2017-2018学年苏教版高中数学必修1全册学案

2017-2018学年苏教版高中数学
必修1全册学案
目录
1.1 第1课时 集合的含义
1.1 第2课时 集合的表示
1.2 子集、全集、补集
1.3 交集、并集
2.1.1 函数的概念和图象（一）
2.1.1 函数的概念和图象（二）
2.1.2 函数的表示方法
2.2.1 函数的单调性（一）
2.2.1 函数的单调性（二）
2.2.2 函数的奇偶性
2.3 映射的概念
3.1.1 第1课时 根式
3.1.1 第2课时 分数指数幂
3.1.2 指数函数（一）
3.1.2 指数函数（二）
3.2.1 第1课时 对数的概念
3.2.1 第2课时 对数的运算性
质
3.2.2 对数函数（一）
3.2.2 对数函数（二）
3.3 幂函数

3.4.1 第1课时 函数的零点
3.4.1 第2课时 用二分法求方
程的近似解
3.4.2 函数模型及其应用
疑难规律方法1
疑难规律方法2
疑难规律方法3
章末复习课1
章末复习课2
章末复习课3

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第1课时 集合的含义
学习目标 1.通过实例理解集合的有关概念.2.初步理解集合中元 素的三个特性.3.体会元素
与集合的属于关系.4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示 有关数学对象．

知识点一 集合的概念
思考 有首歌中唱道：“他大舅他二舅都是他舅”你能从集合的角度解读一下这句话吗？




梳理 (1)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．常用大 写字母拉丁A，
B，C，?来表示．
(2)集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．
集合的元素常用小写拉丁字母a，b，c，?表示．
知识点二 元素与集合的关系
1
思考 1是整数吗？是整数吗？
2


梳理 元素与 集合的关系有两种，分别为__________、__________，数学符号分别为______、______.





1

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知识点三 元素的三个特性
思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否 构成一
个集合？集合元素确定性的含义是什么？








思考2 构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？




思考3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、
重庆 ；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？







梳理 元素的三个特性是指________、________、________.
知识点四 常用数集及表示符号
名称
符号
自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集


类型一 判断给定的对象能否构成集合
例1 观察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x
2
－9＝0在实数范围内的解；
(3)某校2015年在校的所有高个子同学；
2

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(4)3的近似值的全体．











反思与感悟 判断给定的对象能不能构成 集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任
何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是________．(填序号)
①数学必修1课本中所有的难题；
②小于8的所有素数；
③直角坐标平面内第一象限的一些点；
④所有小的正数．



类型二 元素与集合的关系
命题角度1 判定元素与集合的关系
例2 给出下列关系：
1
①∈R；②2?Q；③|－3|?N；④|－3|∈Q；⑤ 0?N.其中正确的为________．(填序号)
2
反思与感悟 要判断元素与集合的关 系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如
N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元 素是否具有集合要求的条件．
跟踪训练2 用符号 “∈”或“?”填空．
－2________R；－3________Q；
－1________N；π________Z.
命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理
6
例3 集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
3－x

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反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提：集合中的元素是直接给出的．
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．
(2)推理法
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．
②判断方法：首先明确 已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素
所具有的特征．
跟踪训练3 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1?A,2∈A，则a的取值范围是____________．
类型三 元素的三个特性的应用
例4 已知集合A中有三 个元素：a－3,2a－1，a
2
＋1，集合B中也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x
2
∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使A＝B.











