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2020高一数学必修一:必修一总复习(1对1讲义)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 18:17
tags:高中数学必修一

四川高中数学选修-高中数学人教版教材 选修什么意思



必修一复习

一、知识结构
集合与函数概念


















集合
映射
函数



















































子集与真子集












整数指数幂


有理指数幂


无理指数幂










基本初等函数(Ⅰ)


















函数的应用
指数函数
对数函数
幂函数
函数的零点
函数与方程
定义
指数
对数
运算性质
二分法
指数函数
对数函数
函数模型及其应用
互为反函数
几类不同增长的函数模型
定义
定义
用已知函数模型解决问题
图像与性质
图像与性质
建立实际问题的函数模型




二、考点解析
考点一:集合的定义及其关系
考点分析:
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法:列举法、描述法、韦恩图;
3.集合中元素与集合的关系:
文字语言 符号语言
?

属于
?

不属于
4.常见集合的符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
Q

N

R

符号
?

N
N
Z

?
经典考题:
例1.定义集合运算:< br>A?B?
?
z|z?xy,x?A,y?B
?
.设
复数集
C

A?
?
1,2
?
,B?
?
0 ,2
?
,则集合
A?B
的所有元素之和为( )
A.0;B.2;C.3;D.6

考点二、集合间的基本关系
考点分析: 集合间的基本关系
表示关系 文字语言

相等 集合A与集合B中的所有元素
都相同
子集
真子集
符号语言
A?B

B?A
?

A?B

空集
A中任意一元素均为B中的元
A?B

B?A


A中任意一元素均为B中的元
AB

素,且B中至少有一元素不是
A的元素
空集是任何集合的子集,是任
??A

?
B

B?
?

何非空集合的真子集

经典考题:
例2.第二十九届夏季奥林匹克运动会 将于2008年8月8日在北京举行,若集合
A={参加北京奥运会比赛的运动员},集合B={参加北 京奥运会比赛的男运动员},
集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是( )
A.
A?B
B.
B?C
C.
A?B?C
D.
B?C?A

考点三、集合间的基本运算
考点分析



①两个集合的交集:
AIB
=
?
xx?A且x?B
?
;
②两个集合的并集:
AUB
=
?
xx?A或x?B
?
;
③设全集是U ,集合
A?U
,则
C
U
A?
?
xx?U且x?A< br>?


I


U



C
U
A?
AIB?{x|x?A,

x?B}

AUB?{x|x?A,

x?B}

?
xx?U且x?A
?



方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.

经典考题:

例3.集合
A?{x|ax?1?0}
,
B?
?
x|x2
?3x?2?0
?
,且
AUB?B
,求实数
a
的值.




2
22
例4.设集合
A?xx?3x?2?0

B?xx?2(a?1)x?(a?5)?0

??
??
(1) 若
A?B?
?
2
?
,求实数
a
的值;
( 2)若
A?B?A
,求实数
a
的取值范围若
A?B?
?2
?








考点四、求函数的定义域
考点分析:
(1)函数的定义:

A、B
是两个非空的数集,如果按照某种对应法则
f
,对于集合
A
中 的每
一个数
x
,在集合
B
中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的 对应叫做从
A



B
的一个函数,通常记为
y?f(x),x?A

(2)函数的定义域、值域
在函数
y?f(x),x?A
中,
x< br>叫做自变量,
x
的取值范围
A
叫做
y?f(x)
的定
义域;与
x
的值相对应的
y
值叫做函数值,函数值的集合
?
f(x)x?A
?
称为函数
y?f(x)
的值域。
(2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则
2.映射的概念

A、B
是两个集合,如果按照某种对应法则
f
,对于集合
A
中的任意元素,
在集合
B
中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从
A
B

映射,通常记为
f:A?B

经典考题:
例5.有解析式的函数的定义域
函数
f(x)?
1
ln(x
2
?3x?2??x
2
?3x?4)
的定义域为( )
x< br>A.
(??,?4)?[2,??)
;B.
(?4,0)?(0,1)
;C.
[,?4,0)?(0,1]
;D.
[,?4,0)?(0,1)






例6.求抽象函数的定义域

f
?
x
?
?lg
2?x
x
??
2
?
,则
f
?
??
?f
??
的定义域为( )
2?x
?
2
??
x
?
A
.
?< br>?4,0
?
?
?
0,4
?

