高中数学必修1-对数与对数函数-知识点+习题

对数与对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果
a?N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以
．
a
为底< br>．．
N
的对数，记作：
x?log
a
N
（
a
— 底数，
N
— 真数，
log
a
N
— 对数式）
说明：
○
1 注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
○
2
a
x
?N?log
a
N?x
；
3 注意对数的书写格式．
log
a
N

○
两个重要对数：
○
1 常用对数：以10为底的对数
lgN
；
2 自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
．
○
? 指数式与对数式的互化
幂值 真数

x
a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，< br>M?0
，
N?0
，那么：
1

log
a< br>(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N
； ○
M
?
log
a
M
－
l og
a
N
；
N
3

log
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)
． ○
2

log
a
○
log
c
b
（
a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0
）．
log
c
a
1
n
利用换底公式推导下面的结论 （1）
log
a
b
n
?log
a
b
； （2）
log
a
b?
．
m
log
b
a< br>注意：换底公式
log
a
b?
m
（二）对数函数
1 、对数函数的概念：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a?1)叫做对数函数，其中
x
是
自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：
○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：
y?2log
2
x
，
y?log
5
x
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
5
2 对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
○
2、对数函数的性质：
a>1 03
3
2. 5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
-1
11
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2 345678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

定义域x＞0
值域为R
在R上递增
函数图象都过
定点（1，0）
1
定义域x＞0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点
（1，0）

对数与对数函数
一.选择题
1．若3
a
=2,则log
3
8-2log< br>3
6用a的代数式可表示为（ ）
（A）a-2 （B）3a-(1+a)
2
（C）5a-2 （D）3a-a
2
2 .2log
a
(M-2N)=log
a
M+log
a
N,则
（A）
M
的值为（ ）
N
1
（B）4 （C）1 （D）4或1
4
1
y
?n,则log
a
等于（ ）
1?x
11
（A）m+n （B）m-n （C）(m+n) （D）(m-n)
22
3．已知x
2
+y
2
=1,x>0 ,y>0,且log
a
(1+x)=m,loga
4.如果方程lg2x+(lg5+ lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ）
（A）lg5·lg7

（B）lg35

（C）35 （D）
?
1
2
1

35
5.已知log
7
[log
3
(log
2
x)]=0，那 么x
（A）
等于（ ）
1
1
1
1
（B） （C） （D）
3
2333
22
6．函数y=lg（
2
?1
）的图像关于（ ）
1?x
（A）x轴对称 （B）y轴对称 （C）原点对称 （D）直线y=x对称
7．函数y=log
(2x-1)
3x?2
的定义域是（ ）
21
，1）
?
（1，+
?
） （B）（，1）
?
（1，+
?
）
32
21
（C）（，+
?
） （D）（，+
?
）
32
（A）（
8．函数y=log
1< br>(x
2
-6x+17)的值域是（ ）
2
（A）R （B）[8，+
?
] （C）（-
?
，-3） （D）[3，+
?
]
9．函数y=log
1
(2x
2
-3x+1)的递减区间为（ ）
2
（A）（1，+
?
） （B）（-
?
，
10．函数y=(
311
］ （C）（，+
?
） （D）（-
?
，］
422
1
x
2
+1
)+2,(x<0)的反函数为（ ）
2
(x?2)
（A）y=-
log
1
2
?1( x?2)
（B）
log
1
2
(x?2)
?1(x?2)

（ C）y=-
log
1
2
(x?2)
55
(x?2)
?1(2?x?)
（D）y=-
log
1
?1(2?x?)

22
2
11.若log
m
9n
9<0,那么m,n满足的条件是（ ）
（A）m>n>1 （B）n>m>1 （C）0 2

a
2
3
?1
，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，
2
3
）
?
（1，+
?
） （B）（
2
3
，+
?
）
（C）（
2
3
,1
） （D）（0，
2
3
）
?
（
2
3
，+
?
）
13．若1２
b
x,c=loga
x,则a,b,c的关系是（ ）
（A）a14.下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）
（A）y=log
1
(x+1)（B）y=log
2
x
2< br>?1
（C）y=log
2
1
x
（D）y=log
1< br>2
2
2
(x-4x+5)
15.下列函数中，同时满足：有反函数， 是奇函数，定义域和值域相同的函数是（
e
x
?e
?x
（A）y=< br>2
（B）y=lg
1?x
?x
（C）y=-x
3
1
（D）y=
x

