【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案

【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案
§1.1.1集合的含义及其表示
[自学目标]
1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;
2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;
3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.
[知识要点]
1． 集合和元素
(1)如果
a
是集合A的元素 ,就说
a
属于集合A,记作
a?A
;
(2)如果
a不是集合A的元素,就说
a
不属于集合A,记作
a?A
.
2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.
3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn图.
4.集合的分类:有限集;无限集;空集.
5.常用数集及其记法:自然数集记作
N
,正整数集记作
N
或
N
?
,整数集记作
Z
,有理数集记作
Q
,
实数集记作
R
.
[预习自测]
例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.
（1）小于5的自然数;
（2）某班所有高个子的同学;
（3）不等式
2x?1?7
的整数解;
（4）所有大于0的负数;
（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.
分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.





例2.已知集合
M?
?
a,b,c
?
中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形
一定是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形




例3.设
a?N,b?N,a?b?2,A?
*
分析: 某元素属于集合A, 必具有集合A中元素的性质
p
,反过来,只要元素具有集合A中元素的性质
p
,就一定属于集合A.








例4.已知
M?
?
2,a,b
?
,
N?2a,2, b
2
,且
M?N
,求实数
a,b
的值.



[课内练习]
1．下列说法正确的是（ ）
（A）所有著名的作家可以形成一个集合 （B）0与
?
0
?
的意义相同
（C）集合
A?
?
x x?
??
?
?
?
1
,n?N
?
?
是有限集 （D）方程
x
2
?2x?1?0
的解集只有一个元素
n
?

2
2．下列四个集合中，是空集的是 （ ）
2
22
A．
{x|x?3?3}
B
{(x,y)|y??x,x,y?R}

C．
{x|x?0}
D．
{x|x?x?1?0}

x?y?2
3．方程组
x?y?0
的解构成的集合是 （ ）
{
A．
{(1,1)}
B．
{1,1}
C．（1，1） D．
{1}
.
4．已知
A?{?2,?1,0,1}
，
B?{y|y?xx?A}
，则B＝
5．若
A?{?2,2,3,4}
，
B?{x|x?t,t?A}
，用列举法表示B= .
[归纳反思]
1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元
素 较少 时，用列举法表示方便．
2
．例：x－3x＋2＝0的解集可表示为{1,2}．
有些集合元素的个数较多， 元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法
表示，如何用列举法表示从1到1 00的所有整数组成的集合及自然数集N.
答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n，…}．
小结 用列举法表示集 合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之
间要用“，”隔开．花括号“ { }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，
2
?
?x,y
??
x?a
?
?
?
y?a
?
2 2
?5b,
若
?
3,2
?
?A
,求
a,b
的值.
?
- 1 -

但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的．
1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x
2
＝x的所有实数根组成的集合；
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．
2.描述法：一般地，如果在集合I中，属于 集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集
合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p (x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以用它的
特征性质p(x)描述 {x∈I|p(x)} .
3.列举法常用于集合中的元素较少时的集合表示，描述法多用于集合 中的元素有无限多个的无限集
或元素个数较多的有限集.
1．本课时的重点内容是集合的含义 及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个
重要特性的正确使用；
2．根 据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。这是解决有
关集合问题 的一种重要方法；
3．确定的对象才能构成集合.可依据对象的特点或个数的多少来表示集合,如个数 较少的有限集合可
采用列举法,而其它的一般采用描述法.
4.要特别注意数学语言、符号的规范使用.
[巩固提高]
1．已知下列条件：① 小于60的全体有理数；②某校高一年级的所有学生；③与2相差很小的数；
④方程
x
=4的所有解。其中不可以表示集合的有--------------------（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列关系中表述正确的是------ -----------------------------------（ ）
A．
2
1
?
2
5
??
2
19
?
xx?x?a?0
?
?
xx?ax??0
?
??
2
22
??
中所有元素的和为：
??
7．设，则集合
8、用列举法表示下列集合：
?
x,y
?
x?y?3,x?N,y?N
??
⑴
⑵
?
yx?y?3,x?N,y?N
?

0?
?
x
2
?0
?
B．
0?
?
?
0,0
?
?
C．
0??
D．
0?N







22
9．已知
A
={1，2，
x
－5
x
＋9}，
B
={3，
x
＋
ax
＋
a
}，如果
A
={1，2，3}，2 ∈B，求实数
a
的值.









1 0.设集合
3．下列表述中正确的是------------------------------ ----------------（ ）
A．
?
0
?
??


B．
?
1,2
?
?
?
2,1
?

2
C．
?
?
?
??

A?
?< br>nn?Z,n?3
?
2
，集合
B?
?
yy?x
2
?1,x?A
?
，
D．
0?N

?
a?3,2a?1,a?1
?
，若
?3
是集合A的一个元素，则
a< br>的取值是（ ） 4．已知集合A=
A．0 B．-1 C．1 D．2
C?
?
?
x,y
?
y?x?1,x?A
?
?
x ?3?2y
?
5x?y?4
的解的集合是-------------------- -------------------（ ） 5．方程组
?
A．
?
?
1,?1
?
?
B．
?
?
?1,1
?
?
C．
?
?
x,y
??
1,?1
?
?
D．
?
?1,1
?

?
2x?4?0
?
1?x?2x?1
的整数解集合为： 6．用列举法表示不等式组
?
集合，试用列举法分别写出集合A、B、C.













- 2 -

1.1.2子集、全集、补集
[自学目标]
1.了解集合之间包含关系的意义.
2.理解子集、真子集的概念.
3.了解全集的意义,理解补集的概念.
[知识要点]
1.子集的概念：如果集合 A中的任意一个元素都是集合B中的元素（若
a?A
,则
a?B
），那么称集
合A为集合B的子集（subset），记作
A?B
或
B?A
,.
A
A?B
还可以用Venn图表示.
B
我们规定:
??A
.即空集是任何集合的子集.
根据子集的定义,容易得到:
⑴任何一个集合是它本身的子集,即
A?A
.
⑵子集具有传递性,即若
A?B
且
B?C
,则
A?C
.
2.真子集：如果
A?B
且
A?B
,这时集合A称为集合B的 真子集（proper subset）.
记作：A B
⑴规定：空集是任何非空集合的真子集.
⑵如果A B, B
C
,那么
A

C

3.两个集合相等：如果< br>A?B
与
B?A
同时成立,那么
A,B
中的元素是一样的,即
A?B
.
4．全集：如果集合S包含有我们所要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集（Universal set），
全集通常记作U.
5．补集：设
A?S
,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集
（complementary set）, 记作：
?
S
A
（读作A在S中的补集）,即
例1．判断以下关系是否正确：
⑴
⑷

例2.设
A?x?1?x?3,x?Z
,写出
A
的所有子集.



例3.已知集合
M?
?
a,a?d,a?2 d
?
,
N?a,aq,aq
2
,其中
a?0
且M?N
,求
q
和
d
的值(用
a
表示).









例 4.设全集
U?2,3,a?2a?3
,
A?2a?1,2
,
CU
A?
?
5
?
,求实数
a
的值.
2
?
a
?
?
?
a
?
；
0?
?
0
?
；


⑵
?
1,2,3
?
?
?
3,2,1
?
；
??
?
0
?
；


⑶
⑹
??
?
0
?
??
?
0
?
；
⑸；
??
??
??
??






例5.已知
A?xx?3
,
B?xx?a
. ⑴若
B?A
,求
a
的取值范围;
⑵若
A?B
,求
a
的取值范围; ⑶若
C
R
A

C
R
B
,求
a
的取值范围.
????
?
S
A?{xx?S,
且
x?A}.

补集的Venn图表示:


[预习自测]
S
U
A
A
C
U
A
?
S
A





- 3 -

[课内练习]
1． 下列关系中正确的个数为（ ）
①0∈{0}，②Φ
3．下列四个命题：①
??
?
0
?
；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集是任何一
个集合的子集．其中正确的 有------------------------------------------------- --[ ]
Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个
４．满足关系
?
1,2
?
?A

?
1,2,3
--------------------------[ ]
4,5
?
,
的集合Ａ的个数是
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８
５．若
x,y?R
，
A?
?
x,y
?
y?x
，
B?
?
?
x,y
?
? 1
?
，则
A,B
的关系是---[ ]
x
??< br>{0}，③{0，1}
?
{（0，1）}，④{（
a
，
b）}＝{（
b
，
a
）}
Ａ．
A

B
Ｂ．
A

??
?
y
?
A
）1 （
B
）2 （
C
）3 （
D
）4
2．集合
?
2,4,6,8
?
的真子集的个数是（ ）
（A）16 (B)15 (C)14 (D) 13
B
Ｃ．
A
?
B
Ｄ．
A
?
B

６．设A=
xx?5,x?N
,B={x∣1< x <6,x
?N}
,则
2
??
C
A
B?

７．U={x∣
x?8x?15?0,x?R}
，则U 的所有子集是
正方形
?
，
B?
?
矩形
?
，
C? 平行四边形
,
D?梯形
,则下面包含关系中不正确3．集合
A?
?< br>的是（ ）
（A）
A?B
(B)
B?C
(C)
C?D
(D)
A?C

4．若集合 ，则
b?_____
．
5．已知M={x| ?2≤x≤5}, N={x| a+1≤x≤2a?1}.
（Ⅰ）若M
?
N，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若M
?
N，求实数a的取值范围.


[归纳反思]
1. 这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、真子 集,补集的概念,注意空
集与全集的相关知识,学会数轴表示数集.
2. 深刻理解用集合语 言叙述的数学命题，并能准确地把它翻译成相关的代数语言或几何语言，抓住
集合语言向文字语言或图形 语言转化是打开解题大门的钥匙，解决集合问题时要注意充分运用数
轴和韦恩图，发挥数形结合的思想方 法的巨大威力。
[巩固提高]
1．四个关系式：①
?
?{0}
； ②0
?{0}
；③
??{0}
；④
??{0}
.其中表述正 确的是[ ]
A．①，② B．①，③ C． ①，④ D． ②，④
????
８．已知集合
A?{x|a?x?5}
，
B?{x|x
≥
2}
，且满足
A?B
，求实数
a
的取值范围.

