高中数学必修一《集合与函数》

精品教育

集合的概念与集合的表示


概 念
元素的性质
集


合
表
示
方
法
把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性
列
举
法
描
述
法
①元素不重复
②元素无顺序
③元素间用“，”隔开
①写清楚集合中元素的代号，如{x∈R|x>0}，不能写成
{x>2}；
②说明该集合中元素的性质；
③所有描述的内容都写在大括号内。
一般地，用大写拉丁字母如A、B、C表示集合，用小写拉丁字母a、
元素与集合的关系 b、 c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就说a属于集合A，
记作a∈A；如果a不是集合A的元 素，就说a不属于A，记作a
?
A。
N为零和正整数组成的集合，即自然数集，N< br>*
或N
+
为正整数组成的
常用数集及其记法 集合；Z为整数组成的集合；Q为有理数组成的集合，R为实数组成
的集合。


例题1 判断下列命题是否正确，并说明理由。
（1）{R}=R；
?
y?2x
（2）方程组
?
的解集为{x=1，y=2}；
y?x?1
?
（3）{x|y=x
2
－1}={y|y=x
2－1}={（x，y）|y=x
2
－1}；
（4）平面内线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}。
答案：（1）{R}=R 是不正确的，R通常为R={x|x为实数}，即R本身可表示为全体实
数的集合，而{R}则表示含有 一个字母R的集合，它不能为实数的集合。
?
y?2x
的解集为{x=1，y=2} 是不对的，因为解集的元素是有序实数对
?
y?x?1
?
x?1
（x ，y），正确答案应为{（x，y）|
?
}={（1，2）}。
y?2
?< br>（2）方程组
?
（3）{x|y=x
2
－1}={y|y=x
2
－1}={（x，y）|y=x
2
－1}是不正确的。
{x|y =x
2
－1}表示的是函数自变量的集合，它可以为{x|y=x
2
－1}= {x|x∈R}=R。
-可编辑-

精品教育
{y|y= x
2
－1}表示的是函数因变量的集合，它可以为{y|y=x
2
－1}={ y|y≥－1}。
{（x，y）|y=x
2
－1}表示点的集合，这些点在 二次函数y=x
2
－1的图象上。
（4）平面上线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}，该命题是正确的。
知识点 拨：正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表
示有特别规定，不能乱用 ；二元一次方程组的解集必须为{（x，y）|
?
?
x??
}的形式；对描< br>?
y??
述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。

例题2 已知a∈{1，－1，a
2
}，则a的值为______________________。
答案：∵a∈{1，－1，a
2
}，
∴a可以等于1，－1，a
2
。
（1）当a=1时，集合则为{1，－1，1}，不符合集合元素的互异性。故a≠1。
（2）同上，a=－1时也不成立。
（3）a=a
2
时，得a=0或1，a=1不满足，舍去，a=0时集合为{1，－1，0}。
综上，a=0。
知识点拨：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性 指集合中的元素与
顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉 注意
集合元素的互异性、确定性。

随堂练习：下列各组对象中不能构成集合的是……（ ）
A. 高一（1）班全体女生 B. 高一（1）班全体学生的家长
C. 高一（1）班开设的所有课程 D. 高一（1）班身高较高的男同学
知识点拨：根据集合的概念进行判断。因为A、B、C中所给对 象都是确定的，从而可
以构成集合；而D中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故 不能构
成集合。若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”，则能构成集
合。
答案：D
判断某组对象是否为集合 必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序
性，特别是确定性比较难理解，是指 元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，
要么该元素不属于集合，而不是模棱两可。
例题 判断以下对象能否组成集合。
（1）高一（1）班的身高大于1.75 m的学生；
（2）高一（1）班的高个子学生。
答案：（1）高一（1）班中身高大于1.75 m的学生是确定的，因此身高大于1.75 m的学
生可以组成集合。
（2）高一（1）班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合。




-可编辑-

精品教育
（答题时间：15分钟）
1. 下列集合表示法正确的是（ ）
A. {1，2，3，3}
B. {全体有理数}
C. 0＝{0}
D. 不等式
x
－3>2的解集是{
x
|
x
>5}
2. 下列语句
①集合{
x
|0<
x
<1}可以用列举法表示；
②集合{1，2，1}含有三个元素；
③正整数集可以表示为{1，2，3，4，…}；
④由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}。
正确的是（ ）
A. 只有①和④
C. 只有③
A. {
x
|
x
是不大于9的非负奇数}
B. {
x
|
x
≤9，
x
∈N}
C. {
x
|1≤
x
≤9，
x
∈N}
D. {
x
|0≤
x
≤9，
x
∈Z}
4. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A. {
x
|
x
＝1}
C. {
x
＝1}
A. 第一象限内的点集
B. 第三象限内的点集
C. 第一、三象限内的点集
D. 第二、四象限内的点集
6. {（
x
，
y
）|x
＋
y
＝6，
x
，
y
∈N}用列举法表示为_ __________________________________
___________ __________________________________________________ ___________。
B. {
y
|（
y
－1）
2
＝0}
D. {1}
B. 只有②和③
D. 只有③和④

3. 集合{1，3，5，7，9}用描述法表示应是（ ）
5. 集合
M
＝{（< br>x
，
y
）|
xy
<0，
x
∈R，
y
∈R}是指（ ）


1. D
③、④正确。
3. A
2. D 解析：①表示无限集，不能一一列举，故①不正确；②含有相同的元素，②不正确；
4. C 解析：A、B、D三项表示的集合都是{1}，而C选项表示含有一个方程的集合。
5. D 解析 ：
xy
<0表示
x
>0且
y
<0或
x
<0 且
y
>0。因此集合
M
表示第二、四象限内的点
集。
6. {（0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}
-可编辑-

