高中数学必修1-4知识点大全(经典)

…



…

…
…

…

…


…

…
…


…


…

…
…
…


…
：
号
…
…
…
线
…
学
…
…

.

…
…
线


…


…


…
…
…


…


…
…
…


…
…
：
…
…
号
…
考
…
…
…
…


…


封
…


…


…
封
…


…
…
…


…


…
…
…


…
…


…
…
…
：
…
…
名
姓
…
…


…
密
密


…


…
…
…


…
…


…


…
…


…
…
…


…


…
…


…：
…
…
…级
…
…班
…
…




第一章 立体几何初步
1.柱、锥、台、球的结构特征 < br>（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面所围成的几何体。



分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点 字母，如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C
'
D'
E
'
或用对角线的端点字母，如五棱柱
AD
'
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相
等；平 行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字 母，如五棱锥
P?A
'
B
'
C
'
D
'E
'

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行
（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字 母，如五棱台于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高
的比的平方。
P?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几 何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是
一个矩形。
（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2.空间几何体的三视图
定义三视图：
正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；
侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3.空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4.柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）设圆柱的底面半径为
r
，母线 长为
l
，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两
个圆），即
S?2
?
r
2
?2
?
rl?2
?
r(r? l)
.
（2）设圆锥的底面半径为
r
，母线长为
l
，则它 的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆
形），即
S?
?
r
2
?
?
rl?
?
r(r?l)
.
第
1
页

共
16
页


(2)设圆台的上、下底面半径分别为
r
?
，
r
，母线长为
l
，则它的表面积等上、下底面的面积（大、
小圆）加上侧面的面积（扇环），即S?
?
r
?
2
?
?
r
2
?< br>?
(r
?
l?rl)?
?
(r
?
2
?r
2
?r
?
l?rl)
.
(3)柱体体积公式为：V?Sh
，（
S
为底面积，
h
为高）
锥体体积公式为 ：
V?
1
3
Sh
，（
S
为底面积，
h为高）
台体体积公式为：
V?
1
3
(S
?
? S
?
S?S)h
（
S
?
，
S
分别为上、下底面面积，
h
为高）
(4)球的体积公式
V?
4
3
?
R
3
球的表面积公式
S?4
?
R
2
其中，
R
为球的半径
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1.平面含义：平面是无限延展的
2.三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.



符号表示为 A∈L

B∈L => L α
A∈α
B∈α


公理1作用：判断直线是否在平面内.


（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系



1.空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4.注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关 ，为了简便，点O一
般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作
?
θ∈(0， )；
a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
2

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

第
2
页

共
16
页

******** ************************************************** ************************************************** *****************************
***************** ************************************************** **********
…………………………………密……………………………封……………………… ………线…………………………………

1.直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
注意：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示
2.3.1直线与平面垂直的判定
1.定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线L与平面α互相垂直，记
作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。 如图，直线与平面垂直时,它们唯
一公共点P叫做垂足。
P
a
L 2.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此
平面 垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1.二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
l β
B
α
2.二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3.两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2.两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：
x
轴正向与直线 向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与
x
轴平行或
重合时,
我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示，即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
??
当
?
?0,90
时，
k?0
； 当
?
?90,180

a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定 1.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面
平 行。
(线线平行，则线面平行)
符号表示： a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2.判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1.直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面 平行，则过这条直线的任一平面与此平面
的交线与该直线平行。 (线面平行,则线线平行)
符号表示：a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行的 平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平
行。
符号表示：α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
?
?
?
??
?
时，
k?0
； 当
?
?90
时，
k
不存在。
?
②过两点的直线的 斜率公式：
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x< br>2
)
（
P
1
?
x
1
,y
2
?
,P
2
?
x
1
,y
2
?< br>,x
1
?x
2
）
x
2
?x
1注意:(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不 存在，倾斜角为90°；
第
3
页

共
16
页


20××级××专业×科×××试卷


第
4
页

共
16
页

…



…

…
…

…

…


…

…
…


…


…

…
…
…


…
：
号
…
…
…
线
…
学
…
…

.

