创新设计高中数学必修一1.2.1

1.2.1 函数的概念
[学习目标] 1.理解函数的概念，了解构成函 数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求
一些简单函数的定义域、函数值.

知识点一 函数的概念
(1)函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个
函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域与值域：
函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数 的定义域，与x的值相对应的y值
叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显 然，值域是集合B的子集.
知识点二 函数的三要素
函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.
(1)定义域
定义域是自变量x的取 值集合.有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定
义域就是指能使这个式子有意义的所 有实数x的集合.
(2)对应关系
对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程 序”或者“方法”，是连接x与y
的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值 域{y|y＝f(x)且x∈A}
中唯一确定的y与之对应.
(3)值域
函数的值 域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也会
随之确定.
思考 (1)符号“y＝f(x)”中“f”的意义是什么？

(2)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(3)f(x)与f(a)有何区别与联系？
答 (1)符号“y＝f(x)”中“f”表示 对应关系，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样.
例如y＝f(x)＝x
2
中， “f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的平方，从而f(a)＝a
2
，
f(x ＋1)＝(x＋1)
2
，而函数y＝f(x)＝2x中，“f”表示的对应关系为因变量y等于 自变量x的
二倍，从而f(a)＝2a，f(x＋1)＝2(x＋1).
(2)这种看法不对.
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变 量，它是关系所施加的对象；
f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是 文字描述；y是
自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y ＝f(x)
仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外，还 常用
g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数.
(3)f(x)与f(a)的区别与联系 ：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变
量x的函数，一般情况 下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋
4，当x＝8时， f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数.
知识点三 函数相等
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.
思考 函数y＝x
2
＋x与函数y＝t
2
＋t相等吗？
答 相等，这两个 函数定义域相同，都是实数集R，而且这两个函数的对应关系也相同，因
此这两个函数相等.函数相等与 否与自变量用什么字母没有关系，只是习惯上自变量用x表
示.
知识点四 区间概念
区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：
定义
{x|a≤x≤b}
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a}
{x|x>a}
名称
闭区间
开区间
半闭半开区间
半开半闭区间


符号
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
[a，＋∞)
(a，＋∞)
数轴表示

{x|x≤a}
{x|xR




(－∞，a]
(－∞，a)
(－∞，＋∞)


取遍数轴上所有的值
思考 (1)对于区间[a，b]而言，区间端点a，b应满足什么关系？
(2)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(3)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
答 (1)若a，b为区间的左右端点，则a(2)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.
(3)“∞”读作“ 无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，
这一端必须是小括号.

题型一 函数概念的应用
例1 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤ 2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集
合N的函数关系的有( )

A.0个B.1个C.2个D.3个
答案 B
解析 ①错，x＝2时，在N中无元 素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯
一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3?N， 不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素
与之对应，不满足唯一性.
反思与感悟 1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A
中任意一个数 在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.
注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.
2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是
“一对一 ”或者是“多对一”而不能是“一对多”.
跟踪训练1 下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A.A?R，B?R，x
2
＋y
2
＝1
B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1

C.A＝R，B＝R，f：x→y＝
1

x－2
D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1
答案 B
解析 对于 A，x
2
＋y
2
＝1可化为y＝±1－x
2
，显然对任意x ∈A，y值不唯一，故不符合.
对于B，符合函数的定义.对于C,2∈A，但在集合B中找不到与之相 对应的数，故不符合.
对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.
题型二 判断是否为同一函数
例2 判断下列函数是否为同一函数：
?
?
1，x≥0，
|x|
(1)f(x)＝与g(x)＝
?

x
?
－1，x<0；
?