精品教育

集合的运算



子 集
对于两个集合A、B，如果集合A中的
定 义 任意一个元素都是集合B中的元素，称
集合A为集合B的子集
符号语言
若任意x∈A，有x∈B，则A
?
B。
表示方法
真 子 集 < br>若集合A
?
B，但存在元素x∈B，且x
?
A，
称集合A是集 合B的真子集
若集合A
?
B，但存在元素x∈B，且x
?
A，
则AB
B
A。
C
?
AC
n
A为集合B的子集，记作A
?
B或B
?
A。
若 集合A是集合B的真子集，记作A
A不是B的子集时，记作A
①A
?
A ②
?
B或BA。
或B
A
n
?
A
性 质
③A
?
B，B
?
C
?
A
?
C
子集个数
空 集
含n个元素的集合A的子集个数为
2

B，且B
含n个元素的集合A的真子集个数为
2
－1
不含任何元素 的集合，记为
?
。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为
?
若A非空（即 A≠
?
），则有
?
A。
?
A；
集合的运算：
1. 并集的概念
（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合 ，称为集合
A与B的并集。
（2）符号语言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。
（3）图形语言（Venn图）表示：
2. 交集的概念
（1）自然语言表示：由属 于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合
A与B的交集。
（2）符号语言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。
（3）图形语言表示（Venn图）：
3. 补集的概念
（1）自然语言表示：对于 集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，
称为集合A相对于全集U的补集，简称为集 合A的补集。
（2）符号语言表示：A={x|x∈U，且x
?
A}。
，阴影部分表示A。

。

。

（3）图形语言表示（Venn图）：
-可编辑-

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例题1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。
（1）{
?
}表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集；
（3）{1，2，3}不是{3，2，1}；
（4）{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}；
（5）如果A
?
B且A≠B，那么B必是A的真子集；
（6）A
?
B与B
?
A不能同时成立。
思路导航：对每个说法按照相关的定义进行分析，认真地与定义中的要素进行对比，即
答案： （1）不正确。应该改为：{
?
}，表示这个集合的元素是
?
。
（ 2）不正确。空集是任何非空集合的真子集，也就是说空集不能是它自身的真子集。
这是因为空集与空集 相等，而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集。由此也发
现了，如果一个集合是另一个集合 的真子集，那么这两个集合必不相等。
（3）不正确。{1，2，3}与{3，2，1}表示同一集合。
（4）不正确。{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}，
?
。
（5）正确。
（6）不正确。A=B时，A
?
B与B
?
A能同时成立
知识点拨：结合本题，要注意以下几点：
（1）{
?
}不表示空集，它表示 以空集为元素的集合，所以（1）不正确。空集有专用
的符号“
?
”，不能写成{?
}，也不能写成{ }。
（2）分析空集、子集、真子集的区别与联系。
（3）不正确。两个集合是不是相同，要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是
不是都有相同的元 素与之对应，而不必考虑各元素的顺序。
（4）不正确。注意到
?
是每个集合的子集。所以这个说法不正确。
（5）正确。A
?
B包括两种情形：A
?
B和A=B。
（6）不正确。A=B时，A
?
B与B
?
A能同时成立。

例题2 已知集合A={x|ax
2
－3x+2=0，a∈R}，若A中元素至多只 有一个，求a的取值
范围。
知识点拨：对于方程ax
2
－3x+2=0，a ∈R的解，要看这个方程左边的二次项的系数，a=0
或a≠0时，方程的根的情况是不一样的。则集合 A的元素也不相同，所以首先要分类讨论。
答案：（1）a=0时，原方程为－3x+2=0
?
x=
2
，符合题意；
3
9
。
8
（2 ）a≠0时，方程ax
2
－3x+2=0为一元二次方程，Δ=9－8a≤0
?
a≥
∴当a≥
9
时，方程ax
2
－3x+2=0无实根或有两个相 等实数根，这都符合题意。
8
9
综合（1）（2），知a=0或a≥。
8

例题3 设集合
A
＝{
x
||
x< br>－
a
|<1，
x
∈R}，
B
＝{
x
|1<
x
<5，
x
∈R}。若
A
∩
B
＝? ，则实
-可编辑-

精品教育
数
a
的取值范围是（ ）
A. {
a
|0≤
a
≤6}
C. {
a
|
a
≤0或
a
≥6}
B. {
a
|
a
≤2或
a
≥4}
D. {
a
|2≤
a
≤4}
知识点拨：本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。
由|x
－
a
|<1得－1<
x
－
a
<1，即
a
－1<
x
<
a
＋1。
∵
A
∩
B
＝?
∴可以分两种情况来讨论，一种是A集合在B集合的左边，一种是A集合在B集合的
右边。 < br>如图，由图可知
a
＋1≤1或
a
－1≥5，所以
a
≤ 0或
a
≥6。

答案：C

随堂练习：满足{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
知识点拨：根据A∪B的定义可知，集合{1，3，5}应该是集合{1，3}和A的元素并在一起构成的集合，所以A中必有元素5，且其他元素只能从1，3中选出一个或两个或不选，
因此A 有四种可能：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}。
答案：D

（答题时间：15分钟）
则
A
中孤立元的个数为________个。

1. 集合
A
＝{2，3，5}，当
x
∈
A时，若
x
－1?
A
，
x
＋1?
A
，则 称
x
为
A
的一个“孤立元”，
2. 设－5∈{
x
|
x
2
－
ax
－5＝0}，则集合{
x
|
x
2
－4
x
－
a
＝0}中所有元素之和为________ 。
3. 用另一种方法表示下列集合。
（1）{绝对值小于2的整数}；
（2）{能被3整除，且小于10的正数}；
（3）{
x
|
x＝|
x
|，
x
<5且
x
∈Z}；
（4）{－3，－1，1，3，5}。
4. 下面三个集合①{
x
|
y
＝
x
2
＋1}；②{
y
|
y
＝
x
2
＋1}；③{（
x
，
y
）|
y
＝< br>x
2
＋1}。
（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们各自的含义是什么？
5. 已知
?
M
?
{1， 2，3，…，9}，若a∈M且10－a∈M，则集合M的个数为（ ）
A. 29 B.30 C.32 D.31
6. 设集合S＝{A
0
，A
1
，A
2
，A
3
}，在S上定义运算
?
为:A
i
?
A
j
＝A
k
，其中k为i+j被4除
的余数，i，j＝0，1，2，3，则满 足关系式（x
?
x）
?
A
2
＝A
0
的x（ x∈S）的个数为
（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 设全集I＝{1，2，3，…， 9}，A，B是I的子集，若A∩B＝{1，2，3}，就称集对（A，
B）为“好集”，那么所有“好 集”的个数为（ ）
A. 6！ B. 6
2
C. 2
6
D. 3
6