B
.
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?

C
.
?
?2,?1
?
?
?
1,2
?
D
.
?
?4,?2
?
?
?
2,4
?

考点五、求函数值域
考点分析:
1.
求值域的几种常用方法
(1)配方法 (2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基
2
本函数的值域来求,如函数
y?log
1
(?x?2x?3)
就是利用函数< br>y?log
1
u

2
2
u??x
2
?2x?3
的值域来求。
(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数< br>y?
2x?1
x
2
?2x?2



的值域

y?
2x?11
2
x??
y?0
yx?2(y?1)x?2y?1?0
得,若,则得,所以
2
x
2
?2x?2
y?0
是函数值域中的一个值;若
y?0
,则由
??[? 2(y?1)]
2
?4y(2y?1)?0

3?133?13
3? 133?13
,]

?y?且y?0
,故所求值域是
[
22
22
(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域
(5)利用基本不等式求值域:如求函数
y?
3x
的值域
x
2
?4

x?0
时,
y?0
;当
x?0
时,
y?
3
x?
4
x
,若
x?0
,则x?
44
?2x??4

xx

x?0
,则< br>x?
444
33
??(?x?)?2(?x)?()?4
,从而得所求 值域是
[?,]

x?x?x
44
(6)利用函数的单调性求求值域
(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的
值域(求某些分 段函数的值域常用此法)。
经典考题:
2
x
?1
例7.函数
y?
x
的值域是
2?1



25
?4]
,则
m
的取值范围是例8.若函数
y?x
2
?3x?4
的定义域为[0,m]
,值域为
[?,
4
( )
33
3
3]
; C.
[,4]
;D.
[,??)< br>A.
?
0,4
?
;B.
[,

22
2
考点六:求函数的解析式
考点分析:
一、函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法
1.图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
2.列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
3.解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。
二、求函数的解析式的一般常用方法:
(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;



(2)若已知复合函数
f[g(x)]
的解析式,则可用换元法或配凑法;
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出
f(x)

经典考题:
1.已知二次函数
f(x)
满足
f(2x?1)?4x
2
?6x?5
,求
f(x)

方法一:换元法

2x?1?t(t?R)
,则
x?
t?1
2
,从而
f(t)?4(
t?1
2
t?1
)?6??5?t
2
?5t ?9(t?R)

22
所以
f(x)?x
2
?5x?9(x?R)

方法二:配凑法
因为
f(2x?1)?4x
2
?6x?5??(2 x?1)
2
?10x?4?(2x?1)
2
?5(2x?1)?9

所以
f(x)?x
2
?5x?9(x?R)

方法三:待定系数法
因为
f(x)
是二次函数,故可设
f(x)? ax
2
?bx?c
,从而由
f(2x?1)?4x
2
?6x ?5
可求出
a?1、b??5、c?9
,所以
f(x)?x
2
?5x?9(x?R)

1
2.已知函数
f(x)
满足
f (x)?2f()?3x
,求
f(x)

x
1
因为
f(x)?2f()?3x??

x
1
11
以代
x

f()?2f(x)?3???

x
xx
1
2
由①②联立消去
f()

f(x)?? x(x?0)

x
x
考点七:函数的单调性
考点分析:
1.函数的单调性定义:
设函数
y?f(x)
的定义域为
A
,区间
I?A

如果对于区间
I
内的任意两个值
x
1

x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)



那么就 说
y?f(x)
在区间
I
上是单调增函数,
I
称为
y?f(x)
的单调增区间
如果对于区间
I
内的任意两个值
x1

x
2
,当
x
1
?x
2
时 ,都有
f(x
1
)?f(x
2
)

那么就说
y?f(x)
在区间
I
上是单调减函数,
I
称为
y?f( x)
的单调减区间
经典考题:
例9.函数
y
=2
x2
-(
a
-1)
x
+3在(-∞,1]内递减,在(1,+∞) 内递增,则
a
的值是 ( )
A.1 B.3 C.5 D.-1
例10.函数
f
?x
?
?log
2
?
4x?x
2
?
的单 调递减区间是( )
A.
(0,4)
; B.
(0,2)
; C.
(2,4)
; D.
(2,??)

