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高一数学必修一专题复习

第一章 集合与函数概念
知识架构















列

举

法





集合与函数概念
集合 映射
函数
集
合
表
示
法
集
合
的
关
系
集
合
的
运
算
映
射
的
概
念
函
数
及
其
表
示
函
数
基
本
性
质
描
述
法
图
示
法
包
含
相
等
交
集
并
集
补
集
子集与真子集
函
数
的
概
念
函
数
的
表
示
法
单
调
性
与
最
值
函
数
的
奇
偶
性







第一讲 集合
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★知识梳理
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；
3.集合中元素与集合的关系：


文字语言
属于
不属于
符号语言
?

?

正整数集
N
?
或
N
?

4.常见集合的符号表示
数集
符号
自然数集 整数集
N

Z

有理数集
Q

实数集 复数集
R

C



二： 集合间的基本关系
表示
关系
相等
都相同
子集
真子集
A中任意一元素均为B中的元
素
A中任意一元素均为B中的元
素，且B中至少有一元素不是
A的元素
空集 空集是任何集合的子集，是任
何非空集合的真子集
文字语言

集合A与集合B中的所有元素
符号语言
A?B
且
B?A
?

A?B

A?B
或
B?A

AB

?
?A
，
?
B
（
B?
?
）
三：集合的基本运算
①两个集合的交集:
A?B
=
xx?A且x?B
;
②两个集合的并集:
A?B
=
xx?A或x?B
;
③设全集是U,集合
A?U
,则
C
U
A?
xx?U且x?A

交 并 补

?
?
?
?
??
?

A?B?{x|x?A,
且
x?B}

?

A?B?{x|x?A,
或
x?B}

C
U
A?
?
xx?U且x?A
?

- 2 - 57

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方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.

★重、难点突破
重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握 集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合
的交、并、补三种运算。
重难点：
1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，
在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；
2．集合的表示法
（1）列举 法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性
质，如
xy?f (x)
、
yy?f(x)
、
(x,y)y?f(x)
等的差别，如果 对集合中代表元素认
识不清，将导致求解错误：
??????
?
x
2
y
2
?
?
xy
?
问题：已知集合
M?
?
x??1
?
,N?
?
y??1
?
,则M ?N=
（ ）
?
32
?
?
94
?
A.
?
；B.
?
(3,0),(0,2)
?
；C.
?
?3,3
?
；D.
?
3,2
?
x
2
y
2
xy
??1
，
集合
N
表示直线
??1
，由于这直
[错解]误以为集合
M
表示椭圆
32
94
线过椭圆的两个顶点，于是错选
B
[正解] C； 显然
M?x?3?x?3
，
N?R
，故
M?N?[?3,3]

??
(3)Venn
图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运 算时常用
Venn
图。
3．集合间的关系的几个重要结论
（1）空集是任何集合的子集，即
?
?A

（2）任何集合都是它本身的子集，即
A?A

（3）子集、真子集都有传递 性，即若
A?B
，
B?C
，则
A?C

4．集合的运算性质
（1）交集：①
A?B?B?A
；
②
A?A?A
；
③
A?
?
?
?
；
④
A?B?A
，
A?B?B
⑤
A?B?A?A?B
；
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（2）并集：①
A?B?B?A
；
②
A?A?A
；
③
A?
??A
；
④
A?B?A
，
A?B?B
⑤
A?B? A?B?A
；
（3）交、并、补集的关系
①
A
?
CU
A?
?
；
A
?
C
U
A
?< br>U

②
C
U
(A
?
B)
?
(C
U
A)
?
(C
U
B)
；
C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B)

★热点考点题型探析
考点一：集合的定义及其关系
题型1：集合元素的基本特征
[例1]（2008年江西理）定义集合运算：
A?B?
?
z|z?xy,x ?A,y?B
?
．设
A?
?
1,2
?
,B??
0,2
?
，则集合
A?B
的所有元素之和为（ ）
A．0；B．2；C．3；D．6
xy
在值就是
A?B
[解题思路 ]根据
A?B
的定义，让
x
在
A
中逐一取值，让
y
在
B
中逐一取值，
的元素
[解析]：正确解答本题,必需清楚集合
A?B
中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知
A?B
=
?0,2,4
?
，故应选择D
【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题 因为背景公平，所以成为高考的一个热点，
这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的 互异性。
题型2：集合间的基本关系
[例2]．数集
X?
?
(2 n?1)
?
,n?Z
?
与
Y?
?
(4k?1)?
,k?Z
?
之的关系是（ ）
A．
X
Y
；B．
Y
X
； C．
X?Y
；D．
X?Y

[解题思路]可有两种思路：一是将X
和
Y
的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之
间的关系进行判 断。
[解析] 从题意看，数集
X
与
Y
之间必然有关系，如果A成 立，则D就成立，这不可能；
同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C
【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，
逐个进行检 验，不方便进行检验的，就设法举反例。
[新题导练]
1．第二十九届夏季奥林匹克运动 会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥
运会比赛的运动员}，集合B={参加 北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比
赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）
A．
A?B
B.
B?C
C.
A?B?C
D.
B?C?A

[解析] D；因为全集为
A
，而
B?C
=全集=
A

2．( 2006?山东改编）定义集合运算:
A?B?z?xy?xy,x?A,y?B
,设集合?
22
?
?
,
B?
?
2,3
?
,则集合
A?B
的所有元素之和为
A?
?
1,0
- 4 - 57

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[解析]18，根据
A?B
的定义 ，得到
A?B?
?
0,6,12
?
，故
A?B
的所 有元素之和为18
3．(2007·湖北改编）设
P
和
Q
是两个集 合，定义集合
P?Q?
?
x|x?P,且x?Q
?
，如果
P ?
?
xlog
3
x?1
?
，
Q?
?
xx?1
?
,那么
P?Q
等于
[解析] < br>x1?x?3
；因为
P?xlog
3
x?1?(0,3)
，< br>Q?xx?1?(?1,1)
，所以
??????
P?Q?(1,3)

4．研究集合
A?xy?x?4
，
B?yy?x?4
，
C?(x,y)y?x?4
之间的关系
[解析]
A
与
C
，
B
与
C
都无 包含关系，而
B
?
2
??
2
??
2
?A
；因为
A?xy?x
2
?4
表示
??
y? x
2
?4
的定义域，故
A?R
；
B?yy?x
2< br>?4
表示函数
y?x
2
?4
的值域，
B?[?4,? ?)
；
C?(x,y)y?x
2
?4
表示曲线
y?x
2
?4
上的点集，可见，
B
与
C
，
B
与
C
都无包含关系
考点二：集合的基本运算
[例3] 设集合
A ?xx?3x?2?0
，
B?xx?2(a?1)x?(a?5)?0

（1） 若
A?B?
?
2
?
，求实数
a
的值；
（ 2）若
A?B?A
，求实数
a
的取值范围若
A?B?
?2
?
，
[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。
[解析]因为
A?xx?3x?2?0?
?
1,2
?
， < br>2
??
??
A
，而
A
?
2
??22
?
??
（1）由
A?B?
?
2
?
知，
2?B
，从而得
2
2
?4(a?1)?(a
2
?5)?0
，即
a
2
?4a?3?0
，解得
a??1或
a??3

2
当
a??1
时，
B?xx?4 ?0?
?
2,?2
?
，满足条件；
2
当
a??3
时，
B?xx?4x?4?0?
?
2
?
，满足条件
??
??
所以
a??1
或
a??3

（2 ）对于集合
B
，由
??4(a?1)?4(a?5)?8(a?3)

因为
A?B?A
，所以
B?A

①当
??0
，即
a??3
时，
B?
?
，满足条件；
②当
? ?0
，即
a??3
时，
B?
?
2
?
，满足 条件；
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22

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③当
??0
，即a??3
时，
B?A?
?
1,2
?
才能满足条件， < br>5
?
?
1?2??2(a?1)
?
a??
由根与系数 的关系得
?
?
?
2
，矛盾
2
?
1?2? a?5
?
a
2
?7
?
故实数
a
的取值范围 是
a??3

【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进 行化简。同时，要
注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.
[新题导练]
6．若集合
S?yy?3,x?R
，
T?yy?x ?1,x?R
，则
S?T
是（ ）
A.
S
；B.
T
；C.
?
；D. 有限集
[解析] A；由题意知，集合
S?yy?3,x?R
表示函数
y?3
x
,x?R
的值域，故 < br>集合
S?(0,??)
；
T?yy?x?1,x?R
表示函数
y?x
2
?1,x?R
的值域，
?
x
??
2?
?
x
?
?
2
?
T?[?1,??)
，故
S?T?S

7．已知集合
M?(x,y)x?y?2
，
N?(x,y)x?y?4
，那么集合
M?N
为（ ）
A.
x?3,y??1
；B.
(3,?1)
；C.
?
3,?1
?
；D.
?
(3,?1)
?

[解析]D；
M?N< br>表示直线
x?y?2
与直线
x?y?4
的交点组成的集合，A、B、C 均不合题
意。
2
8．集合
A?{x|ax?1?0}
,
B ?x|x?3x?2?0
,且
A?B?B
,求实数
a
的值.
????
??
1
；先化简B得,
B?
?
1,2< br>?
.由于
A?B?B
?A?B
,故
1?A
或
2?A
.
2
1
因此
a?1?0
或
2a?1?0< br>,解得
a?1
或
a?
.
2
容易漏掉的一种情况是:
A??
的情形,此时
a?0
.
1
故所求实数
a
的值为
0,1,
.
2
[解析]
0,1,
22
备选例题1：已知
M?yy?x ?1
，
N?(x,y)x?y?1
，则
M?N
中的元素个数是
??
??
（ ）
A.
0
；B.
1
；C.
2
；D.无穷多个
[解析]选A;集合
M
表示函数
y?x?1
的值域,是数集,并且
M?R
,而集合
N表示满足
x
2
?y
2
?1
的有序实数对的集合,即表 示圆
x
2
?y
2
?1
上的点,是点集。所以，集合
M
与集合
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N
中的元素均不相同，因而
M?N?
?
，故其中元素的个数为0 < br>[误区分析]在解答过程中易出现直线
y?x?1
与圆
x
2
? y
2
?1
有两个交点误选C；或者误认
为
y?x?1
中y?R
，而
x
2
?y
2
?1
中
?1? y?1
，从而
M?N?[?1,1]
有无穷多个解而选
D。注意，明确集合中 元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。
备选例题2：已知集合
A
和集合
B
各有12个元素，
A?B
含有4个元素，试求同时满足 下面
两个条件的集合
C
的个数：
(Ⅰ)
C
A?B
，且
C
中含有3个元素；
(Ⅱ)
C?A?
?
（
?
表示空集）
[解法一]因 为
A
、
B
各有12个元素，
A?B
含有4个元素，
因此，
A?B
的元素个数是
12?12?4?20

3
故满足条件(Ⅰ)的集合
C
的个数是
C
20
< br>3
上面集合中，还满足
C?A?
?
的集合
C
的个数是
C
8

33
因此，所求集合
C
的个数是
C
20
?C
8
?1084

[解法二]由题目条件可知，属于
B
而不属于
A
的元素个数是
12?4?8

1因此，在
A?B
中只含有
A
中1个元素的所要求的集合
C
的个数为
C
12
C
8
2

21
含有A
中2个元素的所要求的集合
C
的个数为
C
12
C
8
3
含有
A
中3个元素的所要求的集合
C
的 个数为
C
12

12213
所以，所求集合
C
的个 数是
C
12
C
8
?C
12
C
8
? C
12
?1084

★抢分频道
基础巩固训练：
1． （09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集
U
A
B
U?R, A?
?
xx(x?3)?0
?
,B?
?
xx??1
?
, 则右图中阴
影部分表示的集合为 ( )
A．
xx?0；B．
x?3?x?0
；C．
x?3?x??1
；D．
xx?? 1

[解析]C；图中阴影部分表示的集合是
A?B
，而
A?x?3 ?x?0
，故
??
??
??
??
A?B?
?x?3?x??1
?

