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高一人教版数学必修一知识点整理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 18:04
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高一人教版数学必修一知识点整理
【一】
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性,
(2)元素的互异性,
(3)元素的无序性,
3.集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1)列举法:{a,b,c……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x ;R|x-3>2},{x|x-3>2}














BA)
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:①任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果A᠔ 5;B,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型交集并集补集
定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集.记作AB(读作‘A交B’),
即AB={x|xA,且xB}.
由所有属于集 合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作
‘A并B’),即AB= {x|xA,或xB}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成 的集合,叫做S


中子集A的补集(或余集)
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是()
A某班所有高个子的学生B的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c}的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是.
4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知 物理实验做得正确得有40人,化学实验做
得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩ C≠Φ,A∩C=Φ,
求m的值
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设 A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A
中的任意一个数x,在集合B中都 有确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A
到集合B的一个函数.记作:y=f(x ),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的
定义域;与x的值相对应的y值叫做函数 值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算 结合而成的.那么,它的定义域是使各部分
都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一
致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域:先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的 x为横坐标,函数值y为纵坐
标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象 .C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关
系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有 序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种


1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某 一个确定的对应法则f,使对于集合A
中的任意一个元素x,在集合B中都有确定的元素y与之对应,那 么就称对应f:AB为从集
合A到集合B的一个映射。记作f:A→B
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈ A)称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x1,
x2,当x1
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1, x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间
上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减 区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严
格 的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下
降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
○1任取x1,x2∈D,且x1
○2作差f(x1)-f(x2);
○3变形(通常是因式分解和配方);
○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
○5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x) ]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同
增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写
成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数


一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x )=—f(x),那么f(x)就叫做奇函
数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○2确定f(-x)与f(x)的关系;
○3作出相应结论:若f(-x)=f(x )或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0 ,
则f(x)是奇函数.
(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的 解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求
出它们之间的对应法则,二是 要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)凑配法
2)待定系数法
3)换元法
4)消参法
10.函数(小)值(定义见课本p36页)
○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值
○2利用图象求函数的(小)值
○3利用函数单调性的判断函数的(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增 ,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b
处有值f(b);
如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b
处有最小值f(b);
例题:
1.求下列函数的定义域:
⑴⑵
























2.设函数的定义域为,则函数的定义域为__
3.若函数的定义域为,则函数的定义域是
4.函数,若,则=
6.已知函数,求函数,的解析式
7.已知函数满足,则=。
8.设是R上的奇函数,且当时,,则当时=
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
⑴(2)
10.判断函数的单调性并证明你的结论.
11.设函数判断它的奇偶性并且求证
【二】


1、函数零点的定义
(1)对于函数)(xfy,我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。
(2) 方程0)(xf有实根Û函数()yfx的图像与x轴有交点Û函数()yfx有零点。因 此
判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程0)(xf是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法:解方程0)(xf,所得实数根就是()fx的零点(3)变号零点与不变号零点
①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()fx的变号零点。②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()fx的不变号零点。
③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线,则0)()( 2、函数零点的判定
(1)零点存在性定理:如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线,并且有
() ()0fafb,那么,函数)(xfy在区间,ab内有零点,即存在),(0bax,使得0)(0xf,这 个0x也就是
方程0)(xf的根。
(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个数)确定方法
①代数法:函数)( xfy的零点Û0)(xf的根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程,
可以将它与函数 )(xfy的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
(3)零点个数确定
0 )(xfy有2个零点Û0)(xf有两个不等实根;0)(xfy有1个零点Û0)(x f有两个相等
实根;0)(xfy无零点Û0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上 的零点个数,要结合图像进
行确定.
3、二分法
(1)二分法的定义:对 于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数
()yfx 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的
方法叫做二分法 ;
(2)用二分法求方程的近似解的步骤:
①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度e;
②求区间(,)ab的中点c;③计算()fc;
(ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点;
(ⅱ)若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcf b,则令ac(此时零点0(,)xcb);
④判断是否达到精确度e,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.


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