高中数学苏教版选修教材分析-高中数学人教版选修2-3导学案
高中数学必修1知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个
对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性; 2.元素的互异性;
3.元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象
或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对
象,相同的对象
归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后
顺序,因此判定两个集合是否一样,
仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列举法与描述法。
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a
属于集合A 记作
a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a
?
A
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的
公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的
方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法
。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分类:
(1).有限集 含有有限个元素的集合
(2).无限集 含有无限个元素的集合
(3).空集
不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0}
B={-1,1} “元素相同”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集
合B的元
素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等
于集合B,即
:A=B
任何一个集合是它本身的子集。A
?
A
②真子集:如果A
?
B,且B
?
A那就说集合A是集合B的真子集,记作A
?
B(或B
?
A)
③如果 A
?
B, B
?
C ,那么 A
?
C
④如果A
?
B 同时 B
?
A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,
叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并
集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成
的集合,叫做A,B的并集。记作:A
∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x
∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即
),由S中所有不
属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
(2)全集:
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个
集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
四、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定
的对应关系f,
使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对
应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x
∈A.其中,x叫
做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相
对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(
x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域
,则函数的定义域
即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合
或
区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,
求函数的定义域时列
不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数
不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零
且不等于1. (5)如果函数
是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那
么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合
.(6)指数为零底
不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
注意:(1)构成函数三个要素是定
义域、对应关系和值域.由于值域是由定
义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关
系完全一致,
即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定
义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数
的判断方法:①表
达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本
21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域
都应先考虑其定义域.
(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函
数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域
的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x) ,
(x∈A)中的x为横坐标,
函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数
y=f(x),(x ∈A)的图象.
集合C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x)
,反过来,以满足y=f(x)
的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
即记为C={ P(x,y)
| y= f(x) , x∈A },图象C一般的是一条光滑的连续
曲线(或直线),也可能
是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组
成。
(2) 画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值
并列表,以(x,y)
为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,
y),最后用平滑的曲线将这些点连接
起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观
的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高
解题的速度。发现解题中的错误。
4.了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半
闭区间;(2)无穷区间;(3)区间
的数轴表示.
5.什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对
于集合A中的任意一个元素
x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,
那么就称对应f:A→
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A→ B”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,
b∈B.且元素a和元素b对应,那么,
我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应
法则f是确定的;②对
应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,
它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于
映射f:A→B来说,则应满足:
(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(Ⅱ)
集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合
B中的每一
个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1 函数图象既
可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意
判断一个图形是否是函数图象的依据;2
解析法:必须注明函数的定义域;3
图
象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数
的特征;4
列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数
值.
补充一:分段函数 (参见课本P24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达
式的函数。在不同的范围里求函数值
时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个
不同的方
程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各
<
br>部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个
函数;(2)分段
函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g
的复合函数。
例如:
y=2sinx y=2cos(2x+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任
意两个
自变量a,b,当a数。区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)
如果对于区间D上的任意两个自变量的值a,b,当a那
么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2
必须是对于区间D内的任意两个自变量a,b;当a(2)
图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区<
br>间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减
函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)
定义法:任取a,b∈D,且a式分解和配方);4 定号(即判断差f(a)-f(b)的正负);5
下结论(指出函
数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数
f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间
,不能把单调性相同的区
间和在一起写成其并集.
2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定
单调性吗
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x
),那么f(x)
就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定
义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么
f(x)就叫做奇函数.
注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数
的整体性质;函
数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性
的一个必要条件是,对于定义
域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于
原
点对称).
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1
首先确定函数的定义域,并判
断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3
作出相应结
论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) =
0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =
-f(x) 或 f(-x)+f(x) =
0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数
的
定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根
据定义判定
; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)
±
f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函
数关系时,
一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的解
析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果
已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;
已知复合函数f[g(x)]的表达式
时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单
时,也可用
凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
(1)、
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. (2)、
利
用图象求函数的最大(小)值 (3)、 利用函数单调性的判断函数的最大(小)
值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则
函数y=f(x)
在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递
减,在区间[b,c]
上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果
x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次
方根(n th
root),
其中
n
>1,且
n
∈
N
*
.
当
n
是奇数时,正数的
n
次方根是一个正数,负数的
n次方根是一个负数.此
时,
a
的
n
次方根用符号
na
表示.式子
n
a
叫做根式(radical),这里
n
叫
做根指数(radical
exponent),
a
叫做被开方数(radicand).