??
2. （韶关09届高三摸底考）已知
A?xx(1?x)?0,B?xlog
2
x?0
则
A?B
=
A．
(0,1)
；B．
(0,2)
；C．
(??,0)；D．
(??,0)?(0,??
?

[解析] A；因为
A? x0?x?1
，
B?x0?x?1
，所以
A?B?x0?x?1

3. （苏州09届高三调研考）集合
{?1,0,1}
的所有子集个数为
3
[解析]8；集合
{?1,0,1}
的所有子集个数为
2?8
????
??????
4.（09年无锡市高三第一次月考）集合
A< br>中的代表元素设为
x
，集合
B
中的代表元素设为
y
，
若
?x?B
且
?y?A
，则
A
与
B
的关系是
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[解析]
B?A
或
A?B??
；由子集和交集的定义即可得到结论
5．(2008年天津)设集合< br>S?x|x?2?3,T?
?
x|a?x?a?8
?
,S?T?R，则
a
的取值
范围是（ ）
A．
?3?a??1
；B．
?3?a??1

C．a??3
或
a??1
；D．
a??3
或
a??1

[解析]A；
S?x|x?2?3?xx??1或x?5
，
T?
?
x|a?x?a?8
?
，
S?T?R

所以
?< br>??
????
?
a??1
，从而得
?3?a??1

?
a?8?5
6．
P?m?1?m?0
,
Q?m?Rmx? 4mx?4?0对于任意实数x恒成立

则下列关系中立的是( )
A．
P
Q
; B．
Q
P
;C．
P?Q
;D．
P?Q?
?

[解析]A；当
m?0
时，有
?
??
?
综合提高训 练：
2
?
?
m?0
?
??(4m)?4?m?(?4)? 0
2
，即
Q?
?
m?R?1?m?0
?
；当m?0
时，
mx
2
?4mx?4?0
也恒成立，故
Q?
?
m?R?1?m?0
?
，所以
P
Q

1,2,3,4,5
?
，
Q?
?
3,4,5,6,7
?
，记 7.设
f(n)?2n?1(n?N)
，
P?
?
?
?n?N
?
f(n)?Q
，则
(P
??
?
?
CQ
?
?
?
?
n?Nf(n)?P
?
，
Q
P
N
)
?
(Q
?
C
N
P)
＝( )
??
1,2
?
;
C.
?
3,4,5
?
; D.
?
1,2,6,7
?

A.
?
0,3
?
; B.
?
?
?
?
C Q
?
?
?
?
?
?
0,1,2
?
，
Q
[解析] A；依题意得
P
0
?
，
1,2,3
?
，所以
(P
N
)?
?
?
?
CP
?
(Q3
?
，故应选
A
N
)?
?
8．（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义 A?B?{xx?A?B且x?A?B}
，已知A=
{x|y?2x?x
2
}
，B=
{y|y?2
x
,x?0}
，
则A×B等于（ ）
A．
?
0,??
?
；B．
?
0,1
?
?
?
2,??
?
；C．
?
0,1
?
?
?
2,??
?
；D．
?
0,1
?
?( 2,??)

2x
[解析]D；
2x?x?0?0?x?2
，∴A= [0，2]，
x?0?2?1
，∴B=（1，＋∞），
∴A∪B=[0, ＋∞）， A∩B=（1，2]，则A×B＝
?
0,1
?
?(2,??)



- 8 - 57

高一数学必修一专题复习
第2讲 函数与映射的概念
★
知识梳理
1．函数的概念
(1)函数的定义：
设
A 、B
是两个非空的数集，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中的 每一个数
x
，在
集合
B
中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对 应叫做从
A
到
B
的一个函数，通常记为
y?f(x),x?A

(2)函数的定义域、值域
在函数
y?f(x),x?A
中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围
A
叫做
y?f(x)
的定义域；与
x
的值相对应的
y
值叫做函数值，函数值的集合
?f(x)x?A
?
称为函数
y?f(x)
的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则
2．映射的概念
设
A、B
是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中的任意元素， 在集合
B
中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从
A
到< br>B
的映射，通常记为
f:A?B

★
重、难点突破
重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域
难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域
重难点：1．关于抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误
问题1：已知函数
y?f(x)
的定义域为
[a，b]
，求
y?f(x?2)
的定义域
[误解]因为函数
y?f(x)
的定义域为
[a，b]
， 所以
a?x?b
，从而
a?2?x?2?b?2

故
y?f(x?2)
的定义域是
[a?2,b?2]

[正 解]因为
y?f(x)
的定义域为
[a，b]
，所以在函数
y?f( x?2)
中，
a?x?2?b
，
从而
a?2?x?b?2
，故
y?f(x?2)
的定义域是
[a?2,b?2]

即本题的实质是求
a?x?2?b
中
x
的范围
问题2：已 知
y?f(x?2)
的定义域是
[a，b]
，求函数
y?f(x)< br>的定义域
[误解]因为函数
y?f(x?2)
的定义域是
[a，b]
，所以得到
a?x?2?b
，从而
- 9 - 57

高一数学必修一专题复习
a?2?x?b?2
，所以函数
y ?f(x)
的定义域是
[a?2,b?2]

[正解]因为函数
y? f(x?2)
的定义域是
[a，b]
，则
a?x?b
，从而
a?2?x?2?b?2

所以函数
y?f(x)
的定义域是
[a?2,b?2]

即本题的实质是由
a?x?b
求
x?2
的范围
即
f(x)
与
f(x?2)
中
x
含义不同
2． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方 法，如求函数
y??sin
2
x?2cosx?4
，可变为
y??s in
2
x?2cosx?4?(cosx?1)
2
?2
解决
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数
y?log
1
(?x
2
?2x?3)
就是利用函数
y?log
1
u
和
u??x
2
?2x?3
的值域来求。
2
2
2x?1
的值域
2
x?2x?2
2x?11
由
y?
2
得
yx
2
?2(y?1)x?2y?1? 0
，若
y?0
，则得
x??
，所以
y?0
是
2
x?2x?2
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数
y ?
函数值域中的一个值；若
y?0
，则由
??[?2(y?1)]
2
?4y(2y?1)?0
得
3?133?13
3?133?13
?y ?且y?0
，故所求值域是
[,]

22
22
2cosx?3
的值域，因为
cosx?1
2cosx?3555
y??2??(??,?]
，故 ，而< br>cosx?1?(0,2]
，所以
?
cosx?1cosx?1cosx?12
1
y?(??,?]

2
3x
（5）利用基本不等式求值域 ：如求函数
y?
2
的值域
x?4
（4）分离常数法：常用来求“分 式型”函数的值域。如求函数
y?
当
x?0
时，
y?0
；当
x?0
时，
y?
3
x?
4
x
，若
x?0
，则
x?
44
?2x??4

xx
若
x?0
，则
x?
444
33
??(?x?)?2(?x)?()? 4
，从而得所求值域是
[?,]

44
x?x?x
42（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数
y?2x?x?2(x?[?1,2])
的值 域
3242
因
y?8x?2x?2x(4x?1)
，故函数
y?2 x?x?2(x?[?1,2])
在
(?1,?)
上递减、在
1
2< br> - 10 - 57

高一数学必修一专题复习
111 15
(?,0)
上递增、在
(0,)
上递减、在
(,2)
上 递增，从而可得所求值域为
[,30]

2228
（7）图象法：如果函数的 图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些
分段函数的值域常用此法）。
★
热点考点题型探析
考点一：判断两函数是否为同一个函数
[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）
f(x)?
（2）
f(x) ?
x
2
，
g(x)?
3
x
3
；
x
x
，
g(x)?
?
x?0,
?
1
?1x?0;
?
（3）
f(x)?
2n?1
x
2n?1
，
g(x)?(
2n?1
x)
2n?1
（n∈N
*
）；
（4）
f(x)?x
x?1
，
g(x)?x
2
?x
；
（5）
f(x)?x
2
?2x?1
，< br>g(t)?t
2
?2t?1

[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
[解析] （1）由于
f(x)?
所以它们不是同一函数.
（2）由于函数
f(x)?
x
2
?x
，
g(x)?
3
x
3
? x
，故它们的值域及对应法则都不相同，
x
x
的定义域为
(??,0 )?(0,??)
，而
g(x)?
?
x?0,
?
1
的定义
?
?1x?0;
域为R，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n∈ N
*
时，2n±1为奇数，∴
f(x)?
2n?1
x
2n? 1
?x
，
g(x)?(
2n?1
x)
2n?1
?x
，
它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（4）由于函数< br>f(x)?x
x?1
的定义域为
xx?0
，而
g(x)???
x
2
?x
的定义域为
?
xx?0或x??1
?
，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数
【名师指引】构成函数的 三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应
关系确定的，所以，如果两个函数的定 义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函
数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原 因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域
及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身 并无影响，比如
f(x)?x?1
，
2
f(t)?t
2
?1
，
f(u?1)?(u?1)
2
?1
都可视为同一函数.
[新题导练]
- 11 - 57

高一数学必修一专题复习
1．(2009·佛山) 下列函数中与函数
y?x
相同的是( )
A .y = (
x
); B. y =
2
3
t
; C. y =
x
3
2

x
2
; D. y=
x
[解析] B；因为y =
3
t
3
?t
，所以应选择B
2．(09年重庆南开中学) 与函数
y?0.1
lg(2x?1)
的图象相同的函数是 （ ）
A .
y?2x?1(x?
11111
)
；B.
y?(x?)
； D.
y?||
；C.
y?
22x?12x?122x?1
lg1
2x?1
[解析] C；根据对数恒等式得
y?0.1
lg(2x?1 )
?10
域为
(,??)
，故应选择C
考点二：求函数的定义域、值域
题型1：求有解析式的函数的定义域
[例2].（ 08年湖北）函数
f(x)?
?
1
，且函数
y?0.1
lg (2x?1)
的定义
2x?1
1
2
1
ln(x
2< br>?3x?2??x
2
?3x?4)
的定义域为( )
x
A.
(??,?4)?[2,??)
;B.
(?4,0)?(0,1)
；C.
[,?4,0)?(0,1]
;D.
[,?4,0)?(0,1)

[解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。
[解析]欲使函数
f(x)
有意义，必须并且只需
?
x
2
?3x?2?0
?
2
?
?x?3x?4?0
?x?[?4, 0)?(0,1)
，故应选择
D

?
22
?
x?3 x?2??x?3x?4?0
?
x?0
?
【名师指引】如没有标明定义域， 则认为定义域为使得函数解析式有意义的
x
的取值范围，
实际操作时要注意：①分母不 能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非
负数；④零指数幂中，底数不等于0； ⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个
部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； ⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有
意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先 原则，实际问题的定义域不要
漏写。
题型2：求抽象函数的定义域
2?x
x
??
2
?
[例3]（2006·湖北）设
f
?
x
?
?lg
，则
f
?
??
?f
??
的定义域为（ ）
2?x
?
2
??
x
?
A
.
?< br>?4,0
?
?
?
0,4
?
；
B
.
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?
；
C
.
?
?2,?1
?
?
?
1,2
?；
D
.
?
?4,?2
?
?
?
2,4
?

x
??
2
?
[解题思路]要求复合函数
f
?
??< br>?f
??
的定义域，应先求
f(x)
的定义域。
?
2
??
x
?
- 12 - 57

高一数学必修一专题复习
?
?2?
?
2?x
?
?0
得，
f(x)
的定义域为
?2?x?2
，故
?
[解析]由
2?x
?
?2?
?
?
解得
x?
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?
。故< br>f
?
x
?2,
2