…
…
线


…


…


…
…
…


…


…
…
…


…
…
：
…
…
号
…
考
…
…
…
…


…


封
…


…


…
封
…


…
…
…


…


…
…
…


…
…


…
…
…
：
…
…
名
姓
…
…


…
密
密


…


…
…
…


…
…


…


…
…


…
…
…


…


…
…


…：
…
…
…级
…
…班
…
…




(2)
k
与
P
1
、
P
2
的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率
k，且过点
?
x
1
,y
1
?

注意：当 直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y
=
y
1
。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
l
上每一点的
横坐标都等于
x
1
，所以它的方程是
x
=
x
1
。
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
y?y
1
x?x
1
y
?
x
（
x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
, y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

2
?y
12
?x
1
④截矩式：
x
a< br>?
y
b
?1
其中直线
l
与
x
轴交于 点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l< br>与
x
轴、
y
轴的截距
分别为
a,b

⑤一般式：
Ax?By?C?0
（
A
，
B
不全为0）
注意：①各式的适用范围
②特殊的方程如：平行于
x
轴的直线：
y ?b
（
b
为常数）；
平行于
y
轴的直线：
x?a
（
a
为常数）；
（6）两直线平行与垂直
当
l
1
:y?k
1
x? b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
l
1
l
2
?k
1
?k
2
, b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
A
2
:A
2
x?B
2
y? C
2
?0
相交，交点坐标即方程组
?
?
1
x?B< br>1
y?C
1
?0
的一
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
组解。
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（8 ）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（Bx
2
,y
2
）
是平面直角坐标系中的两个点，则
|AB|?(x
2?x
1
)
2
?(y
2
2
?y
1
)

（9）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
, y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0
的距离< br>d?
Ax
0
?By
0
?C

A
2
?B
2
（10）两平行直线距离公式
已知两条平行线 直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1：
Ax?By?C
1
?0
，
l
2
：
A x?By?C
2
?0
，
则
l
C
1
?C< br>2
1
与
l
2
的距离为
d?
A
2?B
2

第四章 圆与方程
1.圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2.圆的方程：
（1）标准方程：
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
?
a,b
?
，半径为r；
点
M(x
(x?a)
2
? (y?b)
2
?r
2
0
,y
0
)
与圆的位 置关系：
第
5
页

共
16
页


当
(xa)
2
?(yb)
2
0
?
0
?
>
r
2
，点在圆外
当
(xa)
2
? (y
2
0
?
0
?b)
=
r
2
，点 在圆上
当
(xa)
2
?(y)
2
0
?
0
?b
<
r
2
，点在圆内
（2）一般方程：
x2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

当
D
2?E
2
?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
?
D E
?
，半径为
1
?
?
2
,?
2
?
?
r?
2
D
2
?E
2
?4F

当
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件， 若利用圆的标准方程，需求
出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆 的几何性质：如弦的中垂线
必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3.直线与圆的位置关系：
与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线
l:Ax?By?C? 0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y ?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
Aa?Bb?C
，则有
d? r?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交

A
2
?B
2

（2）过圆外一点的切线方程：
①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】
(3 )过圆上一点的切线方程：圆
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r2
，圆上一点为
(x
0
，y
0
)
，则过此点的 切线方程为
(x
2
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y -b)= r

4.圆与圆的位置关系：
设圆
C
22
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y?b< br>2
1
?
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
?
?
y?b
2
?
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
a) 当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
b) 当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
c) 当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
d) 当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
e) 当
d?R?r
时，两圆内含；
f) 当
d?0
时，为同心圆。
注意：1.已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
2.圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点













第
6
页

共
16
页

********************************** ************************************************** ************************************************** ***
******************************************* **********************************
…………………………… ……密……………………………封………………………………线…………………………………

必修4 第一章 三角函数
第二章 一、任意角和弧度制
1.任意角
（1）角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，射
线的起始 位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时
针方向旋转形 成的角叫做负角，如果射线没有作任何旋转，则形成零角.在坐标系内，使角的顶点与
原点重合，角的终 边与x轴的正半轴重合，则角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
（2）终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合

S?{
?
（3）坐标轴上的角：
?
?k?36
0
0?
?
,k?Z

}

二、任意角的三角函数
1.任意角三角函数的定义
（1）定义：设P (x , y)是角α终边上任意一点,
OP?r?0
,则有
sin??
（2）三角函数值的符号：
y
xy

cos??

tan??

rx
r


2.弧度制
（1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
（2）计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α弧度数的绝对值是
?
?
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.
口诀：一全二正弦，三切四余弦.
注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值.
2.同角三角函数的基本关系
sin?
sin
2
α+cos
2
α=1
tan??

cos?
l

r
三、三角函数的诱导公式
1.诱导公式
11
注意：弧长公式:
l?
?
r
.扇形面积公式:
S?lr?
?
r
2
.
22
（3）换算:360°＝2π 180°＝π
1=
?