-可编辑-

精品教育
1. 1
∴2不是孤立元； 当
x
＝3时，
x
－1＝2∈
A
，
x
＋ 1＝4?
A
，
∴3不是孤立元；
当
x
＝5时，
x
－1＝4?
A
，
x
＋1＝6?
A
，
∴5是孤立元。
2. 2
解析：∵－5∈{
x
|
x2
－
ax
－5＝0}，
∴－5是方程
x
2
－
ax
－5＝0的根。
∴（－5）
2
＋5
a
－5＝0，
a
＝－4。 ∴
x
2
－4
x
－
a
＝0即
x
2
－4
x
＋4＝0，
∴
x
1
＝
x
2
＝2。
又∵集合中的元素是互异的，
∴{
x
|
x
2
－4
x
－
a
＝0}＝{2}。
3. 解：（1）列举法表示为{－1，0，1}。
（2）列举法表示为{3，6，9}。
（3）列举法表示为{0，1，2，3，4}。

解析：当
x
＝2 时，
x
－1＝1?
A
，
x
＋1＝3∈
A
，
（4）描述法表示为{
x
|
x
＝2
n
－1，－1≤
n
≤3，
n
∈Z}。
4.
解：（1）是互不相同的集合。
（2）集合①{
x
|
y
＝
x
2
＋1}的代表元素是
x
，满足条件
y
＝
x
2
＋1中的
x
∈R，
∴{
x
|
y
＝
x
2
＋1}＝R；
集合②{
y
|
y
＝
x
2
＋1}的代表元素是y
，满足条件
y
＝
x
2
＋1的
y
的取 值范围是
y
≥1。
∴{
y
|
y
＝
x2
＋1}＝{
y
|
y
≥1}；
集合③{（
x
，
y
）|
y
＝
x
2
＋1}的代表元素是（
x
，
y
），是满足
y
＝
x
2
＋1 的数对（
x
，
y
）的
集合；也可以认为是坐标平面内的点（
x
，
y
），由于这些点的坐标满足
y
＝
x
2
＋1，
∴{（
x
，
y
）|
y
＝
x2
＋1}＝{抛物线
y
＝
x
2
＋1上的点}。
5. D
解析：由题意，知M≠
?
且1与9，2与8，3与7，4与6 这4组数都要满足：每组数
的某一个数在集合M中，这组数的另一个也必定在集合M中，所以集合M的个 数为
135
C
5
?C
5
2
?C
5
?C
5
4
?C
5
?2
5
?1?31
。
6. B
解析：本题考查学生阅读理解能力与根据信息解决问题的能力。x＝A
0< br>时，（x
?
x）
?
A
2
＝A
2
≠A
0
；
x＝A
1
时，（x
?
x）
?
A
2
＝A
2
?
A
2
＝A
0
；
x＝A
2
时，（x
?
x）
?
A
2
＝A
0
?
A
2
＝A
2
≠A
0
；
x＝A
3
时，（x
?
x）
?
A
2
＝A
2
?
A
2
＝A
0
；
所以选B。
7. D 解析：要使A∩B＝{1，2，3}，必须满足集合A，B中都含有元素1，2，3，且对 全
集中的其他6个元素中的每一个，要么在集合A中，要么在集合B中，或既不在A中也不
-可 编辑-

精品教育
在B中，于是这6个元素所在集合的不同情况有3×3×3 ×3×3×3＝3
6
种。而这6个元素所
在集合的不同情况种数即为“好集”的个数。 故选D。

集合的应用

有关集合运算的性质

（1）A∪B=B∪A；A∪A=A；A∪
?
=A。

A
B
A
B
A (B)
A
B
（2）A∩B=B∩A；A∩A=A；A∩
?
=
?
。



A
B

A
B



A (B)
A
B



（3）（A）∪A=R；（A）∩A=
?
；（A）=A。
（4）A∩B=A
?
A
?
B；A∪B=B
?
A
?
B；A∩B =A
?
A∪B=B。
（5）（A∪B）=（A）∩（B），（A∩B）=（A）∪（B）。

例题1 设A、B、I均为非空集合，且满足A
?
B
?
I，则下列各式中错误的是（< br> A. （A）∪B=I B. （A）∪（B）=I
C. A∩（B）=
?