反思与感悟 (1)元素的无序性主要体现在
①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；
②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．
(2)元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．
跟踪训练4 已知集合A只含有两个元素a和a
2
，若1∈A，求实数a的值．





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1．下列给出的对象中，能组成集合的是________．(填序号)
①一切很大的数；
②好心人；
③漂亮的小女孩；
④方程x
2
－1＝0的实数根．
2．下面说法正确的是________．(填序号)
①所有在N中的元素都在N
*
中；
②所有不在N
*
中的数都在Z中；
③所有不在Q中的实数都在R中；
④方程4x＝－8的解既在N中又在Z中．
3．由“book”中的字母构成的集合中元素的个数为________．
4．设函数y＝ x
2
－2x－1图象上的点构成集合A，则点(0，－1)________A.
5 ．已知集合A是由0，m，m
2
－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为< br>________．

1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特 征(或标准)，依此特征(或标
准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果 没有，就不能构成
集合．
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.
3．集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即 一个集合一旦确定，某一个
元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必 居其一，这个
特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必 须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元
素都是不同的．
(3)无序性： 集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的
集合是相等的集合．这 个性质通常用来判断两个集合的关系．
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答案精析
问题导学
知识点一
思考 “某人的舅”是一个集合，某人的大舅、二舅都是这个集合中的元素．
知识点二
1
思考 1是整数；不是整数．
2
梳理 属于 不属于 ∈ ?
知识点三
思考1 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准．高于17 5厘米的
男生能构成一个集合，因为标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
思考2 2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．
思考3 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市 ，因此两个同学的回答都是正确的，由此
说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．
梳理 确定性 互异性 无序性
知识点四
N N
*
或N
＋
Z Q R
题型探究
例1 解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．
(2)能构成集合．
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判 断，因此不能构成一
个集合．
(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一 个数，如“2”是不是它的近似
值，所以不能构成集合．
跟踪训练1 ②
解析 ① 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；②能构成集合；③中“一些点”无明确
的标准，对于某个点是 否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些
点”不能构成集合；④中没有明确的 标准，所以不能构成集合．
例2 ①②
跟踪训练2 ∈ ∈ ? ?
例3 0,1,2
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6
解析 ∵x∈N，∈N，
3－x
∴0≤x≤2且x∈N.
66
当x＝0时，＝＝2∈N；
3－x
3
66
当x＝1时，＝＝3∈N；
3－x3－1
66
当x＝2时，＝＝6∈N.
3－x3－2
∴A中元素有0,1,2.
跟踪训练3 (－4，－2]
解析 ∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，
∴－4例4 解 (1)由－3∈A且a
2
＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；
当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x
2
∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a
2
＋1≠0.
由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，
A＝{a－3,2a－1，a
2
＋1}
＝{0,5,10}≠B.
1
若2a－1＝0，则a＝，
2
A＝{a－3,2a－1，a
2
＋1}
55
＝{0，－，}≠B.
24
故不存在这样的实数a，x，使A＝B.
跟踪训练4 解 若1∈A，则a＝1或a
2
＝1，故a＝1或－1.
当a＝1时，集合A有重复元素，
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∴a≠1；
∴当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合题意，
∴a＝－1.
当堂训练
1．④ 2.③ 3.3 4.∈
5．3
解析 由2∈A可知 ，若m＝2，则m
2
－3m＋2＝0，这与m
2
－3m＋2≠0相矛盾；
若m
2
－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．
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第2课时 集合的表示
学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法的格式及其适用情形.3.学会 在不同的
集合表示法中作出选择和转换.4.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念．

知识点一 列举法
思考 要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而 当集合中元素较
少时，如何直观地表示集合？






梳理
列举法
一般形式

知识点二 描述法
思考 能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？










梳理
描述法
一般形式
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来的方法称为描述法
{x|p(x)}(其中x为集合的代表元素，p(x)是指元素x具有的性质)
将集合的元素一一列举出来，并臵于花括号“{}”内，这种表示集合的方
法称为列举法 {a
1
，a
2
，a
3
，?，a
n
}
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知识点三 Venn图
图示法
画一条封闭的曲线，用它的内部表示集合的方法称为图示法，或称为Venn
图法
一般形式


知识点四 集合相等、有限集、无限集、空集
思考1 集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}与集合B＝{y|y＝2n－1，n∈Z}元素是否完全相同？






思考2 集合A＝{x∈R| x
2
<1}，B＝{x∈N|x
2
<1}，C＝{x∈R|x
2<－1}中的元素各有多少个？






梳理 (1)如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都
是A的元素)，则称这两个集合相等，记作A＝B.
(2)含有有限个元素的集合称为有限集，含有无 限个元素的集合称为无限集，不含任何元素
的集合称为空集，记作?.