９．已知集合P={x∣
x?x?6?0,x?R}
，S={x∣
ax?1? 0,x?R}
，
若S
?
P，求实数
a
的取值集合.



１０．已知M={x∣x
?0,
x?R
}， N={x∣x
?a,
x?R
}
（1）若M
?N
，求
a
得取值范围； （2）若M
?N
，求
a
得取值范围；
（3）若











2
C
R
M

C
R
N
，求
a
得取值范围.
2．若U={x∣x是三角形}，P={ x∣x是直角三角形}，则
A．{x∣x是直角三角形}
C．{x∣x是钝角三角形}








C
U
P?
----------------------[ ]
B．{x∣x是锐角三角形}
D．{x∣x是锐角三角形或钝角三角形}
- 4 -

1.1.3交集、并集
[自学目标]
1．理解交集、并集的概念和意义
2．掌握了解区间的概念和表示方法
3．掌握有关集合的术语和符号
[知识要点]
1．交集定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}
运算性质：(1)A∩B?A，A∩B?B
(2) A∩A=A，A∩φ=φ
(3) A∩B= B∩A
(4) A? B ? A∩B=A
2．并集定义：A∪B={x| x∈A或x∈B }
运算性质：(1) A ? （A∪B），B ? （A∪B） (2) A∪A=A，A∪φ=A
(3) A∪B= B∪A (4) A? B ? A∪B=B
[预习自测]
1．设A={x|x＞—2}，B={x|x＜3}，求 A∩B和A∪B





2．已知全集U={x|x取不大于30的质数}，A、B是U的两个 子集，且A∩C
U
B=
{5，13，23}，C
U
A∩B={11 ，19，29}，C
U
A∩C
U
B={3，7}，求A，B.







3．设集合A={|a+1|，3， 5}，集合B={2a+1，a
2
+2a，a
2
+2a—1}当A∩B={2 ，3}时，
求A∪B








[课内练习] 1．设A=
?
?1,3
?
，B=
?
2,4
?
，求A∩B


2．设A=
?
0,1
?
，B={0}，求A∪B



3．在平面内，设A、B、O为定点，P为动点，则下列集合表示什么图形
（1）{P|PA=PB} （2） {P|PO=1}




4．设A={（x,y）|y=—4x+b},B={（x,y）|y=5x—3 }，求A∩B





5．设A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|x=2k—1，k∈Z}，C= {x|x=2k，k∈Z}，
求A∩B，A∪C，A∪B














- 5 -

[归纳反思]
1．集合的交、并、补运算，可以借助数轴，还可以借助文氏图，它们都是数形结合思想的体现
2．分类讨论是一种重要的数学思想法，明确分类讨论思想，掌握分类讨论思想方法。
[巩固提高]
1． 设全集U={a，b，c，d，e}，N={b，d，e}集合M={a ，c，d}，则C
U
（M∪N）
等于
2．设A={ x|x＜2}，B={x|x＞1}，求A∩B和A∪B




3．已知集合A=
?
1,4
?
， B=
?
??,a
?
，若 A B
≠
?

，求实数a 的取值范围





4．求满足{1,3}∪A={1，3，5}的集合A






5．设A={x|x
2
—x—2=0}，B=
?
?2,2
?
，求A∩B




6、设A={（x,y）| 4x+m y =6},B={（x,y）|y=nx—3 }且A∩B={（1，2）}，
则m= n=






7、已知A={2，—1，x
2
—x+1}，B={2y，—4，x+4}，C={—1，7}且A∩B=C，求x，y的值





8、设集合A={x|2x
2
+3px+2=0}，B={x|2x
2
+x+q=0}，其中p，q，x∈R，且A∩B={
1
2
}时，
求p的值和A∪B





9、某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人 ，求：⑴只
乘电车的人数 ⑵不乘电车的人数 ⑶乘车的人数 ⑷只乘一种车的人数









1 0、设集合A={x|x
2
+2（a+1）x+a
2
—1=0}，B={x| x
2
+4x=0}
⑴若A∩B=A，求a的值 ⑵若A∪B=A，求a的值












1.1.集合复习课
[自学目标]
1．加深对集合关系运算的认识
- 6 -

2．对含字母的集合问题有一个初步的了解
[知识要点]
1．数轴在解集合题中应用
2．若集合中含有参数，需对参数进行分类讨论
[预习自测]
1．含有三个实数的集合可表示为
?
a,






2．已知集合A=
?
x|x??1或x? 2
?
，集合B=
?
x|4x?p?0
?
，当
A?B
时，求实数p的取值范围




3．已知全集U={1 ，3，
x?3x?2x
}，A={1，|2x—1|}，若C
U
A={0}， 则这样的实数x是否存在，
若存在，求出x的值，若不存在，说明理由







[课内练习]
1．已知A={x|x<3}，B={x|x?
（2）若A?B，求a的取值范围 （3）若C
≠
R
A C
R
B，求a的取值范围




22
2．若P={y|y=x，x∈R}，Q={y| y=x+1，x∈R }，则P∩Q =
22
3．若P={y|y=x，x∈R}，Q={（x，y）| y=x，x∈R }，则P∩Q =
?
4．满足{a，b} A
≠
?{a，b，c，d，e}的集合A的个数是

32
?
b
?
,1
?
，也可表示为
?
a
2
,a?b,0
?
，求
a
2003
?b
2004

?
a
?

[归纳反思]
1．由条件给出的集合要明白它所表示的含义，即元素是什么？
2．含参数问题需对参数进行分类讨论，讨论时要求既不重复也不遗漏。

[巩固提高]
32
1．已知集合M={x|x—2x—x+2=0},则下列各数中不属于M的一个是 （ ）
A．—1 B．1 C．2 D．—2
2．设集合A= {x|—1≤x＜2}，B={ x|x A．a＜2 B．a＞—2 C．a＞—1 D．—1≤a≤2
3．集合A、B各有12个元素，A∩B中有4个元素，则A∪B中元素个数为
4．数集M={x|
x?k?
1k1
,k?N
}，N={ x|
x??,k?N
}，则它们之间的关系是
424
5．已知集合M={（x,y）|x+y=2 }，N={（x,y）|x—y=4}，那么集合M∩N=
22< br>6．设集合A={x|x—px+15=0}，B={x|x—5x+q=0}，若A∪B={2，3，5 }，则A=
B=
7．已知全集U=R，A={x|x≤3}，B={ x|0≤x≤5}，求（C
U
A）∩B



22
?
8．已知集合A={x|x—3x+2=0}，B={x|x—mx+(m—1)=0}，且B A
≠
，求实数m的值







2
9．已知A={x|x+x—6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B= A，求实数m的取值范围







10．已知集合A={x|—2＜x＜—1或x＞0}，集合B={ x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B={x|x
＞—2}，求a、b的值


- 7 -

§2.1.1函数的概念与图象（1）
[自学目标]
1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念；
2．了解构成函数的要素有定义域、值域与对应法则；
[知识要点]
1．函数的定义：
y?f(x)
，
x?A
.
2．函数概念的三要素：定义域、值域与对应法则.
3．函数的相等.
[预习自测]
例1．判断下列对应是否为函数：
（1）
x?
y

x

y

x

y

x

y

x


O O O
O

A B C D
例3． 在 下列各组函数中，
f(x)
与
g(x)
表示同一函数的是--------- ---------[
A．
f(x)
=1，
g(x)
=
x

2
]
0
B．
y?x
与
y?x
2

2
C．
y?x
与
y?(x?1)
D．
f(x)
=∣
x
∣，
g(x)
=
x
2


3x?6
（
x
≥
0
）
例4 已知函数
f(x)?
求
f(1)
及
f[f(1)]


x?5
（
x
?0
），




[课内练习]
1．下列图象中表示函数y=f(x)关系的有--------- -----------------------( )
2
,x?0,x?R;

x
2
（2）
x?y,这里
y?x,
x?N,y?R.

补充：（1）
A?R,B?{ x?
R
︱
x?0
}
，
f:x?y?x
；
（2）
A?B?N,f:x?y?x?3
；
（3）
A?{x?R< br>︱
x?0}
，
B?R,f:x?y??x
；
（4）
A?{x0
≤
x
≤
6},B?{x0
≤
x
≤
3},f:x?y?




x

2
A.(1)(2)(4) B.(1)(2) C.(2)(3)(4) D.(1)(4)
2．下列四组函数中，表示同一函数的是-- --------------------------------( )
A．
y?4x
2
?12x?9
和
y?3?2x
B．
y?x
和
y?xx

C．
y?x
和
y?
3．下列四个命题
（1）f(x)=
x?2?1?x
有意义;
2
分析：判断是否为函 数应从定义入手，其关键是是否为单值对应，单值对应的关键是元素对应
的存在性和唯一性。







例2． 下列各图中表示函数的是- -----------------------------------------[ ]
x
D．
y?x
和
y?
2
?
x
?

2
- 8 -

（2）
f(x)
表示的是含有
x
的代数式
（3）函数y=2x(x
?N
)的图象是一直线；
2
?
?
x,x?0
（4）函数y=
?
的图象是抛物线，其中正确的命题个数是
2
?
?
?x,x?0
A．
1

f(x)
B．
?f(x)
C．
?
1

f(x)
D．
f(x)

（ ）
5．已知
f(x)
=
x?1
，则
f(2)
= ，
f(x?1)
=
6．已知
f( x)
=
x?1
，
x?Z
且
x?[?1,4]
，则< br>f(x)
的定义域是 ，
值域是

2
?
x
3
?
? 1
?
x?1
?
)?
7．已知
f(x)
=
?
，则
f(
2
3
?
?
1?x
?
x?1
?
2
A．1 B．2 C．3 D．0
2
?
3
?
x?1(x?1)
４．已知f (x)=
?
，则f()= ；
2
3
?
?
1?x(x?1)
5．已知
f
满足
f
(
ab
)=
f
(
a
)+
f
(
b )
，且
f
(2)=
p
，
f(3)?q
那么
f(72)
=

[归纳反思]
１．本课 时的重点内容是函数的定义与函数记号
8．设
f(x)?x?1
，求
f{f[ f(0)]}
的值
3
f
?
x
?
的意义，难点是函数概念的理解和正确应用；
２．判断两个函数是否是同一函数，是函数概念的一个重要应用，要能紧扣函数定义的三要素进行
分析，从而正确地作出判断．

[巩固提高]
1．下列各图中，可表示函数y?f(x)
的图象的只可能是--------------------[ ]




9．已知函数
f(x)?