D. （A）∩（B）=B
答案：对A选项，（A）∪B=（A∩（B））=I；
对B选项，（A）∪（B）=（A∩B）=A；
对C选项，A∩（B）=（A∪B）=
?
；
对D选项，（A）∩（B）=（A∪B）=B。
综上所述，应选B。
-可编辑-
）

精品教育
知识点拨：（1）可根据题意画出韦恩图，借 助于图形的直观性，对照选项A、B、C、D
即可求解。
（2）根据题意A
?
B
?
I构造集合A、B、I，不妨设A=｛1｝，B=｛1，2｝，I=｛1，2，
3｝，利用特殊值代入法可求解。
（3）根据集合的反演律求解，即（A∪B）=（A）∩（B）；（ A∩B）=（A）
∪（B）。

例题2 已知集合A={a，b}，B={x|x ∈A，}C={x|x
?
A}，试判断A、B、C之间的关
知识点拨：B中元素x的取 值来源于A，C中元素是A的子集。集合B中的代表元素是
x，x满足的条件是x∈A，因此x=a或x =b，即B={a，b}=A，而集合C则不然，集合C的
代表元素虽然也是x，但x代表的是集合，x
?
A，因此，x={a}或x={b}或x={a，b}或x=
?
，
即C={
?
，{a}，{b}，{a，b}}，此时集合C中的元素是集合，故B∈C，A∈C 。
∴A=B，B∈C，A∈C。
答案：A=B，B∈C，A∈C。
知识点拨：对 于元素与集合、集合与集合之间的∈、
?
关系要理解透彻，“∈”用于
描述元素与集合 之间的关系，即只要元素a是构成集合A的一个元素，则a∈A，如{1}与{{1}，
{2}}，尽管 {1}是一个集合，但{1}是构成集合{{1}，{2}}的一个元素，故{1}∈{{1}，{2}}，“
?
”用于描述集合与集合之间的关系，如{1，2，3}
?
{1，2， 3，4}。

例题3 某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有2 7人，参
加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参< br>加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有
4人， 画出集合关系图，并求出全班人数。
思路导航：本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化成 符号语言，借助于韦
恩图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解。
设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，由题意可知A、
B、C三集合中 元素的个数分别为27、25、27，A∩B、B∩C、A∩C、A∩B∩C的元素个数
分别为10、7 、11、4。画出韦恩图：
系。
可知全班人数为10+13+12+6+4+7+3=55（人）。

答案： 全班人数55人。

点评：能正确使用一些集合符号把文字语言转化成符号语言、图形语言，是我们把实际
-可编辑-

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问题转化成数学问题的关键，它实现了实际问题向数学问题的转化。

1. 解有关集合的交、并、补集时，可根据题设条件构造出一些新的数学形式（韦恩图 或
符合题设条件的集合A、B、I），并借助它认识和解决原问题，这种构造法对解好选择题有
很大的帮助。
2. 一般来说，元素与集合之间应该用“
?
”或“∈”；而“
?
，
集合之间；
?
作为特殊集合应遵从
?
?
A，
?
对的。
”应该出现于集合与
{
?
，1}都是
A （非空）。但这不是绝对的，选择的关键
在于具体分析二者的关系。例{1，2}∈{{1，2}，{1 }}，而
?
∈{
?
，1}，
?
（答题时间：15分钟）
1. 若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有（ ）
A. A
?
C B. C
?
A C. A≠C D. A＝
?

2. 若集合A＝{1，2，x， 4}，B＝{x
2
，1}，A∩B＝{1，4}，则满足条件的实数x的值为（ ）
A. 4 B. 2或－2 C. －2 D. 2
3. 设集合S＝{－2，－1，0，1，2}，T＝{x∈R|x+1≤2}，则（S∩T）等于（ ）
A.
?

B. {2} C. {1，2} D. {0，1，2}
4. 设U为全集，M、P是U的两个子集，且（M）∩P＝P，则M∩P等于（ ）
P D.
?

5. 设集合M＝{x|x∈R且－1＜x＜2}，N＝{x|x∈R且| x|≥a，a＞0}，若M∩N＝
?
，那
A. M B. P C.
么实数a的取值范围是（ ）
A. a＜1 B. a≤－1 C. a＞2 D. a≥2
6. 设满足y≥|x－1|的点（x，y）的集合为A，满足y≤－|x|+2的点（x，y）的集合为B，
则A∩B所表示图形的面积是__________。
7. 设A＝{x|x
2
+4 x＝0}，B＝{x|x
2
+2（a+1）x+a
2
－1＝0}，若A∩B＝ B，求a的值。


-可编辑-

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?
1. A 解析：由A∪B＝B∩C，知A∪BB，A∪B
?
C，∴A< br>?
B
?
C。故选A。
2. C 解析：由A∩B＝{1，4}，B ＝{x2，1}，得x2＝4，得x＝±2，又由于集合元素互异，
∴x＝－2。
3. B 解析：由题意，知T＝{x|x≤1}，∴S∩T＝{－2，－1，0，1}，∴（S∩T）＝{2}。
4. D 解析：由（M）∩P＝P，知P
?
M，于是P∩M＝
?
。故选D。
5. D 解析：M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{x|x≤－a或x≥a}。若M∩N＝
?
，则－a≤－1
且a≥2，即a≥1且a≥2，综上a≥2。
3
解析 ：画出y≥|x－1|及y≤－|x|+2的图象，则A∩B表示的图形为矩形；由交
2
3点坐标及图象与坐标轴的交点坐标简单计算即得
S
矩形
?
。
2
6.
7. a≤－1或a＝1。
解：A＝{x|x
2
+4x＝0}＝{0，－4}。
（1）由A∩B＝B，得B
?
A。
∴B＝
?
或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}。
若B＝
?
，则4（a+1）
2
－4（a
2
－1）＜0，则a＜－1。
若B＝{0}，则
?
∴a＝－1。
?
?2(a?1)?0,
?
a?1?0,
2

?
?2(a?1)??8,
若B＝{－4}，则
?
2
无解。
a?1?16,
?
?
?2(a?1)??4,
若B＝{0，－4}， 则
?
2

?
a?1?0.
解得a＝1。
∴所求a的范围是a≤－1或a＝1。


函数概念及函数的表示



设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对
函数的定义
函数的三要素
于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）
函数的定义域、值域、对应关系，符号表示为f：A→B，A为定义域，
-可编辑-

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B为值域C的一个扩集，（即C为B的子集）f为对应关系
y=f（x）的内涵
两个函数相等
当自变量为x时，经过f对应的函数值为f（x），即y=f（x）不一定
有具体解析式 两个函数的三要素相同
?
定义域、对应关系、值域相同
?
定义域、
对应关系相同