5

1=(
180
)?57.30

?0.01 74
180
?
?
sin(2k
?
?
?
)? sin
?
sin(?
?
)?cos
?
2
cos(2 k
?
?
?
)?cos
?

?
cos(?
?
)??sin
?
tan(2k
?
?< br>?
)?tan
?
2
说明：①180＝π是所有换算的关键，如
30?
＝2，3，4，6时都是特殊角.
0
m
180??180
? ,??45
；②
?
形式的角当n
6644
n

第
7
页

共
16
页


20××级××专业×科×××试卷


第
8
页

共
16
页

…



…

…
…

…

…


…

…
…


…


…

…
…
…


…
：
号
…
…
…
线
…
学
…
…

.

…
…
线


…


…


…
…
…


…


…
…
…


…
…
：
…
…
号
…
考
…
…
…
…


…


封
…


…


…
封
…


…
…
…


…


…
…
…


…
…


…
…
…
：
…
…
名
姓
…
…


…
密
密


…


…
…
…


…
…


…


…
…


…
…
…


…


…
…


…：
…
…
…级
…
…班
…
…





口诀2：函数名改变，符号看象限.
四、三角函数的图象与性质
1.正、余弦函数的图象

2. 正、余弦函数的性质

（2）最值
①y=sin x：当
x?2k
?
?
?
时，取得最大值1，当
x?2k
?
?
3< br>?
22
时，取得最小值
?
1.
②y=cos x：当x=2kπ时，取得最大值1，当x=2kπ+π时，取得最小值
?
1.
（3）对称性
①y=sin x：对称轴：
x?k
?
?
?
2
，对称中心：(kπ , 0).
②y=cos x：对称轴：x = kπ，对称中心：
(k
?
?
?
2
,0)
.
3.正切函数的图象与性质
第
9
页

共
16
页


（1）图象
如右图.
（2）性质
定义域：
x?k
?
?
?
2
.

值域：R.
奇偶性：奇函数
周期性：最小正周期为π
单调性：在
(k
?
?
?
2
,k
?
?
?
2< br>)
上是增函数.
五、y=Asin(ωx + φ)图象与性质
1.图象
（1）图象变换

注：x值不需记忆，针对具体问题计算即可，但应注意五个值成等差数列.
2.性质
定义域：R 值域：
[?A,A]

周期：
T?
2
?
?
振幅：A
频率：
f?
1
?
T
?
2
?
. 相位：ωx+φ 初相：φ
单调性：将ωx+φ当成一个整体，利用y=sin x的单调区间求出.
第二章 平面向量 一、平面向量基本概念
（1）既有大小又有方向的量叫做向量.

第
10
页

共
16
页

*** ************************************************** ************************************************** **********************************
************ ************************************************** ***************
…………………………………密……………………………封………… ……………………线…………………………………

（2）向量可以用有向线段表示．向量AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称模），记作
AB
．长
度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
（3）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量.
规定：零向量与任一向量平行.
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
（3）向量共线条件
a，b共线(a≠0)
?
有且只有一个实数λ，使b=λa.

a=xi+yj，
我们把有序数对(x , y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x , y).
（2）平面向量的坐标运算
①设a=(x
1
, y
1
)，b=(x
2
, y
2
)，则有
a+b=(x
1
+x
2
, y
1
+y
2
)
a-b=(x
1
-x
2
, y
1
-y
2
)
λa=(λx
1
, λy
1
)
②设A(x
1
, y
1
)，B(x
2
, y
2
)，则有
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
)
③向量共线的坐标表示
设a=(x
1
, y
1
)，b=(x
2
, y
2
)，则有a，b共线
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
④中点公式
设A(x
1
, y
1
)，B(x
2
, y
2
)，P为AB中点，则对任一点O，有
OP?
1
?
x?x
2
y
1
?y
2
?
(OA?OB) ?
?
1
,
?
.

