高中数学必修一知识点总结86947

数学笔记
——王以然
1 23

必修一

















2 23

第一章：集合
第一节：集合的含义及表示
一、定义：（描述性）

一定范围内，某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合

．．．．．．．．
二、表示：
1.列举法：A={a、b}
2.描述法：{
x
|p（x）}
代表元 分割线 代表元满足的性质
3.图示法：（数轴、Venn图）
三、特点
：

确定性、互异性、无序性

四、常用数集
N
自然数集
N
?
、
N
?
正整数集
Z
整数集
Q
有理数集
R
实数集
五、元素与集合的关系
a?M
、
a?M
（两者必居其一）

六、集合相等
两个集合所含元素完全相同
A?B

七、集合的分类
3 23

1.有限集 含有有限个元素的集合
2.无限集 含有无限个元素的集合
3.空集
?
不含有任何元素的集合


第二节：子集、全集、补集
（一）
子集
一、定义
（文字）
A中的任一元素都属于B
（符号）
A?B
（或
B?A)

A(B)
BA
（图形）
或

（二）真子集
一、定义
（文字）
A?B
，且
（符号）
A
?B（或
?
B中至少有一元素不属于A
B
?
A）
?
BA
（图形）

?

注意

．．．．

空集是任何非空集合的真子集
4 23

??A
（A
?
为非空子集）
（三）补集
一、定义
（文字）
设
A?U
，由U中不属于A的所有元素组成的集 合称为U
的子集A的补集
{x|x?U,且x?A}

（符号）
?
U
A
=
（图形）



第二节：子集、全集、补集
（一）交集
一、定义
（文字）
由所 有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合称为
．
A与B的交集
（符号）
{x|x?A,
且
．
x?B}

AB
（图形）

（二）并集
一、 定义

（ 文字）
由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合称
．．
为A与B的交集
5 23

（符号）
{x|x?A,
或
．
x?B}

A
B
（图形）


1


（三）区间
设
a,b
是两个实数，且
a?b
，规定
闭区间
a?x?b

[a,b]
；
开区间
a?x?b

(a,b)
；
半开半闭区间
（左闭右开）
a?x?b

[a,b)


（左开右闭）
a?x?b

(a,b]

x?a,x?a,x?b,x?b

[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)
．
注意：
? 对于集合
{x|a?x?b}
与区间
(a,b)
，前者
a
可 以大于或等于
b
，而
后者必须
a?b
，（前者可以不成立，为空集； 而后者必须成立）．






6 23

第二章：函数
第一节：函数的概念
一、定义：
设
A
、
B
是两个非空的数集，如果按照某种对应法则
f
，对
于集合
A
中任何一个数
x
，在集合
B
中都有唯一确定的数< br>f(x)
和它
对应，那么这样的对应（包括集合
A
，
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
）
叫做集合
A
到
B
的一个函数，记作
f:A?B

二、三要素：
定义域、值域和对应法则
三、相同函数：
定义域相同，且对应法则也相同的两个函数
四、函数定义域：
1.
2.
f(x)
是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
f(x)
是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数
的集合．
3. 对数函数的真数大于零
4. 对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零
5.
y?tanx
中，
x?k
?
?
?
2
(k?Z)
．
6. 零（负）指数幂的底数不能为零．
7. 若
f(x)
是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数
时，则其定义域一般是各基本初等函 数的定义域的交集．
7 23

8. 对于求复合函数定义域问题，一般步 骤是：若已知
f(x)
的定
义域为
[a,b]
，其复合函数
f[g(x)]
的定义域应由不等式
a?g(x)?b
解出．
9. 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需
对字母参数进行分类讨论．
10. 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还
要符合问题的实际意义．
五、求函数值域（最值）：
1. 观察法：初等坐标函数
2. 配方法：二次函数类
3. 判别式法：二次函数类
??b
2
(y)?4a(y)?c(y)?0

4. 不等式法：基本不等式
5. 换元法：变量代换、三角代换
6. 数形结合法：函数图象、几何方法
7. 函数的单调性法．
8. 分离常数法:反比例类
六、函数的表示方法：
? 解析法
? 列表法
?
图象法(不是所有函数都有图像)

七、分段函数
八、复合函数
8 23

九、求函数解析式
1. 配凑（换元)法
2. 待定系数法:已知函数模型
3. 方程组法:互为相反数、互为倒数



第二节：函数的简单性质
(一) 、单调性
一、定义 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x
1
、
x
2< br>,
当x< x时，都有f(x)121 2
．．．．
．．．．．．．．．．．．
增函数．
．．．
y
y=f(X)
f(x )
1
f(x )
2

当x< x时，都有f(x)>f(x)，那么就说f(x)在这个区间上是< br>1212
．．．．
．．．．．．．．．．．．
减函数．
．．．
y
f(x )
1
o
x
1
x
2
x
y=f(X)
f(x )
2
o
x
1
x
2
x