当
n
是偶数时,正数的
n
次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正
数
a<
br>的正的
n
次方根用符号
n
a
表示,负的
n
次
方根用符号-
n
a
表示.正
的
n
次方根与负的
n<
br>次方根可以合并成±
n
a
(
a
>0).由此可得:负数没有<
/p>
偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
。
?
a(a?0)
注意:当
n
是奇数时,
n
a
n?a
,当
n
是偶数时,
n
a
n
?|a|??
?
?a(a?0)
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
a
m
n
?a(a?0,m,n?
N,n?1)
,
a
n
m*
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0
,m,n?N
*
,n?1)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指
数的概念就从整数指数推广到了有
理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂
.
3.实数指数幂的运算性质
rsrs
rrr?s
(a)?a
a
a?a
(1)·(2)
(a?0,r,s?R)
;
(a?0,r,s?R)<
br>;
rrs
(ab)?aa
(a?0,r,s?R)
.
(3)
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数
(exponential
function),其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
6
5
06
5
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
2
46
-4-2
0
-1
246
图象特征
函数性质
a?1
0?a?1
a?1
函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R
+
a
0
?1
0?a?1
向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点(0,1)
自左向右自左向右增函数 减函数
看,
图象逐渐
上升
在第一象
限内的图
象纵坐标
都大于1
在第二象
限内的图
象纵坐标
都小于1
看,
图象逐渐
下降
在第一象
限内的图
象纵坐标
都小于1
在第二象
限内的图
象纵坐标
都大于1
函数值开函数值开
始
减小极
快,到了
某一值后
减小速度
较慢;
始增长较
慢,到了
某一值后
增长速度
极快;
x?0,a<
br>x
?1x?0,a
x
?1
x?0,a
x
?1x?0,
a
x
?1
图象上升
趋势是越
来越陡
图象上升
趋势是越
来越缓
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f(b),f(a)]
;
(2)若<
br>x?0
,则
f(x)?1
;
f(x)
取遍所有正数当且仅当<
br>x?R
;
(3)对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a
?1)
,总有
f(1)?a
;
(4)当
a?1
时,若x
1
?x
2
,则
f(x
1
)?f(x
2
)
;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如
果
a
x
?N
(a?0,a?1)
,那么数
x
叫做以
.
a
为
.
底
.
N
的对数,记作:
x?log
a
N
(
a
— 底数,
N
—
真数,
log
a
N
— 对数
式)
1
注意底数的限制
a?0
,且
a?1
; 说明:○
2
a
x
?N?log
a
N?x
; ○
3
注意对数的书写格式. ○
log
a
N
13、三角函数的诱导公式:
?1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
2k
?
??
?
?tan
?
?
k??
?
.
?<
br>2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??co
s
?
,
tan
?
?
?
?
?
?ta
n
?
.
?
3
?
sin
?
?
?<
br>?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
??
?
?
??tan
?
.
口诀:函数名称不变,符号看象限.
?
5
?
sin
??
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
?sin
?
.
?
2
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
6sin?
?
?cos
?
co
s
,
??
??
?
?
?
?
??sin
?
.
?
2
?
?
2
?
口诀:正弦与余弦
互换,符号看象限.
14、函数
y?sinx
的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的
横坐标伸长(缩
短)到原来的
1
倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来
的
?
倍(横坐标不
变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左(右)平移
1
倍(纵坐标不变),
?
?
个单
?
位长度,得到函数
y?sin
?
?
x?
?<
br>?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所
有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变),得到
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,?
?0
?
的性质:
①振幅:
?
;②周
期:
??
相:
?
.
2
?
?
;③频率:<
br>f?
1
?
;④相位:
?
x?
?
;⑤初
?
?2
?
函数y??sin
?
?
x?
?
?
??,当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x
2
时,取得
最大值为
y
max
,则??
11?
?
y
max
?y
min
?
,
??
?
y
max
?y
min
?
,
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
.
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
y?sin
数
x
性
质
y?cosx
y?tanx
图
象
定
义
域
值
域
R
R
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
?
?1,1
?
?
2
R
?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?
时,
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
最
时,
y
max
?1
;当
值
x?2k
?
?
?
2
既无最大值也无最小
值
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
周
期
性
奇奇函数
偶
偶函数 奇函数
2
?
2
?
?
性
??
??
在
?
2k
?
?,2k
?
?
?
22
?
在
?