例11. 研究抽象函数的单调性
定义在R上的函数
y?f(x)

f(0)?0,当
x
>0时,
f(x)?1
,且对任意的
a

b
∈R,

f

a
+
b
)=
f

a
)·
f

b
).
(1)求证:
f
(0)=1;
(2)求证:对任意的
x
∈ R,恒有
f

x
)>0;
(3)求证:
f

x
)是R上的增函数;
(4)若
f

x
)·
f
(2
x

x
2< br>)>1,求
x
的取值范围.







考点八:函数的奇偶性
考点分析:
函数的奇偶性的定义:
①对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
,都有
f(?x )??f(x)
〔或
f(?x)?f(x)?0
〕,则称
f(x)
为 奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数
f(x)
的定义域内任意一个< br>x
,都有
f(?x)?f(x)
〔或
f(?x)?f(x)?0
〕,则称
f(x)
为偶函数. 偶函数的图象关于
y
轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域原点关
于对称(也就 是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)
经典考题:



例12.判断下列函数的奇偶性:
(1)
f
(< br>x
)=
lg
(
x
2
?1
-
x
);
(2)
f
(
x
)=
x?2
+
2 ?x

(3)
f

x
)=
?
?
x(1?x)
?
x(1?x)
(x?0),
(x?0).





例13.设奇函数
f
(
x
)的定义 域为(-∞,0)∪(0,+∞)且在(0,+∞)上单调递增,
f
(1)=0,
1
解不等式:
f

x
(
x
-)]<0
2






例14.函数
f

x
)的定义域为
D
={
x
|
x
≠0},且满足对于任意
x
1

x
2

D
,有
f

x
1
·
x
2

=
f

x
1
)+
f

x
2
).
(1)求
f
(1)的值;
(2)判断
f

x
)的奇偶性并证明;
(3)如果
f
(4)=1,
f
(3
x
+1)+
f
(2
x
-6)≤3,且
f

x
)在(0,+∞)上是
增函数, 求
x
的取值范围.









考点九、指数幂的运算
考点分析:
1
n
m
(1)分数指数幂的意义:a=
a
,a
n>1).
(2)有理数指数幂的性质:
m
n
m
?
n
mn
1
n
m
=
a
(a>0,m、n都是正整数,=
a



a
r
?a
s
?a
r?s
;(a
r
)
s
?a
rs
;(ab)
r
?a
r
b
r
?
1
3
(a?0,b?0, r?R,s?Q)

2
7
00.25
4
2
6
1.5?(?)?8?2?(
3
2?3)?()
3
63
计算:
[解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。


考点十、指数函数的图象及性质的应用
考点分析:
①_x0001_ 数函数的定义:一般地,函数
y?a
x
(a>0且a≠1)叫做指数函数.
②指数函数的图像
y
x
y=a a>
1
(
x
y
y=a
(0<a<1)
1
O
x

1
O
x

③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称.
④指数函数的性质:定义域:R; 值域:(0,+∞);过点(0,1);即x=0时,
y=1.
当a>1时,在R上是增函数;当0<a<1时,在R上是减函数.
画指数函数
y? a
x
(a>0且a≠1)的图像时,应该抓住两点:一是过定点(0,
1),二是x轴
是其渐近线
经典考题:
例15.不论
a
为何正实数,函数
y?a
标是_________

x
例16.不等式
6
2
x?1
?2
的图 象一定通过一定点,则该定点的坐
?x?2
?1
的解集是___________

例17.已知9
x
-10·3
x
+9≤0,求函数
y
=()
x
-1
-4()
x
+2的最大值和最小值.








1
4
1
2




考点十一、对数运算
考点分析:
(1)若
a
b
?N
,则称
b
是以
a
为底的对数,记作
b?log
a
N

a
叫做对数的底数,
N叫做真数.
(2)两种特殊对数:
log
a
1?0,log
a
a?1

a?0

a?1

(3)两种特殊记法:,
log
10
N
=
lgN

log
e
N
=
lnN

(4)将
b?l og
a
N
代回
a
b
?N
得到一个常用公式
a
log
a
N
?N

(5)对数的运算性质(
a?0,a?1,M?0,N?0


l og
a
(MN)?log
a
M?log
a
N

log
a

log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)

(6)对数换底公式:
换底公式 :
log
a
N?
log
c
N
log
ca
(a?0,a?1,c?0,c?)