2
?2.
x?
x
??
2
?
?
?f
??
的定义域为
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?
.选B.
?
2
??
x
?
【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数
f(x)
的定义为
[a,b]
，则函数
f[g(x)]
的定 义域
是满足不等式
a?g(x)?b
的x的取值范围；一般地，若函数
f[g (x)]
的定义域是
[a,b]
，指
的是
x?[a,b]
， 要求
f(x)
的定义域就是
x?[a,b]
时
g(x)
的值 域。
题型3；求函数的值域
[例4]已知函数
y?x
2
?4ax ?2a?6(a?R)
，若
y?0
恒成立，求
f(a)?2?aa?3
的值
域
[解题思路]应先由已知条件确定
a
取值范围，然后再将
f(a)
中的绝对值化去之后求值域
[解析]依题意，
y?0
恒成立，则< br>??16a?4(2a?6)?0
，解得
?1?a?
所以
f(a)?2 ?a(a?3)??(a?
2
3
，
2
f(a)
min3
2
17
)?
，从而
f(a)
max
?f(? 1)?4
，
24
31919
?f()??
，所以
f(a)< br>的值域是
[?,4]

244
【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。
[新题导练]
3.（2008安徽文、理）函数
f(x)?
[解析] < br>[3,??)
；由
?
x?2?1
log
2
(x?1)
的定义域为 ．
?
x?2?1?0
?
x?1?0, x?1?1
解得
x?3

4．定义在
R
上的函数
y ?f(x)
的值域为
[a,b]
，则函数
y?f(x?1)
的值域为 ( )
A．
[a?1,b?1]
；B．
[a,b]
；C．
[a?1,b?1]
；D．无法确定
[解析] B；函数
y?f(x?1 )
的图象可以视为函数
y?f(x)
的图象向右平移一个单位而得到，
所以， 它们的值域是一样的
5．(2008江西改) 若函数
y?f(x)
的定义域是[1,3]
，则函数
g(x)?

[解析] < br>[,1)?(1,]
；因为
f(x)
的定义域为
[1,3]
， 所以对
g(x)
，
1?2x?3
但
x?1
故
f(2 x)
的定义域是
x?1
1
2
3
2
13
x ?[,1)?(1,]

22
- 13 - 57

高一数学必修一专题复习
6．(2008江西理改)若函数
y?f( x)
的值域是
[,3]
，则函数
F
?
x
?
?f
?
x
?
?
是
[解析]
[2,
2
3
1
的值域
f(x)
1012
]
；
F(x)
可以视为以
f(x)
为变量的函数，令
t?f (x)
，则
F?t?(?t?3)

3t3
1t
2
?1(t?1)(t?1)
12
F?t?[,1]
上是减函数，在
[1,3]
上是增函
F
?
?1?
2
?
2
?
， 所以，在
2
t3
ttt
数，故
F(x)
的最大值是
10
，最小值是2
3
考点三：映射的概念
[例5] （06陕西）为确保 信息安全，信息需加密传输，发送方由明文
?
密文（加密），接收
方由密文
?
明文（解密），已知加密规则为：明文
a,b,c,d
对应密文
a?2b,2 b?c,2c?3d,4d.
例如，明文
1,2,3,4
对应密文
5,7,1 8,16.
当接收方收到密文
14,9,23,28
时，则解密得到的明文
为 （ ）
A．
7,6,1,4
；B．
6,4,1,7
；C．4,6,1,7
；D．
1,6,4,7

[解题思路] 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。
[解析] 当接收方收到密文14，9，23，28时，
?
a?2b?14
?
a?6< br>?
2b?c?9
?
b?4
??
有
?
，解得< br>?
，解密得到的明文为C．
?
2c?3d?23
?
c?1< br>??
?
4d?28
?
d?7
【名师指引】理解映射的概念，应 注意以下几点：
（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；
（2）对应法 则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的
对应关系一般是不同的；
（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般
．．< br>对应的本质特征；
（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
[新题导练]
7．集 合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的
映射个数是__________.
[解析] 9 , 8；从A到B可分两步进行：第一步 A中的元素3可有3种对应方法（可对应5
或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘 法原理，不同的映射种数N
1
＝3×3
＝9.反之从B到A，道理相同，有N
2
＝2×2×2＝8种不同映射.
8．若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k }到集合B={4，7，a
4
，a
2
+3a}的一个映射，求自然数
a、k的值及集合A、B.
[解析] a=2，k=5，A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}；
∵f（1）=3×1+1 =4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1）
- 14 - 57

高一数学必修一专题复习
42
??
?
a?10,
?
a?3a?10,
或（2）
?
4

?
2
??
?
a?3a?3k?1,
?
a?3k?1.
∵a∈N，∴方程组（1）无解.
解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.
∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
备选例题：（03年上海）已知 集合
M
是满足下列性质的函数
f(x)
的全体：存在非零常数
T，
对任意
x?R
，有
f(x?T)?Tf(x)
成立。
（1）函数
f(x)?x
是否属于集合
M
？说明理由；
（ 2）设函数
f(x)?a
x
(a?0,a?1)
的图象与
y?x的图象有公共点，证明：
f(x)?a
x
?M

[解析]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所
以f(x)=
x?M.

（2）因为函数f(x)=a< br>x
（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
?
y?a
x
所以方程组：
?
有解，消去y得a
x
=x,
?
y?x
显然x=0不是方程a
x
=x的解，所以存在非零常数T，使a
T< br>=T.
于是对于f(x)=a
x
有
f(x?T)?a
x? T
?a
T
?a
x
?T?a
x
?Tf(x)
故f(x)=a
x
∈M.
★抢分频道
基础巩固训练：
1．(2007·广东改编) 已知函数
f(x)?
则
M?N?

[解析]
(?,??)
；因为
M?(?1,??),N?(??,1),故
M?N?R

2．函数
y?
1
1?x
的定 义域为
N
，
g(x)?ln(1?x)
的定义域为
M
，log
1
(3x?2)
的定义域是
3
[解析]
(
2
3
,1]
；由
0?3x ?2?1
得到
2
?x?1

3
2
x
?1
3．函数
y?
x
的值域是
2?1
2
x
?1
y?1y?1
x
x
?0< br>，即[解析]
(?1,1)
；由
y?
x
知
y?1，从而得
2?
，而
2?0
，所以
1?y1?y
2?1< br>?1?y?1

4．（广东从化中学09届月考）从集合A到B的映射中,下列说法正确的是( )
- 15 - 57

高一数学必修一专题复习
A．B中某一元 素
b
的原象可能不只一个；B．A中某一元素
a
的象可能不只一个
C．A中两个不同元素的象必不相同； D．B中两个不同元素的原象可能相同
[解析]A；根据映射的定义知可排除B、C、D
5．（深圳中学09届高三第一学段考试） 下列对应法则
f
中，构成从集合A到集合
B
的映射是




A．
A?{x|x?0},B?R,f:x?|y|?x
2

B．
A?{?2,0,2},B?{4},f:x?y?x
2

C．
A?R,B?{y|y?0},f:x?y?
D．
A?{0,2},B?{0,1}, f:x?y?
1

2
x
x

2
25
，?4]
，则
m
的取值范
4
[解析]D；根据映射的定义知，构成 从集合A到集合
B
的映射是D
6．（09年执信中学）若函数
y?x
2
?3x?4
的定义域为
[0,m]
,值域为
[?
围是（ ）
??）
3]
； C．
[，4]
；D．
[，
A．
?
0,4
?
；B．
[，

253
，其图象的对称轴为直线
x?
，
42
2525，?4]
，其最小值为
?
，并且当
x?0
及
x?3时，
y??4
，若定义域为
[0,m]
，值域为
[?
4 4
3
则
?m?3

2
2
[解析]B；因为函数y?x
2
?3x?4
即为
y?(x?)?
3
2
3
2
3
2
3
2
综合提高训练：
8．（05天津改 ）设函数
f(x)?ln
2?xx1
，则函数
g(x)?f()?f()的定义域是
2?x2x
?
?2?
?
112?x
?
?0
得，
f(x)
的定义域为
?2?x?2
。故
?
[解析]
(?4,?)?(,4)
；由
222?x
?< br>?2?
?
?
解得
?4?x??
x
?2
2
1
?2
x
11
或
?x?4
。
22
1
2
9．设函数
f(x)?x?x?
的定义域是
[n,n? 1]
(
n
是正整数)，那么
f(x)
的值域中共有
2
个整数
111
?(x?)
2
?
，可见，
f(x)
在
[n,n?1]
(
n
是正整
224
1 1
22
数)上是增函数，又
f(n?1)?f(n)?[(n?1)?(n?1)?] ?(n?n?)?2n?2

22
2
[解析]
2n?2
；因 为
f(x)?x?x?
所以，在
f(x)
的值域中共有
2n?2个整数
- 16 - 57

高一数学必修一专题复习
第3讲 函数的表示方法
★知识梳理
一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
★重、难点突破
重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念
难点：分段函数的概念，求函数的解析式
重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：
（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数
f[g(x)]
的解析式，则可用换元法或配凑法；
问题1．已知二次函数
f(x)
满足
f(2x?1)?4x
2
?6x ?5
，求
f(x)

方法一：换元法
令
2x?1?t(t ?R)
，则
x?
2
t?1t?1
2
t?1
)?6? ?5?t
2
?5t?9(t?R)
，从而
f(t)?4(
222< br>所以
f(x)?x?5x?9(x?R)

方法二：配凑法
因为f(2x?1)?4x?6x?5??(2x?1)?10x?4?(2x?1)?5(2x?1)?9
所以
f(x)?x?5x?9(x?R)

方法三：待定系数法 因为
f(x)
是二次函数，故可设
f(x)?ax?bx?c
，从而由< br>f(2x?1)?4x?6x?5
可求
2
出
a?1、b??5、c?9
，所以
f(x)?x?5x?9(x?R)

22
2
222
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
f(x)

问题2：已知函数
f(x)
满足
f(x)?2f()?3x
，求
f( x)

因为
f(x)?2f()?3x??
①
以
1
x
1
x
111
代
x
得
f()?2f(x)?3? ??
②
xxx
- 17 - 57

高一数学必修一专题复习
由①②联立消去
f()
得
f(x)?
1
x
2
?x(x?0)

x
★热点考点题型探析
考点1：用图像法表示函数
[例1] （09年广东南海中学）一水池有
2
个进水口,
1
个出水口,一个口的进、 出水的速度如
图甲、乙所示.某天
0
点到
6
点,该水池的蓄水量如图 丙所示．给出以下
3
个论断：
进水量 出水量 蓄水量




甲 乙 丙
（1）
0
点到
3点只进水不出水；（2）
3
点到
4
点不进水只出水；（3）
4< br>点到
6
点不进水不出水．
则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) .
．．．
[解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。
[解析] 由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单
位，3个小时共进 水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水
口进水，出水口出水，故②错 误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个
进水口都进水，同时出水口也出水，故③ 不一定正确。从而一定不正确的论断是（2）
．．．
【名师指引】象这类给出函数图象让考生 从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它
要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现 其性质。高考中的热点题型是“知式
选图”和“知图选式”。
[新题导练]
1．( 05辽宁改)一给定函数
y?f(x)
的图象在下列图中，并且对任意
a
1< br>?(0,1)
，由关系式
a
n?1
?f(a
n
)?0
得到的数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a< br>n
?0(n?N
*
)
，则该函数的图象是（ ）
12< br>6
5
0
1
时间
0
1
时间
03
4
6
时间
A

B
C
D
[解
析] A.；令
?
?
a
n
?x
，则
y?f(x)
等价于
a< br>n?1
?f(a
n
)
，
y?f(x)
是由点
(a
n
,a
n?1
)
组
?
a
n?1?y
成，而又知道
a
n
?a
n?1
，所以每各点都在y =x的上方。
- 18 - 57