222
??

2.减法
（1）与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作
?a．零向量的相反向量仍是
零向量．
（2）任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(- a)＝(- a)＋a＝0.
（3）定义：a-b＝a＋(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
（4 ）已知a，b，在平面内任取一点O，作
OA?a
，
OB?b
，则
B A?a?b
，即
a?b
可以表示
为从向量b的终点指向向量a的终点的向量， 这是向量减法的几何意义．
3.数乘
（1）定义：我们规定实数λ与向量a的积是一个向量 ，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它
的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．
（2）运算律
设λ、μ为实数，那么
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ+μ)a＝λa+μa；
③λ(a＋b)=λa+λb．
四、平面向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量a，b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积（或内积）.
2.坐标表示：设a=(x
1
, y
1
)，b=(x
2
, y
2
)，则
a·b＝x
1
x
2
+y
1
y
2
.
3.垂直条件：设a，b为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x2
?y
1
y
2
?0.

第
11
页

共
16
页


20××级××专业×科×××试卷


第
12
页

共
16
页

…



…

…
…

…

…


…

…
…


…


…

…
…
…


…
：
号
…
…
…
线
…
学
…
…

.

…
…
线


…


…


…
…
…


…


…
…
…


…
…
：
…
…
号
…
考
…
…
…
…


…


封
…


…


…
封
…


…
…
…


…


…
…
…


…
…


…
…
…
：
…
…
名
姓
…
…


…
密
密


…


…
…
…


…
…


…


…
…


…
…
…


…


…
…


…：
…
…
…级
…
…班
…
…




第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的三角函数
sin(α+β)＝sinα cosβ+cosα sinβ
sin(α-β)＝sinα cosβ-cosα sinβ
cos(α+β)＝cosα cosβ-sinα sinβ
cos(α-β)＝cosα cosβ+sinα sinβ
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
二、二倍角的三角函数
sin2α＝2sinα cosα
cos2α＝c os
2
α－sin
2
α＝2cos
2
α－1＝1－2sin
2
α
tan2
?
?
2tan
?
1?ta n
2
?

补充公式：

第
13
页

共
16
页


1如图，在四棱锥
P
－
ABCD
中，底面
ABCD
为平行四边形，∠
ADC
＝45°，
AD
＝
AC
＝1，O
为
AC
的中点，
PO
⊥平面
ABCD
，PD
＝2，
M
为
PD
的中点．
(1).证明:
AD
⊥平面
PAC
；
(2).求直线
AM
与平面
ABCD
所成角的正切值．




2如图，直四棱锥
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
∥
CD
,
AD?AB
,
AB?2
，
AD?2
，
AA
1
?3
,
E
为
CD
上一点，
DE?1,EC?3< br>
（1）证明：
BE?
平面
BB
1
C
1C

（2）求点
B
1
到平面
EA
1
C
1
的距离

3如图，四边形
ABCD
为菱形，
G
为
AC
与
BD
的交点，
BE
⊥平面
ABC D
.
(1)证明：平面
AEC
⊥平面
BED
；
(2)若∠
ABC
＝120°，
AE
⊥
EC
，三棱锥
E
?
ACD
的体积为
6
3
，求该三棱锥的侧面积．

4已知过点
A(0,1)
且斜率为
k
的直线
l
与圆
C
：
?
x?2
?
2
?
?
y? 3
?
2
?1
交于
M
，
N
两点．

(1)求
k
的取值范围；
(2)若
→
OM
·
→
ON
＝12，其中
O
为坐标原点，求|
MN
| .