10．若
f(x)?2x?1
，
g(x)?x?1
，求
f[g(x)]
，
g[f(x)]











§2.1.1函数的概念与图象（2）
[自学目标]
2
19
x? 3,
求使
f(x)?(,4)
的
x
的取值范围
28
y

x

y

x

y

x

y

x


A B C D
2．下列各项中表示同 一函数的是-----------------------------------------[ ]
A．
y?(x?1)
与
y?1

0
B．

x
3
1
2
y
=
x
，
y
=
2x
2
C．
y?x?1,x?R
与
y?x?1,x?N D．
f(x)?
2
x?
1与
g(t)?2t?1

2
3．若
f(x)?
x?a
(
a
为常数)，
f(2)
=3，则
a
=------------------------[ ]
A．
?1

4．设
f(x)?
B．1 C．2 D．
?2

x?1
,x??1
，则
f(?x )
等于--------------------------------[ ]
x?1
- 9 -

掌握求函数定义域的方法以及步骤；
[知识要点]
1、函数定义域的求法：
(1)由函数的解析式确定函数的定义域；
(2)由实际问题确定的函数的定义域；
(3)不给出函数的解析式，而由
f(x)
的定义域确定函数
f[g(x)]
的定义域。
[预习自测]
例1．求下列函数的定义域：
（1）
f(x)?1?x?x
（2）< br>f(x)
=
１．函数
f
?
x
?
?
Ａ ．
?
??,0
?

1
的定义域是―――――――――――――――――（ ）
x?x
Ｂ．
?
0,??
?
Ｃ．
[0,??)
Ｄ．Ｒ
２．函数f(x)的定义域是[
1
, 1]，则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（ ）
2
55
A ［0,1］ B ［2，］ C ［0，］ D
?
??,3
?

22
0
1
1
1
（3）
f(x)?
（4）
f(x)
=
5?x?

2
x?x
2?x1?
x
３．函数
f
?
x
?
=
?
1?x
?
?1?x
的定义域是：
４．函数
f(x)?lg(x?5)
的定义域是
5 ．函数
f
?
x
?
?
分析：如果
f(x)
是 整式，那么函数的定义域是实数集
R
；如果
f(x)
是分式，那么函数的定义 域是
使分母
?0
的实数的集合；如果
f(x)
是二次根式，那么函数 的定义域是使根号内的表达式≥0的实
数的集合。★注意定义域的表示可以是集合或区间。


例2．周长为
l
的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若 矩形底边长为2
x
，求此框
架围成的面积
y
与
x
的 函数关系式，并指出其定义域








例3．若函数
y?
f(x)
的定义域为[
?1,1]

（1）求函数
f(x?1)
的定义域；
（2）求函数
y?
f(x?)?f(x?)
的定义域。


[课内练习]
4?x
?log
3
?
x?1
?
的定义域是
x?1


[归纳反思]
１．函数定义域是指受限制条件下的自变量的取值；
２．求函数的定义域常常是归结为解不等式和不等式组；
[巩固提高]
1．函数< br>y
=
1?x
2
+
x
2
?1
的定义域 是----------------------------[ ]
A．[
?1
，
1
] B．（
??,?1]?[1,??)
C．[0，1] D．{
?1,1
}
2．已知
f(x)
的定义域为[
?2, 2
]，则
f(1?2x)
的定义域为------------[ ]

A．[
?2,2
] B．[
?
13
3
,]
C．[
?1,3]
D．[
?2,
]

22
2
?
x?1
?3．函数
y?
0
x?x
的定义域是----------------- -------------------[ ]
1
4
1
4
A．
xx?0
B．
xx?0
C．
xx?0,x??1
D．
xx?0,x??1

????????
4．函数
y
=
x?1
的定义域是
x
5．函数
f(x)
=
x?1
的定义域是 ；值域是 。
- 10 -

1
6．函数
y?
的定义域是： 。
1?x
7．求下列函数的定义域
(1)
y
=
2x?3
； （2）
y
=





8．若函数
f
?
x
?
的定 义域为
x?
?
?3,1
?
，则
F
?
x?
?f
?
x
?
?f
?
?x
?
的定义域.





9．用长为30cm的铁丝围成矩 形，试将矩形面积S（
cm
）表示为矩形一边长
x(cm)
的函数，并画出函数的图象.






10．已知 函数
f(x)
=
ax?bx?c
，若
f(0)?0,f(x?1)? f(x)?x?1
，求
f(x)
的表达式.









§2.1.1函数的概念与图象（3）
2
2
1?x
1
； （3）
y?

x?5
(1?2x)(x?1)
[自学目标]
掌握求函数值域的基本求法；
[知识要点]
函数值域的求法
函数的值域 是由函数的定义域与对应法则确定的，因此，要求函数的值域，一般要从函数的定
义域与对应法则入手分 析，常用的方法有：
（1）观察法；（2）图象法；（3）配方法；（4）换元法。
[预习自测]
例1． 求下列函数的值域：
（1）
y?2x?1,x?{1,2,3,4,5}
；


（2）
y?


（3）
y?


x
?1
;
x
；
x?1
1?x
2
（4）
y?
；
1?x
2

（5）
y?
?x?2x?3
变题：
y?
?x?2x?3

(?5
≤
x
≤
?2
）；



（6）
y?
x?2x?1



分析：求函数的值 域，一种常用的方法就是将函数的解析式作适当的变形，通过观察或利用熟知的
基本函数（如一次函数、 二次函数等）的值域，从而逐步推出所求函数的值域（观察法）；或者也可
以利用换元法进行转化求值域 。
例2． 若函数
y?x?3x?4
的定义域为
[0,m]
，值域 为
[?

2
22
25
,?4]
，求
m
的取值范围
4
- 11 -

[课堂练习]
A.
?
?1,3
?
B.
?
?3,1
?
C.
?
?2,2
?
D.
?
?1,1
?

4.
f(x)
=
x< br>2
?x,x?
{
?1,?2,?3
}，则
f(x)
的 值域是: .
5.函数
y?x?21?x?2
的值域为: .
6.函数
y?
2
1．函数
y?
?
x?0
?
的值域为（ ）
1?x
A．
?
0,2
?
B．
?
0,2
?
C．
?
0,2
?
D．
?
0,2
?

2．函数y=2x-4x-3，0≤x≤3的值域为 ( )
A (-3,3) B (-5,-3) C (-5,3) D (-5,+∞)
3．函数
y??,x?
?
?4,?1
?
的最大值是 ( )
A．
2
B．
4．函数
y?x
2
2
1
的值域为: .
x
2
?2x?2
x?1
（2）
y??2x
2
?x?1
（3）
y?x
2
(?2?x?3)

7.求下列函数的值域
（1）
y?
2
x
1
C．
?1
D．
?4

2
x
2?1
1?2x
（4）
y?
2
（5）
y?2x?x?1
（6）
y
=
x?1
1?3x




8.当
x?[1,3]
时，求函数
f(x)?2x?6x?c
的值域




§2.1.1函数的概念与图象（4）
[自学目标]
1．会运用描点法作出一些简单函数的图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解；
2．通过对函数图象的描绘和研究，培养数形结合的意识，提高运用数形结合的思想方法解决数学问
题的 能力．
[知识要点]
1．函数图象的概念
将自变量的一个值
x
0
作为横坐标，相应的函数值
f
?
x
0
?
作为纵坐 标，就得到坐标平面上的一个
点
x
0,
f
?
x
0< br>?
．当自变量取遍函数定义域Ａ中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点
组 成的集合（点集）为

是函数
y?f
?
x
?
的图象．
2．函数图象的画法
2
?
x??2
?
的值域为
5．求函数y=x+
1?2x
的定义域和值域






[归纳反思]
求函数的值域是学习中的一个难点，方法灵活 多样，初学时只要掌握几种常用的方法，如观察
法、图象法、配方法、换元法等，在以后的学习中还会有 一些新的方法（例如运用函数的单调性、
配方法、分段讨论法、不等式法等等），可以逐步地深入和提高 。

[巩固提高]
1.函数
y
=
1
(x?1)
的值域是---------------------------------------[ ]
x
A．（
??,0)?(0,??)
B．R C．（0，1） D．(1,
??)
走
2.下列函数中，值域是(0,
??
)的是--------------------------------[ ]
A．
??
y
=
x
2
?3x?1
B．
y
=2
x?1
（
x?0)
C．
y?x
2
?x?1
D．
y?
1
2
x
?
?
x,f
?
x
?
?
x?A
?
,
即
?
?
x,y
?
y?f
?
x< br>?
,x?A
?
，所有这些点组成的图形就
3.已知函数
f?
x
?
的值域是
?
?2,2
?
,则函数
y?f
?
x?1
?
的值域是--------[ ]
- 12 -

画函数的图象，常用描点法，其基本步骤是：⑴列表 ；⑵描点；⑶连线．在画图过程中，一定
要注意函数的定义域和值域．
3．会作图，会读（用）图
[预习自测]
例1．画出下列函数的图象，并求值域：
(1)
y
=
3x?1
，
x?
[1，2]； (2)
y
= (
?1
)
x
,
x?
{0,1,2,3}；
(3)
y
=
x
； 变题：
y?x?1
； (4)
y
=
x
?2x?2










2
例2．直线
y< br>=3与函数
y
=|
x
-6
x
|图象的交点个数为 （ ）
（
A
）4个 （
B
）3个 （
C
）2个 （
D
）1个


例3.下图中的A. B. C. D四个图象中，用哪三个分别描述下列三件事最合适，并请你为剩下的一个
图象写出一件事。
离开家的距离(m) 离开家的距离(m)





时间（min） 时间（min）
A B




离开家的距离(m) 离开家的距离(m)