高一数学必修一专题复习
2．(2005·湖北)函数
y?e
|lnx|
?|x?1|
的图象 大致是( )







[解析] D；当
x?1
时，
y?x?(x?1)?1
，可以排除A 和C；又当
x?
除B
13
时，
y?
，可以排
22
考点2：用列表法表示函数
[例2] （07年北京）已知函数
f(x)
，
g(x)
分别由下表给出


x

f(x)

1
1
2
3
3
1
x

g(x)

1
3
2
2
3
1

则
f[g(1)]
的值为 ；满足
f[g(x)]?g[f(x)]
的
x
的值是
[解题思路]这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。
[解析]由表中对应值知
f[g(1)]
=
f(3)?1
；
当
x?1
时，
f[g(1)]?1,g[f(1)]?g(1)?3
，不满 足条件
当
x?2
时，
f[g(2)]?f(2)?3,g[f(2)]?g (3)?1
，满足条件，
当
x?3
时，
f[g(3)]?f(1) ?1,g[f(3)]?g(1)?3
，不满足条件，
∴满足
f[g(x)]?g[ f(x)]
的
x
的值是
x?2

【名师指引】用列表法表示 函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关
系，用好对应关系即可。
[新题导练]
3．（09年山东梁山）设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：
映射f的对应法则是表1
原象
象
映射g的对应法则是表2
- 19 - 57

1
3
2
4
3
2
4
1

高一数学必修一专题复习

原象

象

1
4
2
3
3
1
4
2
则与
f[g(1)]
相同的是（ ）
A．
g[f(1)]< br>；B．
g[f(2)]
；C．
g[f(3)]
；D．
g[f( 4)]

[解析] A；根据表中的对应关系得，
f[g(1)]?f(4)?1，
g[f(1)]?g(3)?1

4．（04年江苏改编）二次函数
y ?ax
2
?bx?c
（
x
∈R）的部分对应值如下表：
x

－3 －2 －1
y

6 0
0 1 2 3
0
4
6 －4 －6 －6 －4
2
则不等式
ax?bx?c?0
的解集是
[解析]
(?2,3)
；由表中的二次函数对应值可得，二次方程
ax2
?bx?c?0
的两根为－2和3，
又根据
f(0)?f(?2)且
f(0)?f(3)
可知
a?0
，所以不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集是
(?2,3)

考点3：用解析法表示函数
题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
1?x
1?x
2
)
=[例3] （04湖北改编）已知
f(
，则
f(x)
的解析式可取为
1?x
1?x
2
[解题思路]这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应 该首选换元法
[解析] 令
故应填
1?xt?12t2x
?t
，则
x?
，∴
f(t)?
2
.∴
f(x)?
2
.
1?xt?1
t?1x?1
2x

1?x
2
【名师指引】求函数解析式的常用方法有：① 换元法（ 注意新元的取值范围）；② 待定系
数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整 体代换（配凑法）；④构造方
程组（如自变量互为倒数、已知
f(x)
为奇函数且g(x)
为偶函数等）。
题型2：求二次函数的解析式
[例4] （普宁市 城东中学09届高三第二次月考）二次函数
f(x)
满足
f(x?1)?f(x)?2 x
，
且
f(0)?1
。
⑴求
f(x)
的解析式；
- 20 - 57

高一数学必修一专题复习
⑵在 区间
[?1,1]
上，
y?f(x)
的图象恒在
y?2x?m
的图象上方，试确定实数
m
的范围。
[解题思路]（1）由于已知
f(x )
是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，
可得求
2x?m?f( x)
对于
x?[?1,1]
恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。
[解析]⑴设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
，则
f(x ?1)?f(x)?[a(x?1)
2
b(x?1)?c]?(ax
2
?bx ?c)
?2ax?a?b
与已知条件比较得：
?

?
2a? 2,
?
a?1,
解之得，
?
又
f(0)?c?1
，
a?b?0
b??1
?
?
?f(x)?x
2
?x? 1

22
⑵由题意得：
x?x?1?2x?m
即
m?x?3 x?1
对
x?
?
?1,1
?
恒成立，
易得
m?(x
2
?3x?1)
min
??1
【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值
来获得参 数的取值范围是一种常用方法。
[新题导练]
5．（06全国卷二改编）若
f(s inx)?3?cos2x
，则
f[sin(
[解析]
3?cos2x；
f[sin(
2
?
2
?x)]?

?
2
?x)]?
f(sinx)?3?cos2x?3?(1?2sin2
x)?2sin
2
x?2

22
所以
f(x )?2x?2
,因此
f(cosx)?2cosx?2?(2cosx?1)?3?3?cos 2x

6．（09年潮州金山中学）设
y?f(x)
是一次函数，若
f
?
0
?
?1
且
f
?
1
?
,f
?
4
?
,f
?
13
?
成
等比数列，则
f
?
2
?
?f
?
4
?
???f
?
2n
?
?
；
[解 析]
n(2n?3)
；设
f(x)?kx?b
，由
f(0)?1得
b?1
，从而
f(x)?kx?1

又由
f
?
1
?
,f
?
4
?
,f
?
13< br>?
成等比数列得
(k?1)(13k?1)?(4k?1)
2
，解得< br>k?2

所以
f(x)?2x?1
，
f
?
2
?
?f
?
4
?
???f
?
2n
?
?
[2?2?1]?[2?4?1]???[2?n?1]?n(2n?3)

7．（华侨中学09届第3次月考（09年中山））设
f
?
x
?
?
1?x
，又记
1?x
f
1
?
x
?
?f
?
x
?
,f< br>k?1
?
x
?
?f
?
f
k
?
x
?
?
,k?1,2,?,
则
f
2008
?x
?
?
（ ）
A．
1?xx?11
；B．；C．
x
；D．
?
；
1?xx?1x
- 21 - 57

高一数学必修一专题复习
1?x
1?f
1
(x)
1?x
??
1
， [解析] C；由已知条件得到
f
2
(x)?f[f
1
(x)]??
1?x
1?f
1
(x)x
1?
1?x
1
1 ?
1?f
1
(x)
x
?
x?1
f
3
(x)?f[f
2
(x)]??
1
x?11?f
1
(x)
1?
x
x?1
1?
1?f
3
(x)
x?1
?x
，
f(x)?f[f(x)]?
1?x

f
4
(x)?f[f
3
(x)]??
54
x?1
1?x
1?f
3
(x)
1?
x?1
1?
可见，
f
n
(x)
是以4为周期的函数，而
2008?502?4
，所以，
f
2008
(x)?f
4
(x)?x

，
8．设二次 函数
f(x)
满足
f(x?2)?f(?x?2)
,且其图象在y轴上的截距 为1，在x轴上截得
的线段长为
2
，求
f(x)
的解析式。
[解析]
f(x)?
2
2
8
x?x?1
；设f( x)=ax
2
+bx+c
，

77
?b
??2

2a
由f(x)满足f(x－2)=f( －x－2)，可得函数y=f(x)的对称轴为x=－2，所以
由y=f(x)图象在y轴上的截距为1 ，可得
f(0)?1
，即c=1
由y=f(x) 图象在x轴上截得的线段长为
2
，可得
bc
|x
1
?x< br>2
|?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?(?)
2
?4?2

aa
2
?
?
b
2
c
a?
?
?
(?)?4?2< br>7
aa
?
?
8
?
?
所以联立方程组
?
c?1
，可解得
?
b?

7
?
?
?b
?
c?1
?
??2
?
?
?
2a?
所以f(x)=
2
2
8
x?x?1
.
77
考点4：分段函数
题型1：根据分段函数的图象写解析式
[例5] (07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药
物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立
方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；
- 22 - 57

高一数学必修一专题复习
?
1
?
药物释放完毕后， y与t的函数关系式为
y?
??
?
16
?
1?a
（ a为常数），如图所示，根据图中提供
的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开妈，每立 方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关
系式为 ；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。
[思路 点拨]根据题意，药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t是一次函数，药物释放完毕
后，y与t的函 数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解
决（Ⅱ）
[解析] （Ⅰ）观察图象，当
0?t?0.1
时是直线，故
y?10t；当
t?0.1
时，图象过
(0.1,1)

所以
1?
?
?
1
?
?
16
??
0.1?a
?
10t,0?t?0.1
?
，即
a?0.1
，所以
y?< br>?
1
t?0.1

(),t?0.1
?
?
1 6
0.1?a
?
1
?
（Ⅰ）
??
?
16< br>?
0.1?a
?
1
?
?0.25?
??
?< br>16
?
?
1
?
?
??
?
16
?
0.5
?t?0.6
，所以至少需要经过
0.6
小时

【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。
题型2：由分段函数的解析式画出它的图象
2
例6] (2006·上海)设函数< br>f(x)?x?4x?5
，在区间
[?2,6]
上画出函数
f(x)< br>的图像。






[思路点
拨]需将
来绝对
2
值符号打开，即先解
x?4x?5?0
，然后依分 界点将函数分段表示，再画出图象。
?
x
2
?4x?5
?
[解析]
f(x)?x?4 x?5?
?
2
?
?
?(x?4x?5)
2
?2?x ??1或5?x?6
?1?x?5
,如右上图.
【名师指引】分段函数的解决办法是 分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符
号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出 来，同时附上自变量的各取值范围。
[新题导练]
9．（09年潮州金山中学）已知函数< br>f(x)?
?
?
2x?3(x?0)
?
x?1 (x?0)
2

，则
f
?
?
f
?
1
?
?
?
?

- 23 - 57

高一数学必修一专题复习
[解析] 2；由已知得到
f[ f(1)]?f(2?1?3)?f(?1)?(?1)
2
?1?2

x?1
?
?
2
?
,x?2.
10．（06山东改编）设
f (x)?
?
则不等式
f(x)?2?0
的解集为
2
?
?
log
2
(x?1),x?2,
[解析]
(1,2)?(5,??)
；当
x?2
时，由
f(x)?2?0得
2
?
x?1
?2
，得
1?x?2

当
x?2
时，由
f(x)?2?0
得
log
2
(x
2
?1)?2
，得
x?5

x
2
备选例题1： (2005·江西)已知函数
f(x)?
（a， b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个
ax?b
实根为x
1
=3, x
2
=4.
（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k>1，解关于x的不等式；
f(x)?
(k?1)x?k

2?x
x
2
?x?12?0
得 [解析]（1）将
x
1
?3,x
2
?4分别代入方程
ax?b
?
9
? ?9
?
?
a??1
x
2
?
3a?b
解得< br>?
,所以f(x)?(x?2).

?
2?x
?
b? 2
?
16
??8
?
?
4a?b
x
2
(k?1)x?kx
2
?(k?1)x?k
?,可化为?0
（2）不等式 即为
2?x2?x2?x
即
(x?2)(x?1)(x?k)?0.

①当
1?k?2,解集为x?(1,k)?(2,??).

②当
k ?2时,不等式为(x?2)(x?1)?0解集为x?(1,2)?(2,??);

③
当k?2时,解集为x?(1,2)?(k,??)
.
备选例题2：（06重庆）已知定义域为R的函数
f(x)
满足
2
f
?
f(x)?x
2
?x
?
?f(x)?x
2?x.