M
?log
a
M?log
a
N

N
推论:(1)
log
a
b?
1
m
(2)
l og
a
n
b
m
?log
a
b

log
b
a
n
经典考题:
11
例18.
log
5
?log
4
的结果是
45



例19.计算:
(log
4
3 ?log
8
3)(log
3
2?log
9
2)?log1
4
32
=
2

考点十二、对数函数图像与性质
考点分析:
(1) 形如
y?loga
x
?
a?0且a?1
?
叫做对数函数, (2).对数函数的图象和性


a?1

0?a?1

















(1,0)


(1)定义域:
(0,??)
; (2)值域: R.

(3)当
x?1时,y?0
,即过定点
(1,0)
.

单调性:增函数 单调性:减函数


经典考题:
例20.已知
A.
例21.若
B. C.
,则的大小关系是( )
D.
,则( )

A.<<;B.<<;C.<<;D. <<
例22.若函数
的最值
及相应的x的值。








例23.若函数
的图象大致是( )
是定义域为R的增函数,则函数
的定义域为M。当时,求

考点十三、幂函数



考点分析:
一、幂函数的概念:一般地,形如
自变量,是常数
二、幂函数的图像及性质
?
y?x
幂函数(
x?
R,
?
是常数)的图像在第一象限 的分布规律是:2
?
y?x
(1)所有幂函数(
x?
R,
?
是常数)的图像都过点
(1,1)

?
y?x
(2)当
?
?0
时函数的图像都过原点
(0,0)

?
( 3)当
?
?1
时,
y?x
的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如< br>c
1

?
c
y?x
(4)当
0?
?
?1
时,的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如
3

(R)的 函数称为幂函数,其中是
?
y?x
(5)当
?
?0
时,的的 图像不过原点
(0,0)
,且在第一象限是“下滑”曲线
(如
c
4< br>)
经典考题:
例24.求函数
y?x





例25.若
(a?1)?(3?2a)
,则
a
的取值范围是
考点十四、函数方程与根
考点分析:
一、函数的零点:方程
f(x)?0
的实数根又叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
方程
f(x )?0
有实根
?
函数
y?f(x)
的图像与x轴有交点
?< br>函数
y?f(x)
有零
点;
②如果函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上的图像是连续不断的,且有
f(a)?f(b)?0

则函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上有零点。
二、二 分法:如果函数
y?f(x)
在区间
[m,n]
上的图像是连续不断的一条曲 线,

f(m)?f(n)?0
,通过不断地把函数
y?f(x)
的 零点所在区间一分为二,使区
?
1
2
?
1
2
m2
?m?1
(m?N)
的定义域、值域,并判断其单调性



间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
经典考题:
32
y?x?2x?x?2
的零点. 例26.求函数



例27. 求函数f(x)=lnx+2x -6的零点个数.



3
2?x
x
(x,y)
例28.设函数
y?x

y?2
的图象的交点为
00
,则
0
所在 的区间是
( )
1)
;B.
(1,2)
;C.
( 2,3)
;D.
(3,4)
A.
(0,


课后作业:
一、选择题:

(1)函数
f(x)??log
2< br>x

g(x)?2
?x
在同一直角坐标系下的图象大致是下图中的( )
y
1
1
O
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
x

(A)


(B)

(C)

(D)

?
a
x
,x?1,
?
(2)已知函数
f(x)?
?

R
上是增函数, 则实数
a
的取值范围
a
?
(4?)x?2,x

1 ,
?2
是( )
(A)
(1,??)



(B)
(1,8)
(C)
(4,8)
(D)
[4,8)

(3)已知
a?10
log
2
0.5
,b?10
log
3
0.6
,c?()
lg0.7< br>,
则( )
(A)
a?b?c



1
10
(B)
a?c?b
(C)
c?b?a
(D)
c?a?b




4k?3
2
?
?8(x?)?2,x?[2k?2,2k?1),
?
?
2
(4 )已知函数
f(x)?
?
(其中
k?Z
)的定义
4k?1< br>?
8(x?)
2
?2,x?[2k?1,2k),
?
?21
域为
R
,则函数
y?

