高中数学文科目录-2018年高中数学讲题比赛
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幂函数及其性质专题
一、幂函数的定义
一
般地，形如
y?x
?
（
x?
R）的函数称为幂孙函数，其中
x
是自变量，
?
是常数.如
y?x,y?x,y?x
等都是幂函数，
幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
二、函数的图像和性质
（1）
y?x
（2）
y?x
（3）
y?x
2
（4）
y?x
?1
（5）
y?x
3
用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：
定义域
奇偶性
1
2
2
1
3
?
1
4
y?x
y?x
2
y?x
3
y?x
1
2
y?x
?1
在第
Ⅰ
象限单调
增减性
定点（公共点）
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图
象都过点（1，1）；
（2）
x
＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在
[0，+∞]上，是增函数
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上
是减函数.
三．两类基本函数的归纳比较：
① 定义
对数函数的定义：一般地，我们把函数
y?log
a
x
（
a
＞0且
a
≠1）叫做
对数函数，其中
x
是
自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
幂函数的定义
：一般地，形如
y?x
?
（
x?
R）的函数称为幂孙函数，其中x
是自变量，
?
是
常数.
②性质
对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R；
- 1 -
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过点（1，0），即当x=1，
y
=0；
在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数
幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，
图象都过点（1，1）
x
＞0时，幂函数的图象都通过原点，
在[0，+∞
]上，
y?x
、
y?x
、
y?x
、
y?x
是增函数，
在（0，+∞）上，
y?x
?1
是减函数。
【例题选讲】
例1．已知函数
f
?
x
?
?m?m
?1x
2
2
3
1
2
??
?5m?3
，当
m
为何值时，
f
?
x
?
：
（1）是幂函
数；（2）是幂函数，且是
?
0,??
?
上的增函数；（3）是正比例函数；
（4）是反比例函数；（5）
是二次函数；
简解：（1）
m?2
或
m??1
（2）
m??1
（3）
m??
2m
变式训练：已知
函数
f
?
x
?
?
?
m?m
?
x<
br>2
42
（4）
m??
（5）
m??1
55
?2m?3
，当
m
为何值时，
f
?
x
?
在第一象限内它的图像是上升曲
线。
2
?
?
m?m?0
简解：
?
2
解得：
m?
?
??,?1<
br>?
?
?
3,??
?
?
?
m?2m?3?0
例2．比较大小：
33
（1）
1.5,1.7
（2）
(?1.2),(?1.25
)
（3）
5.25,5.26,5.26
（4）
0.5,3,log
3
0.5
1
2
1
2
?1?1?2
30.
5
例3．已知幂函数
y?x
解：∵幂函数
y?x
2
m
2
?2m?3
（
m?Z
）的图象与
x
轴、
y轴都无交点，且关于原点对称，求
m
的值．
m
2
?2m?3<
br>（
m?Z
）的图象与
x
轴、
y
轴都无交点，
∴
m?2m?3?0
，∴
?1?m?3
；
∵
m?Z
，∴
(m?2m?3)?Z
，又函数图象关于原点对称，
∴
m?2m?3
是奇数，∴
m?0
或
m?2
．
例4、设函数
f
（
x
）＝
x
3
，
（1）求它的反函数；
（2）分别求出
f
1
（
x
）＝
f
（
x
），
f
1
（
x
）＞
f
（
x
），
f
1
（
x
）＜
f
（
x
）的实数
x
的范围．
－－－
2
2
解析：（1）由
y
＝
x
3
两边同时开三次方得
x
＝
3
y
，∴
f
1<
br>（
x
）＝
x
．
－
1
3
（2）
∵函数
f
（
x
）＝
x
和
f
（
x<
br>）＝
x
的图象都经过点（0，0）和（1，1）．
- 2 -
3
－
1
1
3
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∴
f
1
（
x
）＝
f
（
x
）时，<
br>x
＝±1及0；
－
在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知
f
1
（
x
）＞
f
（
x
）时，
x
＜－1或0＜
x
＜1；
－
f1
（
x
）＜
f
（
x
）时，
x
＞1或－1＜
x
＜0．
－
点评：本题在确定
x
的范围时，
采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．
例5、求函数
y
＝x
＋2
x
＋4（
x
≥－32）值域．
解析：设<
br>t
＝
x
，∵
x
≥－32，∴
t
≥－2，则<
br>y
＝
t
2
＋2
t
＋4＝（
t
＋1）
2
＋3．
当
t
＝－1时，
y
min
＝3．
∴函数
y<
br>＝
x
＋2
x
＋4（
x
≥－32）的值域为［3，＋<
br>?