（I）若
f(2)?3
，求
f(1)
;又若
f(0)?a
，求
f(a)
;
（II）设有且仅有 一个实数
x
0
，使得
f(x
0
)?x
0
， 求函数
f(x)
的解析表达式
解：(I)因为对任意x?R,有f(f(x)-x< br>2
?x)?f(x)?x
2
?x

所以f(f(2)-2
2
?2)?f(2)?2
2
?2
又由f(2)=3,得f(3-2?2）?3?2?2,即f(1)?1
若f(0 )=a,则f(a?0
2
?0)?a?0
2
?0,即f(a)?a
2 2

- 24 - 57

高一数学必修一专题复习
(II)因为对任意x?R，有f(f(x)?x
2
?x)?f(x)?x
2
?x.
又因为有且只有一个实数x
0
，使得f(x
0
)?x
0
所以对任意x?R,有f(x)?x
2
?x?x
0
2
在上式中令x?x
0
，有f(x
0
)?x
0
?x
0
?x
0
2
又因为f(x
0
)?x
0
，所以x
0
?x
0
?0，故x
0
=0或x
0
=1

若x
0
=0，则f(x)?x
2
?x?0，即f(x)?x
2
?x
但方程x
2
?x ?x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x
0
?0
若x
0
=1，则有f(x)?x
2
?x?1,即f(x)?x
2
?x?1 .易验证该函数满足题设条件。
综上，所求函数为f(x)?x
2
?x?1 (x?R)
★
抢分频道
基础巩固训练：
1．（09年广州高三年级第一学期中段考）函数
y?f
?
x
?
的图象如图2所示.观察图象可知
函数
y?f
?
x
?
的定义域、值域分别是（ ） A.
?
?5,0
?
?
?
2,6
?
,< br>?
0,5
?
；B.
?
?5,6
?
,
?
0,??
?

C.
?
?5,0
?
?< br>?
2,6
?
,
?
0,??
?
；D.
?
?5,??
?
,
?
2,5
?

5
2
y

x

O
-5
2 6
[解析] C；由图象可以看出，应选择C
2．（09年惠州第一次调研考）某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：
图2
前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的
产量
y
与时间
t
的函数图像可能是（ ）

yyyy



tttt

o
o o o
44
8
4
8
4
88

C
AB
D

[解析] B；前四年年产量的增长速度越来越慢，知图 象的斜率随x的变大而变小，后四年年产
量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，∴选B．













2
x?bx?c,x?0,
若
f (?3)?f(0)
,
f(?1)??2
,则关于3．（2004·湖南改编）设函数
f(x)?
2,x?0.
x
的方程
f(x)?x
的解的个数 为
[解析] 3；由
f(?3)?f(0)
,
f (?1)??2
可得
b?3,c?0
，从而方程
f(x)?x
等价于
?
x?0
?
x?0
?
x?0
或
?
2
，解
?
2
得到
x?0
或
x??2
，从而 得方程
f(x)?x
?
x?3x?xx?3x?x
x?f(x)?2
??
?
?
的解的个数为3
4．（05江苏）已知
a,b
为常数，若
f(x)?x?4x?3
，
- 25 - 57

2

高一数学必修一专题复习
f(ax?b)?x
2
?10x?24
，则
5a?b
=
[解析] 2；因为
f(x)?x
2
?4x?3
，所以
f (ax?b)?(ax?b)
2
?4(ax?b)?3?a
2
x
2< br>?(2ab?4a)x?(b
2
?4b?3)

又
f(ax? b)?x
2
?
a
2
?1
?
?10x?24
，所以，
?
2ab?4a?10

?
b
2
?4b? 3?24
?
解得
?
?
a?1
?
a??1
或
?
，所以
5a?b?2

b?3b??7
??
?< br>a，a?b
，函数
f(x)?max
?
sinx,cosx
?
(x?R)

?
b，a?b
5．对
a、b?R，
记
max
?
a，b
?
?
?
的最小值是（ ）
A.
?1
；B.
22
；C.
?
；D.
1

22
[解析] C；作出
f(x)?sinx
和
g(x)?cosx
的图象即可得到函数 < br>f(x)?max
?
sinx,cosx
?
(x?R)
的最小 值是
?
2

2
1
x?[0,)
?
f
1
(x)
2
6．（中山市09届高三统测）已知函数
f(x)?
?
其中
1
f(x)
?
2
x?[,1]
2
1
f
1
(x)??2(x?)
2
?1
，
f
2
(x)??2x?2
。作出函数
f(x)
的图象；
2
[解析] 函数
f(x)
图象如下：
说明：图象过
?< br>0,
?
?
1
??
1
??
1
?
?
、
?
,1
?
、
?
1,0
?
点 ；在区间
?
0,
?
上的图象为上凸的曲线段；在区间
2
??
2
??
2
?
?
1
?
,1
?
上的图象为直线段
?
?
2
?
- 26 - 57

高一数学必修一专题复习
综合提高训练：
7．（09年惠州第二次 调研考）如图，动点
P
在正方体
ABCD?A
1
BC
11< br>D
1
的对角线
BD
1
上．过
点
P
作 垂直于平面
BB
1
D
1
D
的直线，与正方体表面相交于M，N
．设
BP?x
，
MN?y
，
则函数
y? f(x)
的图象大致是（ ）
D
1
A
1
D
A
M
C
1
B
1
P
N
B
y y y y
C
O
A．
x
O
B．
x
O
C．
x
O
D．
x

[解析] B；过点
P
作垂直于平面
BB
1
D< br>1
D
的直线，当点
P
运动时，线与正方体表面相交于
M，N< br>两点形成的轨迹为平行四边形，可以看出
x
与
y
的变化趋势
递 增再递减，并且在
x
的中点值时
y
取最大
是先
??
8．（06重庆）如图所示，单位圆中
AB
的长为
x
，
f(x)表 示弧
AB
AB所围成的弓形面积的2倍，则函数
y?f(x)
的图像是（ ）
与弦
[解
析]
D；
如
图
所
示，AB
的长为
x
，
f(x)表示弧
?
AB
与弦A B所围成的弓形面积的2倍，当
?
AB
的长小单位圆中
?
AB
的长大于半圆时，函数
y?f(x)
的值于半圆时，函数
y?f(x)
的值 增加的越来越快，当
?
增加的越来越慢，所以函数
y?f(x)
的图像是D.
9．（06福建）已知
f(x)
是二次函数，不等式
f(x)?0
的 解集是
(0,5),
且
f(x)
在区间
?
?1,4
?
上的最大值是12。


（I）求
f(x)
的解析式；
（II）是否存在实数
m,
使得方程
f(x)?
37
?0< br>在区间
(m,m?1)
内有且只有两个不等的
x
实数根？若存在，求出
m
的取值范围；若不存在，说明理由。
[解析]（I）
?
f(x)
是二次函数，且
f(x)?0
的解集是
(0,5),

?
可设
f(x)?ax(x?5)(a?0).

?f(x)
在区间
?
?1,4
?
上的最大值是
f(?1)?6a.
， 由已知，得
6a?12,

- 27 - 57

高一数学必修一专题复习
?a?2,
?f(x)?2x(x?5)? 2x?10x(x?R).
（II）方程
f(x)?
2

37
?0
等价于方程
2x
3
?10x
2
?37?0.

x
设
h(x)?2x
3
?10x
2
?37,
则
h'(x)?6x
2
?20x?2x(3x?10).

10
)
时，
h'(x)?0,h(x)
是减函数；
310
当
x?(,??)
时，
h'(x)?0,h(x)
是增函数 。
3
101
?h(3)?1?0,h()???0,h(4)?5?0,

327
1010
?
方程
h(x)?0
在区间
(3, ),(,4)
内分别有惟一实数根，而在区间
(0,3),(4,??)
内没有
33
当
x?(0,
实数根，
所以存在惟一的自然数
m?3,
使得方程
f(x)?
的实数根。 < br>37
?0
在区间
(m,m?1)
内有且只有两个不同
x













- 28 - 57

高一数学必修一专题复习
第4讲 函数的单调性与最值
★知识梳理
函数的单调性定义：
设函数
y?f(x)
的定义域为
A
，区间
I?A

如果对于区间
I
内的任意两个值
x
1
，
x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说
y?f(x)
在区间
I
上是单调增函数，
I
称为
y?f(x)
的单调增区间
如果对于区间
I
内的任意两个值
x
1
，
x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)? f(x
2
)
，那么就说
y?f(x)
在区间
I
上是 单调减函数，
I
称为
y?f(x)
的单调减区间
如果用导数的语言来，那就是：
设函数
y?f(x)
，如果在某区间
I
上
f
?
(x)?0
，那么
f(x)
为区间I
上的增函数；
如果在某区间
I
上
f
?
(x )?0
，那么
f(x)
为区间
I
上的减函数；
1．
函数的最大（小）值
设函数
y?f(x)
的定义域为
A

如果存在定值
x
0
?A
，使得对于任意
x?A
，有
f(x)?f(x
0
)
恒成立，那么称
f(x
0
)
为
y?f(x)
的最大值；
如果存在定值
x
0
? A
，使得对于任意
x?A
，有
f(x)?f(x
0
)
恒成立，那么称
f(x
0
)
为
y?f(x)
的最小值。
★
重、难点突破
重点：掌握求函数的单调性与最值的方法
难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值
重难点：1.对函数单调性的理解
（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须
先求函数的定义域； （2）函数单调性定义中的
x
1
，
x
2
有三个特征：一 是任意性；二是大小，即
x
1
?x
2
(x
1
?x
2
)
；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；
（3）若用导数工具研究 函数的单调性，则在某区间
I
上
f
?
(x)?0
（
f
?
(x)?0
）仅是
f(x)
为
- 29 - 57

高一数学必修一专题复习
区间
I
上的增函数（减函数）的充分不必要条件。
（4）关于函数的单调性 的证明，如果用定义证明
y?f(x)
在某区间
I
上的单
调性，那 么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，
不能用区间
I
上的两个特殊值来代替。而要证明
y?f(x)
在某区间
I
上不是单 调递增的，只
要举出反例就可以了，即只要找到区间
I
上两个特殊的
x
1
，
x
2
，若
x
1
?x
2
，有
f(x
1
)?f(x
2
)
即可。如果用导数证明
y ?f(x)
在某区间
I
上递增或递减，那么就证明在某区间
I
上f
?
(x)?0
或
f
?
(x)?0
。
（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数
y?
1
分别 在
(??,0)
x
和
(0,??)
内都是单调递减的，但是不能说它 在整个定义域即
(??,0)?(0,??)
内是单调递减
的，只能说函数
y ?
1
的单调递减区间为
(??,0)
和
(0,??)
x
（6）一些单调性的判断规则：①若
f(x)
与
g(x)
在定 义域内都是增函数（减函数），那么
。②复合函数的单调性规则是“异减同增”
f(x)?g(x)
在其公共定义域内是增函数（减函数）
2．函数的最值的求法
（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性 求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性
求最值。
（3）基本不等 式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取
得）。
（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法
（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐 标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化
范围。
★
热点考点题型探析
考点1 函数的单调性
题型1：讨论函数的单调性
?
1
,x?1,
?
[例1] (2008广东)设
k?R
,函数
f(x)?
?
1?x
F(x)?f(x)?kx,x?R.
?
?x?1,x?1
?
试讨论函数
F(x)
的单调性. < br>[解题思路]分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导
数来 研究。
- 30 - 57

高一数学必修一专题复习
?
1
?
1
,x?1,?kx
??
[解析]: 因为
f(x)?
?
1?x
,所以
F(x)?f(x)?kx?
?
1?x
,x?R
.
?
?x?1,x?1
?
?x?1?kx
??
1
(1)当x<1时，1-x>0，
F
?
(x)??k,(x?1)

(1?x)
2
①当
k?0
时，
F
?
(x )?0
在
(??,1)
上恒成立，故F(x)在区间
(??,1)
上 单调递增；
②当
k?0
时，令
F
?
(x)?
且当
x?1?
1
k
，解得，
x?1?
?k?0,(x?1 )
k
(1?x)
2
kk
时，
F
?
(x)? 0
；当
1??x?1
时，
F
?
(x)?0

kk
kk
故F(x)在区间
(??,1?)
上单调递减,在区间< br>(1?,1)
上单调递增；
kk
1
?k,(x?1)
(2)当x>1时， x-1>0，
F
?
(x)??
2x?1
①当
k?0
时，
F
?
(x)?0
在
(1,??)
上恒成立，故F(x)在区间
(1,??)
上单调递减；
1
1
?k?0,(x?1)
，解得
x?1?
2
， ②当
k?0
时，令
F
?
(x)??
4k
2x?1< br>11
?
x?1?
且当
1?x?1?
时，；当时，
F< br>?
(x)?0