16.已知函数y=log
a
( 2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，1） （B）（1，2） （C）（0，2） （D）[2，+
?
)
17．已知 g(x)=log
x?1
a
x?1
(a>0且a
?
1)在（ -1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a是（
（A）在（-
?
，0）上的增函数 （B）在（-
?
，0）上的减函数
（C）在（-
?
，-1）上的增函数 （D）在（-
?
，-1）上的减函数
18．若01,则M=a
b
，N=log
b
a,p=b
a
的大小是（ ）
（A）M19．“等式log
3
x
2
=2成立”是“等式 log
3
x=1成立”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
20．已知函数f(x)=
lgx
,0f(b)，则（ ）
（A）ab>1 （B）ab<1 （C）ab=1 （D）(a-1)(b-1)>0
二、填空题
1．若log
a
2=m,l og
a
3=n,a
2m+n
= 。
2．函数y=log
(x-1)
(3-x)的定义域是 。
3．lg25+lg2lg50+(lg2)
2
= 。
4.函数f(x)=lg(
x
2
?1?x
)是 （奇、偶）函数。
5．已知函数f(x)=log
0.5
(-x
2
+4x+5),则f(3)与f（4）的大小关系为 。
6．函数y=log
1
(x
2
-5x+17)的值域为 。
2
7．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-
?
，1），则a= 。
8.若函数y=lg[x
2
+(k+2)x+
5
4
]的 定义域为R，则k的取值范围是 。
9．函数f(x)=
10
x
1?10
x
的反函数是 。
3
）


）

10．已知函数f(x)=(
g(x)= 。
三、解答题
1
x
),又定义在（-1，1）上的奇函数g(x)，当x>0 时有g(x)=f
-1
（x）,则当x<0时，
2
1． 若f(x)=1+l og
x
3,g(x)=2log
x
2
，试比较f(x)与g(x)的 大小。



10
x
?10
?x
2． 已知函数f(x)=
x
。
10?10
?x
（1）判断f(x)的单调性；
（2）求f
-1
(x)。



3． 已知x满 足不等式2(log
2
x）
2
-7log
2
x+3
?
0,求函数f(x)=log
2



xx
?log
2
的最大值和最小值。
24
x
2
4． 已知函数f(x-3)=lg
2
,
x?6
2
(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求f(x)的反函数; (4)若f[
?
(x)
]=lgx,求
?
(3)
的值。








5． 设0< x<1,a>0且a
?
1，比较
log
a
(1?x)
与log
a
(1?x)
的大小。







4

2
mx?8x?n
的定义域为R，值域为[0，2]，求m,n的值。 6． 已知函数f(x)=log
3
x
2
?1





7． 已知x>0,y
?
0,且x+2y=

1
,求g=log
1
(8xy+4y
2
+1)的最小值。
2
2


4?x
2
y?
lg(|x|?x)
的定义域． 8．求函数






9．已知函数
y?log
a< br>(2?ax)
在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．





10．已知
f(x)?log
a
(x?1?a)
，求使f(x)>1的x的值的集合．
5

对数与对数函数
一、选择题
题号
答案
题号
答案
二、填空题
1
A
11
C
2
B
12
A
3
D
13
D
4
D
14
D
5
C
15
C
6
C
16
B
7
A
17
C
8
C
18
B
9
A
19
B
10
D
20
B
?
3?x?0
?
1．12 2.{x
1?x?3
且x
?2
} 由
?
x?1?0
解得1?2
。 3．2
?
x?1?1
?
4．奇
?x?R且f(?x)?lg(x
2
?1?x)?lg
1
x
2
?1?x
??lg(x
2
?1?x)??f(x),?f(x)
为奇函数。
5．f(3)设y=log
0.5
u,u=-x
2
+4x+5,由-x
2+4x+5>0解得-1?
u=-x
2
+4x+5=-(x -2)
2
+9,∴ 当x
?
(-1,2)时，
y=log
0 .5
(-x
2
+4x+5)单调递减；当x
?
[2,5]时，y=l og
0.5
(-x
2
+4x+5)单调递减，∴f(3)6.(-
?,?3
) ∵x
2
-6x+17=(x-3)
2
+8
?8
,又y=log
7.-1
8.-
5?2?k?5?2

1
u
2
单调递减，∴ y
??3

55
?
y=lg[x
2
+(k+2)x+]的定义域为R，∴ x
2
+(k+2)x +>0恒成立，则
?
（k+2）
2
-5<0,即k
2
+4k -1<0,
44
由此解得-
5
-25
-2
9.y=lg
x
(0?x?1)

1?x
x
10
x
yy
x
(0?x?1)

