高一数学必修一集合教案

一、集合的含义

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简
称集)．
1.集合中元素具的有几个特征
⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元
素”是确定的． ⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同
的元素就只能算一个，即 集合中的元素是不重复出现的．
⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．
例子 1 A={1,3},问3，5哪个是A的元素？

2 B={素质好的人}能否表示成为集合？

3 C={2，2，4}表示是否正确？

4 D={太平洋，大西洋}
E={大西洋，太平洋}
集合 D ,E是不是表示相同的集合？
2.常用的数集及其记法
我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，?表示集合，用小写拉丁字母a，
b，c，?表示集合中的元素．
常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N
正整数集，记作N
*
或N
+
；
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R

3．元素与集合之间的关系


4.反馈演练
1.填空题

2．选择题
⑴ 以下四种说法正确的( )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}
(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元
素不确定
⑵ 已知2是集合M={ }中的元素，则实数为( )
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
5．小结
? 集合的含义
? 元素与集合之间的关系
? 集合中元素的三个特征
二、集合的几种表示方法
1、 列举法－将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与
元素之间用逗号分开．

*有限集与无限集*
⑴ 有限集------- 含有有限个元素的集合叫有限集
例如: A={1~20以内所有质数}
⑵ 无限集 --------含有无限个元素的集合叫无限集
例如: B={不大于3的所有实数}

2、 描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.
具体方法: 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值
(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出 这个集合中元素所具有的共同
特征.

3、 图示法 -- 画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合.常用于表示
不需给具体元素的抽象集合. 对已给出了具体元素的集合也当然可以用图
示法来表示.
如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:

4、课堂练习

5、本节小结
(思考)本节课主要学研究哪些基本内容?集合的三种表示方法各有怎样的优点?用其表示集合各应注意什么?




三、集合间的基本关系
观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？
(1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.
(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.
(3) A={正方形}，B={四边形}.
(4) A=
?
，B={0}.
（5）A={银川九中高一（11）班的女生}，B={银川九中高一（11）班的学生}。
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合
B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A
?
B（或
B
?
A）,即若任意x
?
A,有x
?
B，则A
?B(或A
?
B)。这时我们也说集合A是集合
B的
子集
（sub set）。
如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作A?B（或B?A），即:< /p>

若存在x
?
A,有x
?
B，则A?B(或B?A) < br>说明：A
?
B与B
?
A是同义的，而A
?
B与B?
A是互逆的。
规定:空集
?
是任何集合的子集，即对于任意一个集合 A都有
?
?
A。
例1．判断下列集合的关系.
(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;
(5) A={x| (x-1)
2
=0}， B={y|y
2
-3y+2=0};
(6) A={1,3}， B={x|x
2
-3x+2=0};
(7) A={-1,1}， B={x|x
2
-1=0};
（8）A={x|x是两条边相等的三角形} B={x|x是等腰三角形}。
问题：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？
?
集合A与集合B的元素完全相同，从而有：

2.集合相等
定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素
（即A
?
B ），同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即B
?
A），则称集
合A等于集合 B，记作A=B。如：A={x|x=2m+1，m
?
Z}，B={x|x=2n-1，n?
Z}，
此时有A=B。
问题：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是）
（2）除去
?
与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？（包
含于A，但不等于A）

3.真子集：
由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：
(1)A
?
A (任何集合都是其自身的子集)；
(2)若A
?< br>B，而且A
?
B（即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集
合B的< br>真子集
（proper subset），记作A
?
B。（空集是任何非空集合的真子集）
≠
??
(3)对于集合A，B，C，若A?B，B?C，即可得出A?C；对A
≠
B，B
≠
C，同样
有A
?
。
≠
C, 即：包含关系具有“传递性”

4.证明集合相等的方法：
（1） 证明集合A，B中的元素完全相同；（具体数据）
（2） 分别证明A
?
B和B
?
A即可。（抽象情况）
对于集合A，B，若A
?
B而且B
?
A，则A=B。
例1．判断下列两组集合是否相等？
（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}