2


时间（min） 时间（min）
C D
(1) 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停下来想了一会还是返回家取了作业本再上学；
(2) 我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3) 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间加快了速度。


[课堂练习]
1．下列四个图像中，是函数图像的是 （ ）


y
y
yy
A、（1）
B、（1）、
x

（3）
x

、
O
O
x

x

（4）
O
O
C、（1）、
（1） （2） （3）
（4）
（2）、
（3） D、（3）、（4）
2．直线
x?a
?
a?R
?
和函数
y?x?1
的图 象的交点个数 ( )
2
A 至多一个 B 至少有一个 C 有且仅有一个 D 有一个或两个以上
3．函数y=|x+1|+1的图象是 ( )
4．某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（ ）（年增长率=年增长值年产值）
A）97年 B）98年
（万元）
1000
C）99年 D）00年
800

600

400
200

5．作出函数
y?x?2x?3(x??1
或
x?2
）的图



2
96
9798
99
00(年）
象；
- 13 -

[归纳反思]
１． 根据函数 的解析式画函数的图象，基本方法是描点法，但值得指出的是：一要注意函数的定义
域，二要注意对函数 解析式的特征加以分析，充分利用已知函数的图象提高作图的速度和准确
性；
２． 函数的图 象是表示函数的一种方法，通过函数的图象可以直观地表示
x
与
y
的对应关系 以及两
个变量变化过程中的变化趋势，以后我们会经常地运用函数解析式与函数图象两者的有机结合来研究函数的性质．
[巩固提高]
1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走作余下的路，在 下图
中纵轴表示离学校距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合学生走法的是 （ ）
d d d d



O t O t O t O t
A B C D
2．某工厂八年来 产品C（即前t年年产量之和）与时间t(年)的函数如下图，下列四种说法：（1）
前三年中，产量增 长的速度越来越快；
（2）前三年中，产量增长的速度越来越慢；
（3）第三年后，年产量保持不变；
（4）第三年后，年产量逐步增长．
其中说法正确的是 （ ）
A．（2）与（3） B．（2）与（4） C．（1）与（3） D．（1）与（4）
3.下列各图象中，哪一个不可能是函数
y?f(x)
的图象 （ ）







0

x

0


C． D．
x


4.函数
y?kx?b(kb?0)
的图象 不通过第一象限，则
k,b
满足-----------[ ]
A．
k
?0,b?0
B．
k?0,b?0
C．
k?0,b?0
D．
k?0,b?0

5.函数
y?ax?bx?c
与
y?ax?b
（
ab?0)
的图象只可能是- --------[ ]
2
y
0
y
x

0
y
x
0
y
x
0
x
A． B． C． D．
6.函数
y?x?1
的图象是--------------------- -------------------[ ]
y
y
x
y
y
x
0
0 0 0
x x

A． B． C． D．
7.函数
y?3x?1(1
≤
x
≤2）的图象是
8.一次函数的图象经过点（2,0）和（-2，1），则此函数的解析式为
22
9.若二次函数
y??x?2mx?m?3
的图象的对称轴为
x ??2
，则
m?

y

x

0

10.在同一个坐标系中作出函数
f(x)=
(x?1)
与
g(x)
=
x?1
的图象
（1）问：
y?
g(x)
的图象关于什么直线对称？
（2）已知< br>x
1
?x
2
?1
，比较大小：
g(x
1)

g(x
2
)

2
x

0
A． B．



y



- 14 -



§2.1.2 函数的表示方法
[自学目标]
1.了解表示函数有三种基本方法:图象法、列表法、解析 法;理解函数关系的三种表示方法具有内在
的联系，在一定的条件下是可以互相转化的.
y

2.了解求函数解析式的一些基本方法,会求一些简单函数的解析式.
3.了解简单的分段函数的特点以及应用.
[知识要点]
1.表示函数的方法,常用的有:解析法,列表法和图象法.
在表示函数的基本方法中,列表 法就是直接列表表示函数,图象法就是直接作图表示函数,而解
析法是通过函数解析式表示函数.
2.求函数的解析式,一般有三种情况
⑴根据实际问题建立函数的关系式;
⑵已知函数的类型求函数的解析式;
⑶运用换元法求函数的解析式;
3．分段函数
在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数;
注意:
①分段函数是一个函数,而不是几个函数;
②分段函数的定义域是
x
的不同 取值范围的并集;其值域是相应的
y
的取值范围的并集
[例题分析]
例1． 购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示x(
x?
?
1,2,3,4
?
)成的函数，并指出该函数的 值域．







例2．（1）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)的表达式；
（2）已知f(2x-3)=
x
+x+1，求f(x)的表达式；







例3．画出函数
f(x)? x
的图象，并求
f(?3)
，
f(3)
，
f(?1),f( 1)
，
f(f(?2))



2
变题① 作出函数
f(x)?x?1

f(x)?x?2
的图象



变题② 作出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象





变题③ 求函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的值域


变题④ 作出函数f(x) =︱x+1︱+︱x-2︱的图象，是否存在
x
0
使得f(
x
0)=
22
?
通过分类讨论，将解析式化为不含有绝对值的式子．
?
-2x+1, x<-1,
?
f(x)=x+1+x-2=
?
3, -1?x?2,

?
2x-1, x>2
?
作出f(x)的图象

由图可知，
f(x)
的值域为
[3,??)
，而
22
?
3
，故不存在
x
0
，使
f(x
0
)?22






- 15 -

?
x?5 ,x??1,
?
2
例4．已知函数
f(x)?
?
x,?1? x?1,

?
2x,x?1.
?
(1)求f(-3)、f[f(－3)] ； （2）若f(a)=











[课堂练习]
1．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩 形面积S（
cm
）表示为矩形一边长x（cm）的函数，并画
出函数的图象．



2.若f(f(x))=2x－1，其中f(x)为一次函数，求f(x)的解析式．



3.已知f(x-3)＝
x?2x?1
，求f(x+3) 的表达式．




4．如图，根据y=f(x) (
x?R
)的图象，写出y=f(x)的解析式．





2
2
1
,求a的值．
2
[归纳反思]
1. 函数关系的表示方法主要有三种: 解析法,列表法和图象法.这三种表示方法各有优缺点,千万 不
能误认为只有解析式表示出来的对应关系才是函数;
2. 函数的解析式是函数的一种常用 的表示方法,要求两个变量间的函数关系,一是要求出它们之间
的对应法则,二是要求出函数的定义域;
3. 无论运用哪种方法表示函数,都不能忽略函数的定义域;对于分段函数,还必须注意在不同的定义
范围内,函数有不同的对应关系,必须先分段研究,再合并写出函数的表达式.
[巩固提高]
1．函数f(x)=︱x+3︱的图象是
------------------------ ------------------------------------( )





2．已知
f
?
2
则f
?
x
?
等于-------------------------- ------------------------( )
A.
x?
x
?
?2?
,
x3
3x
B.
x?3
C.
?3
D.
2x?3

22
3．已知一次函数的图象过点
?
1,0
?
以及
?
0,1
?
，则此一次函数的解析式为------ （ ）
A．
y??x?1
B．
y?x?1
C．
y?x?1
D．
y??x?1

?
x?2< br>?
x??1
?
?
2
4．已知函数
y?f
?< br>x
?
?
?
x
?
?1?x?2
?
，且
f
?
a
?
?3
，则实数
a
的值为---（ ）
?
2x(x?2)
?
A．1 B．
1.5
C．
?3
D．
3

5．若函数
f
?
x
?
?x?mx ?n,f(n)?m,f(1)??1,
则
f
?
?5
?
?< br>
2
6．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（
kg
）与其运费（元）
由如图的一次函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重
量为
- 16 -

7．画出函数
f(x)=
?
?
xx?0,
?
x
2
x?0,
的图象，
并求f(
3?2
)+f(
3?2
的值．
8．画出下列函数的图象
y?
?
?
x
2
?1,x?0
(1) y=x－︱1－x︱ (2)
?
?2x,x?0






9．求函数y=1－︱1－x︱的图象与x轴所围成的封闭图形的面积．




10．如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，它沿着折线
BCDA由点B（起点）向A（终点）运动．设点P运动的路程为x，
△APB的面积为y.
(1)求y关于x的函数表示式，并指出定义域；
（2）画出y=f(x)的图象．







函数的单调性（一）
[自学目标]
1．掌握函数的单调性的概念
2．掌握函数单调性的证明方法与步骤
[知识要点]
1．会判断简单函数的单调性（1）直接法 （2）图象法
2．会用定义证明简单函数的单调性：（取值 ， 作差 ， 变形 ， 定号 ， 判断）
3．函数的单调性与单调区间的联系与区别
[预习自测]

1．画出下列函数图象，并写出单调区间：
⑴
y??x
2
?2
⑵
y?
1
x
(x?0)








2．证明
f(x)??x
在定义域上是减函数





3．讨论函数
y?x
3
的单调性











[课内练习]
1．判断
f(x)?x
2
?1
在（0，+∞）上是增函数还是减函数
2．判断
f(x)??x
2
?2x
在（ —∞，0）上是增函数还是减函数
3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）
（A）y=
1
x
（B） y=2x-1 （C） y=1-x （D）y=
(2x?1)
2
4． 函数y=
1
x
-1的单调 递 区间为
- 17 -

5．证明函数 f（x）=-
x
2
+x 在（
1
2
，+
?
）上为减函数




[归纳反思]
1．要学会从“数”和“形”两方面去理解函数的单调性
2．函数的单调性是对区间而言的，它反映的是函数的局部性质
[巩固提高]
1． 已知f（x）=（2k+1x+1在（-
?
，+
?
）上是减函数，则（ ）
（A）k＞
1
2
（B）k＜
1
2
（C）k＞-
1
2
（D k＜-
1
2

2．在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ）
（A）y=2x+1 （B）y=3
x
2
+1 （C）y=
2
2
x
（D） y=3
x
+x +1 < br>3．若函数f（x）=
x
2
+2（a-1）x+2在区间（-
?
，4）上为增函数，则实数a的
取值范围是 （ ）
（A） a
?
-3 （B）a
?
-3 （C）a
?
3 （D）a
?
3
4．如果函数f（x）是实数集R上的增函数，a是实数，则 （ ）
（A）f（
a
2
）＞f（a+1） （B）f（a）＜ f（3a）
（C）f（
a
2
+a）＞f（
a
2
） （D）f（
a
2
-1）＜f（
a
2
）
5．函数y=
1
x?1
的单调减区间为
6．函数y=
x?1
+
2?x
的增区间为 减区间为
7．证明：
f(x)?
1
x
2
在（0，+∞）上是减函数





8．证明函数
f(x)?x?
1
x
在（0，1）上是减函数






9．定义域为R的函数f（x）在区间（ —∞，5）上单调递减，对注意实数t都有
f(5? t)?f(5?t)
，
那么f（—1），f（9），f（13）的大小关系是
10．若f（x）是定义在
?
?1,1
?
上的减函数，f（x-1） ＜f（
x
2
-1），求x的取值范围







函数的单调性（二）
[自学目标]
1．理解函数的单调性，最大（小）值及其几何意义
2．会求简单函数的最值
[知识要点]
1．会用配方法，函数的单调性求简单函数最值
2．会看图形，注意数形语言的转换
[预习自测]
1．求下列函数的最小值
（1）
y?
1
x
，
x?
?
1,3
?
（2）
y?ax? 1,(a?0)
，
x?
?
1,3
?








