高一数学必修1-4综合测试题 (1)

高一数学必修1-4综合测试题
共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷
（选择题 共60分）

一、选择题：本大题12小题，每小题5分 ，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
sin(
?
225)
的值是
?

B．
?
（ ）
A．
2

2
2

2
C．
1

2
D．
3

2
2．若直线经过A (2
A．45°
3
, 9)、B(4
3
, 15)两点, 则直线A B的倾斜角是（ ）
B．60° C．120° D．135°
3．幂函 数
f(x)
的图象过点
?
4,
?
，那么
f(8)< br>的值为 （ ）
?
?
1
?
2
?
A.
2
1
B. 64 C.
22
D.
4
64
4．为了得到函数
y?
sin(2
x?


A．向左平移
?
4
)
的图象，只需把函数
y?s in2x
的图象上所有的点（ ）
?
个单位长度
4
?
C．向左平移个单位长度
8
?
个单位长度
4
?
D．向右平移个单位长度
8
B．向右平移
5. 已知 a、b是非零向量且满足
(a?2b)?a
，
(b?2a)?b
，则a与b的 夹角是
??
2
?
5
?
B．C．D．
63

3

6

6．已知两直线m、n，两平面α、β，且
m?
?
,n ?
?
．下面有四个命题( )
A．
1）若
?

?
,则有m?n
； 2）
若m?n,则有
?

?
；
3）
若mn,则有
?
?
?
； 4）
若
?
?
?
,则有mn
．
其中正确命题的个数是
A．０ B．１ C．2 D．3
7．若直线
l
1
:
ax?
(1
?a
)
y ?
3
?
0
与直线
l
2
:(a?1)x?(2a?3 )y?2?0
互相垂直，则
a
的值是
A.
?3




B. 1 C. 0或
?
3

2
D. 1或
?3

8.有一个几何体的三视图及 其尺寸如下（单位
cm
），则该几何体的表面积及体积为：
A.
24
?
cm
，
12
?
cm
B.
15
?
cm
，
12
?
cm
C.
24
?
cm
，
36
?
cm
D.以上都不正确
x2
2323

5
23

5
6
正视图
5
6
侧视图
5

9.设函数
f(x)?3?x
，则函数
f(x)
有零点的区间是
A.
?
0,1
?
B.
?
1,2
?

C.
?
?2,?1
?
D.
?
?1,0
?

10. 3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是
2111
A. B. C. D.
3236
俯视图
11. 已知函数
f
?
x
?
?2x
2
?mx?5
，
m?R
，它在
(??,?2]
上单调递减，则
f
?
1
?
的取值范围是（ ）
A.

f(1)?15
B.

f(1)?15
C.

f(1)?15
D.
f(1)?15

12. 对于向量
a,b,e
及实数x,y,x
1
,x
2
,
?
，给出下列四个条件：
①
a?b?3e
且
a?b?5e
； ②
x
1
a?x
2
b?0

③
a=
?
b(b?0)
且
?
唯一； ④
xa?yb?0 (x?y?0)

其中能使
a
与
b
共线的是
A．①② B．②④

C．①③

D．③④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．函数
f(x)
?
1
的定义域是_________ ；
log
2
(1
?
x)
14.过点（1，0）且与直线
x?2y?2?0
平行的直线方程是 ；
15. 在区间
[?2,3]
上任取一个实数，则该数是不等式
x?1
解的概率为 .
16．已知函数
y?log
a
(x?3)?
则
b
= 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
2
8
x
（
a?0,a?1
）的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)?3?b
的图像上，
9

17.（本小题满分12分）
已知向量a = (－1,2)，b = (1,1)， t∈R.
（I）求cos；
（II）求|a + tb|的最小值及相应的t值.


18. （本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N、G分别是A
1
A，D
1
C，AD的中点．求
证：
（Ⅰ）MN（本小题满分12分） 某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品
的销售单价
x
元与日销售量
y
件之间有如下关系：
销售单价
x
（元）
日销售量
y
(件)
30
60
40
30
45
15
50
0
B
A
G
B
1
M
C
1
N
D
C
A
1
D
1
（Ⅰ）根据表中提供的数据确定
x
与
y
的一个函数关系式
y?f
?
x
?
；
（Ⅱ）设经营此商品的日销售利润为
P
元，根据上述关系式写出
P
关于
x
的函数关系式，并指出销售单价< br>x
为多
少时，才能获得最大日销售利润。



20．（本小题满分12分）
做投掷2颗骰子试验，用（x，y）表示点P 的坐标，其中x表示第1颗骰子出现的点数，y表示第2颗
骰子出现的点数.
（I）求点P在直线y = x上的概率；
（II）求点P不在直线y = x + 1上的概率；
（III）求点P的坐标（x，y）满足
16
?x?y?
25
的概率.
22


21．（本小题满分12分）
设x∈R，函数< br>f
(
x
)?cos(
?
x
?
?
)(
?
?0,?
（I）求
?
和
?
的值；
（II）在给定坐标系中作出函数
f(x)在[0,
?
]
上的图象；
??
3
?
?
?0)
的最小正周期为
?
,
且f
()?.