F(x)?0
22
4k4k
11)(1?,??)
上单调递增； 故F(x)在区间
(1,1?
上单调递减,在区 间
4k
2
4k
2
综上得，①当k=0时，F(x)在区间
( ??,1)
上单调递增，F(x)在区间
(1,??)
上单调递减；
1
)
上单调递减,在区间 ②当k<0时，F(x)在区间
(??,1)上单调递增，在区间
(1,1?
2
4k
1
k
(1?2
,??)
上单调递增；③当
k?0
时，F(x)在区间
(?? ,1?)
上单调递减,在区间
4k
k
k
(1?,1)
上单 调递增,在区间
(1,??)
上单调递减.
k
【名师指引】求函数的单调区 间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意
分段处理.
题型2：研究抽象函数的单调性
[例2] 定义在R上的函数
y?f(x)
，
f(0)?0
，当x＞0时，
f(x)?1
，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）·f（2x－x
2
）＞1，求x的取值范围.
[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。
[解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f
2
（0）.
又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）证明：当x＜0时，－x＞0，
- 31 - 57

高一数学必修一专题复习
∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.
∴f（－x）=
1
＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，
f(x)
∴x∈R时，恒有f（x）＞0.
（3）证明：设x
1
＜ x
2
，则x
2
－x
1
＞0.
∴f（x
2
）=f（x
2
－x
1
+x
1
）=f（x
2
－x
1
）·f（x
1
）.
∵x
2
－x< br>1
＞0，∴f（x
2
－x
1
）＞1.
又f（x1
）＞0，∴f（x
2
－x
1
）·f（x
1
） ＞f（x
1
）.
∴f（x
2
）＞f（x
1
）.∴f（x）是R上的增函数.
（4）解：由f（x）·f（2x－x
2
）＞1，f（0）=1得f（3x－x
2< br>）＞f（0）.又f（x）是R上的
增函数，
∴3x－x
2
＞0.∴0＜x＜3.
【名师指引】解本题的关键是灵活应用 题目条件，尤其是（3）中“f（x
2
）=f［（x
2
－x
1
）+x
1
］”
是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.
[新题导练]
2
1．（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数
f?
x
?
?log
2
4x?x
的单调递减区间是
??
（ ）
A．
(0,4)
; B．
(0,2)
; C．
(2,4)
; D．
(2,??)

2
[解析] C ；由
4x?x?0
得
0?x?4
，又由
u?4x?x
2??(x?2)
2
?4
知函数
u
在
(2,4)
上
2
是减函数，根据复合函数的单调性知函数
f
?
x
??log
2
4x?x
的单调递减区间是
(2,4)

? ?
2．（东皖高级中学09届高三月考）函数
y?log
1
(x
2< br>?5x?6)
的单调增区间为（ ）
2
A．
?
，
2)

??)
；C．
?
??，
?
；D．
(??，
??
?
；B．
(3，
22
2
[解析] D；由
x?5x?6?0
得
x?2
或
x?3
，又函数
u?x?5x?6?(x?)?
?
5?
2
?
?
?
?
5
?
2
?5
2
1

4
在
(??，2)
上是减函数，y?log
1
u
在
(0,??)
上是减函数，所以函数
2
2)

y?log
1
(x
2
?5x?6 )
的单调增区间为
(??，
2
3. (2008全国Ⅰ卷)已知函数
f(x)?x?ax?x?1
，
a?R
．
（Ⅰ）讨论函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）设函数
f(x)在区间
?
?，?
?
内是减函数，求
a
的取值范围．
[解析] （1）
f(x)?x?ax?x?1
；（2）
a
≥
32
322
32
?
2
?
3
1
?
3
?
7

4
（1）
f(x)?x?ax?x?1
求 导：
f
?
(x)?3x?2ax?1

当
a
2≤
3
时，
?≤
0
，
f
?
(x)
≥
0
，
f(x)
在
R
上递增
- 32 - 57

高一数学必修一专题复习
?a?a
2
?3
当
a
?
3
，
f
?
(x)?0
求得 两根为
x?

3
2
?
?a?a
2
?3?
即
f(x)
在
?
??，
?
递增，
??
3
??
?
?a?a
2
?3?a?a
2
?3
??
?a?a
2
?3
?
，，??
?
递 增
??
递减，
?
????
333
????
??a?
?
?
（2）
?
?
?a?
?
?< br>a
2
?32
≤
?
33
a
2
?31< br>≥
?
33
，且
a
2
?
3
解得：a
≥
7

4
考点2 函数的值域（最值）的求法
题型1：求分式函数的最值
x
2
?2x?a
[例3] （2000年上海）已知函数
f(x)?
,x?[1,??).

x
1
时，求函数
f(x)
的最小值；
2
11
?2
，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可 [解题思路]当
a?
时，
f(x)?x?
22x
当
a?
以考虑均值 不等式或导数；
[解析]当
a?
111
?2,f'(x)?1?
2
时，< br>f(x)?x?
22x
2x
?
x?1
，
?
f
?
(x)?0
。
?
f(x)
在区间
[1,??)< br>上为增函数。
?
f(x)
在区间
[1,??)
上的最小值为
f(1)?
【名师指引】对于函数
f(x)?x?
7
。
2
1
?2,
若
x?0
，则优先考虑用均值不等式求最小值，但
2x
要注意等号是否成立，否则会得到
f(x)?(x?
11
)?2?2x? ?2?2?2

2x2x
11
，这时
x?[,??)
2x2
而认为其最小值为
2?2
，但实际上，要取得等号，必须使得
x?
所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式
恒 成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，
利用函数单调 性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；
题型2：利用函数的最值求参数的取值范围
x
2
?2x?a
[例4] （2000年上海）已知函数
f(x)?
,x?[1,??).

x
- 33 - 57

高一数学必修一专题复习
若对任意
x?[1,??),f(x)?0
恒成立,试求实数
a
的取值范围。
[解题思路] 欲求参数
a
的取值范围，应从
x?[1,??),f(x)? 0
恒成立的具体情况开始。
x
2
?2x?a
?0
在区间< br>[1,??)
上恒成立； [解析]
?
f(x)?
x
?
x
2
?2x?a?0
在区间
[1,??)
上恒成立；
?
x
2
?2x??a
在区间
[1,??)
上恒成立；
?
函数
y
?
x
2
?
2x
在区间
[1,??)
上的最小值为3，
?
?a?3

即
a??3

【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。
题型3：求三次多项式函数的最值
[例5]（09年高州中学）已知
a
为 实数，函数
f(x)?(x?1)(x?a)
，若
f
'
(?1)?0
，求
函数
y?f(x)
在
[?
2
3
,1]
上的最大值和最小值。
2
[解题思路]求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。
[解析]∵
f
，
(?1)?0，由f(x)?x
3
?ax< br>2
?x?a,f
?
(x)?3x
2
?2ax?1
，

?3?2a?1?0,a?2,
……………………3分
?f
?
(x)?3x
2
?4x?1
……………………4分
1
由f
?
(x)?3(x?)(x?1)
得：
3
1
当
f
?
(x)?0时，x??1或x??
……………………5分
3
1
?1?x??
……………………6分 当
f
?
(x)?0时，
3
311
因 此，
f(x)
在区间
[?,?1]和[?,1]
内单调递减，而在
[ ?1,?]
内单调递减，
233
150
且
f(x)
极大值
?f(?1)?2,f(x)
极小值
?f(?)?

327
313
5013
又
f(?)?

f(1)?6,且
，
?
28
278
3313
?f (x)在[?,1]上的最大值f(1)?6,最小值f(?)?
，………………10分
22 8
【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求
考 生熟练掌握用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。
- 34 - 57

高一数学必修一专题复习
[新题导练]
4.（09年广东南海）若函数
y?3?x
2
ln(
M+m =
2
[解析] 6；由
f(x)?xln(
1?x
?
11?
的最大值与最小值分别为M,m，则
)
x??,
?
22
?
1?x
??
1?x
1
)?x
2
[ln(1?x )?ln(1?x)]
知
f(x)
在
[0,]
上是增函数
1?x
2
2
又因为函数
f(x)?xln(
1?x
1?x< br>?
11
?
是增函数，
)
是奇函数，所以函数
y?3? x
2
ln()
x??,
?
22
?
1?x
1 ?x
??
11
1?1?
1
2
)]?[3?(?
1< br>)
2
ln(
2
)]?6
故M+m=
[3?()2
ln(
11
22
1?1?
22
x
2
?ax?4
(x?0)
。 5.（高州中学09届模拟）已知函数
f(x)?
x
（Ⅰ）若
f(x)
为奇函数，求
a
的值；
（Ⅱ）若
f(x)
在
[3,??)
上恒大于0，求
a
的取值范围。
[解析]（Ⅰ）
a?0
；（Ⅱ）
a
的取值范围为
a??
（Ⅰ ）
f(x)
的定义域关于原点对称
13

3
(?x)
2
?a(?x)?4
??f(x)
∴
a?0
若
f(x)
为奇函数，则
f(?x)?
?x（Ⅱ）
f
?
(x)?1?
4

x
2
∴ 在
[3,??)
上
f
?
(x)?0
∴
f(x)在
[3,??)
上单调递增
∴
f(x)
在
[3,?? )
上恒大于0只要
f(3)
大于0即可,
∴
3a?13?0?a??
13

3
13

3
若
f(x)
在
[3,??)
上恒大于0，
a
的 取值范围为
a??
?2
x
?b
备选例题：（06年重庆）
已 知定义域为
R
的函数
f(x)?
x?1
是奇函数。
2?a
（Ⅰ）求
a,b
的值；
（Ⅱ）若对任意的
t?R< br>，不等式
f(t?2t)?f(2t?k)?0
恒成立，求
k
的取值范 围；
- 35 - 57

22

高一数学必修一专题复习
b?11?2
x
?0 ?b?1?f(x)?
[解析]（Ⅰ）因为
f(x)
是奇函数，所以
f(0) ?0
，即
a?2a?2
x?1
1
1?2
又由
?f
,
(1)??f(?1)
知
??
2
?a?2.
< br>a?4a?1
1?
1?2
x
11
???
（Ⅱ）[解法 一]由（Ⅰ）知
f(x)?
，易知
f(x)
在
(??,??)
上
x?1x
2?222?1
为减函数。又因
f(x)
是奇函数， 从而不等式：
f(t
2
?2t)?f(2t
2
?k)?0

等价 于
f(t
2
?2t)??f(2t
2
?k)?f(k?2t
2
)
，因
f(x)
为减函数，由上式推得：
t
2
?2t?k?2t
2
．即对一切
t?R
有：
3t
2
?2t?k?0
，
从而判别式
??4?12k?0?k??.

1
3
1?2
x
[解法二]由（Ⅰ）知
f(x)?
．又由题设条 件得：
x?1
2?2
1?2
t
2?2
2
?2t< br>t
2
?2t?1
?
1?2
2t
2?2
2?k
2t
2
?k?1
?0
，
即
(2
2t
2
?k?1
?2)(1?2
t
2
?2t
)?( 2
t
2
?2t?1
?2)(1?2
2t
2
?k)?0
，
整理得
2
3t
2
?2t?k
?1, 因底数2>1,故:
3t
2
?2t?k?0

1
3
上式对一切
t?R
均成立，从而判别式
??4?12k?0?k??.