类型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合．
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x
2
＝x的所有实数根组成的集合．






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反思与感悟 (1)集合 中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元
素的顺序，且元素不能重复，元素与 元素之间要用“，”隔开．
(2)列举法表示的集合的种类
①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然
数”可以表示为{1,2,3，?，1 000}；
③元素个数无限但有规 律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为
{0,1,2,3，?}．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合．
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由1～20以内的所有素数组成的集合．









类型二 用描述法表示集合
例2 试用描述法表示下列集合．
(1)方程x
2
－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
引申探究
用描述法表示函数y＝x
2
－2图象上所有的点组成的集合．










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反思与感悟 用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号．
(2)说明该集合中元素的性质．
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内．
( 4)在描述法的一般形式{x|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．
跟踪训练2 用描述法表示下列集合．
(1)方程x
2
＋y
2
－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)二次函数y＝x
2
－10图象上的所有点组成的集合．











类型三 集合表示的综合应用
命题角度1 选择适当的方法表示集合
例3 用适当的方法表示下列集合．
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
(2)抛物线y＝x
2
－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．










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反思与感悟 用列举法与 描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的
条件；三要根据集合中元素的个数来选 择适当的方法表示集合．
跟踪训练3 若集合A＝{x|－2≤x≤2，x∈Z}，B＝{y|y＝x
2
＋2 000，x∈A}，则用列举法表
示集合B＝________.
命题角度2 新定义的集合
例4 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数
时 ，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义
下，集合 M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是________．
反思与感悟 命题者以考试说 明中的某一知识点为依据，自行定义新概念、新公式、新运算
和新法则，做题者应准确理解应用此定义， 在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．
跟踪训练4 定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy， x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集
合A※B的所有元素之和为______ __．

1．用列举法表示集合{x|x
2
－2x＋1＝0}为________．
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是________．(用列举法表示)
3．设A＝{x|1≤x<6，x∈N}，则用列举法表示A为________．
4．第一象限的点组成的集合可以表示为________．
5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是________．(填序号)
①{x|x＝4k－1，k∈Z}；
③{x|x＝2k＋1，k∈Z}；
②{x|x＝2k－1，k∈Z}；
④{x|x＝2k＋3，k∈Z}．

1．在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3 )元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可
以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单； 若集合中的元素较多或无限，但出现
一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是 数、还是有序实数对(点)、还是集合或其
他形式；
(2)当题目中用了其他字母来描述元素 所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，
而不能被表面的字母形式所迷惑．
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答案精析
问题导学
知识点一
思考 把它们一一列举出来．
知识点二
思考 不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列
举， 还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．
知识点四
思考1 用列举法表示两个集合，
即A＝{?，－1,1,3,5，?}；
B＝{?，－1,1,3,5，?}．
所以A与B尽管形式不一样，但它们所含的元素完全一样，故A＝B.
思考2 A＝{x∈R|－1B＝{0}，元素只有一个；
C中没有元素．
题型探究
例1 解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x
2
＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}．
跟踪训练1 解 (1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
例2 解 (1)设方程x
2
－2＝0的实数根为x，并且满足条件x
2
－2＝0，因此，用描述法表示
为A＝{x|x
2
－2＝0}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条 件x∈Z，且10＝{x|10引申探究
解 {(x，y)|y＝x
2
－2}．
跟踪训练2 解 (1)方程x
2
＋y
2
－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)
2
＋(y＋3)
2
＝0，解得x＝2，y
＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
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(2)“二次函数y＝x
2
－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x
2
－10} ．
例3 解 (1)列举法：{0,2,4}；描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．
(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
跟踪训练3 解析 由A＝{x|－2≤ x≤2，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x
2
∈{0,1,4}，x
2
＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}．
例4 17
解析 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4 ＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋
8＝16,9＋7＝16,10 ＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16 ＝
16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个．
跟踪训练4 6
解析 由题意得t＝0,2,4，
即A※B＝{0,2,4}，
又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.
当堂训练
1．{1} 2.{(1，－2)} 3.{1,2,3,4,5}
4．{(
x
，
y)|
x
>0且
y
>0} 5.①
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学习目标 1 .理解子集、真子集、全集、补集的概念.2.能用符号和Venn图，数轴表达集合
间的关系.3.掌 握列举有限集的所有子集的方法，给定全集，会求补集．