(2)f(x)＝xx＋1与g(x)＝x?x＋1?；
(3)f(x)＝x
2
－2x－1与g(t)＝t
2
－2t－1；
(4)f(x)＝1与g(x)＝x
0
(x≠0).
解 (1)f(x)的 定义域中不含有元素0，而g(x)的定义域为R，定义域不相同，所以二者不是
同一函数.
(2)f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同 ，所
以二者不是同一函数.
(3)尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但 它们的定义域相同，对应关系
相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此 二者为同一函数.
(4)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，因此二者不是同一函数.
反思与感悟 判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同.
(1)定义域和对应关系都相同，则两个函数相同；
(2)定义域不同，则两个函数不同；
(3)对应关系不同，则两个函数不同；
(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也 不一定相同，例如y＝x和y＝2x－1的定义
域和值域都是R，但不是同一函数；
(5)两个函数是否相同，与自变量用什么字母表示无关.
跟踪训练2 下列各组函数中，表示同一函数的是( )
x
2
－1
A.y＝x＋1与y＝
x－1
B.y＝x
2
与y＝(x＋1)
2

3
C.y＝(x)
3
与y＝x
D.f(x)＝(x)
2
与g(x)＝x
2

答案 C
题型三 求函数的定义域
例3 求下列函数的定义域：
?x＋1?
2
x＋1
(1)y＝－1－x；(2)y＝.
x＋1|x|－x
解 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
?
x＋1≠0，
?
x≠－1，
??
?
即
?

??
1－x≥0，x≤1.
??

所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.
(2)要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x，
∴x＜0.
∴函数的定义域为{x|x＜0}.
反思与感悟 1.当函数是由解析式给出时，求函数的定 义域就是求使解析式有意义的自变量
的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所 以偶次根号下的式子大于
或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如 果f(x)由几部分构成，那
么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际 背景，那么除符合
上述要求外，还要符合实际情况.
2.求函数的定义域，一般是转化为解不 等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其
结果必须用集合或区间来表示.
跟踪训练3 求下列函数的定义域：
?x＋1?
0
(1)y＝；
x＋2
(2)y＝2x＋3－
11
＋.
2－x
x
解 (1)由于0
0
无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，x>－2，所以x>－2且x≠－1.
?x＋1?
0
所以函数y＝的定义域为{x|x>－2，且x≠－1}.
x ＋2
2x＋3≥0，
?
?
(2)要使函数有意义，需
?
2－ x>0，
?
?
x≠0，
3
解得－≤x<2，且x≠0，
2
?
?
3
?
11
??
.
－≤x <2，且x≠0
所以函数y＝2x＋3－＋的定义域为x
?
2
x
??
2－x



题型四 求函数值

1
例4 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x
2
＋2(x∈R).
1＋x
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值.
111
解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
1＋x1＋2
3
又∵g(x)＝x
2
＋2，
∴g(2)＝2
2
＋2＝6.
(2)∵g(3)＝3
2
＋2＝11，
11
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
1＋11
12
反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义， 然后将变量代入解
析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g (x)]与g[f(x)]的区别.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝
(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].
x＋12＋1
3
解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
x＋22＋2
4
2
＋1
1＋1
2
2
?
3
5?
(2)f(1)＝＝，f[f(1)]＝f
?
3
?
＝＝.
28
1＋2
3
＋2
3


抽象函数定义域理解错误致误

例5 已知函数f(3x＋1)的定义域为[1,7]，求函数f(x)的定义域.
错解 因为f(3x＋1)的定义域为[1,7]，
即1≤3x＋1≤7，解得0≤x≤2，
所以f(x)的定义域为[0,2].
正解 令3x＋1＝t，则4≤t≤22，
即f(t)中，t∈[4,22]，
故f(x)的定义域为[4,22].
易错警示
错误原因
对定义域是自变
量x的取值范围
纠错心得 < br>(1)已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值
范 围为A，求x的取值范围.(2)已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义域，
x＋1.
x＋2

理解错误. 其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B ，求φ(x)的取值范围(值域)，此
范围就是f(x)的定义域.若不能正确理解φ(x)与x的关系 将导致错误.

跟踪训练5 若f(x)的定义域为[－3,5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域.
??
?
－3≤－x≤5
?
－5≤x≤3，
?
解 由f(x)的定义域为[－3,5]，得φ(x)的定义域需满足即
?