2．已知函数
f(x)?x
2
?mx?1
，且f(-1)= -3，求函数f(x)在区间[2，3]内的最值。





- 18 -

3．已知函数y=f(x)的 定义域是[a，b]，a＜c＜b，当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，
b]时 ，f(x)是单调减函数，试证明f(x)在x=c时取得最大值。










[课内练习]
1．函数f(x)=-2x+1在[-1，2]上的最大值和最小值分别是 （ ）
（A）3，0 （B）3，-3 （C）2，-3 （D）2，-2
2．
y?
（A）0，-6 （B）
11
，0 （C），-6 （D）0，-12
44
2．已知二次函数f(x)=2 x
2< br>-mx+3在
?
??,?2
?
上是减函数，在
?
?2 ,??
?
上是增函数，
则实数m 的取值是 （ ）
（A） -2 （B） -8 （C） 2 （D） 8
3．已知函数f(x)=a x
2
-6ax+1 (a＞0)，则下列关系中正确的是 （ ）
（A） f(
2
) ＜f(
3
) （B） f(
5
)＜ f(3) （C）f(-1)＜ f(1) （D）f(2) ＞ f(3)
4． 若f(x)是R上的增函数，对于实数a,b,若a+b＞0,则有 （ ）
（A） f(a)+ f(b) ＞f(-a)+ f(-b) （B）f(a)+ f(b) ＜f(-a)+ f(-b)
（C） f(a)- f(b) ＞f(-a)- f(-b) （D）f(a)- f(b) ＜f(-a)-f(-b)
5．函数y=-
2
+1在[1，3]上的最大值为 最小值为
x
2
6．函数y=- x+2x-1在区间[0，3]的最小值为
7．求函数y=-2 x+3x-1在[-2，1]上的最值





8．求
f(x)?x?2ax?1,x?
?
0,2
?
上的最小值
2
1
在区间
?
?2,?1
?
上有最大值吗？有最小值吗？
x
2
2
3．求函数
y?x?2x?3,x?
?
?2 ,0
?
的最小值
4．已知f(x)在区间[a,c]上单调递减，在区间[c,d] 上单调递增，则f(x)在[a,d] 上
最小值为
5 ．填表已知函数f(x),的定义域是F，函数g(x)的定义域是G，且对于任意的
x?G
，
g(x)?F
，
试根据下表中所给的条件，用“增函数”、“减函数”、“不能确定” 填空。
f(x)
增
增
减
减
g(x)
增
减
增
减
f(x)+g(x)




f(x)-g(x)









9．已知函数f(x)是R上的增函数，且f(x+x) ＞ f(a-x)对一切x∈R都成立，
求实数a的取值范围






2

[归纳反思]
1．函数的单调形是函数的重要性质之一，在应用函数的观点解决问题中
起着十分重要的作用
2． 利用函数的单调性来求最值是求最值的基本方法之一
[巩固提高]
1．函数y=-x+x在[-3,0]的最大值和最小值分别是 （ ）
2
- 19 -

10．已知二次函数
f(x)?x?bx?c
( b、c为常数)满足条件：f(0)=10，且对任意实数x，都有
f(3+x)=f(3-x)。
（1）求f(x)的解析式；
（2）若当f(x)的定义域为[m，8]时，函数y=f(x )的值域恰为[2m，n]，求m、n的值。
2











[自学目标]
1．掌握奇函数、偶函数的定义
2．会判断和证明函数的奇偶性
[知识要点]
1．奇、偶函数的定义
2．奇偶函数的图象与性质（等价性）
3．函数奇偶性的判断方法和步骤
[预习自测]
例1．判断下列函数是否具有奇偶性
(1)
f(x)?2x
(2)
（3）
f(x)?0
(4)
（5）
f(x)?x?1?1?x
(6)







例2．已知函数
f(x)?x?
1
x

⑴判断奇偶性
⑵判断单调性
⑶求函数的值域


函数的奇偶性
f(x)?(x?1)
2

f(x)?x
2
?1,x?
?
0,1
?

f(x)?x
5
?2x
3
?3x



例3．若f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2| ,求x<0时f(x)的表达式



[课内练习]
1．奇函数y=f(x),x∈R的图象必经过点 （ ）
A．（a,f（-a）） B．（-a,f（a）） C．（-a, -f（a）） D．（a, f（
1
a
））
2．对于定义在R上的奇函数f(x)有 （ ）
A．f(x)+f(-x)＜0 B．f(x) -f(-x)＜0 C．f(x) f(-x)≤0 D．f(x) f(-x)＞0
3．已知
f(x)?x
5< br>?ax
3
?bx?8
且f(-2)=0，那么f(2)等于
4．奇函数f(x)在1≤x≤4时解吸式为
f(x)?x
2
?4x?5，则当-4≤x≤-1时，f(x)
最大值为
5．f(x)=
x
3
?mx
2
?nx
为奇函数，y=
x
2
?nx?3
在（-∞，3）上为减函数，
在（3，+∞）上为增函数，则m= n=
[归纳反思]
1．按奇偶性分类，函数可分为四类：（1）奇函数 （2）偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数 （4）既非奇函数又非偶函数
2．在判断函数的奇偶性的基本步骤：（1）判断定义域是否关于原点对称
（2）验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)
3．可以结合函数的图象来判断函数的奇偶性
[巩固提高]
1．已知函数f(x)在[-5，5]上是奇函数，且f(3) ＜f(1),则 （ ）
（A）f(-1) ＜f(-3) （B）f(0) ＞f(1)
（C）f(-1) ＜f(1) （D）f(-3) ＞f(-5)
2．下列函数中既非奇函数又非偶函数的是 （ ）
（A）y=
1
x
（B）y=
1
x
2
?1

（C）y=0 , x ∈[-1，2] （D）y=
x
x
2
?1

- 20 -

3．设函数f(x)=
x?1?a
是奇函数，则实数< br>a
的值为 （ ）
1?x
2
（A） -1 （B） 0 （C） 2 （D） 1
4．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在
区间[-7，-3]上是 （ ）
（A）增函数且最小值为-5 （B）增函数且最大值为-5
（C）减函数且最大值为-5 （D）减函数且最小值为-5
5．如果二次函数y=ax
2
+bx+c (a≠0)是偶函数，则b=
6．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则 f(0)=
7．已知函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，且为偶函数，则f(-
?
)，f(-
1
3
),
f(3)之间的大小关系是
8．f(x)为R上的偶函数，在（0，+∞）上为减函数，则p= f(
?
3
4
)与q= f(
a
2
?a?1
)
的大小关系为
9．已知函数f(x)=x
2
+mx+n (m,n是常数)是偶函数，求f(x)的最小值





10．已知函数f(x) 为R上的偶函数，在[0，+∞）上为减函数，f(a)=0 (a>0)
求xf(x)<0的解集









映射的概念
[自学目标]
1．了解映射的概念，函数是一类特殊的映射
2．会判断集合A 到集合B的关系是否构成映射
[知识要点]

1．正确理解“任意唯一”的含义
2．函数与映射的关系，函数是一类特殊的映射
[预习自测]
例题1.下列图中，哪些是A到B的映射？


1 a 1 a

2 2

3 b 3 b

（A） （B）


1 a 1 a

b 2

2 c 3 b

（C） （D）


例2.根据对应法则，写出图中给定元素的对应元素

⑴f:x→ 2x+1 ⑵f:x→ x
2
-1

A B A B


1

1


2 2

3 3




例3.（1）已知f是集合A={a,b}到集合B={c,d}的映射，求这样的f的个数 （2）设M={-1,0,1},N={2,3,4}，映射f：M→N对任意x∈M都有x+f(x)是奇 数，这样的映
射的个数为多少？






[课内练习]
- 21 -

1.下面给出四个对应中，能构成映射的有 （ ）


a
1
a
1
b
1
a
1
a
1

b
1
b
1
b
1


a
2
a
2
b
2
a
2

b
2
b
2
b
2


a
3
b
3
a
2
a
3
a
3
b
3

b
3
b
3

a
4
a
4
a
4

b
4
b
4


⑴ ⑵ ⑶ ⑷
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

2.判断下列对应是不是集合A到集合B的映射？
（1） A={x|-1≤x≤1},B={y|0≤y≤1},对应法则是“平方”
（2） A=N,B=N+,对应法则是“ f:x→|x-3|”
（3） A=B=R,对应法则是“f:x→3x+1”
（4） A={x|x是平面α内的圆}B={x|x是平面α内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”
3.集合B={-1,3，5}，试找出一个集合A使得对应法则f: x→3x-2是A到B的映射




4.若A={(x,y)}在映射f下得集合B={（ 2x-y,x+2y）}, 已知C={（a,b）}在 f下得集合D={(-1,2)},
求a,b的值





5.设集A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，在下图中能表示从集A到集B 的映射的是（ ）