例题1 下列对应是从集合M到集合N的函数的是（ ）
A. M=R，N=R，f：x→y=
1

x?1
x
B. M=R，N=R
+
（正实数组成的集合），f：x→y=
C. M={x|x≥0}，N=R，f：x→y
2
=x
D. M=R，N={y|y≥0}，f：x→y=x
2

思路导航：本题主要考查函数的定义。A. 对于M中的元素－1，N中没有元素与之对
应，故该对应不是从M到N的函数。B. 对于M中任意值为负数的元素，N中没有元素与
之对应，该对应f：M→N不是函数。C. 对于M中的 任一元素，如x=4，通过对应法则f：x→y
2
=x
得到N中有两个元素±2与之对 应，故f：x→y
2
=x不是从M到N的函数。
答案：D
点评：判断一个 对应法则是否构成函数，关键是看给出定义域内的任意一个值，通过给
出的对应法则，看是否有且只有一 个元素与之对应。

例题2 下列四组函数中，有相同图象的一组是（ ）
A. y=x－1，y=
(x?1)
2
B. y=
x?1
，y=
x?1

x?1
2x
2
?4
C. y=2，y=
2
D. y=1，y=x
0

x?2
思路导航：A. y=x－1与y=
(x?1)
2
=|x－1|的对应法则不同；B. y=
为 ［1，+∞），y=
x?1
的定义域
x?1
的定义域为（1，+∞），两函数 的定义域不同；D. y=1的定义域为
x?1
2
2x?4
R，y=x
0
的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），两函数定义域不同；C. y=2与y=
2
是
x?2
两相等的函数，所以图象相同。选C。
答案：C
点评：1. 定义域、对应关系、值域分别相同的函数有相同的图象，三要素中只要 有一
项不同，两个函数就不相等。由于值域由定义域与对应关系所确定，所以判断函数是否相等，
只要判断定义域与对应关系是否相同即可。
2. 判断对应法则是否相同，可以化简以后再判断，但是必须通过原函数解析式求函数的
定义域。

例题3 如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，其
下底 AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，梯形周长y是否是腰长x的函数？如果
是，写出函数关系 式，并求出定义域。
-可编辑-

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思路导航： 判定两个变量是否构成函数，关键看两个变量之间的对应关系是否满足函数
定义。该题中的每一个腰长都 能对应唯一的周长值，因此周长y是腰长x的函数。若要用腰
长表示周长的关系式，应知等腰梯形各边长 ，已知下底长为2R，两腰长为2x，因此只需用
已知量（半径R）和腰长x把上底表示出来，即可写出 周长与腰长的函数关系式。
如上图，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上，设腰长AD=B C=x，作DE⊥AE，垂足为
E，连结BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD 。
x
2
∴AD=AE·AB，即AE=。
2R
x
2
∴CD=AB－2AE=2R－。
R
2
∴周长y满足关系式
x
2
x
2
y=2R+2x+（2R－）=－+2x+4R，
RR
x
2
即周长y和腰长x间的函数关系式y=－+2x+4R。
R
∵ABCD
?
?
x?0,
是圆内接梯形，∴AD >0，AE>0，CD>0，即
?
2
解不等式组，得
?
x
? 0,
?
2R
?
?
x
2
2R??0.
?R
?
函数y的定义域为{x|02
R}。
x
2
?2
x
?4
R
，y的定义域为{x|02
R }。
答案：函数关系式为y=
?
R
点评：该题是实际应用问题，解题过程是 从实际问题出发，利用函数概念的内涵，判断
是否构成函数关系，进而引进数学符号，建立函数关系式， 再研究函数关系式的定义域，并
结合问题的实际意义作出回答。这个过程实际上就是建立数学模型的最简 单的情形。













A



特殊映射
特殊性
1. 集合A、B都是非空数集。

B
2. 自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的
集合C叫做函数的值域。

注意：值域C并不一定等于集合B，而只能说C是B的一个子集。

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几何三要素


定义域A 对应法则f 值域B


f是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键，所以必须是确定的，
且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应。


（答题时间：15分钟）
1. 下列四组中f（x），g（x）表示相等函数的是（ ）
3
A. f（x）＝x，g（x）＝（x）
2
B. f（x）＝x，g（x）＝x
3

x
C. f（x）＝1，g（x）＝ D. f（x）＝x，g（x）＝|x|
x
2. 下列函数中，定义域不是R的是（ ）
k
A. y＝kx＋b B. y＝

x＋1
C. y＝x
2
－c
1
D. y＝
2

x＋x＋1

3. 已知函数f（x）＝2x－3，x∈{1，2，3}，则f（x）的值域为________。
4. 已知函数f（x）＝x
2
＋x－1.
1
（1）求f（2），f（），f（a）。
x
（2）若f（x）＝5，求x.
5. 下列式子中不能表示函数y＝f（x）的是（ ）
A. x＝y
2
＋1 B. y＝2x
2
＋1
C. x－2y＝6 D. x＝y


1. B 解析：对于A、C，函数定义域不同；对D，两函数对应关系不同。
2. B 解析：选项A、C都是整式函数，符合题意，选项D中，对任意实数x都成立。
3. {－1，1，3} 解析： 当x＝1时，
f（1）＝2×1－3＝－1，
当x＝2时，f（2）＝2×2－3＝1，
当x＝3时，f（3）＝2×3－3＝3，
-可编辑-

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∴f（x）的值域为{－1，1，3}。
4. 解：（1）f（2）＝2
2
＋2－1＝5，
1111＋x－x
2
f（）＝
2
＋－1＝，f（a）＝a
2
＋a－1.
2
xxxx
（2）∵f（x）＝x
2
＋x－1＝5，
∴x
2
＋x－6＝0，∴x＝2或x＝－3.
5. A 解析：对于A，
由x＝y
2
＋1得y
2
＝x－1.
当x＝5时，
y＝±2，故y不是x的函数；
对B，y＝2x
2
＋1是二次函数；
对C，x－2y＝6?y＝
1
x－3是一次函数；
2
对D，由x＝y得y＝x
2
（x≥0）是二次函数。故选A.