单
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?k??
?
??
??
k
?
?,k
?
?<
br>上是增函数;在 在
k??
??
上是增函数;在
??
22
??
调
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
3
?
??
?
k??
?
上是增函数.
性
?
2k
?
?
2
,2k
?
?<
br>2
?
??
?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是减函数.
对
对
称
对
性
x?k
?
?
称中心
对称中心
对称中心
?
k
?
,0
??k??
?
称轴
?
??
k
?
?,0<
br>?
?
k??
?
?
2
??
对称轴<
br>x?k
?
?
k??
?
?
k
??
,0
?
?
k??
?
?
2
??
?
2
?
k??
?
无对称轴
第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
.
⑷运算性质:①交换律:a?b?b?a
;②结合律:
a?b?c?a?b?c
;
③
a?0?0?a?a
.
????
C
a
b
?
?
a?b??C?????C
⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x2
,y
1
?y
2
?
.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?<
br>?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
19、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
a?
?
a
;
②当
?
?0<
br>时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相
反;当
?<
br>?0
时,
?
a?0
.
⑵运算律:①
?
?<
br>?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a;③
?
a?b?
?
a?
?
b
.
⑶坐
标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y?
.
??
20、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
??
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0
,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a
、
bb?0
共线
.
??
21、平面向量基本定理:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于
这一平面内的任意向量
a
,有且
只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a?
?1
e
1
?
?
2
e
2
.(不共
线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y<
br>2
?
,当
?
1
??
?
??
2
时,点
?
的坐标是
?
?
23、平面向量的数量积:
x<
br>1
?
?
x
2
y
1
?
?
y<
br>2
?
,
?
.
1?
?
1?
?
??
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?
180
.零向量与任一向量的数量积为
0
.
⑵性质:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a
与<
br>b
同向时,
a?b?ab
;当
a
与
b
反向时
,
a?b??ab
;
a?a?a
2
?a
或
a?a?
a
.③
a?b?ab
.
2
??
⑶运算律:①
a?
b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b
?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b?c
.
⑷坐标运
算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?
b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
若
a?
?
x,y
?
,则
a?x
2
?y
2
,或
a?x
2
?y
2
.
设
a??
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
设
a
、<
br>b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,<
br>?
是
a
与
b
的夹角,则
2
??????cos
?
?
a?b
ab
?
x
1x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
.
第三章
三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
co
s
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑵
cos
?<
br>?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?s
in
?
sin
?
;
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
⑸
tan
?
?
?
?
??
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan<
br>?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?<
br>);
⑹
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?<
br>(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2<
br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
(
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
).
⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
.
26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,
其中
tan
?
?
?
?
.
,
必修5知识点总结
1、正弦定理:在
???C
中,
a<
br>、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边,
R
为
???C
的外接
圆的半径,则有
abc
???2R
.
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式:
①
a?2Rsin?
,
b?2Rsin?
,
c?2RsinC
;
abc
,
sin??
,
sinC?
;③
a:
b:c?sin?:sin?:sinC
;
2R2R2R
a?b?cabc
④.
???
sin??sin??
sinCsin?sin?sinC
②
sin??
(正弦定理主要用来解决两类问题:
1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、
已知两角和一边,求其余的量。)
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)
如:在三角形ABC中,已知a、b、A(A为锐角)求B。具体的做法是:数形结合思想
画出图:法一:把a扰着C点旋转,看所得轨迹以AD有无交点:
C
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
A
法二:是算出CD=bsinA,看a的情况:
当a
注:当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式:
S
???C
?
D
b
bsinA
a
111
bcsin??absinC?acsin?
.
222
22
2222
4、余弦定理:在
???C
中,有
a?b?c?2bccos?,
b?a?c?2accos?
,
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
b
2
?c
2
?a
2
a
2<
br>?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c2
5、余弦定理的推论:
cos??
,
cos??
,
c
osC?
.
2bc2ac2ab
(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,
求其余的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状:设
a
、
b<
br>、
c
是
???C
的角
?
、
?
、C
的对边,则:①若
a
2
?b
2
?c
2
,则
C?90
;
②若
a?b?c
,则
C?90
;③若
a?b?c
,则
C?90
.
A
正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标A、B,
但不能到达,在岸边选取相距
3
千米的C、D两点,
并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离。
本题解答过程略
附:三角形的五个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点.
7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一
项的数列(即:a
n+1
>a
n
).