?
－3≤x≤5，
?
??
－3≤x≤5.

解得－3≤x≤3.
所以函数φ(x)的定义域为[－3,3].

1.下列图象中能表示函数y＝f(x)图象的是( )

答案 B
解析 由函数的概念知答案为B.
2.下列各组函数中表示同一函数的是( )
A.f(x)＝x与g(x)＝(x)
2

B.f(x)＝|x|与g(x)＝x(x>0)
C.f(x)＝2x－1与g(x)＝2x＋1(x∈N
*
)
x
2
－1
D.f(x)＝与g(x)＝x＋1(x≠1)
x－1
答案 D
解析 选项A，B，C中两个函数的定义域均不相同，
故选D.
3.函数f(x)＝x＋1＋
1
的定义域为________.
2－x
答案 {x|x≥－1且x≠2}
?
?
x＋1≥0
解析 由
?
，得x≥－1且x≠2.
?
2－x≠0
?

4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x＋1 )＝f(x)＋1，f(0)＝1，则f(5)＝________.
答案 6
解析 f(1)＝f(0)＋1＝1＋1＝2，f(2)＝f(1)＋1＝3，
f(3)＝f(2)＋1＝4，f(4)＝f(3)＋1＝5，f(5)＝f(4)＋1＝6.

5.已知函数f(x)＝x
2
＋x－1.
1
(1)求f(2)，f()；
x
(2)若f(x)＝5，求x的值.
解 (1)f(2)＝2
2
＋2－1＝5，
1＋x－x
2
111
f()＝
2
＋－1＝.
xx xx
2
(2)∵f(x)＝x
2
＋x－1＝5，∴x
2
＋x －6＝0，
∴x＝2，或x＝－3.

1.对函数相等的概念的理解：
(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值
域，因此 当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
(2)定义域和值 域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一
定相同.如y＝x与y＝3x 的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同
的函数.
2.区间实质上是 数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对
应的数、“＋∞”(正无穷大 )、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含
端点)等来表示的部分实数组成的 集合.如{x|a＜x≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞，b]是数集描
述法的变式.

一、选择题
1.下列四个图象中，是函数图象的是( )


A.①
C.①②③
答案 B
解析 由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图象，①③④是函数图象.
B.①③④
D.③④

2.设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数 f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象
可以是( )

答案 B
解析 A项中，当0中 ，－2≤x≤2时，每一个x都有唯一的y值与它对应，故它是函数的图象且是f(x)的图象；
C项中 ，－2≤x<2时，每一个x都有两个不同的y值与它对应，故它不是函数的图象；D项
中，－2≤x≤ 2时，每一个x都有唯一的y值与它对应，故它是某个函数的图象，但函数的
值域不是N＝{y|0≤y ≤2}，故它是某个函数的图象但不是f(x)的图象.
3.已知函数y＝f(x)的定义域为[－1 ,5]，则在同一坐标系中，函数f(x)的图象与直线x＝1的交
点个数为( )
A.0B.1C.2D.0或1
答案 B
解析 因为1在定义域[－1,5]上，
所以f(1)存在且唯一.
4.函数f(x)＝
A.(1，＋∞)
B.[0，＋∞)
C.(－∞，1)∪(1，＋∞)
D.[0,1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 因为f(x)＝
x
，所以x≥0且x≠1，故可知定义域为[0,1)∪(1，＋∞)，故选D.
x－1
x
的定义域为( )
x－1
5.若函数y＝x
2
－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( )
A.{－2,0,4}
9
C.{y|y≤－}
4
答案 A
解析 依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；
当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0.
所以函数y＝x
2
－3x的值域为{－2,0,4}.
B.{－2,0,2,4}
D.{y|0≤y≤3}

x－4
6.若函数f(x)＝
2
的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
mx＋4x＋3
A.(－∞，＋∞)
4
C.(，＋∞)
3
答案 C
解析 (1)当m＝0时，分母为4x＋3，此时定义域不为R，
故m＝0不符合题意.
(2)当m≠0时，由题意，得
?
m≠0，
?
4
?
解得m>.
3
?
?
Δ＝16－4×3m<0，
4
B.(0，)
3
4
D.[0，)
3