★
抢分频道
基础巩固训练：
1．（华师附中09高三数学训练题）若函数
f(x)?x?|x?a|?b
在区间
(??,0]
上为减函数，
则 实数
a
的取值范围是（ ）
A.
a?0
；B.
a?1
；C.
a?0
；D.
a?1

2
?
?
x?x?a?b(x?a)
[解析] C；因为
f( x)?x?|x?a|?b?
?
2
，由其图象知，若函数
?
?
x?x?a?b(x?a)
2
2
f(x)?x
2
?|x?a|?b
在区间
(??,0]
上为减函数，则应有
a?0

2．（普宁市城东中学09）若函数
h(x)?2x?
围是（ ）
- 36 - 57

kk
?
在
(1,??)
上是增函 数，则实数
k
的取值范
x3

高一数学必修一专题复习
A．
[?2,??)
；B．
[2,??)
； C．
(??,?2]
；D．
(??,2]

[解析] A；若函数< br>h(x)?2x?
kkk
?
在
(1,??)
上是增函数，则< br>h
?
(x)?2?
2
?0
对于
x3
x
x?(1,??)
恒成立，即
k??2x
2
对于
x?(1,??)
恒成立，而函数
u??2x
2
(x?[1,??))
的最
大 值为
?2
，实数
k
的取值范围是
[?2,??)

3．（09汕头金中）下列四个函数中，在区间
(0,)
上为减函数的是（ ）
x
1
x
1
??
A．
y?x
??
； B．
y??()
；C．
y?xlog
2
x
；D．
y ?x
3

2
?
2
?
1
1
41
x
11
[解析] C；显然
y??()
在
(0,)< br>上是增函数，
y?x
3
在
(0,)
上也是增函数
2 44
1
111
?
1
?
而对
y?x
??求导得
y
?
?()
x
?x()
x
ln2?()
x
(1?xln2)
，对于
x?(0,)
，
y
?< br>?0

4
222
?
2
?
x
1
1
??
，所以
y?x
??
在区间
(0,)
上为增 函数，从而应选择C
4
?
2
?
x
1
4．（09潮 州金山中学）已知函数
f(x)?x
2
?2x?1
，若存在实数
t< br>，当
x?
?
1,m
?
时，
f(x?t)?x
恒成立，则实数
m
的最大值是（ ）
A．1；B．2；C．3；D．4
[解析] D；依题意，应将函数
f(x)
向右平行移动得到
f(x?t)< br>的图象，为了使得在
?
1,m
?
上，
f(x?t)
的 图象都在直线
y?x
的下方，并且让
m
取得最大，则应取
t??2< br>，这时
m
取得最
大值4
?
(3a?1)x?4a,x?1< br>5．（06北京改编）已知
f(x)?
?
是
(??,??)
上的减函数，那么
a
的取
logx,x?1
?
a
值范围是
[解析]
[,)
；要
y?log
a
x
在
[1，??)
上是减函数，则
0?a?1
，要
(3a?1)x?4a
在
11
73
(??,1)
上为减函数，则需
3a?1?0
并 且
(3a?1)?1?4a?0
，所以
11
?a?

73< br>2
6．（2008浙江理）已知t为常数，函数
y?x?2x?t
在区间[0， 3]上的最大值为2，
则
t?

2
[解析]1；显然函数
y?x?2x?t
的最大值只能在
x?1
或< br>x?3
时取到，
若在
x?1
时取到，则
1?2?t?2，得
t?1
或
t??3

- 37 - 57

高一数学必修一专题复习
t?1
，
x?3
时，y?2
；
t??3
，
x?3
时，
y?6
（舍去 ）；
若在
x?3
时取到，则
9?6?t?2
，得
t?1< br>或
t?5

t?1
，
x?1
时，
y?2；
t?5
，
x?1
时，
y?6
（舍去）
所以
t?1

综合提高训练：
7.（06陕西改编）已知函数f(x)?ax
2
?2ax?4(0?a?3),
若
x
1
?x
2
,x
1
?x
2
?a?1?0

则
f
1
(x)
与
f
2
(x)
的大小关系为
[解析]
f(x
1
)?f(x
2
)
；函数f(x)?ax
2
?2ax?4(0?a?3),
的图象开口向上，对称轴为x??1
，因
0?a?3
，故
x
1
?x
2?(1?a)?(?2,1)
，从而
x
1
?x
2
1?(?1,)
，又
22
x
1
?x
2
，所以< br>x
2
的对应点到对称轴的距离大于
x
1
的对应点到对称轴的距 离，故
f(x
1
)?f(x
2
)

8．已知函数
f(x)?
3x?21122009
(x?)
，求
f()?f()? ??f()
的值
2x?122
[解析]
3x?23(1?x)?2
6027
??3
， ；为
f(x)?f( 1?x)?
2
2x?12(1?x)?1
令
S?f(
122009< br>)?f()???f()
，则
2
200920081
S?f()?f()???f()
，
2
从而
121
)?f()]?[f()?f()]???[f()?f()]
2
< br>?2009?3
1220096027
)?f()???f()?
所以
S?f(

2
2S?[f(
9．（09年汕头金中）对于函数
f(x )?x
2
?2x,在使f(x)?M
成立的所有常数M中，我
0,
们把M的最大值－1叫做
f(x)?x?2x的下确界
，
则对于a,b?R且a,b不 全为
a
2
?b
2
的下确界为（ ）
(a?b)
2
A．
2
11
；B．2；C．；D．4
24
- 38 - 57

高一数学必修一专题复习
a
2
?b
2
a
2
?b
2
a
2
?b
2
1
[解析] A；因为，
???
222222 2
(a?b)a?b?2ab(a?b)?(a?b)
2
1
a
2?b
2
故的下确界为
2
2
(a?b)
10．（08年 湖南）设
[x]
表示不超过
x
的最大整数（如
[2]?2
,
[]?1
）,对于给定的
n
?
N,
*
5
4
x
定义
C
n
?
n(n?1)
?
(n??
x
?
?1)
x(x?1)
?
(x?
?
x
?
?1)
?
?
,
x
?
?
1, ??
?
,
求当
x
?
?
,3
?
时 ，函数
C
8
x
的值域
[解析]
(4,
?3
?
2
162883
38
]?(,28]
；当
x?[,2)
时，
[x]?1
，
C
8
x
?
，因为函数
u?
在
[,2)
上
2x
33x2
是减函 数，得
4?
56
816
?
；当
x?[2,3)
时，
[x]?2
，
C
8
x
?
，因为
2?x(x ?1)?6
，
x3
x(x?1)
由单调性得
2856
162 8
?
3
?
??28
，故当
x
?
?
,3
?
时，函数
C
8
x
的值域是
(4,]?(,2 8]

33
3x(x?1)
?
2
?












- 39 - 57

高一数学必修一专题复习
第5讲 函数的奇偶性和周期性
★知识梳理
1．函数的奇偶性的定义：
①对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f(?x )??f(x)
〔或
f(?x)?f(x)?0
〕，则
称
f(x)< br>为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数
f(x)
的定义域内任 意一个
x
，都有
f(?x)?f(x)
〔或
f(?x)?f(x)? 0
〕，则
称
f(x)
为偶函数. 偶函数的图象关于
y
轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶 性的函数，其定义域原点关于对称（也就
是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对 称）
3． 函数的周期性命定义：
对于函数
f(x)
，如果存在一个非零 常数
T
，使得定义域内的每一个
x
值，都满足
f(x?T)?f( x)
，那么函数
f(x)
就叫做周期函数，非零常数
T
叫做这个函数 的周期。
★重、难点突破
重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用
难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用
重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
f (?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?
f(?x)
??1(f(x)?0),也可以利用函数图象的对
f(x)
称性去判断函数的奇偶性.注意①若
f(x) ?0
,则
f(x)
既是奇函数又是偶函数,若
②若
f(x)
是奇函数且在
x?0
处有定义，则
f(0)?0
③
f(x)?m(m ?0)
,则
f(x)
是偶函数；
若在函数
f(x)
的定义域 内有
f(?m)?f(m)
，则可以断定
f(x)
不是偶函数，同样，若在函
数
f(x)
的定义域内有
f(?m)??f(m)
，则可以断定f(x)
不是奇函数。
2．奇偶函数图象的对称性
（1） 若
y?f (a?x)
是偶函数，则
f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)?f(x)
的
图象关于直线
x?a
对称；
（2） 若
y?f(b?x )
是偶函数，则
f(b?x)??f(b?x)?f(2b?x)??f(x)?

f(x)
的图象关于点
(b,0)
中心对称；
- 40 - 57

高一数学必修一专题复习
3．函数的周期性 周期性不 仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要
难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情 况：
（1）函数值之和等于零型，即函数
f(a?x)?f(b?x)?0(a?b)
< br>对于定义域中任意
x
满足
f(a?x)?f(b?x)?0(a?b)
，则有
f[x?(2b?2a)]?f(x)
，
故函数
f(x)
的周 期是
T?2(b?a)

（2）函数图象有
x?a
，
x?b(a?b)
两条对称轴型
函数图象有
x?a
，
x?b(a?b)
两条对称轴，即
f(a?x )?f(a?x)
，
f(b?x)?f(b?x)
，从而得
f[x?(2b ?2a)]?f(x)
，
故函数
f(x)
的周期是
T?2(b?a)

（3） 两个函数值之积等于
?1
，即函数值互为倒数或负倒数型
若
f(x?a)? f(x?b)?1(a?b)
，则得
f(x?2a)?f[(x?2a)?(2b?2a)]< br>，所以函数
f(x)
的周期是
T?2b?2a
；同理若
f(x ?a)?f(x?b)??1(a?b)
，则
f(x)
的周期是
T?2(b? a)

（4） 分式递推型，即函数
f(x)
满足
f(x?a)?< br>1?f(x?b)
(a?b)

1?f(x?b)
由
f(x? a)?
1?f(x?b)?1
(a?b)
得
f(x?2a)?
，进而 得
1?f(x?b)f(x?2b)
f(x?2a)?f(x?2b)??1
，由前 面的结论得
f(x)
的周期是
T?4(b?a)

★热点考点题型探析
考点1 判断函数的奇偶性及其应用
题型1：判断有解析式的函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·
1?x
；
1?x
?
x(1?x)
1?x
2
（3）
f(x)?
；（4）
f(x)?
?
|x?2|?2
?
x(1?x)(x?0),

(x?0).
[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。
[解析] （1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.
- 41 - 57

高一数学必修一专题复习
∵f（－x）=|－x+1|－|－x－ 1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），
∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.
（2）先确定函数的定义域.由
1 ?x
≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既
1?x
不是奇函 数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
?
1?x
2< br>?0,
?
?1?x?1,
由
?
得
?

x?0且x??4.
|x?2|?2?0,
?
?
故f（x）的定义域为［－ 1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.
1?(?x)
2
1?x< br>2
1?x
2
1?x
2
从而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x）
x?2?2xx
?x
故f（x）为奇函数.
（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，
∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.
当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.
故函数f（x）为奇函数.
1
函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶【名师指引】○
函数的定义域为D, 则
x?D
时
?x?D
) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件
2
分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. ○
题型2：证明抽象函数的奇偶性
[例2] （09年山东梁山）定义在区间
(?1,1)
上的函数f (x)满足：对任意的
x,y?(?1,1)
，
都有
f(x)?f(y)?f(
求证f (x)为奇函数；
[思路点拨]欲 证明
f(x)
为奇函数，就要证明
f(?x)??f(x)
，但这是抽象函数 ，应设法充
分利用条件“对任意的
x,y?(?1,1)
，都有
f(x)? f(y)?f(
“赋值”
[解析]令x = y = 0，则






f (0) + f (0) =
f(
x?y
)
.
1?xy
x?y
)
”中的
x,y
进行合理
1?xy
0?0
)?f(0)