9 23

? 注意
1. 不在区间内谈单调增或单调减都无意义
．．
2. 端点不计入区间
3. 一般情况下单调区间不能并
4. 单调区间≠区间单调
二、证明
1. 任取
2. 作差
3. 变形
4. 定号
5. 下结论
三、证明
1. 定义
2. 初等坐标函数、已知函数
3. 函数图象（某个区间图象）
4. 复合函数：同増异减
（二）、最值
一、定义
（1）一般地，设函数
y?
足：
① 对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M

② 存在x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．那么，我们 称
M
是函数
f(x)
的
10 23
f(x)
的 定义域为
I
，如果存在实数
M
满

最大值，记作
f
max
(x)?M
．
（2）一般地，设函数
y?
足：
① 对于任意的
x?I
，都有
f(x)?m

② 存在x
0
?I
，使得
f(x
0
)?m
．那么，我们 称
m
是函数
f(x)
的
最小值，记作
f
max(x)?m
．
? 注意:开区间无最值
f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数
m
满
二、题型
? 定函数动区间
? 动函数定区间
? 注意:抓住对称轴和区间的相对关系
（二）、奇偶性
一、定义
（1）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),
．．．．． ．．．．．．
那么函数f(x)叫做奇函数．
．．．

（2）如果对于函数 f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),
．．．．．．．．．．
那么函数f (x)叫做偶函数．
．．．
11 23

二、证明
1. 定义域
f(x)的定义域
．．．
为——
任意的
x?
——

2. f(－x)与f(x)
3. 下结论
正确——严格证明
错误——举出反例
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数 两个反例
? 注意：
1. 分段函数要分段讨论
2. 0可单独讨论
3. 若函数
f(x)
为奇函数，且在
x?0
处有定义，则
三、应用
1. 定义（一般到一般）
2. 代“0”（特殊到一般） 需检验
12 23
f(0)?0

四、奇偶性
? 若奇函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调增
? 若偶函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调减


第三节：映射的概念
一、定义
设
A
、
B
是两个 非空集合，如果按照某种对应法则
f
，对于
．．
集合
A
中任 何一个元素，在集合
B
中都有唯一的元素和它对应，
．．．．．．
那么这样的 对应叫做集合
A
到
B
的映射，记作
f:A?B
B

? 注意
可用树状图考虑




13 23

第三章：指数函数、对
数函数和幂函数
第一节：指数函数
（一）、根式
一、定义
如果
x
n
?a,a?R,x?R ,n?1
，且
n?N
?
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根
? 当
n
是奇数时，
a
的
n< br>次方根用符号
n
a
表示；
? 当
n
是偶数时，正数
a
的正的
n
次方根用符号
n
a
表示，负的
n
次方根用符号
?
n
a
表示；
? 0的
n
次方根是0；负数
a
没有
n
次方根．
根指数

根式
n
a
被开方数

? 当
n
为奇数时，
a
为任意实数；当
n
为偶数时，
a? 0
．
二、性质：
n
?
a (a?0)
nn
a
n
?|a|?
?
(a)?a
；当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；当
n
为
??a (a?0)
偶数时， ．
三、分数指数幂
14 23

a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)
．
m
n
1.
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?R)

2.
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r ,s?R)

rrr
(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)
3.
（二）指数函数

一、定义
函数
y?a
x
(a?0
且
a?1)
叫做指数函数
二、图像与性质
名称
a?1

y
指数函数
0?a?1



y?a
x
y?a
x
y
图象
y?1
y?1
(0,1)

O
(0,1)


O
x
x
定义域
值域
奇偶性
单调性
过定点

渐近线
15 23
R

(0,??)

非奇非偶
在
R
上是增函数 在
R
上是减函数
（0,1）、（1，a）
x轴

三、图像移动及解析式变化
? 平移变换
h?0,左移h个单位< br>y?f(x)????????y?f(x?h)
h?0,右移|h|个单位
k?0,上 移k个单位
y?f(x)????????y?f(x)?k
k?0,下移|k|个单位

? 伸缩变换
0?
?
?1,伸
y?f(x)?????y?f (
?
x)

?
?1,缩
0?A?1,缩
y?f(x)?????y?Af(x)

A?1,伸
? 对称变换
y轴
x轴
??y?f(?x)

y?f(x)????y??f(x)

y?f(x)? ?
直线y?x
原点
y?f(x)????y??f(?x)

y?f(x)?????y?f
?1
(x)

去掉y轴左边图象
y?f(x)????????????????y?f(|x|)

保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
y?f(x)???? ??????y?|f(x)|

将x轴下方图象翻折上去
四、指数型复合函数
换元 取值范围、单调性

初级坐标函数 值域、单调性
同增异减
五、指数函数的应用
1. 审题 归纳
2. 建模 注意定义域 “指数型函数”模型
3. 求解（解模）
4. 还原（结论——答）
? 注意
16 23