12、递减数列:从第2项起
,每一项都不大于它的前一项的数列(即:a
n+1
n
).
13、常数列:各项相等的数列(即:a
n+1
=a
n
).
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
15
、数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与
序号
n
之间的关系的公式.
O
OOO
222222
B
C D
16、数
列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或
前几项)间的关系的公式.
17、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数
,则这个数列称为
等差数列,这个常数称为等差数列的公差.符号表示:
a
n?1?a
n
?d
。注:看数列是不是等
差数列有以下三种方法:
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
)
③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数
18、由三个
数
a
,
?
,
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,
则
?
称为
a
与
b
的
等差中项.若
b?19、若等差数列
a?c
,则称
b
为
a
与
c<
br>的等差中项.
2
1
?
a
n
?
的首项是a
,公差是
d
,则
a
n
?a
1
??
n?1
?
d
.
;
a
n
?a1
20、通项公式的变形:①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
;②
a
1
?a
n
?<
br>?
n?1
?
d
;③
d?
n?1
a
n
?a
m
a
n
?a
1
d?
?1
;⑤
④
n?
n?m
d
.
*
21、若
?
an
?
是等差数列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
),则
a
m
若
?<
br>a
n
?
是等差数列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),则
2a
n
*
?a
n
?a
p
?a
q
;
?a
p
?a
q
.
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
S?na?d
.③
n
22、等差
数列的前项和的公式:①
n
;②
n1
2
2
s
n?a
1
?a
2
??a
n
23、等差数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2nn??
*
,则
S
2
n
??
?n
?
a
n
?a
n?1
?
,且
S
偶
?S
奇
?nd
,
S
奇
a
?
n
S
偶
a
n?1
.
②若项数为
2n?1n??
?
*
?
,则
S
S?S
偶
?a
n
,
2n?1
?
?
2n?1
?
an
,且
奇
S
奇
n
(其中
?
S
偶
n?1
S
奇
?na
n
,
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
).
24、如果一个数列从第<
br>2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为
等比数列,这个常数
称为等比数列的公比.符号表示:
a
n?1
?q
(注:①等比数列中不会出<
br>a
n
现值为0的项;②同号位上的值同号)
注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:
2
?a
n?1
?a<
br>n?1
(
n?2
,
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
)
①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)
②
a
n
③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数
列{
log
x
a
n
}(
x?1
)成等比数列. <
br>25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
,使
a<
br>,
G
,
b
成等比数列,则
G
称为
a
与
b
的等比中项.若
2
(注:由
G?ab
不能得出
a
,
G
,
b
成等比,由
G
2
?ab
,则称
G
为
a
与
b
的等比中项.
a
,<
br>G
,
b
?
G
2
?ab
)
n?1<
br>26、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1<
br>,公比是
q
,则
a
n
?a
1
q
.
?
?
n?1
?
n?m
n?1
a?aq
a?
aq
27、通项公式的变形:①
n
;②
1
;③
q
m
n
?
a
n
;④
a
1
q
n?m?
a
n
.
a
m
*
28、若
?
a
n
?
是等比数列,且
m?n?p?q
(
m
、<
br>n
、
p
、
q??
),则
a
m
?a<
br>n
?a
p
?a
q
;
若
?
a
n
?
是等比数列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),则
a
n
*
2
?a
p
?a
q
.
?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
的公式:①
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
.②
1n
?
?
q?1
?<
br>?
1?q1?q
?
s
n
?a
1
?a
2
??a
n
?
s
1
?a
1
(n
?1)
a?
30、对任意的数列{
a
n
}的前
n
项
和
S
n
与通项
a
n
的关系:
n
?
s?s(n?2)
n?1
?
n
[注]: ①
a
n<
br>?a
1
?
?
n?1
?
d?nd?
?
a
1
?d
?
(
d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件(
即常
数列也是等差数列)→若
d
不为0,则是等差数列充分条件).
②等差
{
a
n
}前
n
项和
S
n
?An
2
?Bn?
??
n
2
?
?
a
1
?<
br>?
n
→
?
?
d
?
?
2
?
?
d
?
2
?
d
可以为零也可不为零→为等差2
的充要条件→若
d
为零,则是等差数列的充分条件;若
d
不为
零,则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)
..
附:几种常见的数列的思想方法:
⑴等差数列的前
n<
br>项和为
S
n
,在
d?0
时,有最大值.