知识点一 子集
思考 如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？




梳理
定义
记法
读法
图示
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，
那么集 合A称为集合B的子集
A?B或B?A
集合A包含于集合B或集合B包含集合A

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A；
性质
(2)对于集合A，B，C，若A?B且B?C，则A?C；
(3)若A?B且B?A，则A＝B；
(4)规定??A






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知识点二 真子集
思考 在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元
素的A的子集？




梳理
定义
记法
读法
图示
性质

知识点三 全集、补集
思考 自然数集N中，除了正整数还有谁？整数集Z中呢？






梳理 (1)全集
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常记作
U.
(2)补集
文字语言
定义
符号语言
图形语言

性质

17
如果A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集
A?B或B?A
集合A真包含于集合B或集合B真包含集合A

(1)对 于集合A，B，C，若A?B且B?C，则A?C；(2)对于集合A，B，
若A?B且A≠B，则A? B；(3)若A≠?，则??A
设A?S，由S中不属于A的所有元素组成的
集合称为S的子集A的补集
?
S
A＝{x|x∈S，且x?A}
(1)A?S，?
S
A?S；(2)?
S
(?
S
A)＝A；(3)?
S
S＝?， ?
S
?＝S；(4)A∪(?
S
A)＝S；
(5)A∩(?
S
A)＝?

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类型一 判断集合间的关系
命题角度1 概念间的包含关系
例1 设集合M＝{菱 形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之
间的关系为______ __．
反思与感悟 一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定
义．
跟踪训练1 我们知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R表
示，用符号表示N、Z、Q 、R的关系为________________．
命题角度2 数集间的包含关系
例2 设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为________．
反思与感悟 判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征 法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特
征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
跟踪训练2 已知集合A＝{x|－1类型二 求集合的子集
例3 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．















18

2017-2018学年苏教版高中数学必修1学案

反思与感悟 为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：
先是一位数，然后是两 位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练3 适合条件{1}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是________．
类型三 求补集
例4 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则?
U
A＝________.
(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}， B＝{3，4,5,6}，求?
U
A，?
U
B.
(3)设全集U＝ {x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，
?U
(A∪B)．














反思与感悟 求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补
集， 常借助Venn图(有限集)、数轴(数集)、坐标系(点集)来求解．
跟踪训练4 (1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?
U
A＝________.
(2)已知集合U＝R，A＝{x|x
2
－x－2≥0}，则?
U
A＝___ _____.
(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy> 0}，则?
U
A＝________.

1．集合P＝{x|x
2
－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为________．
2．下列关系错误的是________．
①???； ②A?A； ③??A； ④?∈A.
3．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．
4．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A?B，则实数a的取值范围是________． < br>5．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?
U
M等于__ ______．
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1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中 的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A
?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A ?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A
中不含任何元素；若A＝B，则 A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但xD∈A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的 子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2
n
个子集，有2
n
－1个 真子集，
有2
n
－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉． 3．补集是相对于全集而言的，有限集求补集一般借助Venn图，连续的数集求补集常用数
轴，求 时注意端点取舍．
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答案精析
1．2 子集、全集、补集
问题导学
知识点一
思考 所有的白马都是马，马不一定是白马．
知识点二
思考 用真子集．
知识点三
思考 N中除了正整数还有0，Z中除了正整数还有负整数和0.
题型探究
例1 Q?M?N?P
解析 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形．
跟踪训练1 N?Z?Q?R
例2 A?B
解析 ∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.又A≠B，
∴A?B.
跟踪训练2 A?B
解析 由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2?A，故有A?B.