2 2 2

2
1 1 1

1

1 2 1 2 1 2
1 2
A． B． C． D．
[归纳反思]
1.构成映射的三要素：集合A ， 集合B ，映射法则f
2.理解映射的概念的关键是：明确“任意”“唯一”的含义

[巩固提高]
1.关于映射下列说法错误的是 （ ）
(A) A中的每个元素在 B 中都存在元素与之对应
(B) 在B存在唯一元素和 A 中元素对应
(C) A中可以有的每个元素在 B 中都存在元素与之对应
(D) B中不可以有元素不被A中的元素所对应。
2.下列从集合A到集合B的对应中，是映射的是 （ ）
(A) A={0,2} , B={0,1},f:x
?
y=2x
(B) A={-2,0,2},B={4},f:x
?
y=2x
(C) A=R ,B={y│y<0},f:x
?
y=
1

x
2
(D) A=B=R , f:x
?
y=2x+1
3.若集合P={x│0≤x≤4} ,Q={y│0≤y≤2},则下列对应中，不是
从P到Q的映射的 （ ）
(A) y=
1112
x (B) y=x (C) y=x (D) y=x
8
3
23
4.给定映射f：（x，y）?(x+2y，2x—y)，在映射f作用下(3，1)的象是
2
5.设A到B的映射f
1
：x?2x+1，B到C的映射f
2：y?y—1，则从A到C的映射是f：

6.已知元素(x，y)在映射f下的原象是（x+y,x—y），则(1，2)在f下的象
7.设A={—1，1，2}，B={3，5，4，6}，试写出一个集合A到集合B的映射
8．已知集合A={1，2，3}，集合B={4，5}，则从集合A到B的映射有 个。
9．设映射f：A?B，其中A=B={（x，y）|x∈R，y∈R}，f：（x，y）?（3 x-2y+1，4x+3y-1）
(1)求A中元素(3，4)的象
(2)求B中元素（5，10）的原象
(3)是否存在这样的元素（a，b）使它的象仍然是自己？若有，求出这个元素。










4 2**
10．已知A={1，2，3，k}，B={4，7，a，a+3a}，a∈N，k∈N，x∈A ，y∈B，f：x?y=3x+1是定
义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B。




- 22 -

参考答案
§1.1.1集合的含义及其表示
预习自测:
例1．
解:（1）可以表示为
?
0,1,2,3,4
?
;
（2）其中的对象没有明确的标准,不具备确定性,故不能组成一个集合;
（3）可以表示为
?
x2x?1?7,x?Z
?
;
（4）空集,
?
;
（5）可以构成集合,集合是
?
?x,y
?
y?x,x?R,y?R
?
.
?
1
例2． 选D 例3.
a?1,b?1
例4.
?
?
a?0
?
?
a?
4
?b?1
或
?
?
1

?
?
b?
2
课内练习:
1．D 2．D 3．A； 4．{0,1,2}； 5．{4，9，16}；
巩固提高：
1．A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.
?
?1,0,1,2
?
7.
19
2

8.⑴
?
?
0,3
?
,
?
1,2
?
,
?
2,1
?
,
?
3,0
?
?
;⑵
?
0,1,2,,3
?
; 9.
a
=
?
27
3
或
?
4
. < br>10.
A?
?
?3,?2,?1,0,1,2,3
?
;
B?
?
?1,0,3,8
?
;
C?
?
?
?3,8
?
,
?
?2,3
?
,
?
?1, 0
?
,
?
0,?1
?
,
?
1,0
?
,
?
2,3
?
,
?
3,8
?
?



1.1.2子集、全集、补集
预习自测:
例1．⑴、⑵、⑶、⑷都是正确的，而⑸和⑹是错误的.

例2．
A
的所有子集为
?
,
?
0
?
,
?
1
?
,
?
2
?
,
?
0,1
?
,< br>?
0,2
?
,
?
1,2
?
,
?0,1,2
?
.
例3．
q??
13
2
,d??
4
a

例4．
a
的值为
2
.
例5．⑴由
B?A
，得
a
≤
3
； ⑵由
A?B
，得
a
≥
3
；
⑶因为
CR
A
=
?
xx?3
?
，
C
R
B
?
?
xx?a
?
，由
C
R
A

C
R
B
，得
a?3
.
课内练习:
1．B； 2．B； 3．C； 4．
b?
2；
?
?2?a?1
5．（Ⅰ）由于M
?
N，则
?
?
5?2a?1
，解得a∈Φ.
?
?
2a?1?a?1
（Ⅱ）①当N=Φ时，即a ＋1＞2a－1，有a＜2；
?
?2?a?
②当N≠Φ，则
?
1< br>?
5?2a?1
，解得2≤a≤3，
?
?
2a?1?a?1
综合①②得a的取值范围为a≤3.
巩固提高：
1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.
?
0,1
?
7.
?,
?
3
?
,
?
5
?
,
?
3,5
?
8.
a?2

9.
?
?
?
?
11
?
2
,0,
3
?
?
10.⑴
a?0
⑵
a?0
⑶
a?0



交集、并集
[预习自测]
例1、
(?2,3)
，R，例2、A={2，5，13，17，23} B={2，11，17，19，29}，例3、{2，3，5，—5}
[课内练习]
1、[2，3] 2、[0，1] 3、（1）直线（2）圆 4、{（1，2）} 5、A或B，Z，A或B
[巩固提高]
1、? 2、（1，2），R 3、 a≥4 4、{5}，{3，5}，{1，5}，{1，3，5} 5、A
6、1，5 7、3，
?
151
2
8、
?
3
，{2，
2
，—1} 9、66，36，98，80 10、a=1或a≤—1， a=1

集合复习课
- 23 -

[预习自测]
例1、 —1， 例2、 P≥4 ，例3、 x= —1
[课内练习]
1、（1）a≤3 ，（2）a≥3，（3）a＜3 2、{y|y≥1} 3、? 4、7个
[巩固提高]
1、 D 2、C 3、20个 4、M N 5
≠
?

、{(3，—1)} 6、{3，5}，{2，3} 7、
(3,5]

8、2 9、0，
1
3
或
?
1
2
10、—1，0


§2.1.1函数的概念与图象（1）
预习自测：
例1：略； 例2：选
A
； 例3：选
D
； 例4：
f(1)??3
；
f[f(1)]
?2
；
课内练习:
1．D 2．A 3．D 4．
2
3
5．
3p?2q

巩固提高：
1.D 2.D 3.B 4.A
5.
f(2)
=5;
f(x?1)?x
2
?2x?2
; 6.
?
?1,0,1, 2,3,4
?
;
?
?2,?1,0,1,2,3
?

7.
2
2
3
8.
f{f[f(0)]}
=9 9.
?
15
4
?x?2
10.
2x?4x?3
;
2x
2


§2.1.1函数的概念与图象（2）
预习自测：
例1：（1）定义域
[ ?1,??)
；（2）
(??,0)
；（3）
(??,?1)?(?1,4]
；（4）
(??,2)?(2,5]
例2：分析：本题注意到矩形的长2
x< br>、宽
a
都必须满足2
x
?0
和
a
?0
，
因此所求解析式（表达式）是
y??(2?
?
2
)x
2
?lx
，定义域是
0?x?
l
2?
?
。
例3：（1）[
?2,0
]； （2）[
?
3
4
,
3
4
]
。
课内练习:
1.A 2.B 3.
?
??,1
?
4.
?
5,??
?
5.
?
?1,1
??
1,4
?

巩固提高：
1.D 2.B 3.C 4.
?
xx??1,x?0
?
5. R;
?
0,??
?
6.
?
xx?R,x??1
?

7.⑴
?
?
?
?
3
2
,??
?
?
?
⑵
?
?
?
xx?R,x?
1
2
,?1
?
??
⑶
?
xx?1,x??5
?
8.
?
?1,1
?

9.
s?x(15?x)

0?x?15
; 图略 10.
1
2
x
2
?
1
2
x


§2.1.1函数的概念与图象（3）
预习自测：
例1:（1）值域：
{3,5,7,9,11}
;（2）值域：[1，
??
）；（3）{
y
︱
y
?R,
且
y
?1
}；
（4）值域 ：（-1，1];（5）值域：（
??,4
]
；变题的值域：[-12，3]； （6）值域：[
1
2
，
??)
例2:
[
3
2
,3]

课内练习:
1.C 2.C 3.A 4.
?
0,??
?
5.
?
?
??,
1
?
?
?
2
?
;
?
??,1?

巩固提高：
1.C 2.D 3.C 4.
?
0,2,6
?
5.
?
??,3
?
6.
?
0,1
?

7.⑴
?
?1,??
?
;⑵
?
?
??,?
7
?
?
?
8
?
;⑶
?
0,9
?
;⑷
?
?1,1?
;
⑸
?
?
15
??
2
??
2
?
8
,??
?
?
⑹
?
?
?? ,?
3
?
?
?
?
?
?
3
,??< br>?
?

8.
?
?
c?
9
?
2
,c
?
?
?


§2.1.1函数的概念与图象（4）
预习自测：
例1:（1）值域是[2，5]；
(2)值域是{-1，1}；

(3)值域是[0，
??)
；(4)值域是[-3，
??)