242

（III）若
f(x)?
2
2
,求x
的取值范围.













22.（本小题满分14分）
已知函数
f(x)
?
1
x
?
log
1
?
x
2
1
?
x
，
（Ⅰ）求
f(x)
的定义域；
（Ⅱ）判断并证明
f(x)
的奇偶性；












参考答案及评分标准
一、选择题：ABADB CDADA CC
二、填空题：13.
{x|x?1且x?0}
14.
x?2y?1?0
15.
?
5
16.
?1

三、解答题：
17． 解：（I）
cos?
a
?
b
?
a
?
b
?
1?
2110
|a|
?
|b|
?
1
?
4
?
1
?
1
?
10
?
10
………… 6分

（II）
|a?tb|
?
19
2(
t?
)
2
?
，
22
…………10分 < br>当
t??时
,|
a?tb
|
取最小值
1
2< br>932
?
.
…………12分
22
A
1
B
1
M
18、证明：（Ⅰ）取CD的中点记为E，连NE，AE．
由N，E分别为CD
1
与CD的中点可得
1
NE∥D
1
D且NE=D
1
D， ………………………………2分
2
D
1
C
1
N
A
G
D
C
又AM∥D
1
D且AM=D
1
D… ……………………………4分
所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形
所以MN∥AE， 又AE
?
面ABCD,所以MN∥面ABCD……6分
（Ⅱ）由AG＝DE ，
?BAG??ADE?90?
，DA＝AB
可得
?EDA
与
?GAB
全等……………………………8分
所以
?ABG??DAE
，
又
?DAE??AED? 90?，?AED??BAF
，所以
?BAF??ABG?90?，

所以
AE?BG
， ………………………………………………10分
又
BB
1
?AE
, 所以
AE?面B
1
BG
，
又MN∥AE，所以MN⊥平面B
1
BG …………………………………12分 < br>19．解：（Ⅰ）设
f
?
x
?
?kx?b
，………… ……………………2分
则
?
B
1
2
?
60
?
30k
?
b
?
k
??
3
，解得：?
………………………………5分
?
30
?
40k
?
b
?
b
?
150
?f
?
x
???3x?150,30?x?50
检验成立。………………………………6分
（Ⅱ ）
P?
?
x?30
?
?
?
?3x?150
?
??3x?240x?4500,30?x?50
……………9分
2
Q对 称轴
x??
240
?40?
?
30,50
?
……… ………………………11分
2
?
?
?
3
?
?当销售单价为40元时，所获利润最大。………………………………12分
20.（本小题满分12分）
解：每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6=36个.
（I）记“点P在直线y = x上”为事件A，则事件A有6个基本事件，
即A={(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，
?P(A)?
61
?.

366
…………4分

（II）记“点P在直线y = x + 1上”为事件B，则“点P在直线y = x + 1上”为事件
B
，其中事件
B
有5个
基本事件.
即
B?{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}
，

?P(B)?1?P(B)?1?
531
?.

3636
22
…………8分
（III）记“点P坐标满足
16
?x?y?
25
”为事件C，则事件C有7个基本事件.
即C = {(1,4)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，

?P(C)?
7
.

36
…………12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）周期
T
?
2
?
?

?
?
，
…………2分
?
?
?2
，
???
3
?f
()
?
cos(2
??
?< br>)
?
cos(
?
?
)
??
sin
?
?
,
4422

?
???
?
?
0 ,
2
?
?
??
.

3
?
…………4分
（II）
?f
(
x
)
?
co s(2
x?
?
3
)
，列表如下：
0
2
x?
x
?
3

?
?

3
0
?

2
5
?

12
0
π
3
?

2
11
?

12
0
5
?

3
π
?

6
1
2
?

3
－1 f(x)
图象如图：



1

2
1

2

…………8分
（III）
cos(2x?
?
3
)?
2
，
2?
2
k
?
?
2k
?
?
k
?< br>?
?
4
?
2
x?
?
3
?
2
k
?
?
?
4
…………10分
?
?< br>12
?2x?2k
?
?
7
?
，
12
…………11分
…………12分
24
?x?k
?
?
7
,k?Z
，
24< br>?x
的范围是
{x|k
?
?
?
24
?x?k
?
?
7
?
,k?Z}.

24
?
x
?
0,
?
22解：（Ⅰ）函数
f(x)
有意义，需
?
1
?
x
………………………………4分
?
0,
?
?
1
?
x
解得
?1?x?1
且
x?0
，
∴函数定义域为
x?1?x?0或0?x?1
；………………………………6分
（Ⅱ）函数
f(x)
为奇函数，……………………………………………………8分 < br>∵f(-x)=
f(
?
x)
??
??
11
?
x11
?
x
?
log
2
???
log2
??
f(x)
, ……………12分
x1
?
xx1
?
x
又由（1）已知
f(x)
的定义域关于原点对称，
∴
f(x)
为奇函数； …………………………………………… 14分