）．
2
5
1
5
1
5
2
5
1
5
【同步练习】
1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）
Ａ．
y?x
Ｂ．
y?x
3
Ｃ．
y?2x
Ｄ．
y?x
?1
2.
下列函数在
?
??,0
?
上为减函数的是（ ）
Ａ．
y?x
1
3
Ｂ．
y?x
Ｃ．
y?x
Ｄ．
y?x
2
3
?2
3. 下列幂函数中定义域为
xx?0
的是（ ）
Ａ．
y?x
Ｂ．
y?x
Ｃ．
y?x
4．
函数
y
＝（
x
2
－2
x
）
－
1<
br>2
??
2
3
3
2
?
2
3
Ｄ．
y?x
?
3
2
的定义域是（ ）
A．{
x
|
x
≠0或
x
≠2}
B．（－∞，0）
?
（2，＋∞） C．（－∞，0）］
?
［2，＋∞］
D．（0，2）
5．函数
y
＝（1－
x
）的值域是（ ）
A．［0，＋∞］ B．（0，1） C．（0，1）
D．［0，1］
6．函数
y
＝
x
的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，1） B．（－∞，0） C．［0，＋∞］
D．（－∞，＋∞）
7．若
a
＜
a
1
2
－
1
2
2
1
2
2
5
，则
a
的取值
范围是（ ）
A．
a
≥1 B．
a
＞0
C．1＞
a
＞0 D．1≥
a
≥0
8．函数
y
＝
(15＋2x－x)
的定义域是
。
9．函数
y
＝
23
1
x
2－m－m
2
在第二象限内单调递增，则
m
的最大负整数是________．
- 3
-
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10、讨论函数
y
＝
x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．
思路：函数
y
＝
x
是幂函数．
（1）要使
y
＝
x
＝
x
有意义，
x
可以取任意实数，故函数定义域为R．
（2）∵
x
?
R，∴
x
2
≥0．∴
y
≥0．
2
（3）
f
（－
x
）＝
5<
br>(－x)
＝
x
＝
f
（
x
），
2<
br>5
2
5
2
5
5
2
5
2
∴函数
y
＝
x
是偶函数；
（4）∵
n
＝
2
5
2
＞0，
5
2
5
∴幂函数
y
＝
x
在［0，＋
?
］上单调递增．
由于幂函数
y
＝
x
是偶函数，
∴幂函数
y
＝
x
在（－
?
，0）上单调递减．
（5）其图象如下图所示．
11、比较下列各组中两个数的大小：
（1）
1.
5
，
1.7
；（2）0.7，0.6；（3）
(－1.2)
3
5
3
5
3
5
1.51.5
2
5
2
5
－
2
3
，
(－1.25)
－
2
3．
解析：（1）考查幂函数
y
＝
x
的单调性，在第一象限内函数单调递增，
∵1.5＜1.7，∴
1.5
＜
1.7
，
（2）
考查幂函数
y
＝
x
的单调性，同理0.7
1.5
＞0.6<
br>1.5
．
（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，
∵
(－1.2)
∴
(－1.2)
－
2
3
23
3
5
3
5
3
2
＝
1.2
－
2
3
，
(－1.25)
．
－
2
3
＝
1.25
2
－
3
，又
1.2
－
23
＞
1.25
2
－
3
，
－
＞
1.25
2
－
3
- 4 -