- 24 -

(1) (2)







(3) (4)
例2:选A

例3:输入值是离开家的时间，函数值是离开家的距离。
结合图象（1）选D；(2)选A；（3）选B。

课内练习:
1．B 2.C 3.A 4.B 5.图略
巩固提高：
1.D 2.C 3.D 4.B 5.D 6.A 7.图略 8.
y??
11
4
x?
2
9.
?2
10.⑴
x?1
; ⑵
g(x
1
)
?
g(x
2
)
; 图略
§2.1.2 函数的表示方法
预习自测：
例1: 解：（1）解析法：y=2x，
x?
?
1,2,3,4
?
．
(2) 列表法：
x听 1 2 3 4
y元 2 4 6 8
(3) 图象法：


函数的值域是｛2，4，6，8｝
例2: 解：（1）设f(x)＝kx+b，用待定系数法求出f(x)＝－2x＋1，或f(x)＝2x－
1< br>3
．
（2）令2x－3＝t，则x=
t?3
t?3
2< br>t?3
2
，f(t)=
(
2
)?
2
?1
，
即f(t)＝
1
2
19
4
t?2t?
1
2
19
4，所以f(x)＝
4
x?2x?
4

例3: 略;
例4:(1) f(-3)＝2 f[f(－3)]＝4; （2）a的值为－
9
2
或
?
2
2

课内练习:
1.
s?x(15?x)

0?x?15
; 图略;
2.
f
?
x
?
?2x?1?2
或
f
?
x
?
??2x?1?2
; 3.
x
2
?14x?49
;
?
?x,x?
4.< br>f
?
x
?
?
?
0
?
2x,0?x? 1

?
?
2,x?1
巩固提高：
1.D 2.B 3.A 4.D 5.29
6.19
kg
7.
9?33
8. 图略
9.面积为1
- 25 -

?
2x,0?x?4
[预习自测]
10.⑴
y?f
?
x
?
?
?
?
8,4?x?8
定义域为
?
0,12
?
⑵图略.
例1、（1）偶函数（2）非奇非偶函数（3）偶函数 （4）非奇非偶函数
?
（5）非奇非偶函数 （6）奇函数
?
24?2x,8?x?12

例2、（1）奇函数（2）增函数（3）
(??,0)?(0,??)


函数的单调性（一）
例3、
f(x)?x|x?2|

[预习自测]
例1、（1）图略，增区间
(??,0)
减区间
(0,??)
（2）增区间
(??,0)
和
(0,??)


[课内练习]
1、C 2、C 3、—16 4、—1 5、0，—6
例2、证：定义域为{x|x≥0} 设0≤x
1
＜x
2
则
f(x
2
)?f(x
1
)?x
1
?x
?x
2
2
?
x
1
x
[巩固提高]
1
?x

2
1、A 2、C 3、D 4、B 5、0 6、0 7、
f
?
?
?
?
?f(3)?f(?
1
)
8、q≤p 9
∵x
1
—x
2
＜0，
x
1
?x
2
＞
0
，∴
f(x
2
)?f(x

3
1
)?0,即f(x
1
)?f(x
2
)
∴f(x)在定义域上为减函数。
例3、 略
?
?a
，
0
?
?
?
a
，
??
?

[课内练习]
1、增 2、增 3、B 4、减，
?
??,0
?
和
?
0,??
?
5、略
映射的概念
[预习自测]
[巩固提高] 例1、 AD 例2、（1）3，5，7 （2）0，3，8例3、 4个
1、D 2、C 3、A 4、D 5、
?
??,?1
?
和
?
?1,??
?
6、
?
2,??
?
，
?
??,?1
?
7、略 8、略 9、f(9)
[课内练习]
1、B 2、⑴ ? ⑵?⑶? ⑷?3、A={
1
,
5
,
7
＜f(—1)＜f(13) 10、（0，1）
333
} 4、a = 0 ，b=1 5、D
[巩固提高]
函数的单调性（二）
[预习自测]
1、D 2、D 3、D 4、（5，5）5、f：x? 4x
2
+4x 6、
?
?
3
,?
1
?
?
例1、（1）
1
?
22
?< br>
3
（2）当a＞0时，最小值为a+1，当a＜0时，最小值为3a+1
7、f：x?x+4 8、8
例2、最大值17，最小值9
9、⑴（2，23），⑵（2，1），⑶（0，
1
例3、略
2
）
[课内练习] 10、a=2，k=5，A={1，2，3，5}B={4，7，16，10}
1、 B 2、无，有 3、3 4、f(c) 5、略
[巩固提高] 2.2.1 分数指数幂(1)
1、D 2、B 3、D 4、A 5、
1
3
，—1 6、—4 7、y
1
max
=
8
，y
min
=—15 8、当a＜0时f
min
= —1 ，
例1
?5;3;?2;a
2

当0≤a≤ 2时，f
2
min
= —1—a，当a＞2时，f
min
= 3—4a 9、a＜—1
例2
5;?2;2;a?b

10、f(x)=x
2
—6x+10 ，m=
1
2
或4?6
，n=26

例3
3
9;?
3
2;
3
ab
2

函数的奇偶性
- 26 -

、m=0，f
min
= n 10、

2.2.1 分数指数幂(1)
【自学目标】
1.掌握正整数指数幂的概念和性质；
2.理解n次方根和n次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根；
3.能熟练运用n次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。
【知识要点】
1．方根的概念
若
x?a
，则称x是a的平方根；若
x?a
，则称x是a的立方根。
一般地，若一个实数x满足
x
n
?a
(n?1,n?N*)
，则称x为a的n次实数方根。
当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数n次实数方根是 一个负数，这时a的n
的次实数方根只有一个，记作
x?
n
a
； < br>当n是偶数时，正数的n次实数方根有二个，它们是相反数。这时a的正的n次实数方根用符
号< br>n
a
(a?0)
。
注意：0的n次实数方根等于0。
2．根式的概念
式子
n
a
叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。
求a的n次实数方根的运算叫做开方运算。
3．方根的性质
（1）
(
n
a)
n
?a
；
（2）当n是 奇数时，
n
a
n
?a
，当n是偶数时，
n
a
n
?|a|

【预习自测】
例1．试根据n次方根的定义分别写出下列各数的n次方根。
⑴25的平方根 ； ⑵ 27的三次方根 ；
⑶－32的五次方根 ； ⑷
a
的三次方根 ．

例2．求下列各式的值：
⑴
(5)
2
； ⑵
3
(?2)
3
；



6
⑶
4
(?2)
4
； ⑷
(a?b)
2
。




例3．化简下列各式：
⑴
6
81
； ⑵
15
?32
；
⑶
6
a
2
b
4
；




例4．化简下列各式：
⑴
5?26?7?43?6?42
；
⑵
2
3
3?3
2?2?3
。





【课堂练习】
1．填空：
⑴0的七次方根 ；⑵
x
4
的四次方根 。
2．化简：
⑴
4
(3??)
4
； ⑵
3
(?x)
6
；
⑶
a
2
?2ab?b
2
； ⑷
4
x
8
。
3．计算：
5?26?5?26





- 27 -

4．若
10
x
?3
，
10
y
?4
，求
10
x?y
的值




5．
5?26?7?43?6?42





【归纳反思】
1．在化简
n
a
n
时，不仅要注意n是奇数 还是偶数，还要注意a的正负；
2．配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技 巧，而分类讨论则是不可忽视
的数学思想。
【巩固提高】
1．
3
a?
6
?a
的值为（ ）
A．
??a
B．
?a
C．
?a
D．
a

2．下列结论中，正确的命题的个数是（ ）
①当a<0时，
(a)?a
3
；②
n
a
n
?|a|
；
2
3
2
7．若
(|x|?1)
1
2
?
1
3
有 意义，则x∈
8．计算
16?(


9．若
2





1
32
1
?0.25
1
)?(?)
0
的值
812
?a
，用a表示
(1?2)(1?2)(1?2)(1?2)(1?2 )

1
32
1
16
1
8
1
41
2
10．求使等式
(a?3)(a
2
?9)?(a?3)a? 3
成立的实数a的取值范围。





2.2.1 分数指数幂(2)
【自学目标】
1．理解分数指数幂的意义，熟练掌握根式与分数指数幂的互化方法；
2．掌握有理数指数幂 的运算性质，灵活地运用运算公式进行有理数指数幂的运算和化简，会进行根
式与有理数指数幂的相互转 化。
【知识描述】
1．分数指数幂
规定：
（1）
a
（2）
a
m
n
③函数
y?(x?2)?(3x?7)
0的定义域为
(0,??)
；④若
(
n
a)
n
与
n
a
n
相同。
A．0 B．1 C．2 D．3
3．化简
a?
4
(1?a)
4
的结果是( )
A．1 B．2a－1 C．1或 2a－1 D．0
4．如果a，b都是实数，则下列实数一定成立的是（ ）
A．
3
a
3
?b
2
?a?b
B．
(|a|?b)
2
?a
2
?b
2
?2ab
C．
4
(a
2
?b
2
)
4
?a
2
?b
2
D．
a
2
?2ab?b
2
?a?b

5．当8(x?8)?(x?10)?
。 6．若
x
2
?2x?1?y
2
?6y?9?0
，则y
x
= 。
22
1
2
?
na
m
（
a?0
，m，m均为正整数）；
?
m
n
?
1
a
m
n
（
a?0
，m，m均为正整 数）；
（3）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义。
2．有理数指数幂的运算性质
设
a?0
，
b?0
，
r,s?Q
，则有：
⑴
a
r
?a
s
?a
r?s
；⑵
(ar
)
s
?a
rs
；⑶
a
r
?b
r
?(a?b)
s
。
- 28 -

【预习自测】
例1．求下列各式的值：
1
2
⑴
100
2
； ⑵
8
3
；
⑶
9
?
3
2
2
； ⑷
4
81?9
3




例2．化简下列各式：
⑴
a
2
⑵
3
a?
3
a
2
；
xy
2
?xy
?1
?xy
。





1例3．已知
a
2
?a
?
1
2
?3
，求 下列各式的值：
⑴
a?a
?1
； ⑵
a
2
?a
?2
；
3
?
3
22
⑶
a?a
11
； ⑷
a
2
?a
?2
?2
3
。
a
2
?a
?
2
a
2
?a
?
3
2
?3







1
2
例4．将
(
4
)
，
2
，< br>(?
2
)
3
，
3
?
1
3
3
2
3
3
(
4
)
用“<”号联接起来。






【课堂练习】

1．填空：
2
⑴
8
3
?
；⑵
(
3
25?125)?
4
5?
。
2．若
3
a
?3
?a
?3
，则
27
a< br>?27
?a
?
。
1111
3．化简：
(x
2
?y
2
)
÷
(x
4
?y
4
)