如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值,有
两种方法:
一是求使
a
n
?0,a
n?1
?
0
,成立的n
值;二是由
S
n
?
的值.
数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:
数列
等差数列
等比数列
数列
等差数列
等比数列
我
们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”,将数列的通项公式以及前n项和看成是关于
n的函数,为我
们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
例题:1、等差数列
分析:因为
中,,则 .
前n项和公式 对应函数
(时为二次函数)
通项公式
对应函数
(时为一次函数)
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数的性质求
n
22
(指数型函数)
(指数型函数)
是等差数列,所以是关于n的一次函数,
)三点共线, 一次函数
图像是一条直线,则(n,m),(m,n),(m+n,
所以利用每两点形成直线斜率相等,即,得=
0(图像如上),这
里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。
例题:2、等差数列中,,前n项和为,若,n为何值时最大
分析:等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=,
是抛物线=上的离散点,根据题意,,
则因为欲求
即当
最大
值,故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为
时,最大。
,对任意正整数n,
递增得到:
对一切
有最大值
恒成立,求
,
例题:3递增数列
分析:
即
则只需求出
。
构造
一次函数,由数列
恒成立,所以
对于一切
恒成立,设
,所以
恒成立,
,
的取值范围是:的最大值即可,显然
构造二次函数,看成函数,它的定义域是
为递增函数,单调增区间为,因为是递增数列,即函数
,抛物线对称轴,因为函数f(x)为离散函数
,要函数单调递增,就看动轴与
已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴在的左侧
也可以(如图),因为此时B点比A点高。于是,
,得
⑵如果数列可以看
作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前
n
项和可依
111
照等比数列前
n
项和的推倒导方法:错位相减求和.
例如:
1?,3,...(2n?1)
n
,...
24
2
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第
一个
相同项,公差是两个数列公差
d
1
,d
2
的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,<
br>验证
a
n
?a
n?1
(
a
n
)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
a
n?1
2
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n
?1
?a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
3.
在等差数列{
a
n
}中,有关S
n
的最值问题:(1)当
a
1
>0,d<0时,满足
?
?
a
m
?0
的项数
?
a
m?1
?0
?
a
m
?0
m使得
s
m
取最大值. (2)当
a
1
<0,d>0时,
满足
?
的项数m使得
s
m
取最小值。在解
a?0
?
m?1
含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
附:数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
?
?
c
?
?
其中{ a
n
}是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无理
?
a
n<
br>a
n?1
?
数列、含阶乘的数列等。
例题:已知数列{a
n
}的通项为a
n
=
1
,求这个数列的前n项和S
n
.
n(n?1)
解:观察后发现:a
n
=
11
?
nn?1
s
n
?a
1
?a
2
?????a
n
∴
11111
?(1?)?(?)?????(?)
223nn?1
1
?1?
n?1
3.错位相减法:适用于
?a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数
列,
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
n
例题
:已知数列{a
n
}的通项公式为
a
n
?n?2
,求这个数
列的前n项之和
s
n
。
解:由题设得:
s
n
?
a
1
?a
2
?a
3
?????a
n
=
1?2?2?2?3?2?????n?2
即
123n
s
n
=
1?2
1
?2?2
2
?3?23
?????n?2
n
①
把①式两边同乘2后得
2s
n
=
1?2
2
?2?2
3
?3
?2
4
?????n?2
n?1
②
用①-②,即:
s
n
=
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3<
br>?????n?2
n
①
2s
n
=
1?2
2
?2?2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
得
?s
n
?1?2?2
2
?2
3
?????2
n
?n?2
n?1
2(1?2
n
)
??n?2
n?1
1?2
?2
n?1
?2?n?2
n?1
?(1?n)2
n?1
?2
n?1
∴
s
n<
br>?(n?1)2?2
4.倒序相加法:
类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1): 1+2+3+...+n
=
n(n?1)
2
2) 1+3+5+...+(2n-1)
=
n
3)
2
2
?
1
?
1
3
?2
3
???n
3
?
?
n(n?1)
?
?
2
?
4)
1?2?3???n?
2222
111
1
??
n(n?1)(2n?1)
5)
n(n?1)nn?1
6
1111
?(?)
n(n?2)2nn?2
6)
31、
a?b?0?a?b;
a?b?0?a?b
;
a?b?0?a?b
.