1. 每一个步骤读一遍题
2. 注意定义域、精确度


第二节：对数函数
（一）对数
一、定义
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N
．．．．．．．．．
即a=N
那么就称b是以a为底N的对数
记作log
a
N=b
底数 真数．
b
二、互化

x
x
x
x
n
x
N?a?N(a?a??
x?N?aa
?
?
N
a
?
?
x
l og
?
x
a
?
N
N?a?xN?a?Na??aN??Na
?
?
N(
a
x??a?Na?a?N?
a
a
a
aa

N?
对数 底数 真数 底数 指数 幂 根指数 被开方数 方根
三、常用对数与自然对数
? 常用对数：
lgN
，即
log
10
N
；
? 自然 对数：
lnN
，即
log
e
N
（其中
e?2.71 828
…）．
四、运算
1. 加法：
log
a
M?lo g
a
N?log
a
(MN)

2. 减法：
log
a
M?log
a
N?log
a
M

N
3. 数乘：
nlog
a
M?log
a
M
n
(n?R)

17 23

4.
a
log
a
N
?N

5.
log
a
b
M
n
?
n
log
a
M(b?0,n ?R)

b
log
b
N
(b?0,且b?1)

log
b
a
6. 换底公式：
log
a
N?
（二）对数函数
一、定义
函数
y?log
a
x(a?0
且
a?1)
叫做对数函数
二、图像与性质
名称
a?1


对数函数
0?a?1


y
x?1
y?log
a
x
y
x?1


y?log
a
x
图象
(1,0)






O
(1,0)
x
O
x
定义域
值域
奇偶性
单调性
(0,??)

R

非奇非偶
在
(0,??)
上是增函数
18 23
在
(0,??)
上是减函数

过定点

渐近线
（1，0）、（a，1）
y轴

三、题型
1. 比较大小
① 利用单调性
② 利用图像（真数相同）
③ 利用中间值
2. 解不等式
3. 求值
4. 判断奇偶性


第三节：幂函数
一、定义
函数
y?x
?
叫做幂函 数，其中
x
为自变量，
?
是常数
一、图像与性质





19 23

? 定义域：
(0,??)
一定有定义
? 过定点：
(1,1)
．
? 单调性：
[0,??)
上
?
?
?0
，过原点、
(0,??)
上为增函数．
? a=0，常函数
?
?
?0
，
(0,??)
上为减函数， 在第一象限内，图象无限接近
x
轴
与
y
轴．
? 奇偶性：
? 当
?
为奇数时，幂函数为奇函数，
? 当
?
为偶数时，幂函数为偶函数．
? 当
?
?
q
（其中
p,q
互质，
p
和
q?Z
），若
p
为奇数
q
为奇数时，
p
则
y?x
是奇函数，
? 若
p
为奇数
q
为偶数时，则
y?x
是偶函数，
? 若
p
为偶数
q
为奇数时，则
y?x
是非奇非偶函数．
? 图象特征：幂函数
y
?
x
?
,x
?
( 0,
??
)
，
? 当
?
?1
时，若
0? x?1
，其图象在直线
y?x
下方，若
x?1
，其图
20 23
q
p
q
p
q
p

象在直线y?x
上方，
? 当
?
?1
时，若
0?x?1
，其图象在直线
y?x
上方，若
x?1
，其图
象在直线
y ?x
下方．

第四节：函数的应用
（一）、零点
一、定义 < br>对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数x
叫做函
数
y?f(x)(x?D)
的零点
二、意义
函数
y?f(x)
的零点
方程
f(x)?0
实数根
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标
? 注意
1. 零点不是点
2. 穿过零点，y值变号 y值变号，穿过零
点（图像连续不断）
．．．．．．
三、求法
1．（代数法）
① 证单调区间
② 零点定理
1．（几何法）交点

（二）、零点定理
一、定义

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)× f(b)<0，
．．
那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点
二、应用（二次函数的实根分布）
已知二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
（a＞0）

21 23

a?
设一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(
（a
0)
＞0）的两实根为
x
1
,x
2
， y
f(k)?0
?
①
k
＜
x
1
≤x
2

a?0
?
＞0
O
k
x
1
x
2
x
x??
b
2a



y
a?0
f(k)?0
?
x
O
x
2
1
k
x
x??
b
2af
(
k
)＞0



③
x
1
＜
k
＜
x
2


y
a?0
k

x
O
1
x
2
x
?
f(k)?0

k
x
＜
??
b
2a

f
(
k
)＞0
②
x
1
≤
x
2
＜
k


?
＞0
k
x
＞
??
b
2a

f
(
k
)＜0
22 23

④
k
1
＜
x
1
≤
x
2
＜
k
2

y
a?0

?
f(k
1
)?0
f(k
2
)?0
?
x
O
k
1< br>x
2
1
k
2
x
x??
b
2a
⑤
k
1
＜
x
1
＜
k
2

y

a?0
?
f(k
1
)?0
x
O
k
1
k
2

1
x
2
x
?

f(k
2
)?0


?
＞0
f
(k
1
)＞0
f
(
k
2
)＞0
k
1
＜
x

??
b
2a
f
(k
1
)＞0
f
(
k
2
)＜0
23 23

k
2


＜