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最新2020年高一数学必修一知识归纳.doc

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 18:33
tags:高中数学必修一

高中数学家教兼职 上海-高中数学概率公式是什么


高一数学必修一知识归纳
1) 列举法:{a,b,c……}
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号
内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集
合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或
BA
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作
AB(或BA)


③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
u 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交 集
并 集
补 集
定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫 做A,B的交集.记
作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
由 所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B
的并集.记作:AB(读作‘A并B’) ,即AB ={x|xA,或xB}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属 于A的元
素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作,即
CSA=











AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
AA=A
AΦ=A
AB=BA
ABA
ABB
(CuA) (CuB)
= Cu (AB)
(CuA) (CuB)
= Cu(AB)


A (CuA)=U
A (CuA)= Φ.

例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是 ( )
A某班所有高个子的学生 B的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等
于它自身的实数
2.集合{a,b,c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是 .
4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验, 已知物理实验做得正确得
有40人,化学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合
M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x|
x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值



二、函数的有关概念
1.函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对


应关系f,使对于集合A中的任意一个数 x,在集合B中都有确定的
数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫
做函数的定义域;与 x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合
{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则 运算结合而成的.那么,它
的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
u 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值
的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法


(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为
横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x
∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过
来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在
C上 .
(2) 画法
A、 描点法:
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应
法则f,使对于集合A中的任意一个元素 x,在集合B中都有确定的
元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个


映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)”
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并
集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、
g的复合函数。

二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内
的任意两个自变量x1,x2, 当x1如果对于区间D上的任意两个自变
量的值x1,x2,当x1注意:函数的单调性是函数的局部性 质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数 ,那么说函数y=f(x)


在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的 图象从左
到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x1,x2∈D,且x12 作差f(x1)-f(x2);
3 变形(通常是因式分解和配方);
4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g( x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性
密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性
相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(- x)=f(x),
那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般 地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-
x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇 函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征


偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
2确定f(-x)与f(x)的关系;
3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶
函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数 具有奇偶性的必要条件.首
先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函
数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1
来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1). 函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间
的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则 ,二是要求出函数的
定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10.函数(小)值(定义见课本p36页)
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值
2 利用图象求函数的(小)值


3 利用函数单调性的判断函数的(小)值:
如果函数y=f( x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递
减则函数y=f(x)在x=b处有值f (b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题:
1.求下列函数的定义域:
⑴ ⑵
2.设函数的定义域为,则函数的定义域为_ _
3.若函数的定义域为,则函数的定义域是
4.函数 ,若,则=
5.求下列函数的值域:
⑴ ⑵
(3) (4)
6.已知函数,求函数,的解析式
7.已知函数满足,则= 。
8.设是R上的奇函数,且当时,,则当时=
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
⑴ ⑵ ⑶
10.判断函数的单调性并证明你的结论.
11.设函数判断它的奇偶性并且求证:.




第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且
∈*.
u 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
当是奇数时,,当是偶数时,
正数的分数指数幂的意义,规定:

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