函数的单调性

性
质
增
函
数

图 象 定 义
设函数f（x）的定义域为I。如果对于定义域I内某个区
间D上的任意两个自变量的值x
1
、x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有
f（x
1
）＜f（x
2
），那么就 说函数f（x）在区间D上是增函
数。

减
函
数

设函数f（x）的定义域为I。如果对于定义域I内某个区
间D上的任意两个自变量的值x1
、x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有
f （x
1
）＞f（x
2
），那么就说函数f（x）在区间D上是减函
数 。
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就
单调性与单调区间 说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单
调区间。

-可编辑-

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例题1 利用单调性定义证明：函数f（x）=
没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明。
答案：证明：证法一：函数f（x）=
x?1
在其定义域内是增函数。
思路 导航：本题是利用单调性定义证明函数单调性的一个典型例子，由于函数的定义域
x?1
的定义 域是x∈［1，+∞），任取x
1
、x
2
∈［1，
+∞）且x
1
＜x
2
，则f（x
2
）－f（x
1
）=
x
2
?
1
－
x
1
?1

=(x
2
?1?x
1
?1)(x
2
?1)?x
1
?1)
x
2
?1?x
1
?1
?
x
2
?x
1
x
2
?1?x
1
?1
。
∵x
1
、x
2
∈［1，+∞），且x
1
＜x
2< br>，∴
x
2
?
1
+
x
1
?1
＞0，x
2
－x
1
＞0。
∴f（x
1
）＜f（x
2
），即函数f（x）=
证法二：函数f（x）=
x
1
＜x
2
，则
x?1
在其定义域上是增函数。
x?1
的定义域是 x∈［1，+∞］，任取x
1
、x
2
∈［1，+∞）且
f(x
1
)
?
f(x
2
)
x
1
?1
x
2
?1
?
x
1
?1
，
x
2?1
∵x
1
、x
2
∈［1，+∞），且x
1
＜ x
2
，∴0≤x
1
－1＜x
2
－1。
∴0≤x
1
?1
x
1
?1
＜1。∴＜1。∵f（x
2
）=
x
2
?
1
＞0，∴f（x
1
）＜f（ x
2
）。
x
2
?1
x
2
?1
x ?1
在其定义域［1，+∞）上是增函数。 ∴函数f（x）=
点评：函数的单调性是在某指定 区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的。用定义
证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差（ 或作商）——变形——定号——判断”。
当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法 来解决，特别是函数中含有
指数式时常用此法。解决带根号的问题，常用的方法就是将分子、分母有理化 。从形式上看
是由“－”变成“+”。

例题2
f
（
x
）是定义在（ 0，＋∞）上的增函数，且
f
（
（1）求
f
（1）的值。
（2）若
f
（6）= 1，解不等式
f
（
x
＋3 ）－
f
（
x
）=
f
（
x
）－
f
（
y
）
y
1
）＜2。
x
思路导航：（1）利用赋值法，在等式中令x=y=1，则
f
（1）=0。
36
（2）在等式中令x=36，y=6，则
f(
)
?f
( 36)
?f
(6),
?f
(36)
?
2
f
(6)
?
2
。
6
故原不等式为：
f(x?3)?f()
?f
(36),
即
f
[
x
（
x＋3）]＜
f
（36），又
f
（
x
）在（0，
＋∞）上为增函数，
1
x
?
x?3?0
?
1153?3< br>?
故不等式等价于
?
?0
。
?0?x?
x2
?
?
?
0?x(x?3)?36
答案：（1）0 （2）
0?x?
153?3

2
点评：对于这种抽象函数问题，常利用赋值法解题。
-可编辑-

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例题3 作出函数f（x）=
x
2< br>?
2
x?
1
?
单调区间。
x
2
?
2
x?
1
的图象，并指出函数f（x）的
思路导航：由于所给的函数 是两个被开方数和的形式，而被开方数恰能写成完全平方的
形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的 形式，再作图写出单调区间。
原函数可化为
?
?2x,
?
f（x ）=
x
2
?
2
x?
1
?x
2
?< br>2
x?
1
=|x+1|+|x－1|=
?
2,
?2x,
?
答案：函数的图象如图所示：
x??1,
?1?x?1,

x?1.

所以函数的递减区间是（－∞，－1］，函数的递增区间是［1，+∞）。
点评：若 所给的函数解析式较为复杂，可先化简函数解析式，作出草图，再根据函数的
定义域和图象的直观性写出 单调区间。去绝对值的关键是令每一个绝对值等于0，找到分界
点，再讨论去绝对值。

（答题时间：15分钟）
1. 设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的命题为（ ）

①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增 ②若f（x）单调
递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增 ③若f（x）单调递减，g（x）单调递
增，则f（x）－g（x）单调递减 ④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）
单调递减
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
2. 已知函数f（x）在［－2，3］上单调，且f（－2）·f（3）<0，则方程f（x）=0在 ［－
2，3］内（ ）
A. 至少有一实根 B. 至多有一实根 C. 没有实根 D. 必有唯一实根
3. 设函数f（x）是（－∞，+∞）上的减函数，则（ ）
A. f（a）>f（2a）
C. f（a
2
+a）B. f（a
2
）D. f（a
2
+1）4. f（x）是定义在R上的增函数，有下列函数：①y=［f（x）］
2
是增函数 ；②y=
1
是
f(x)
-可编辑-