例2．解不等式x-3>2，并把结果用集合表示。





结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2< br>n
个，其真子集数为2
n
-1
个，特别地，空集的子集个数为1，真子 集个数为0。

5.课堂练习
1.设A={0，1}，B={x|x
?
A}，问A与B什么关系？




2.判断下列说法是否正确？
（1）N
?
Z
?
Q
?
R； （2）
?
?
A
?
A；
（3）{圆内接梯形}
?
{等腰梯形}； （4）N
?
Z；
（5）
?
?
{
?
}； （6）
?
?
{
?
}


4.有三个元素 的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，
y的值。






6.本节小结
1. 能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为
真子集；
注意：子集并 不是由原来集合中的部分元素组成的集合。（因为：“空集是
任何集合的子集”，但空集中不含任何元素 ；“A是A的子集”，但A中含有
A的全部元素，而不是部分元素）。
2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
3．注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”，“不包含”；
4. 注意区别“
?
”与“
?
”的不同涵义。

课堂练习：
集合的含义与表示
1.用符号
?
或
?
填空：
（1）
23

{x|x?11}
；
（2）3
{x|x?n
2
?1,n?N
?
}
；
（3）
(?1,1)

{y|y?x
2
}
，
(?1,1)

{(x,y)|y?x
2
}.

2.用列举法表示下列集合：
（1）
{(x,y)|x?y?3,n?N,y?N}
； （2）
{(x,y)|y?x
2
?1,|x|?2,x?Z}.

?
x?y?3,
3.可以表示方程组
?
的解集是 。（写出所有正确答案的序号）
x?y??1
?
（1）
{x?1,y?2}
； （2）
{ 1,2}
；（3）
{(1,2)}
；（4）
{(x,y)|x?1,或y?2 }
；
x?1,
?
；
22
（5）
{(x,y)|x ?1,且y?2}
；（6）
?
(x,y)
?
??
（7）{(x,y)|(x?1)?(y?2)?0}.

?
y?2
?
4.设集合
A?{1,a,b},B?{a,a
2
,ab}
，且
A? B
，求实数
a,b.





5.已知 集合
M?{?2,3x
2
?3x?4,x
2
?x?4}
，若
2?M,
求
x.





集合间的基本关系
1.下列各组中的两个集合相等的有（ ）
①
P?{x|x?2n,n?Z},Q?{x|x?2(n?1),n?Z}
； ②
P?{x|x?2n?1,n?N
?
},Q?{x|x?2n?1,n?N?
}
；
1?(?1)
n
③
P?{x|x?x?0}< br>，
Q?{x|x?,n?Z}.

2
2
A．①②③





B．①③ C．②③ D．①②
?
2.设集合
A?{2,8,a},B?{2,a
2
?3a?4}
， 且
A
?
B
，求
a
的值。

3.（1 ）已知集合
A?{1,3},B?{x|mx?3?0},
且
B?A
，则m
的值是 。
（2）已知集合
A?{x|?2?x?5},B?{x |m?1?x?2m?1}
，若
B?A
，求实数
m
的取
值范 围。




4.（1）以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来。
①0与
{0}
；②0与
?
；③
?
与
{0}
；④
{0,1 }
与
{(0,1)}
；⑤
{(b,a)}
与
{(a,b)} .

（2）已知
A?{0,1},B?{x|x?A}
，则A与B的关系正确的是（ ）
A．
A?B

A．16个
B．
A
?
?
B

B．15个
C．
B
?
?
A

C．7个
D．
A?B

D．6个
5.（1）同时满足：①
M?{1 ,2,3,4,5}
；②
a?M
，则
6?a?M
的非空集合M有（ ）
6.（1）已知集合X满足
{1,2}?X?{1,2,3,4,5}
，求所有满 足条件的X。
（2）设集合
A?{x|x
2
?4x?0},B?{x|x< br>2
?2(a?1)x?a
2
?1?0,a?R}
。若
B?A< br>，
求实数
a
的值。