f(x)
的图象在区 间
[?2,4]
上所有交点的横坐标之
1?x
和为( )
(A)2 (B)4

(C)6 (D)8
11?x
(5)已知 函数
y?f(x)及y?g(x),且g(x)?[f(x?)?1]?ln
为奇函数.则下< br>21?x
列说法正确的是( )
1
(A)
f(x?)为定义域上的奇函数
(B)
f(x)为定义域上的偶函数

2
11
(C)
f(x )
的图像关于
(,)1
中心对称 (D)
f(x)
的图像关于直线
x??
22
对称

(6)函数
f(x)
的定义域为
D
,若满足:①
f(x)

D
内是单调函数;②存在
b
?
?D

?
a?b
?
使得
f(x)

?
a,b
?
上的 值域也是
?
a,b
?
,则称
y?f(x)

?a,
闭函数. 若
f(x)?k?x
是闭函数,则实数
k
的取值范围是
1111
(A)
(?,??)
(B)
[?,??)
(C)
[?,?)
(D)
4224
1
(?,0]

4


( 7)定义在
R
上的函数
f(x)
满足
f(x)?
?
?
log
2
(1?x),x≤0,

f(2009)
的值为
f(x?1)?f(x?2),x?0.
?
( )
(A)
?1
(B)
0
(C)
1
(D)
2


(8)定 义在
R
上的函数
f(x)
满足:①
f(0)?0
,②
f(x)?f(1?x)?1
,③
x111
且当
0?x
1
?x
2
?1
时,
f(x
1
)?f(x
2
)
,则
f()?f()
等于( )
f()?f(x)

3238
321
A.1 B. C. D.
43
2

?
(a?5)x?2,x?2,< br>(9)若函数
f(x)?
?
2
对任意
x
1
,x
2
?
R
(x
1
?x
2
)
,都 有
?
x?2(a?1)x?3a,x?2



f(x
1
)?f(x
2
)
?0
成立,则实数
a
的 取值范围为( )
x
1
?x
2
A.
(??,1]
B.
(1,5)
C.
[1,5)
D.
[1,4]


二、填空题:

(1)函数
f(x)
在R上为奇函数,且
f(x)?x?1,x?0
,则当
x?0

f(x)?
.



b< br>(2)已知
f(x)?x
2005
?ax
3
??8

f(?2)?10
,则
f(2)
= .
x



ax?1
(3)若
f(x)?
在 区间
(?2,+?)
上是增函数,则
a
的取值范围是 .
x?2



(4)已知
f(x)?x?1,g(x)?2
x
,h(x)??x?6,
设函数
F(x)?min{f(x),g(x), h(x)}
,则
F(x)
的最大值为 .


(5)已知
f(x)
是定义在区间
[?c,c]
上的奇函数,其图象 如下图所示,令
y
g(x)?af(x)?b
,则下列关于函数
g(x)的叙述正确的有
2
.
(将正确选项的序号都填上)
① 若
a?0

b?0
,则函数
g(x)
的图象关于原点对称;
②若
a?1

0?b?2
,则方程
g(x)?0
有 大于2的实数根;
③若
a?0,b?0
,则函数
g(?|x|)
的 图象关于
y
轴对称;
④若
a?1

b?2
时,则 函数
g(x)
的图象与
x
轴有2个交点.


( 6)若函数
f(x)?
-c
O
-
2
-
2
2
c
x
3?ax
1]
上是减函数,则实数
a
的取值范 围
(a?1)
在区间
(0,
a?1



是 .


三、解答题:

(1)二 次函数
f(x)
满足
f(x?1)?f(x)?2x
,且
f(0)? 1
.
(Ⅰ)求出
f(x)
的解析式;
(Ⅱ)若
x?(? ?,1]
时,
f(5
x
)?2
?5
x
?(1?m)
?
25
x
恒成立,实数
m
的取值范围.











n
,(2)设
f(x)
是定义在
R
上的函数,对任意实数< br>m
,都有
f(m)
?
f(n)?f(m?n)



x?0
时,
f(x)?1

(Ⅰ)证明:
f(0)?1

(Ⅱ)证明:当
x?0
时,
0?f(x)?1

(Ⅲ)若
f(x)

R
上的减函数,解关于
x
的不等式
f( x
2
?3ax?1)
?
f(?3x?6a?1)

1(a? R)
.






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