精品教育 减函数；③y=－f（x）是减函数；④y=|f（x）|是增函数。其中错误的结论是_________ ______。
5. 已知函数f（x）=x
2
+mx在（－∞，－1）上递减，在 ［－1，+∞］上递增，则f（x）
在［－2，2］上的值域为__________________ __。
6. 函数y=
1?x
的单调递减区间是_________________。
1?x
7. 用定义证明y=－x
3
+1在（－∞，+∞）是递减函数。
8. 求函数y=2x－1－
13?4x
的最大值。

1. C 解析：由函数单调性定义可得：②③正确，也可举反例否定①④命题。
2，3］上必与x轴有一交点，如下图。故选D。

2. D 解析：由于f（x）在［－2，3］上单调，又f（－2）·f（3）<0，∴y=f（x）在［－
3. D 解析：∵a
2
+1－a=（a－
∴a
2
+1>a。
1
2
3
）+>0，
2
4

∵f（x）在（－∞，+∞）上为减函数，
∴f（a
2
+1）4. ①②④
解析：利用函数的单调性定义判断。
5. ［－1，8］
解析：由条件知：－
m
=－1，∴m=2。
2
∴f（x）=x+2x，∴y
min
=－1，y
max
=f（2）=8。
2


6. （－∞，－1）和（－1，+∞）
解析：解y=1?x2
=－1+，可得单调递减区间是（－∞，－1）和（－1，+∞）。
1?xx?1
-可编辑-

精品教育
7. 证明：设x1
2
∈R，则Δx=x
2
－x
1
>0，
Δy=f（x
2
）－f（x
1
）=（－x
2
3
+1）－（－x
1
3
+1）
=x
1
3
－x
2
3
=（x
1
－x
2
）（x
1
2
+x
1
x
2
+x
2
2
）
=（x
1
－x
2
）［（x
1
+
x
2
2
3
2
）+x
2
］。
2
4
∵x
1
－x
2
=－Δx<0， x
2
2
3
）≥0，x
2
2
≥0且x
1
≠x
2
，
2
4
x3
∴（x
1< br>+
2
）
2
+x
2
2
>0，
24
（x
1
+
∴Δy<0，即函数f（x）=－x
3
+1在（－∞，+∞）上是递减函数。
13?t
2
13?t
2
t
2
11
8. 解 法一：∵令t=
13?4x
（t≥0），则x=，∴y=－1－t=－－t+=
244
2
－
1
（t+1）
2
+6。
2
1
（t+1）
2
+6在［0，+∞］上为减函数，
2
11
∴当t=0时，y有最大值。
2
13
解法二：函数的定义域为（－∞，）。
4
1313
∵2x－1在（－∞，）上递增，
13?4x
在（－∞，）上递减，
44
13
∴y=2x－1－
13?4x
在（－∞，）上为增函数。
4
13
11
∴当x=时，y有最大值。
2
4
∵t≥0，∴y=－

函数的奇偶性


偶函数
性 质
图象关于y轴对称；
定义域关于原点对称。
图象关于原点对称；定义域关于原
奇函数 点对称；定义域中有零，则其图象
必过原点，即f（0）=0。

定 义
如果对于函数（fx）的定义域内任意一个x，
都有f（－x）=f（x），那么函数f（x）就叫偶函数
如果对于函数（fx）的定义域内任意一个x，
都有f（－x）=－f（x）， 那么函数f（x）
就叫奇函数
-可编辑-

精品教育
注意：
在公共定义域内，
（1）奇函数与奇函数之积是偶函数；
（2）奇函数与偶函数之积是奇函数；
（3）偶函数与偶函数之积是偶函数；
（4）奇函数与奇函数的和（差）是奇函数；
（5）偶函数与偶函数的和（差）是偶函数。

例题1 已知f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（－∞， 0）
上是增函数还是减函数，并加以证明。
思路导航：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对 函数单调性进行判断，但是证明单调
性必须用定义证明。
答案：f（x）在（－∞，0）上是增函数。证明如下：
设x
1
2
<0，－x
1
>－x
2
>0，
∴f（－x
1
）2
）。
由于f（x）是偶函数 ，因此f（－x
1
）=f（x
1
），f（－x
2
）=f（x
2
）。
∴f（x
1
）2
），即f（x） 在（－∞，0）上是增函数。
点评：利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求 解哪个区间的
问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解
决问题。

例题2 若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）= x（1－x），求当x≥0
时，函数f（x）的解析式。
思路导航：将x＜0时f（x）的解析式转化到x＞0的区间上，这是解决本题的关键。
由于 f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=－f（x）=－{（－x）［1－（－x）］}=x（1+x）；
当x=0时，f（0）=－f（0），即f（0）=0。
∴当x≥0时，f（x）=x（1+x）。
答案：当x≥0时，f（x）=x（1+x） < br>点评：判断分段函数的奇偶性时，应对x在各个区间上分别讨论，由x的取值范围确定
相应的函数 表达式，最后要综合得出在定义域内总有f（－x）=f（x）或f（－x）=－f（x），
从而判定其 奇偶性。

例题3 设f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上递增，且有f（2 a
2
+a+1）＜f
（3a
2
－2a+1），求a的取值范围。 < br>思路导航：要求a的取值范围，就要列关于a的不等式（组），因而利用函数的单调性、
奇偶性化 “抽象的不等式”为“具体的代数式”是关键。
答案：由f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0 ）上递增知f（x）在（0，+∞）上
递减。
∵2a
2
+a+1=2（a+
1
1
2
72
）+＞0，3a
2
－2a+1=3（a －）
2
+＞0，
3
483
且f（2a
2
－2a+1）＜f（3a
2
－2a+1），
∴2a
2
+a+1＞3a
2
－2a+1，
-可编辑-