例3 解 (1)?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b ，c}，{b，d}，{c，d}，
{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d }，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2
n
个 子集，2
n
－1个真子集．如?，有一个子集，0
个真子集．
跟踪训练3 15
解析 这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2, 3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，
{1,3,5}，{1,4,5}，{1, 2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．
例4 (1){x|0解析 ∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，
21

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A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴?
U
A＝{x|0(2)解 根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以?
U
A＝{4,5,6,7,8}，
?
U
B＝{1,2,7,8}．
(3)解 根据三角形的分类可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
?
U
(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
跟踪训练4 (1){3,4,5}
(2){x|x
2
－x－2<0}
(3){(x，y)|xy≤0}
当堂训练
1．P?T 2.④ 3.{(1,2)}，{(－3,4)}
4．[6，＋∞) 5.{3,5,6}
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学习目标 1 .理解并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简
单集合的并集 和交集.4.会用区间表示某段连续实数构成的集合．

知识点一 并集
思考 某 次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两
项都报的有3人， 你能算出高一(1)班参赛人数吗？




梳理 (1)定 义：一般地，______________________________________的元素构成的 集合，
称为集合A与B的并集，记作________(读作“A并B”)．
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝________________.
(3)图形语言：、阴影部分为A∪B.
(4)性质：A∪B＝________，A∪A＝ ______，A∪?＝______，A∪B＝A?________，
A______A∪B.
知识点二 交集
思考 一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？




梳理 (1)定义：一般地，由____________________元 素构成的集合，称为A与B的交集，
记作________(读作“A交B”)．
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝________________.
(3)图形语言：

阴影部分为A∩B.
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2017-2018学年苏教版高中数学必修1学案
(4)性质：A∩B＝_ _____，A∩A＝____，A∩?＝______，A∩B＝A?______，A∩B______A∪ B，
A∩B______A，A∩B______B.
知识点三 集合的区间表示
(1)为叙述方便，在今后的学习中，常常会用到区间的概念，用区间表示集合如下表(其中a，
b∈R ，且a定义
{x|a≤x≤b}
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|xR

(2)注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这
一端必须 是小括号．
②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．

类型一 求并集
命题角度1 数集求并集
例1 (1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B＝________.
(2)A＝{x|－1




跟踪训练1 (1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x
2
－x－2＝0}，求A∪B.
(2)A＝{x|－13}，求A∪B.
24
名称
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间





符号
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
(－∞，＋∞)
数轴表示








取遍数轴上所有的值

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命题角度2 点集求并集
例2 集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．






反思与感悟 求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．
跟踪训练2 集合A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}，求A∪B，并说明其几何意义．






类型二 求交集
例3 (1)若集合A＝{x|－5(2)若集合M＝[－2,2)，N＝{0,1,2}，则M∩N＝________.
(3 )集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B，并说明其几何意义．








反思与感悟 求集合A∩B的步骤
(1)首先要搞清集合A，B的代表元素是什么．
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(2)把所求交集用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式．
(3)把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可．
跟踪训练3 (1)集合A＝(－1,2)，B＝(－∞，1]∪(3，＋∞)，求A∩B；
(2)集合A＝{x|2k(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.









类型三 并集、交集性质的应用
例4 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范围．








引申探究
若把例4中集合A改为A＝[2a，a＋3]，其余条件不变，求a的取值范围．





反思与感悟 解此类题，首先要准确翻译，诸如 “A∪B＝B”之类的条件．在翻译成子集关
系后，不要忘了空集是任何集合的子集．但表示为区间的集 合，规定左端点小于右端点，故
不用考虑空集的情形．
跟踪训练4 已知集合A＝{x|x< －1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，求实数a
的取值范围．

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1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝________.
2．已知集合A＝{x|x
2
－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝_______ _.
3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|04．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B＝________.
5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.

