高一数学必修一1.2函数及其表示知识点

1.2函数及其表示
备课人：江鸿标
一、知识要点：

(1) 函数的定义
设A B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合 A中的任意一个数
x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A右箭头B为从集 合A到集合B的
一个函数，记作y=f（x）（x属于A），x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定 义域，与X
的值相应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
举例

(2) 映射
映射的定义
设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应 关系f,使对于集合A中的任意一个
元素x,在集合B中都有唯一确定的元索y与之对应,那么就称对应 f:A右箭头B为从集合A到
集合B的一个映射.

映射与函数的联系与区别
函数一定是映射,但映射不一定是函数.
在函数中,A,B是两个数集,即A,B中的元素都 是实数.但在映射中,A,B中的元素不一定是实数.

关于映射的几点补充说明
① 任意性:映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形等组成的集合.
② 在映射f:A一》B中,集合A(定义域),集合B,对应关系缺一不可.
③ 映射是有方向的.“A到B的映射”不能说成“B到A的映射”,也不能说成“A与B
之间的映射”.
④ 映射中的“对应”包括“一对一”和“多对一”,但不包括“一对多”和“多对多”.

（3）函数的定义域
使解析式有意义的，符合实际问题的实数的集合（必为非空集）。
例题讲解

（4）函数的值域
几何意义：坐标轴上纵坐标的变化范围
典例讲解：一次函数的值域、二次函数、反比例函数

（5）函数的对应关系 Y=f（x）的意义:x在对应关系f下求得的值。F（x）是自变量为x的函数，f（a）是f（x）的一个特殊值。

（6）函数相等

定义域相同，对应关系，值域相同。典例讲解

（7）分段函数
对于x取不同的范围，有不同的对应关系。回归课本

（8）区间和无穷大概念
区间是集合的另外一种表现形式。闭区间，开区间，半开半闭区间。左端点要小于右端
点。
区间在数轴上的表示。
无穷大是一个符号，不是一个数。
（训练：给出任意集合，能用区间表示）

（9）复合函数
如果y是u的 函数,u是x的函数,即y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做复合
两数。u叫做中间变量。举例

（11） 函数的表示方法（课本19页例1体会三种方法的异同）
表示函数的常用方法:解析法、列表法、图象法。
解析法:把两个变量的函数关系用一个数学 表达式表示,这个数学表达式又叫做函数的解
析表达式,简称解析株式。
列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系。

二、题型讲解
1) 求函数定义域

常用方法

(1)f(x)是整式,则f(x)的定义城是R. 域,就是求g(x)的值域,其中xEA;
(2)若f(x)是分式,则要求分母不为零. 2、已知y=f(x)的定义域为A,求f[g(x)]的定义
(3)若对f(x)开偶次方,则要求f(x)>0. 域,就是由g(x)EA解出x的范围,即为f [g(x)]
(4)y=x的0次方的定义域是x不等于0。 的定义域。
(5)若同时出现上述几种情况,则分别找出各(7) 当函数是以实际问题给出时,其定义域的
自的定义域,然后求交集。 确定不仅要考虑其解析式的意义,还要考虑
(6)抽象函数的定义域: 实际意义。

当所给函数没有解析式,即为抽象函数时,要

弄清所给函数间有何关系,进而求解定义域。

如:
1、已知y=f[g(x)]的定义域为A,求f(x)的定义
例题讲解和训练

2）求函数解析式的常用方法
(1)换元法
设t=g(x),解出x,代人fg( x)],即可得f(t)的解析式,使用此法时,一定要注意新引人的变量的取值

范围.
适用条件：函数式的形式，常见为根号的形式。

(2)待定系数法
有些 题目给出函数特征,求函数的解析式,可用待定系数法,比如函数是二次函数,可设
f(x)=ax+b x+c(a0),其中a,b,c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出a,b,c即可.
适用条件：题目已经告诉是什么函数，再用对比系数法求解即可。

(3)配凑法
若已知fg(x)]的解析株式,要求f(x)的解析株式,可从fg(x)]的解析式中配凑出“g( x)”,即用g(x)来表
示,再将解析式两边的g(x)用x代替即可.
适用条件：对于数与式有很强的敏感性，函数式可以用括号内的式子表示。

(4)解方程(组)法
将f（x）作为一个未知数来考虑,建立方程(组),消去其他的未知数便得f(x)的解析株式.
适用条件：一个式子，两个函数符号，并且函数内的式子可以用换元法相互转换。

例题讲解与训练

三、基础训练
1.2.1完成课本例1、2、19页练习3；
1.2.2完成例5、练习1、2、3
习题1.2 A组1、2、7、9 B组1

三、提高训练
见《求函数表达式，分段函数求值图像求定义域练习》