86
1
4．化简
(a
5
?b
5
)
2
?
5
a
4
?
5
b
3





a
2
5．化简
b
3
4
a
b
?
a
?
b
3





【归纳反思】
1．分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算来进行，解题时一般要遵循先化简再计算的原则；
2．在进行指数幂运算时，采取的方 法是：化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数
进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运 算可以达到化繁为简的目的。
【巩固提高】
1．若a=(2+
3
)
?1
,b=(2
?3
)
?1
，则(a+1)
?2
+(b+1)
?2
的值是 ( )
A．1 B．
1
4
C．
2
2
D．
2
3

2．下列结论中，正确的命题的是（ ）
1
1
A．
?a
=
(?a)
2
(
a
?
0) B．a
?
3
=-
3
a

1
3
C．
6
b
2
=
b
3
(
b
<0) D．(
a
)
?
4
=
4
(
b
)3
b
a
(a,b
?0
)
- 29 -

3．化简
a
3
b
2
1
4
1
2
3
ab
2
?
1
3
1
3
的结果是( )
(ab)
4
ab




2.2.2指数函数(1)
A．
ba
2
B．ab C． D．ab
ab
4．如果a，b都是实数，则下列实数一定成立的是（ ）
【自学目标】
A．
(
6
a?
6
b)
6
?a?b
B．
8
(a
2
?b
2
)
8
?a
2
?b
2
C．
4
a
4
?
4
b
4
?a?b

1. 掌握指数函数的概念、图象和性质；
D．
10
(a?b)
1
0?a?b

5．若
x
3
?x
?3
?2
，则
x?x
?1
?< br> 。
1
6．将
(?
1
2
)
?1
，
2
?
1
2
，
(
1
?
2
)
2
，
2
?1
用“<”号联接起来是 。
7．计算
3
2?5?
3
2?5
的值





8．解方程
4
1?x
?4?2
?x
?8?0







1
9．化简
(2a
4
b
?
1
3
)(?3a
?
1
2< br>1
2
2
b
3
)?(?
1
4
a
?
4
b
?
3
)






41
10．化简
a
3
?8a
3
b
22
÷
(1?2
3
b
4b
3
?23
ab?a
3
a
)
×
3
a





2. 能借助于计算机画指数函数的图象；
3. 能由指数函数图象归纳出指数函数的性质。
【知识描述】
1．指数函数的定义。
2．指数函数的性质

a?1

0?a?1

图
象
y
y
y =a
x
(

a > 1)
y =a
x


(0
y=1 y=1

(0, 1) (0, 1)

O

x
O

x





（1）定义域：R
性
（2）值域：(0，+∞）
质
（3）过点（0，1），即x=0时y=1
（4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数

【预习自测】
例1．下列函数中是指数函数的是 。
- 30 -

⑴
y?x
2
； ⑵
y?3
x
；
⑶
y??4
x
； ⑷
y?(?4)
x
；
⑸
y?x
x
； ⑹
y?e
x
；
⑺
y?3
x?1
； ⑻
y?(2a?1)
x
（
a?
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．函数
y?2
x?3
?3
恒过定点 。
1
3．函数
y?()
x
和
y?a
x
( a?0,a?1)
的图象关于 对称。
a
1
，
a?1
）
2
4．已知函数
y?a
x
（
a?0
，
a?1
）在[0，1]上的最大和最小值之和 是3，求实数a的值。





5．设
23?2x
?(0.5)
3x?4
，求x的取值范围。



【归纳反思】
1．要根据指数函数的图象特征来熟记和研究指数函数的性质，并根 据需要，对底数a分两种情况加
以讨论，体会其中的数形结合和分类讨论思想；
2．注意图象 的的平移变换的方法和规律，并能正确地运用这一方法和规律解有关函数图象的问题，
加深对指数函数的 图象和性质的认识和理解。

【巩固提高】
1．若集合
A?{y|y?2
x
,x?R}
，
B?{y|y?x
2
,x?R}
， 则 （ ）
A．A B B．
A?B
C．B A D．
A?B

2．已知
0?a?1,b??1
， 则函数
y?a
x
?b
的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．图中曲线
C
1
,C
2
,C
3
,C
4
分别是指数函数
y? a
x
,y?b
x
,y?c
x
,y?d
x
的 图象，则
a,b,c,d
与1的大小
关系是（ ）
y
y? c
x
y?d
x
y?b
x
y?a
x


例2．已知指数函数
y?f(x)
的图象经过点（1，
?
），求下列各个函数值：
⑴
f(0)
； ⑵
f(1)
； ⑶
f(?)
。



例3．比较大小：
⑴
1.7
2.5
和
1.7
3
； ⑵
0.8
?0.1
与
1.25
0.2
； ⑶
1.7
0.3
与
0.9
3.1
。





例4．作出下列函数的图象，并说明它们之间的关系：
⑴
y?3
x
； ⑵
y?3
x?1
； ⑶
y?3
x?1
。











【课堂练习】
1．在下列六个函数中： ①
y?2a
；②
y?a
xx?2
A．
a?b?1?c?d

B．
a?b?1?d?c

1
；③
y?a?3
；④
y?a
；⑤
y?(?a)< br>；⑥
y?()
x
。
a
x
x
x
C．< br>b?a?1?c?d

D．
b?a?1?d?c

1
O
x
若
a?0
，且
a?1
，则其中是指数函数的有（ ）
- 31 -

4．已知
a?0
，且
a?1
，
M?a
a?a?1
，
N?a
a?a?1
，则（ ）
A．
M?N
B．
M?N

C．
M?N
D．M、N大小关系不确定
?x
5．函数
y?()
的值域是 ；
32
决有关指数函数的问题；
2.能熟练地解决与指数函数有关的复合函数的定 义域、值域、单调性和奇偶等问题，提高综合运用
所学知识分析问题和解决问题的能力。
【知识描述】
1．
y?a
f(x)
性质
⑴定义域：与
f(x)
的定义域相同。
⑵值域：其值域不仅要考虑
f(x)
的值域，还要考虑
a?1
还是
0?a?1
。
求< br>y?a
f(x)
的值域，先求
f(x)
的值域，再由指数函数的单调性 求出
y?a
f(x)
的值域。
1
4
6．若指数函数
y?(a
2
?1)
x
在R上是减函数，则a的取值范围是 。
7．把函数y=f(x) 的图象向左、向下分别平移2个单位得到
y?2
x
的图象，则f(x)= 。
8．比较
1.5







9．已知函数
y?a
（
a?0
，
a?1
）在[1，2]上的最大值比最小值大2，求实数a的值





10．试比较
a
2x






2.2.2指数函数(2)
【自学目标】
1.进一步深刻地理解指数函数的定义、 图象和性质，能熟练地运用指数函数的定义、图象和性质解
2
?0.2
2
,1 .3,()
3
的大小
3
0.7
1
⑶单调性：单调性不仅要 考虑
f(x)
的单调性，还要考虑
a?1
还是
0?a?1
。 若
a?1
，则
y?a
f(x)
与
y?f(x)
有相 同的单调性；若
0?a?1
，则
y?a
f(x)
与
y?f( x)
有相反的单调性。
⑷奇偶性：奇偶性情况比较复杂。若
y?f(x)
是 偶函数，则
y?a
f(x)
也是偶函数；若
y?f(x)
是
奇函数，则
y?a
f(x)
没有奇偶性。
x
2．
y?g(a
x
)
类型的函数的性质
可采用 换元法：令
a
x
?t
，注意t的取值范围，根据
y?g(t)
与
y?a
x
的的性质综合进行讨论。
【预习自测】
2
?
3355
?
例1．将六个数
()
3
, ()
2
, ()
3
, ()
0
, (?2)
3
, ()
3
按从小到大的顺序排列。
35263

1
1
21
?3x?1
与
a
x
2
?2x?5
（
a?0
，且
a?1
）的大小



例2．求函数
y?()
x






1
3
2
?4x?1
和
y?2
?2x2
?4x?7
的单调区间。
- 32 -

例3．求下列函数的定义域和值域。
1
⑴
y?2
x?4
； ⑵
y?4
x
?2
x?1
?1
.





例4．判断下列函数的奇偶性：
（1）（2）
y?(
2
?|x|
a
x
?a
?x
3
)； （2）
y?
2
（
a?0
，
a?1
）；





例5．若
0?x?2
，求函数
y ?4
x
?2?2
x
?5
的最大值和最小值。






【课堂练习】
1．函数
y?3
2x?1
?
1
27
的定义域为( )
A．（－2，+∞） B．[－1，+∞）
C．（－∞，－1] D．（－∞，－2]
2．函数
y?e
?|x|
是（ ）
A．奇函数，且在（－∞，0]上是增函数
B．偶函数，且在（－∞，0]上是减函数
C．奇函数，且在[0，－∞）上是增函数
D．偶函数，且在[0，－∞）上是减函数
3．函数
f(x)?(
1
?x?3
2
)
的增区间是

4．求
y?
e
x
?1
e
x
?1
的值域。





5．已知函数y＝4
x
－3·2
x
＋3的定义域是(－∞，0],求它的值域





【归纳反思】
1．指数函数是单调函数，复合函数
y?a
f(x)
的单调性由
y?a
u
和
u?f(x)
的单调性综合确定；
2．比较两个幂式的大小主要是利用指数函数的单调性，但是在应用时要注意底数与1的关系。
3．利用指数函数的性质比较大小
⑴同底数幂比较大小直接根据指数函数的单调性比较；
⑵同指数幂比较大小，可利用作商和指数函数的性质判定商大于1还是小于1得结论；
⑶既不同底也不同指数幂比较大小，可找中间媒介（通常是1或是0），或用作差法，作商法。

【巩固提高】
1．函数
f(x)?a
x
（
a?0
，
a?1
）对于任意的实数x，y都有（ ）
A．f(xy)=f(x)f(y) B．f(xy)=f(x)+f(y)
C．f(x+y)=f(x)f(y) D．f(x+y)=f(x)+f(y)
2．下列函数中值域为
(0,??)
的是（ ）
1
A．
y?5
2?x
B．
y?(
1
)
1?x
3

C．
y?(
1
2
)
x
?1
D．
y?1?2
x

3．函数y＝a
|x|
(a＞1)的图像是 ( )


y
y
y y
1
1
1
- 33 -
0
x
0
x
0 x 0
x