?0,?0?y?1,又x?lg,?
y=,则10=反函数为y=lg
x
1?x
1?y1?y
1?10
1
(-x)
2< br>111
已知f(x)=()
x
,则f
-1
(x)=logx, ∴当x>0时，g(x)=logx,当x<0时，-x>0, ∴g(-x)
222
11
=log(-x),又∵g(x)是奇函数，∴ g(x)=-log(-x)(x<0)
22
10.-log
三、解答题
1． f(x)-g(x)=log
x
3x-log
x
4=log< br>x
当x>
44
3x
时，f(x)=g(x);当1.
当0g(x);当x=
33
4
4
时，f(x)>g(x)。
3
6

10
2x
?1
2． （1）f(x)=
2x
,x?R.设x
1
,x
2
?(??,??)
，
10?1< br>10
2x
1
?110
2x
2
?12(10
2 x
1
?10
2x
2
)
2x12x
,且x
1
2
,f(x
1
)-f(x
2
)=
2x
<0,(∵10<10
??
2
)∴f(x)为增函数。
2x
2
2x
1
2x
21
10?110?1(10?1)(10?1)< br>10
2x
?1
1?y
（2）由y=
2x
得10
2x
=
.

1?y
10?1
∵10
2x
>0, ∴-111?y11?x
lg.?f
?1
(x)?lg(x?(?1,1)
)。
21?y21?x
）
2
3． 由2（log
2
x-7log
2
x+3
?
0解得
1
2
?
log
2
x
?
3。∵
f(x)=log
2
3
2
1 31
xx
?log
2
?(log
2
x?1)
(lo g
2
x-2)=(log
2
x-)-,∴当log
2
x=时 ，f(x)取得最小值-；当
2424
24
log
2
x=3时，f( x)取得最大值2。
x?3
x
2
(x
2
?3)?3
?0
得x
2
-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+
?
）。4 ．（1）∵f(x-3)=lg
2
,∴f(x)=lg,又由
2

x ?3
x?6
(x?3)?3
2
（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。
x?3
3(10
y
?1)
3(10x
?1)
-1
,
得x=
(x?0)
（3）由y=lg,
?
x>3,解得y>0, ∴f(x)=
y
x
x?3
10?1
10?1
(4) ∵f[
?
(3)
]=lg
?
(3)?3
?
(3)?3?lg3
,∴
?3
，解得
?
(3)=6。
?
(3)?3
?
(3)?3
lg(1?x)
lga
- 5．∵
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)?
lg(1?x)
lga
??
1
lg(1?x
2
)?0?x?1,则lg(1?x< br>2
),?
lga
。
log
a
(1?x)?log< br>a
(1?x)?0,即loga(1?x)?log
a
(1?x)
6． 由y=log
3
mx?8x?n
，得
2
x?1
2
m x
2
?8x?n
yy2y
2
3=，即（3-m）x-8x+3-n= 0. ∵
x?1
y
x
?R,???64
-4(3
y
-m)(3
y
-n)
?
0，即3
2y
-(m+n)·3y
+mn-16
?0
。由0
?y?2
，得
1?3?9< br>
，由根与系数的关系得
?
7．由已知x=
?
m?n?1?9
，解得m=n=5。
mn?16?1?9
?
11
-2y>0,?0?y?
,由g=log
24
7

14 14
111
(8xy+4y
2
+1)=log(-12y
2
+4y+1)=log[-12(y-)
2
+],
?
当y=,g的最小值为l og
1

222
6363
2
?
?
4?x? 0
?
?2?x?2
?
?
|x|?x?0?
??
x? 0
?
|x|?x?1
?
1
11
11
?
?< br>x?
0?x?或?x?2(0，)?(，2]
2
?
22
22< br>8．解：∴∴函数的定义域是．
2
9．解：∵a是对数的底数 ∴a>0且a≠1 ∴函数u＝2－ax是减函数
∵函数
y?log
a
(2?ax)
是减函数 ∴a>1(
log
a
u
是增函数)
∵函数的定义域是
2?ax?0?x?
22
(??，)
a
∴
a
定义域是
2
[0，1]
?
(??，)
?a
∵函数在区间[0，1]上有意义是减函数 ∴
2
?1?a?2
a
∴ ∴1a
(x?1?a)?1
10．解：f(x)>1即
log
?
x?1?a?0
?
x?a?1
?
??
x?1?a?a?
x?2a?1
当a>1时
?
∴解为x>2a－1
?
x?1?a?0
?
x?a?1
?
??
x?1?a?a
?
x?2a?1
当0?
∵a－1<2a－1 ∴解为a－11时，{x|x>2a－1}
当01成立．








8