1?0
∴ f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)
x?x
∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0
2
1?x
∴ f (－x) =－f (x)
∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数
【名师指引】 对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不
等式问题，要灵活利用已 知条件，尤其是f (x
1
) －f (x
2
) = f (x
1
) + f (－x
2
)
- 42 - 57

高一数学必修一专题复习
[新题导练]
1．（09广东 电白一中）设函数
f
?
x
?
?x
2
?1
?
x?a
?
为奇函数，则
a?
___________。
[ 解析]0；由函数
f
?
x
?
?x
2
?1
?
x?a
?
为奇函数得到
f
?
0
?
?0，即
0
2
?1
?
0?a
?
?0

所以
a?0

2．（高州中学09届训练题）已知函数
f(x)?a x
2
?bx?3a?b
是定义域为
[a?1,2a]
的偶函
数，则
a?b
的值
是（ ）
??
??
??
1
A．0；B．；C．1；D．
?1

3
[解析]
B；由
函数
f(x)?ax
2
?bx? 3a?b
是定义域为
[a?1,2a]
的偶函数得
b?0
，并且a?1??2a
，即
a?
1
，所以
a?b
的值
是0
3
3．定义两种运算：
a?b?a
2
?b
2
，
a?b?(a?b)
2
，则
f(x)?
2?x

(x?2)?2
是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个 ）
[解析]奇；依
a?b?a
2
?b
2
和
a?b ?(a?b)
2
得
4?x
2
?
，其定义域为
[?2,0)?(0,2]
，所以
2
x?2?2
(x?2)?2
4?x
2
2?x
f( x)??
(x?2)?2
4?x
2
4?x
2
，可见，
f(x)
是奇函数
f(x)???
(2?x)?2x
ax
2?1
4．已知函数
f(x)?
（a、b、c∈Z）是奇函数,又
f(1) ?2
，
f(2)?3
，求a、b、c
bx?c
的值.
，c ?0
；
由f（－x）=－f（x）[解析]
a?1，b?1
，得－bx+c= －（bx+c）.
4a?1
＜3，
a?1
1
解得－1＜a＜2. 又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b=，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.
2
∴c=0，由f（1）=2，得a+1=2b，由f（2）＜3，得
考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用
[例3] （普宁市城东中学09）已知奇函数
f(x)是定义在
(?2,2)
上的减函数，若
f(m?1)?f(2m?1)?0
，求实数
m
的取值范围。
[思路点拨]欲求
m
的取值范围，就要 建立关于
m
的不等式，可见，只有从
f(m?1)?f(2m?1)?0
出 发，所以应该利用
f(x)
的奇偶性和单调性将外衣“
f
”脱去。

- 43 - 57

高一数学必修一专题复习
[解析]

?
f(x)
是定义在
(?2,2)
上奇函数
?
对 任意
x?
(?2,2)
有
f
?
?x
?
?? f
?
x
?

由条件
f(m?1)?f(2m?1)?0得
f(m?1)??f(2m?1)
=
f(1?2m)

?
f(x)
是定义在
(?2,2)
上减函数
12
?m?

23
12
?
实数
m
的取值范围是
??m?

23
?
?2?1?2m?m?1?2
，解得
?
【名师指引】 利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式

[例4]设函数f(x)是定义在R上的 偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a
2
+a+1)2－
2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=(
1
a
2?3a?1
)的单调递减区间.
2
[思路点拨]欲由f(2a
2
+a+1)2
－2a+1)求a的取值范围，就要设法利用函数f(x)的单调性 。
而函数y=(
1
a
2
?3a?1
)是一个复合函数，应 该利用复合函数单调性的判定方法解决
2
[解析]设01
2
,则－x
2
<－x
1
<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调 递增，
∴f(－x
2
)1
),∵f(x)为偶函数，∴ f(－x
2
)=f(x
2
),f(－x
1
)=f(x
1
),
∴f(x
2
)1
).∴f(x)在(0 ，+∞)内单调递减.
1712
又2a
2
?a?1?2(a?)
2
??0,3a
2
?2a?1?3(a?)
2
??0.
4833
由f(2a
2
+a+1)2
－2a+1)得 ：2a
2
+a+1>3a
2
－2a+1.解之，得0又 a
2
－3a+1=(a－
∴函数y=(
3
2
5
)－ .
24
3
1
a
2
?3a?1
)的单调减区间是< br>[,??)

2
2
3
2
3
结合0a?3a?1
的单调递减区间为［，3).
22
【名师指引 】偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称
的两个区间上的单调性相 同。
[新题导练]
5．（普宁市城东中学09届高三模拟）若
f(x)
是 奇函数，且在
?
0,??
?
内是增函数，
又
f(3)?0< br>，则
xf(x)?0
的解集是（ ）
A.
{x?3?x?0或x ?3}
；B.
{xx??3或0?x?3}

C.
{xx??3或x?3}
； D.
{x?3?x?0或0?x?3}

[解析]D；因为
f(x)
在
?
0,??
?
内是增函数，
f(3)?0
，所以当
0?x?3
时，
f(x)?0
；当
x?3
时，
f(x)? 0
，又因
f(x)
是奇函数，其图象关于原点对称，所以当
?3?x?0时，
- 44 - 57

高一数学必修一专题复习 f(x)?0
；当
x?3
时，
f(x)?0
，可见
xf (x)?0
的解集是
{x?3?x?0或0?x?3}

6．（2007·天 津改编）在
R
上定义的函数
f
?
x
?
是奇函数，且
f
?
x
?
?f
?
2?x
?
，若< br>f
?
x
?
在区间
?
1,2
?
是减函 数，则函数
f
?
x
?
（ ）
A.在区间
?
?3,?2
?
上是增函数，区间
?
3,4
?
上是 增函数
B.在区间
?
?3,?2
?
上是增函数，区间
?< br>3,4
?
上是减函数
C.在区间
?
?3,?2
?< br>上是减函数，区间
?
0,1
?
上是增函数
D.在区间
?
?2,?1
?
上是减函数，区间
?
3,4
?
上 是减函数
[解析] C；由
f
?
x
?
?f
?2?x
?
知
f
?
x
?
的图象关于直线
x?1
对称，由
f
?
x
?
在区间
?
1,2
?
是减函
数知
f
?
x
?
在区间
?
0,1
?
是增函数，又由
f
?
x
?
?f< br>?
2?x
?
及
f
?
x
?
是奇函数， 得到
f
?
x?2
?
?f[2?(x?2)]?f(?x)??f( x)
，进而得
f
?
x?4
?
?f(x)
，所以f
?
x
?
是以4为
周期的函数，故
f
?
x
?
在
?
?3,?2
?
上是减函数。
7．（普宁市城东中学09
届高三模拟
）定义在R上的奇函数
f(x)
有最小 正周期4，且
3
x
。求
f(x)
在
?
?2,2?
上的解析式
x?
?
0,2
?
时，
f(x) ?
x
9?1
?
3
x
?
9
x
?1< br>,0?x?2,
?
?
[解析]
f(x)?
?
0,x? {?2,0,2},

?
3
x
?
?
x
,? 2?x?0
?
?
9?1
3
?x
3
x
?,< br> ⑴当
?2?x?0
时，
0??x?2,f(?x)?
?x
9 ?19
x
?1
3
x
又
f(x)
为奇函数，
?f(x)??f(?x)??
，
1?9
x
当
x?0
时， 由
f(?0)??f(0)?f(0)?0?f(x)
有最小正周期4，
?f(?2)?f(?2?4)?f(2)?f(?2)?f(2)?0

- 45 - 57

高一数学必修一专题复习
?
3
x< br>?
9
x
?1
,0?x?2,
?
?
综上，f(x)?
?
0,x?{?2,0,2},

?
3
x< br>?
?
x
,?2?x?0
?
?
9?1
考点3 函数奇偶性、周期性的综合应用
[例5] （09年惠州第三次调研考）已知定义在
R上的偶函数
f(x)
满足
f(x?2)?f(x)?1
对
于< br>x?R
恒成立，且
f(x)?0
，则
f(119)?
________
[思路点拨]欲求
f(119)
，应该寻找
f(x)
的一个起点值，发现
f(x)
的周期性

[解析]由
f(x ?2)?f(x)?1
得到
f(x?2)?
1
，从而得
f(x?4) ?f(x)
，可见
f(x)
f(x)
是以4为周期的函数，从而
f( 119)?f(4?29?3)?f(3)
，
又由已知等式得
f(3)?
1

f(1)
又由
f( x)
是
R
上的偶函数得
f(1)?f(?1)

又在已知等 式中令
x??1
得
f(1)?f(?1)?1
，即
f(1)?1
所以
f(119)?1

【名师指引】近年将函数的奇偶性、周期性综 合在一起考查逐步成为一个热点，解决问题的
关键是发现函数的周期性（奇偶性）。
[新题导练]
8．（执信中学09届训练题）设
f
?
x
?
是定义在
R
上的正值函数,且满足
f
?
x?1
?
f
?
x?1
?
?f
?
x
?
.若< br>f
?
x
?
是周期函数,则它的一个周期是（ ）
< br>A
.
3
；
B
.
2
；
C
.< br>6
；
D
.
4

[解析]
C
；由f
?
x
?
是定义在
R
上的正值函数及
f
?
x?1
?
f
?
x?1
?
?f
?
x
?
得
f
?
x?1
?
?
f
?
x
?
f
?
x?1
?
f(x?1)
?
，
f
?
x?2
?
?
，
f
?
x ?1
?
f[(x?1)?1]f(x)
f(x?1)
f(x?2)1
f(x)
f
?
x?3
?
???
，所以
f
?
x?6
?
?f(x)
，即
f
?
x
?
的一个周期是6
f(x?1)f(x?1)f(x)
- 46 - 57

高一数学必修一专题复习
9．（06年安徽改编）函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满足条件
f
?
x?2
?
f(x)?1
，若
f
?
1
?
??5,< br>则
f
?
?5
?
?
__________
1
1
[解析]
?
；由
f
?
x?2
?
f(x)?1
得
f
?
x?2
?
?
，进而得
f
?
x?4
?
?f(x)

5
f(x)
1 11
所以
f
?
?5
?
?f(?5?4)?f(?1)??? ?

f(?1?2)f(1)5
备选例题：（05年广东）设函数
f(x) 在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)
，且在闭区间[0,7]
上，只
有
f(1)?f(3)?0.

（Ⅰ）试判断函数
y?f(x)
的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程
f(x) ?0
在闭区间
[?2005,2005]
上的根的个数，并证明你的结论.
[解析]
（Ⅰ）方法一：若
f(x)
是偶函数，则
f(?x)?f[2?(x?2)]?f[2?(x?2)]?f(4?x)?f(x)
于是有
f(7)?f(4?3)?f(3)?0
，这与在闭区间
[0,7]
上，只有
f(1)?f(3)?0.
矛盾
故
f(x)
不是偶函数；
若
f(x)
是奇函数，则
f(0)?f(?0)??f(0)?0
，这与在闭区间
[0,7]
上，只有
f(1)?f(3)?0.
矛盾，故若
f(x)
不是奇函数
所以
f(x)
既不是偶函数，也不是奇函数
方法二：因为在闭区间
[0,7]
上，只有
f(1)?f(3)?0.
故
f(0)?0
，即
f(x)
不是奇函数
又由
f(2?x)?f(2?x)
知，
f(?1)?f(5)
，而
f(5)?0
，所以
f(?1)?0
， 又
f(1)?0.

所以
f(?1)?f(1)
，可见
f(x)
不是偶函数
所以
f(x)
既不是偶函数，也不是奇函数
（Ⅱ）方法一：因为
f (x)?f[2?(x?2)]?f[2?(x?2)]?f(4?x)

f(x)?f[7?(x?7)]?f[7?(x?7)]?f(14?x)

所以< br>f(14?x)?f(4?x)
，即
f[10?(4?x)]?f(4?x)

- 47 - 57