32、不等式的性质: ①
a?b?b?a
;②
a?b,b?c?a?c;③
a?b?a?c?b?c
;
④
a?b,c?0?ac?bc
,
a?b,c?0?ac?bc
;⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
;
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
;⑦
a?b?0?a?b
n
n
1111
?(?)(p?q)
pqq?ppq
?
n??,n?1
?
;
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
.
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式.
34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式(高次不等式)的解法
穿根法(零点分段法)
求解不等式:
a0
x
n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
?
?
?a
n
?0(?0)(a
0
?0)
解法:①将不等式化为a
0
(x-x
1
)(x-
x
2
)…(x-x
m
)>0(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;<
br>(为了统一方便)
②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来;
③由
右上方穿线(即从右向左、从上往下:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过),经过
数轴上表示各根的点(
为什么);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等<
br>式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
(自右向左正负相间)
例题:求不等式
x?3x?6x?8?0
的解集。
解:将原不等式因式分解为:
(x?2)(x?1)(x?4)?0
由方程:
(x?2)(x?1)(x?4)?0
解得
x
1
??2,x
2
?1,x
3
?4
将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图
22
+
X
1
+
—X
2
X
3
X
n-2
+
X
n-1
—X
n
+
X
由图可看出不等式
x?3x?6x?8?0
的解集为:
22
+
+
1
?
-2
?
4
x
?
x|?2?x?1,或x?4
?
例题:求解不等式
(x?1)(x?2)(x?5)
?0
的解集。
(x?6)(x?4)
解:略
一元二次不等式的求解:
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.
二次函数
??0
??0
??0
2
y?ax
2
?bx?c
(
a?0
)的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
x
1
?x
2
??
b
2a
b
?
?
xx?x
1
或x?x
2
?
?
?
xx??
?
2a
??
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
?
xx
1
?x?x
2
?
?
?
对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
2.分式不等式的解法
(1)标准化:移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0);
≥0(或≤0)的形式,
g(x)g(x)g(x)g(x)
(2)转化为整式不等式(组)
f(x)f(x)
f(x)g(x)?0
?0?f(x)g(x)?0;?0?
?
?
g(x)?0
?
g(x)g(x)
例题:求解不等式:
解:略
例题:求不等式
1
??1
x
x
?1
的解集。
x?1
3.含绝对值不等式的解法:
基本形式:
①型如:|x|<a (a>0) 的不等式
的解集为:
?
x|?a?x?a
?
②型如:|x|>a
(a>0) 的不等式 的解集为:
?
x|x??a,或x?a
?
变型:
|ax?b|?c(c?0)型的不等式的解集可以由
?
x|?c?
ax?b?c
?
解得。其中
-c
?
ax?b?c
在解-c
ax?b
??c
ax?b?c(c?0)
型的不等式的解法可以由
?
x|ax?b?c
,或ax?b??c
?
来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解.
④绝对值不等式解法中常用几何法:即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解
题.
例题:求解不等式
|x?2|?1
解:略
例题:求解不等式:
|x?2|?|x?3|?10
解:零点分类讨论法:
分别令
x?2?0和x?3?0
解得:
x??3和x?2
在数轴上,-3和2就把数轴分成了三部分,如右上图
①当
x??3
时,(去绝对值符号)原不等式化为:
?
3 2
x
11
?
x??
?
?(x?2)?(x?3)?10
11?
?
??x??3
?
?
?
2
2
?
x??3
?
?
x??3
②当
?3
?x?2
时,(去绝对值符号)原不等式化为:
?
?3?x?2
?
?3?x?2
??
?3?x?2
??
?
?(x?2)?(x?3)?10
?
x?R
③当x?2
时,(去绝对值符号)原不等式化为:
?
x?2
?
x?
2
9
?
?
?
9
?
2?x?
?<
br>2
?
(x?2)?(x?3)?10
?
x?
?2
由①
②③得原不等式的解集为:
?
x|?
函数图像法:
令
f(x)?|x?2|?|x?3|
?
?
119
?
?x?
?
(注:是把①②③的解集并在一起)
22
?
y
f(x)
=10
5
?
?2
x?1(x??3)
?
?
则有:
f(x)?
?
5(?3?x
?2)
?
2x?1(x?2)
?
?
在直角坐标系中作出此
分段函数及
f(x)?10
的图像如图
?
11
?3
o
2
2
9
2
x <
br>由图像可知原不等式的解集为:
?
x|?
2
?
?
11
?x?
2
9
?
?
2
?