1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或” 与通常所说的“非此即彼”有原则性的区
别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括 下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B
但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A 、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素， 而不是部分，特别地，当集
合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交 ”“并”定义求解，但要注意集合元
素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、 并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但
要注意端点值取到与否．
3．用区间表示集合的注意事项
(1)只能表示某段所有实数，不能表示离散数集，如{x|1＜x＜10，x∈N}．
(2)要严格区分中括号和小括号．
(3)要确保左端点小于右端点．
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答案精析
问题导学
知识点一
思考 19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的， 但由于元素互异性的要求，
两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19(人)．
梳理 (1)由所有属于集合A或者属于集合B A∪B
(2){x|x∈A，或x∈B}
(4)B∪A A A B?A ?
知识点二
思考 1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．
梳理 (1)属于集合A且属于集合B的所有 A∩B (2){x|x∈A，且x∈B}
(4)B∩A A ? A?B ? ? ?
题型探究
例1 (1){1,3,4,5,6}
(2)解 如图：

由图知A∪B＝{x|－1跟踪训练1 解 (1)∵B＝{－1,2}，
∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．
(2)如图：

由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．
例2 解 A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．
其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴、y轴的非正半轴后剩下的区域内所有
点．
跟踪训练2 解 A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上 所有
的点组成的集合．
例3 (1){x|－3解析 在数轴上将集合 A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部
分，即A∩B＝{x|－3 28

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(2){0,1}
解析 M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝{0,1}．
(3)解 A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．
跟踪训练3 解 (1)A∩B＝(－1,1]．
(2)A∩B＝{x|2(3)A∩B＝?.
例4 解 A∪B＝B?A?B.
当2a>a＋3，即a>3时，A＝?，满足A?B.
当2a＝a＋3，即a＝3时，A＝{6}，满足A?B.
当2a??
?
a<3，
?< br>a<3，
需
?
或
?

??
a＋3<－12a>5，
??

5
解得a<－4或2
55
综上，a的取值范围是{a| a>3}∪{a|a＝3}∪{a|a<－4，或}．
22
引申探究
解 ∵A＝[2a，a＋3]，
∴有2a＜a＋3，即a＜3.
当a＜3时，要使A?B，
5
由例4可知，只需a＜－4或＜a＜3.
2
5
∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(，3)．
2
跟踪训练4 解 ①当B＝?时，只需2a>a＋3，即a>3；
②当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，


?
a＋3≥2a，
?
a＋3≥2a，
??可得
?
或
?

??
a＋3<－12a>4，
??

解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
当堂训练
1．{－1,0,1,2} 2.{0,2}
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3．(0，＋∞)(或{x|x>0}) 4.?
5．0或3
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2．1.1 函数的概念和图象(一)
学习目标 1.理解函数、定义域、值域的概念.2.了解构成函数的三要素 .3.正确使用函数符
号，会求简单函数的定义域、值域．

知识点一 函数的概念
思考 初中是用两个变量之间的依赖关系定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，
是函数图象？




梳理 设A，B是两个非空的数集，如果按某种___ _________，对于集合A中的每一个元素
x，在集合B中都有________的元素y和它对 应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，
通常记为______________．其中，所有的 输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．
知识点二 判断两个变量是否具有函数关系的方法
思考 用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1 }，f：0→1，满足函数定义，其图
象(0,1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对应是不是函 数？
(1)f：求周长；A＝{三角形}，B＝R；
(2)
x
y
；(3)
x
y
；
(4)
31
1
3
2
2
3
1
1
1
2
1
3
1

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x
y
；(5)
x
y
.



