2
k
，
k
∈Z}均是“和谐集”，且
S
1
≠ R，
S
2
≠R，而
S
1
∪
S
2
≠ R，选项D是假命题．故选D
三、解答题
12.已知集合
求实数
解：
当
当

时,
时,
，
，
的取值范围。
，
，，且
A?B?B
，

，


或
9 10

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从而，实数的取值范围为
2
13．(2014·荆门月考)已知
A
＝{
x
||
x
－
a
|＜4}，
B
＝{
x
|(
x
－4
x
－1)＞4}．
(1)若
a
＝1，求
A
∩
B
；
(2)若
A
∪
B
＝R，求实数
a
的取值范围． < br>解：(1)当a＝1时，A＝{x|－3＜x＜5}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，∴A∩B＝{x| －3＜x＜
－1}；
(2)∵A＝{x|a－4＜x＜a＋4}，B＝{x|x＜－1或x＞ 5}，且A∪B＝R，∴1＜a＜3.
14.已知集合A＝{x|x
2
－2x－3≤ 0，x∈R}，B＝{x|x
2
－2mx＋m
2
－4≤0，x∈R，m∈R} ．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A??
R
B，求实数m的取值范围．
解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[0,3]，
∴
?
?
?
m－2＝0，< br>?
?
?
?
m＝2，
∴m
?
m＋2≥3，
＝2.
?
?
m≥1.
故所求实数m的值为2.
(2)?
R
B＝{x|xm＋2}，A??
R
B，
∴m－2>3或m＋2<－1.∴m>5或m<－3.
故实数m的取值范围是m>5或m<－3.
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