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高中数学人教版必修1知识点总结梳理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 18:18
tags:高中数学必修一

高中数学教学问题-高中数学选修3-3要学吗





一 集合
1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的对象的全体。
2、集合的中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。
3、集合的表示:
(1)用大写字母表示集合:A,B?
(2)集合的表示方法:
a、列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c??}
b、描述法:集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合,
c、维恩图:用一条封闭曲线的内部表示.
4、集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合
(2)无限集:含有无限个元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合
5、元素与集合的关系:(A;
注意:常用数集及其记法:
非负整数集:(即自然数集)N 正整数集: N*或 N+
整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R
6、集合间的基本关系
(1)“包含”关系—子集
定义:如果集合A的任何一个元素都是 集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称
集合A是集合B的子集。记作:(或BA)
注意:有两种可能(1)A是B的一部分;
(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
(2)“包含”关系—真子集
如果集合,但存在元素x(B且xA,则集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
(3“相等”关系:A=B “元素相同则两集合相等”,如果A(B 同时 B(A 那么A=B
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
(4)集合的性质
① 任何一个集合是它本身的子集,A(A
②如果 A(B, B(C ,那么 A(C
③如果AB且BC,那么AC
④有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
集合的运算

运算类型
交 集
并 集
补 集

定 义


由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’) 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作
‘A并 B’)
全集:一般,若一个集合含有我们所研究问题中的所有元素,我们就称这个集合为全集,记作:U
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子
集A的补集(或余集)记作,


韦恩图示




性 质
A ∩ A=A
A ∩Φ=Φ
A ∩B=BA
A ∩BA A ∩BB
A U A=A
A U Φ=A
A U B=B U A
A U BA
A U BB

AU(CuA)=U
A∩(CuA)=Φ.


二 函数
1.函数的概念:记法 y=f(x),x∈A.
2.函数的三要素:定义域、值域、对应法则
3.函数的表示方法:(1)解析法:(2)图象法:(3)列表法:
4.函数的基本性质
a、函数解析式子的求法
(1)代入法:(2)待定系数法:
(3)换元法:(4)拼凑法:
b、定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数大于等于零;
(3)对数式的真数必须大于零; (4)零次
幂式的底数不等于零;
(5)分段函数的各段范围取并集;
(6)如果 函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有


意义 的x的值组成的集合;
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
c、相同函数的判断方法;(定义域一致②对应法则一致
d.区间的概念:
e.值域 (先考虑其定义域)
5.分段函数
6.映射的概念
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意:函数是特殊的映射。
7、函数的单调性(局部性质)
(1)增减函数定义
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3)函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法: 取值; 作差; 变形; 定号; 结论.
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其
并集.
8、函数的奇偶性(整体性质)
(1)奇、偶函数定义
(2)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
(3)利用定义判断函数奇偶性的步骤:
a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点 对称;若是不对称,则是非奇非偶的函
数;若对称,则进行下面判断;
b、确定f(-x)与f(x)的关系;
c、作出相应结论:若f(-x) = f(x), 则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x),则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.首先看函数的定义域
是否关于原点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函数.
(4)函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。
(5)若已知是奇、偶函数可以直接用特值
9、 基本初等函数
一、一次函数
二、二次函数:二次函数的图象与性质,注意:二次函数值域求法
三、指数函数
(一)指数


1、有理指数幂的运算法则
2、根式的概念
3、分数指数幂
正数的分数指数幂的

(二)指数函数的性质及其特点
1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
2、指数函数的图象和性质
a>1
0



定义域 R
定义域 R

值域
值域

在R上单调递增
在R上单调递减

非奇非偶函数
非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1)
函数图象都过定点(0,1)


四、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(— 底数,— 真数,—
对数式)
两个重要对数:
常用对数:以10为底的对数;
自然对数:以无理数为底的对数的对数.
(二)对数的运算性质
如果,且,,,那么:
·+;
-;

注意:换底公式
(,且;,且;).


利用换底公式推导下面的结论
(1);(2).
(三)对数函数
1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
2、对数函数的性质:
a>1
0



定义域
定义域

值域为R
值域为R

在R上递增
在R上递减

函数图象都过定点(1,0)
函数图象都过定点(1,0)


五、幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数 的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象
下凸;当时,幂函数的图象上凸 ;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在
轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
10、方程的根与函数的零点
(1)函数零点的概念:对于函数 ,把使成立的实数叫做函数的零点。
(2)函数零点个数的求法:(代数法)求方程的实数根;(几何 法)对于不能用求根公式的
方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
(3)二次函数的零点:判断
(4)二分法可用来求变号零点.

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