4
由(1)(2)，知实数m的取值范围是(，＋∞).
3
二、填空题
7.用区间表示下列集合：
1
(1){x|－≤x<5}＝________；
2
(2){x|x<1或21
答案 (1)[－，5)；(2)(－∞，1)∪(2,3]
2
11
解析 (1)注意到包 括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－≤x<5}＝[－，
22
5). < br>(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2x
?
8.已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f
?
?
2
?
＋f(x－1)的定义域是________.
答案 (0,2)
x
?
?
－1＜
2
＜1，
解析 由题意知
?

?
?
－1＜x－1＜1，
?
?
－2＜x＜2，
即
?

?
0＜x＜2.
?


∴0＜x＜2.
1
9.设f(x)＝2x
2
＋2，g( x)＝，则g[f(2)]＝________.
x＋2
答案
1

12
解析 ∵f(2)＝2×2
2
＋2＝10，

11
∴g[f(2)]＝g(10)＝＝.
10＋2
12< br>10.已知f(x)＝x
2
＋2x＋4(x∈[－2,2])，则f(x)的值域为__ ______.
答案 [3,12]
解析 函数f(x)的图象对称轴为x＝－1，开口向 上，而－1在区间[－2,2]上，所以f(x)的最小
值为f(－1)＝3，最大值为f(2)＝12 ，所以f(x)在[－2,2]上的值域为[3,12].
三、解答题
11.已知函数f(x)＝x＋3＋
(1)求函数的定义域；
2
(2)求f(－3)，f()的值；
3
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值.
?
x＋3≥0，
?
解 (1)由
?
得函数的定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞).
?
x＋2≠0，
?
1
.
x＋2

2333
(2)f(－3)＝－1，f()＝＋.
383
(3)当a>0时，f(a)＝a＋3＋
1
，
a＋2
1
.
a＋1
a－1∈(－1，＋∞)，f(a－1)＝a＋2＋
12.求下列函数的值域.
(1)y＝x－1(x≥4)；
(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(3)y＝x＋2x－1；
(4)y＝x
2
－2x－3(x∈[－1,2]).
解 (1)∵x≥4，∴x≥2，∴x－1≥1，∴y∈[1，＋∞).
(2)y＝{3,5,7,9,11}.
1
(3)方法一 函数y＝x＋2x－1的 定义域为[，＋∞)，易知在定义域内y随x的增大而增大，
2
11
故函数在x＝时取 最小值，无最大值，故值域为[，＋∞).
22
1＋u
2
方法二 设u＝2x－1，则u≥0，且x＝，
2
1＋u
2
11
于是，y＝ ＋u＝(u＋1)
2
≥，
222
1
∴y＝x＋2x－1的值域为[，＋∞).
2

(4)y＝x
2
－2x－3＝(x－1)
2
－4，
作出其图象可得值域为[－4,0].
x
2
13.已知函数f(x)＝.
1＋x
2
1
??
1
?
的值； (1)求f(2)＋ f
?
，f(3)＋f
?
2
??
3
?
1?
(2)求证f(x)＋f
?
?
x
?
是定值.
x
2
(1)解 ∵f(x)＝，
1＋x
2
?
1< br>?
2
?
2
?
1
?
2
∴f(2)＋f
?
＝＝1.
2
＋
?
2
?
1＋2
1
?
2
?
1＋
?
2
?
2
?
1
?
2
?
3
?
1
?
3
f(3) ＋f
?
＝＝1.
2
＋
?
3
?
1＋31
?
2
?
1＋
?
3
?
2
?< br>1
?
2
?
x
?
1
?
x
(2 )证明 f(x)＋f
?
＝＋
?
x
?
1＋x
2< br>1
2
?
1＋
?
?
x
?
2
x
2
＋1
x
2
1
＝＋＝＝1.
1＋x
2
x
2
＋1x
2
＋1