4.一元
二次方程ax+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析:
设ax+bx+c
=0的两根为
?
、
?
,f(x)=ax+bx+c,那么:
22
y
?
??0
?
①若两根都大于0,即
?
?0,
?
?0
,则有
?
?
?
?
?0
?
?
?
?
?0
?
o
?
x
b
对称轴x=
?
2a
?
?
?
?0
?
b
?
②若两根都小于0,即
?
?0,
??0
,则有
?
??0
?
2a
?
?
f(0)?0
y
③若两根有一根小于0一根大于0,即
?
?0?
?<
br>,则有
f(0)?0
y
④若两根
在两实数m,n之间,即
m?
?
?
?
?n
,
y
?
对称轴x=
?
?
b
2a
o x
?
o
?
x
?
??0
?
b
?
?n
?
m??
则有
?
2a
?
f(m)?0
?
o m
?
?
f(
n)?0
⑤若两个根在三个实数之间,即
m?
?
?t?
?
?
n
,
?
X=
?
b
2a
?
n
x
?
f(m)?0
?
则有
?
f(t)?0
?
f(n)?0
?
o
y
m
?
X=
?
b
2a
t
?
n
x
常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
例如:若方程
x?2(m?
1)x?m?2m?3?0
有两个正实数根,求
m
的取值范围。
解:由①型
得
22
?
4(m?1)
2
?4(m
2
?2m?3)
?0
?
??0
?
m??1
?
?
?
?
?
?
?0
2(m?1)?0
???
m?3
?<
br>?
?
m??1
?
m
2
?2m?3?0
??
?
?
?0
?
m??1,或m?3
?
?
?
所以方程有两个正实数根时,
m?3
。
又如:方程
x?x?m
?1?0
的一根大于1,另一根小于1,求
m
的范围。
解:因为有两个不同
的根,所以由
22
?
55
22
?
?
??0
?m?
?
(?1)?4(m?1)?0
?
?
?
?
2
?
?
2
?
2
?
?1?m?1
2
f(1)?0
?
?
?
1?1?m?1?0
?
?1?
m?1
?
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的
不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一
次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
,所有这样的有序数对
?
x,y
?构成的集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标
平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
.
①若
??0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的上方.
②若
??0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
.
(一)由B确定:
?x??y?C?0
表①若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域;
示直线
?x??y?C?0
下方的区域.
?x??y?C?0
表②若
??0,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域;
p>
示直线
?x??y?C?0
上方的区域.
(二)由A的符号来确定:
先把x的系数A化为正后,看不等号方向:
①若是“>”号,则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的右边部分。
②若是“<”号,则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的左边部分。
(三)确定不等式组所表示区域的步骤:
①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测:由上面(一)(二)来确定
③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
?
2x?y?5?0
?
例题:画出不等式组
?
y?3x?5
所表示的平面区域。
?
2y?x?5?0
?
解:略
40、线性约束条件:由
x
,
y
的不等式(或方程)组成的不等式组,是
x
,
y
的线性约束条
件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
,
y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x
,
y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?
.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
41、设
a
、
b
是两个正数,则
几何平均数.
42、均值不等式定理: 若
a?0
,
b?0
,则
a?b?
2ab
,即
a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数,
ab
称为正数
a
、
b
的
2
a?b
?ab
.
2
a
2
?b
2
43、常用的基本不等式
:①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab?
?
a,b?R
?
;③
2
22
?
a?b
?
ab?
??
?
a?0,b?0
?
;
?
2
?
a
2
?b
2
?
a?b
?④
?
??
?
a,b?R
?
.
22
?
?
44、极值定理:设
x
、
y
都为正数,则有:
2
2
s
2
⑴若
x?y?s
(和为定值),则当
x?y
时,积
xy
取得最大值.⑵若
xy?p
(积为定值),
4
则当
x?y
时,和
x?y
取得最小值
2p
.
例题
:已知
x?
解:∵
x?
5
1
,求函数
f(x)?4
x?2?
的最大值。
4
4x?5
5
,∴
4x?5?0
4
由原式可以化为:
f(x)?4x?5?5?2?
当
5
?4x?
1111
??(5?4x)??3??[(5?4x)?]?3??(5?4x)??
3??1
4x?55?4x5?4x5?4x
13
2
,即
(5?4x
)?1
?
x?1
时取到“=”号
,或x?(舍去)
5?4x2也就是说当
x?1
时有
f(x)
max
?2
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-
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