高一数学必修一知识点难点归纳5篇分享

高一数学必修一知识点难点归纳5篇
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说到高一数学,很多同学都会说很难，的确,相对而言，高一
数学是高中数学中最难的一部分，但我们一 定要把知识点给吃
透。下面就是给大家带来的高一数学必修一知识点总结，希望能
帮助到大家！
高一数学必修一知识点总结1
一、一次函数定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)
二、一次函数的性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1.作法与图形：通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
( 3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作
一次函数的图像只需知道2点，并连成直线 即可。(通常找函数
图像与x轴和y轴的交点)
2.性质：(1)在一次函数上的任意一 点P(x，y)，都满足等式：
y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x 轴总是
交于(-bk，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：
当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限;
当b=0时，直线通过原点

当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例
函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只
通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：
已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数
的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点 P(x，y)，都满足等式
y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和
y2=kx2+b……②
(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中 水量g是抽水时间t的一
次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：
1.求函数图像的k值：(y1-y2)(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)’2+ (y1-y2)’2(注：根号下(x1-x2)
与(y1-y2)的平方和)
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax’2+bx+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI
越大开口就越小,Ia I越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)’2+k[抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(x-x?) (x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，
0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b2ak=(4ac-b’2)4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x’2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P(-b2a，(4ac-b’2)4a)
当-b2a=0时，P在y轴上;当Δ=b’2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b’2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b’2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b’2-4ac0时，抛物线与x轴 没有交点。X的取值是虚数
(x=-b±√b’2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2 a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax’2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，
即ax’2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
高一数学必修一知识点总结2
一次函数
一、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)
二、一次函数的性质：
1.y的 变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为
y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1.作法与图形：通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
k即：

(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数
图像与x轴和y轴的交点)
2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：
y=kx+b。( 2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是
交于(-bk，0)正比例函数的图像总是 过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：
当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限;
当b=0时，直线通过原点
当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例
函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只
通过二、四象限。
高一数学必修一知识点总结3
1.并集

(1)并集的定义
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合称为集
合A与B的并集，记作A∪B( 读作并B
(2)并集的符号表示
A∪B={x|x∈A或x∈B｝.
并集定义的数学表达式中或字的意义应引起注意，用它连
接的并列成分之间不一定是互相排斥的.
x∈A，或x∈B包括如下三种情况：
①x∈A，但xB;②x∈B，但xA;③x∈A，且x∈B.
由集合A中元素的互异性知，A与 B的公共元素在A∪B中
只出现一次，因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元
素组 成的集合.
例如，设A={3，5，6，8｝，B={4，5，7，8｝，则A∪B={3，4，5，6，7，8｝，而不是{3，5，6，8，4，5，7，8｝.
2.交集
利用下图类比并集的概念引出交集的概念.
(1)交集的定义

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A
与B的交集，记作A∩B(读作交B
(2)交集的符号表示
A∩B={x|x∈A且x∈B｝.
高一数学必修一知识点总结4
一、集合
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性如：世界上的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,
印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
?注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N
正整数集N_N+整数集Z有理数集Q实数集R
1)列举法：{a,b,c……}
2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括
号内表示集合的方法。{x?R|x-32 },{x|x-32}
3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类：
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集
合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB
或BA

2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，
记作AB(或BA)
③如果A?B,B?C,那么A?C
④如果A?B同时B?A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子
集。
?有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解

指数函数y=a^x
a^a_^b=a^a+b(a0,a、b属于Q)
(a^a)^b=a^ab(a0,a、b属于Q)
(ab)^a=a^a_^a(a0,a、b属于Q)
指数函数对称规律：
1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称
2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称
3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称
对数函数y=loga^x
如果，且，，，那么：
○1?+;
○2-;
○3.
注意：换底公式
(，且;，且;).
幂函数y=x^a(a属于R)

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为
常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义并且图象都过点(1，1);
(2)时，幂函数的图 象通过原点，并且在区间上是增函数.特
别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸;
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当
从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于
时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数
的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函
数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法：
○1(代数法)求方程的实数根;

○2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可 以将它与函数的
图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点：
二次函数.
(1)△0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交
点，二次函数有两个零点.
(2)△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交
点，二次函数有一个二重零点或二阶零 点.
(3)△0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函
数无零点.
三、平面向量
向量：既有大小，又有方向的量.
数量：只有大小，没有方向的量.
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
零向量：长度为的向量.
单位向量：长度等于个单位的向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量

