高中数学必修一函数零点知识点

高中数学必修一函数零点知识点
1．函数f(x)＝log
5
(x－1)的零点是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选
5
(x－1)＝0，解得x＝2，
∴函数f(x)＝log
5
(x－1)的零点是x＝2，故选C.
2．根据表格中的数据，可以判断方程e
x
－x－2＝0必有一个根在区间( )
x 0 1 2 3
－1
x
e 0.37 1 2.78 7.39 20.09
1 2 3 4 5
x＋2
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
x
解析：选C.设f(x)＝e－x－2，∵ f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴
f(1)f( 2)＜0，由根的存在性定理知，方程e
x
－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C .
2
?
?
x＋2x－3，x≤0
3．(2010年高考福建卷)函 数f(x)＝
?
的零点个数为( )
?
－2＋lnx，x＞0
?
A．0 B．1
C．2 D．3
2
解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x＋2x－3＝0，得x
1
＝1(舍去)，x
2
＝－3；当x＞0时，
由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝ e
2
，所以函数f(x)的零点个数为2，故选C.
4．已知函数f(x)＝x
2
－1，则函数f(x－1)的零点是________．
解析：由f(x)＝x
2
－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)
2
－1＝x
2
－2x，∴由x
2
－2x＝0.解得x
1
＝0，
x
2
＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.
答案：0和2



1．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝ bx
2
－ax的零点是( )
1
A．0,2 B．0，－
2
11
C．0， D．2，
22
解析：选B.由题意知2a＋b＝0，
∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax
2
－ax＝－ax(2x＋1)，
1
使g(x)＝0，则x＝0或－.
2
2
2．若函数f(x)＝x＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1
C．a≤1 D．a≥1
解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
2
3．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )
x
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e,3)
2
解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，
3
∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．
4．下列函数不存在零点的是( )
1
A．y＝x－ B．y＝2x
2
－x－1
x

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?
?
x＋1 ?x≤0?
C．y＝
?

?
x－1 ?x＞0?
?

?
?
x＋1 ?x≥0?
D．y＝
?

?
x－1 ?x＜0?
?

1
解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－，1；< br>2
只有D中函数无零点．
5．函数y＝log
a
(x＋1)＋x2
－2(0＜a＜1)的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．无法确定
2
解析：选C.令log
a
(x＋1)＋x－2＝0，方程解 的个数即为所求函数零点的个数．即考查
图象y
1
＝log
a
(x＋ 1)与y
2
＝－x
2
＋2的交点个数．
1
－
6． 设函数y＝x
3
与y＝()
x2
的图象的交点为(x
0
，y
0
)，则x
0
所在的区间是( )
2
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
1
－
解析：选B.设f(x)＝x
3
－()
x2
，
2
1
－
1
－
1
则f(0)＝0－()
2< br><0；f(1)＝1－()
1
<0；f(2)＝2
3
－()
0
>0.∴函数f(x)的零点在(1,2)上．
222
2
7．函数f(x) ＝ax＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，
2a
由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，
a
故x＝－3，即另一个零点为－3.
答案：－3
8．若函数f(x)＝ 3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．
解析： 因为函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f(－1)·f(1)≤0，
即(－5a＋1)·(a＋1)≤0，(5a－1)(a＋1)≥0，
??
?
5a－1≥0
?
5a－1≤0，
1
所以
?
或
?< br>解得a≥或a≤－1.
5
??
?
a＋1≥0
?
a＋1≤0，

1
答案：a≥或a≤－1.
5
9．下列说法正确的有________：
①对于函数f(x)＝x
2
＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f( x)在区间(a，b)内一定没有
零点．
②函数f(x)＝2
x
－x
2
有两个零点．
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a＝1时，函数f(x)＝|x
2
－2x|－a有三个零点．
解析：①错，如图．
②错，应有三个零点．



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③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.
④设u(x)＝|x
2
－2x|＝|(x－1)
2
－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与 x
轴有三个交点．∴a＝1.
答案：③④
10．若方程x
2
－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．
解：设f(x)＝x
2
－2ax＋a.
由题意知：f(0)·f(1)＜0，
即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．
?
a＞0，
?
a＜0，
??
?
或
?

??
?
1－a＜0，
?
1－a＞0，
∴a＜0或a＞1.
1
11．判断方程log
2
x＋x
2
＝0在区间[，1]内 有没有实数根？为什么？
2
解：设f(x)＝log
2
x＋x
2
，
111 13
∵f()＝log
2
＋()
2
＝－1＋＝－＜0，
2 2244
11
f(1)＝log
2
1＋1＝1＞0，∴f()·f(1)＜0 ，函数f(x)＝log
2
x＋x
2
的图象在区间[，1]上是连
2 2
11
续的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log
2
x＋ x
2
＝0在区间[，1]内有实根．
22
2
12．已知关于x的方 程ax－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，
(1)方程有一正一负两根；
(2)方程的两根都大于1；
(3)方程的一根大于1，一根小于1.
解：(1)因为方程有一正一负两根，
a－1
?
?
＜0
a
所以由根与系数的关系得
?
，

?
?
Δ＝12a＋4＞0

解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．
(2)法一：当方程两根都大于 1时，函数y＝ax
2
－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)
所示，


a＞0
?
?
Δ＞0
所以必须满足
?< br>a＋1
＞1
a
?
?
f?1?＞0

??
Δ＞0
，或
?
a＋1
＞1
a
?
?< br>f?1?＜0
a＜0
，不等式组无解．
所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.
法二：设方程的两根分别为x
1
，x
2
，由方程的两根都大于1，得x
1
－1＞0，x
2
－1＞0，
?
?
?x
1
－1??x
2
－1?＞0
即
?

?
?x
1
－1?＋?x
2
－1?＞0
?
?
x
1
x
2
－?x
1
＋x
2
?＋1＞0
?
?
?
.
?
?
x
1
＋x
2
＞2



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?
所以
?< br>2?a＋1?
?
a
＞2
a－12?a＋1?
－＋1＞0
aa

?
?
a＜0
?
?
，不等式组无解．
?
a＞0
?

即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1. (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax
2
－2(a＋1)x＋a－1的 大致图象如图
(3)(4)所示，
??
?
a＞0
?
a＜0
所以必须满足
?
或
?
，解得a＞0.
??
f?1?＜0f?1?＞0
??


∴即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.



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