精品教育
即a
2
－3a＜0。
解得0＜a＜3。
点评：该例题在求解过程中，要注意利用偶函数的对称性，一侧递增，一侧递减。


复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关，其规律可列表如下：
（1）若函数
f
（
x
）、
g
（
x
）、f
［
g
（
x
）］的定义域都是关于原点对称的，那么由
u
=
g
（
x
），
y
=
f
（
u
）的奇偶性得到
y
=
f
［
g
（
x）］的奇偶性的规律如下：
函数 奇偶性
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
u
=
g
（
x
）
y
=
f
（
u
）
y
=
f
［g（
x
）］
即当且仅当
u=
g
（
x
）和
y
=
f
（
u< br>）都是奇函数时，复合函数
y
=
f
［
g
（
x
）］是奇函数。
（2）若函数
u
=
g
（
x
）在区间［
a
，
b
］上是单调函数，函数
y
=
f
（
u
）在［
g
（
a
），
g
（b
）］
或［
g
（
b
），
g
（
a
）］上也是单调函数，那么复合函数
y
=
f
［
g
（
x
）］在区间［
a
，
b
］上是单调
函数，其单调 性规律如下：
函数 单调性
u
=
g
（
x
） 增函数 增函数 减函数 减函数
y
=
f
（
u
） 增函数 减函数 增函数 减函数
y
=
f
［
g
（
x
）］ 增函数 减函数 减函数 增函数
即当
u
=
g
（
x
），
y
=
f
（
u
）增减性相同时，
y
=
f
［
g
（
x
）］为增函数；增减性相反时，
y
=
f
［
g
（
x
）］为减函数。

（答题时间：15分钟）
1. 下列命题中错误的是（ ）
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数
②奇函数的图象一定过原点
③偶函数的图象与
y
轴一定相交
④图象关于
y
轴对称的函数一定为偶函数
A. ①② B. ③④
C. ①④ D. ②③
2. 已知
f
（
x
）＝
x
7
＋
ax
5
＋
bx
－ 5，且
f
（－3）＝5，则
f
（3）＝（ ）
A. －15
C. 10








B. 15
D. －10

?
1
?
3. 已知偶函数
f
（
x
）在区间 [0，＋∞）单调递增，则满足
f
（2
x
－1）<
f
??< br>的
x
取值范围
?
3
?
是（ ）
-可编辑-

精品教育
?
12
?
A.
?
，
?

?
33
?
?
12
?
C.
?
，
?
`
?
23
?






?
12
?
B.
?
，
?

?
33
?
?
12
?
D.
?
，
?

?
23
?
4. 若
f< br>（
x
）＝
ax
2
＋
bx
＋
c
（
a
≠0）为偶函数，则
g
（
x
）＝
ax
3
＋
bx
2
＋
cx
的奇偶性为________。
5. 已知
f
（
x
）是偶函数，
g
（
x< br>）是奇函数，且
f
（
x
）＋
g
（
x
）＝
x
2
＋
x
－2，求
f
（
x
） ，
g
（
x
）
的表达式。
6. 函数
f
（
x
）＝
ax
＋
b
?
1
?
2
是定义在（－1，1）上的奇函数，且
f
?
2
?
＝
5，求函数
f
（
x
）的解析
1＋
x
2
? ?
式。
7. 定义在（－1，1）上的奇函数
f
（
x
）是 减函数，且
f
（1－
a
）＋
f
（1－
a
2
）<0，求实数
a
的取值范围。


1. D

1
?
x
－1
x
≥1
解析：
f
（
x
）＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；
y
＝
?
为偶 函数，
x
－
x
－1
x
≤－1
?
其图象与
y
轴不相交，故③错。
2. A
解析：解法1：
f
（－3）＝（－3）
7
＋
a
（－3）
5
＋（－3）
b
－5＝－（3
7
＋
a·3
5
＋3
b
－5）
－10＝－
f
（3）－1 0＝5，
∴
f
（3）＝－15.
解法2：设
g
（
x
）＝
x
7
＋
ax
5
＋
bx
， 则
g
（
x
）为奇函数，
∵
f
（－3）＝
g
（－3）－5＝－
g
（3）－5＝5，
∴
g
（3）＝－ 10，∴
f
（3）＝
g
（3）－5＝－15.
3. A
111
解析：由题意得|2
x
－1|<，－<2
x
－1<

333
2412
<2
x
<，<
x
<，∴选A.
3333
4. 奇函数
解析：由
f
（
x
）＝ax
2
＋
bx
＋
c
（
a
≠0）为偶函 数得
b
＝0，因此
g
（
x
）＝
ax
3＋
cx
，∴
g
（－

x
）＝－
g
（
x
），
∴
g
（
x
）是奇函数。
5.
f
（x
）＝
x
2
－2，
g
（
x
）＝
x
.
解析：
f
（－
x
）＋
g
（－x
）＝
x
2
－
x
－2，由
f
（
x
）是偶函数，
g
（
x
）是奇函数得，
f
（x
）
－
g
（
x
）＝
x
2
－< br>x
－2
又
f
（
x
）＋
g
（
x
）＝
x
2
＋
x
－2，两式联立得：
f
（
x
）＝
x
2
－2，
g
（
x
） ＝
x
。
-可编辑-

精品教育
6.
f
（
x
）＝。
1＋
x
2
解析：因为f
（
x
）是奇函数且定义域为（－1，1），
所以
f
（0）＝0，即
b
＝0.
1
a
2
1
22
??
又
f
??
＝，所以＝，
?< br>2
?
5
?
1
?
2
5
1＋
? ?
?
2
?
所以
a
＝1，所以
f
（
x
）＝。
1＋
x
2
7. {
a
|0<
a
<1}
解析：由
f
（1－
a
）＋
f
（1－
a
2
）<0及
f
（x
）为奇函数得，
f
（1－
a
）<
f
（
a
2
－1），
∵
f
（
x
）在（－1，1）上单调减，
x
x?
－1<1－
a
<1
∴
?
－1<1－
a
<1
?
1－
a
>
a
－1
2
2

解得0<
a
<1.
故
a
的取值范围是{
a
|0<
a
<1}。
-可编辑-