向量的运算
加法运算
AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O 出发的两个向量OA、OB，以OA、OB
为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就 是向
量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，
零向量的相反向量仍然是零向量
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，
记作λa，|λa|=|λ| |a|，当λ0时，λa的方向和a的方向相同，当
λ0时，λa的方向和a的方向相反，当λ=0时， λa=0。

设λ、μ是实数，那么：
(1)(λμ)a=λ(μa)(2 )(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数
量积或内积，记作a?b，θ是a 与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫
做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向 量与任意向量
的数量积为0。
a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方
向上的投影|b|cosθ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法
高一数学必修一知识点总结5

集合
集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是
人，物品，也可以是数学元素 。例如：1、分散的人或事物聚集
到一起;使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有
好多概念，如集合论：集合是现代数 学的基本概念，专门研究集
合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1 918年，
德国数学家先驱，是集合论的，目前集合论的基本思想已经渗透
到现代数学的所有领 域。
集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概
念是不能用其他概念加以 定义的概念。集合的概念，可通过直观、
公理的方法来下“定义”。集合
集合是把人们的 直观的或思维中的某些确定的能够区分的
对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体 就
是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为
元)。
元素与集合的关系
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。
集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有
限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何
元素的集，记做Φ。空集是任何 集合的子集，是任何非空集的真
子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。
『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则
A称作是B的子集，写作A?B。若A是 B的子集，且A不等于B，
则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符
号 下加了一个≠符号(如右图)，不要混淆，考试时还是要以课本为
准。所有男人的集合是所有人的集合的 真子集。』
集合的几种运算法则
并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为 A与B
的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即
A∪B= {x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A且属于B的元差集表示
素为元素的集合称为A与B的交 (集)，记作A∩B(或B∩A)，
读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x ∈B}例如，全集
U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因为A和 B中
都有1，5，所以A∩B={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，
3，5这些个 元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么
说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是 A∩B。有趣的是;
例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是
3，5 ，7每项减集合

1再相乘。48个。对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=(A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，
d }，则A?B={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：A?B=(A∪B)-(A∩B)
无限集： 定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：
令N_正整数的全体，且N_n={1，2，3 ，……，n}，如果存在一个
正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。
差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差
(集)。记作：AB={x│x∈A，x不 属于B}。注：空集包含于任何集
合，但不能说“空集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概念，
指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补
集，记作CuA，即CuA={x |x∈U，且x不属于A}空集也被认为是
有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={ 1，2，5}那么全
集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。
在信息技术当中，常常把CuA写成~A。
集合元素的性质
1.确定性：每一个对 象都能确定是不是某一集合的元素，没
有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都 不
能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
2.独立性：集合中的元素的 个数、集合本身的个数必须为自然数。
3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1， 1，
2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相

同的 对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。4.
无序性：{a，b，c}{c，b，a}是 同一个集合。5.纯粹性：所谓集合
的纯粹性，用个例子来表示。集合A={x|x2}，集合A中所有 的元
素都要符合x2，这就是集合纯粹性。6.完备性：仍用上面的例子，
所有符合x2的数都 在集合A中，这就是集合完备性。完备性与
纯粹性是遥相呼应的。
集合有以下性质
若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法
集合常用 大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合
中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b， c…拉丁字母只
是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集
合的方法是用一 个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左
边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内 部是具有某
种共同性质的数学元素。
常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示 有限集
合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表
示集合的方法叫做列举法 。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表
示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式 子等描
述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。

{x|P}( x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同
属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为 ：{x|0
4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简
称非负整数 集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记
作N_2)非负整数集内排除0的集，也称正整 数集，记作Z+;负整
数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通
常 称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，
记作Q。Q={pq|p∈Z，q∈N ，且p，q互质}(正负有理数集合分
别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R (正实数
集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合
交换律A∩ B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C )集合分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合 德.摩根律
集合
Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合 “容斥原理”在研
究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合
A的元素个数 记为card(A)。例如A={a，b，c}，则
card(A)=3card(A∪B)=card (A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=car
d(A)+card( B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩ C
)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举
法和描述法是表示集合的 常用方式。集合吸收律

A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA= UA∩CuA=Φ设A为
集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律
A-(BUC )=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～
( B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实
数集R+负实数集R- 整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q
正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q
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