5如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1C
1
中，
AB
11
?AC
11
，
D， E
分别是棱
BC，CC
1
上的点（点
D
不同于点
C
），
且
AD?DE，F
为
B
1
C
1的中点．
求证：（1）平面
ADE?
平面
BCC
1
B
1
；
（2）直线
A
1
F
平面
ADE
．




第
14
页

共
16
页

*** ************************************************** ************************************************** **********************************
************ ************************************************** ***************
…………………………………密……………………………封………… ……………………线…………………………………

1.(1)如图，连结DD
1
.
在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，
因为D,D
1
分别是BC与B
1
C
1
的中点， < br>所以B
1
D
1
∥BD，且B
1
D
1
=BD,
所以四边形B
1
BDD
1
为平行四边形，
所以 BB
1
∥DD
1
,且BB
1
=DD
1
.
又因为AA
1
∥BB
1
,AA
1
=BB
1
,
所以AA
1
∥DD
1
，AA
1
=DD
1
,
所以四边形AA
1
D
1
D为平行四边形，所 以A
1
D
1
∥AD.
又A
1
D
1
?
平面AB
1
D,AD?平面AB
1
D,
故A
1
D
1
∥平面AB
1
D.
(2)方法一：在△ABC中，因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.
因为平 面ABC⊥平面B
1
C
1
CB，交线为BC，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面B
1
C
1
CB，即AD是三棱锥A-B
1
B C的高.
在△ABC中，由AB=AC=BC=4得AD=
23
.
在△B
1
BC中，B
1
B=BC=4,∠B
1
BC=60°, < br>所以△B
1
BC的面积
S
所以∠
MAN
是直线
AM
与平面
ABCD
所成的角．
1
在Rt△
DAO中，
AD
＝1，
AO
＝，
2
所以
DO
＝
515
，从而
AN
＝
DO
＝，
224
在Rt△
ANM
中，tan∠
MAN
＝
MN
145
＝＝，
AN
5
5
4
45
即直线
AM
与 平面
ABCD
所成角的正切值为
5
5.（1）∵
ABC?A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，∴
CC
1
?< br>平面
ABC
。
又∵
AD?
平面
ABC
，∴
CC
1
?AD
。
又∵
AD?DE，CC
1
，DE?
平面
BCC
1
B
1
，CC
1
DE?E
，∴
AD?
平面
BCC
1
B
1
。
又∵
AD?
平面
A DE
，∴平面
ADE?
平面
BCC
1
B
1
。
（2）∵
A
1
B
1
?AC
11
，
F
为
B
1
C
1
的中点，∴
A
1
F?B
1
C
1
。
又∵
C C
1
?
平面
A
1
B
1
C
1
，且
A
1
F?
平面
A
1
B
1
C
1
，∴
CC
1
?A
1
F
。
又∵
CC
1
， B
1
C
1
?
平面
BCC
1
B
1
，
CC
1
B
1
C
1
?C
1
，∴
A
1
F?
平面
A< br>1
B
1
C
1
。
由（1）知，< br>AD?
平面
BCC
1
B
1
，∴
A
1
F
∥
AD
。
又∵
AD?
平面
ADE, A
1
F?
平面
ADE
，∴直线
A
1
F
平面
ADE




B
1
BC
?
3
2
?4?43
.
4
所以三棱锥B
1
-ABC的体积，即三棱锥A-B
1
BC 的体积,
1
V??S
3
B
1
BC
1
AD ??43?23?8
.
3
2.(1)连接
BD
，
MO，在平行四边形
ABCD
中，因为
O
为
AC
的中点，所 以
O
为
BD
的中点，
又
M
为
PD
的中点，所以
PB
∥
MO
.
因为
PB
?平面< br>ACM
，
MO
?平面
ACM
，
所以
PB
∥平面
ACM
.
(2)因为∠
ADC< br>＝45°，且
AD
＝
AC
＝1，所以∠
DAC
＝90 °，即
AD
⊥
AC
，又
PO
⊥平面
ABCD
，
AD
?平面
ABCD
，所以
PO
⊥
AD
，而
AC
∩
PO
＝
O
，所以
AD
⊥平面
PAC
.
1
(3)取
DO
中点
N
，连接
MN
、
AN
，因为
M
为
PD
的中点，所以
MN
∥
PO
，且
MN
＝
PO
＝1. 2
由
PO
⊥平面
ABCD
，得
MN
⊥平面ABCD
，
第
15
页

共
16
页


20××级××专业×科×××试卷


第
16
页

共
16
页