1
1
1
2
1
3
1
1
2
2
3

梳理 (1)如果一个输入值对应到唯一的输出值，就称这种对应为单值对应．
(2)检验两个变量之间是否具有函数关系的方法
①定义域和对应法则是否给出；
②根据对应法则，确认是否为两个非空数集上的单值对应．
知识点三 值域
思考 下图所示的“箭头图”表示的对应关系是否为函数？如果是，3是不是输出值？





梳理 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出 值y与之对应．我
们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．
对于函数f：A→B而言，如果值域是C，那么C?B，不能将B当作函数的值域．

类型一 函数关系的判断
命题角度1 给出三要素判断是否为函数
例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；



(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x
2
；
32

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(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；








(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.












反思与感悟 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任何一个输入值在B中必须有输出值与其对应．
(3)A中任何一个输入值在B中必须有唯一一个输出值与其对应．
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是________．(填序号)
1
①A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→；
|x|
②A＝N，B＝N
*
，f：x→|x－1|；
③A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x
2
；
④A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→x.
命题角度2 给出图形判断是否为函数图象
33

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例2 下列图形中可以作为函数图象的是____________．(填序号)

反思与感悟 在 图形中，横坐标相当于输入值，纵坐标相当于输出值．判断图形是否为函数
图象，就是看横坐标与纵坐标 是否单值对应．
跟踪训练2 若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝ {y|0≤y≤2}，则函数
y＝f(x)的图象可能是____________．(填序号)


类型二 已知函数的解析式，求其定义域
例3 求下列函数的定义域．
1
(1)y＝3－x；
2
?x＋1?
0
(3)y＝；
x＋2








反思与感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
(2)y＝2x－1－7x；
(4)y＝2x＋3－
11
＋.
2－x
x
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x
跟踪训练3 函数f(x)＝的定义域为________．
x－1
类型三 对于f(a)，f(x)的理解
例4 (1)已知函数f(x)＝x＋2，若f(a)＝4，则实数a＝________.
1
(2 )已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x
2
＋2(x∈R)．
1＋x
①求f(2)，g(2)的值；
②求f(g(2))的值；
③求f(a＋1)，g(a－1)．












反思与感悟 ( 1)f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不
管是什么，只需把相 应的x都换成对应的数或式子．
(2)f(a)有3个含义
①a∈定义域．
②f(a)∈值域．
③输入值a按对应法则f对应输出值f(a)．
1－x
跟踪训练4 已知f(x)＝(x≠－1)．
1＋x
1
(1)求f(0)及f(f())的值；
2
(2)求f(1－x)及f(f(x))．





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类型四 求函数值域
例5 求下列函数的值域．
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x
2
－2x＋3，x∈[0,3)；
2x＋1
(3)y＝；
x－3
(4)y＝2x－x－1.














反思与感悟 求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是 求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接
看出其值域的方法．
(3 )分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形
式，便于求值域 ．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±cx±d)，通过换元把它们转化为有理函数 ，然后
利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
跟踪训练5 求下列函数的值域．
(1)f(x)＝x
2
＋x＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝x
2
＋2(x∈[－1,3])；



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2x－1
(3)f(x)＝；
x＋1
(4)f(x)＝x－x＋1.











1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的是________．(填序号)
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
2．函数y＝1－x＋
x
的定义域为________．
x－1
3．函数f(x)＝2x－1(x≥1)的值域为________．
x2
－1
f?2?
4．设f(x)＝
2
，则＝________.
1
x＋1
f??
2
5．下列各组函数是同一函数的是_______ _．(填序号)
①f(x)＝－2x
3
与g(x)＝x－2x；
②f(x)＝x与g(x)＝x
2
；
1
③f(x)＝x
0
与g(x)＝
0
；
x
④f(x)＝x
2
－2x－1与g(t)＝t
2
－2t－1.

1．函数的本质：两个非空数集间的一种单值对应．由于函数的定义域和对应法则一经确定，
值 域也随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应法则一样即可．
2．定义域是 一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制
时，定义域就是使函数式有 意义的输入值x的集合．
37