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高中数学必修一专题:求函数的定义域与值域的常用方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 18:40
tags:高中数学必修一

当高中数学老师需要考什么-高中数学选择题答题方法


函数的定义域与值域的常用方法
(一)求函数的解析式
1、函数的解析式表 示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形
式是y=f(x) ,不能把它写成f(x,y)=0;
2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确 定的自变量的范围一致时,可以不标出定
义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变 形;
3、求函数解析式的一般方法有:
(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。
(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;
( 3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g(x),以换元法
解之;
(4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1x)的一个 方程,则可以x代换-x(或
1x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1x) )即可求出f(x)的表达式;
(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻 找或构造它们之间的等量关系,列
出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限 定外,还受其实际意义限定。
(二)求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是 由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的
范围,最后将 求定义域问题化归为解不等式组的问题;
3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外 ,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负
数,等等;
4、对复合函数y=f[g(x)] 的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中
解出x的范围I
1
;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I
2
,I
1
和I2
的交集即为复合函数的定义域;
5、分段函数的定义域是各个区间的并集;
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在
叙述结论时分别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类 后求得的各个集合求并集,作
为该函数的定义域;
(三)求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示;
2、在函数f:A→B中,集合B未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C是B的子集;若C
=B,那么该函数作为映射我们称为“满射”;
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集; < br>4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述 ;
5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;


6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结;

(四)求函数的最值
1、设函数y=f(x)定义域为A,则当x∈A时总有f(x)≤f( x
o
)=M,则称当x=x
o
时f(x)取最大值
M;当x∈A时总 有f(x)≥f(x
1
)=N,则称当x=x
1
时f(x)取最小值N;
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题;
3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】
考点一:求函数解析式
1、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1. 已知函数y=f(x )满足xy<0,4x
2
-9y
2
=36,求该函数解析式。
解:由4x
2
-9y
2
=36可解得:
?
2x
2
?9
,x? 3
?
?
2x
2
?9
?
3
y???
?
3
?
2x
2
?9
,x??3
?
3
?

2x
2
?9
y??
3
说明:这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成的 形式。

2、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一 般式,然后再求出各个
参变量的值。
例2. 已知在一定条件下,某段河流的水流量y与该段 河流的平均深度x成反比,又测得该段河流某段平均
水深为2m时,水流量为340m
3
s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
y?
解:设

k780
y?,x?0
x
,代入x,y的值可求得反比例系数k=780m
3
s,故所求函数关系式为
x

3、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。
x?1x
2
?x?1
f()?
xx
2
例3. 已知,试求
f(x)

t?
解:设
x?11
x?
22
x
,则
t?1
,代入条件式可得:
f(t)?t?t?1
,t≠1。故得:
f(x)?x?x?1,x?1

说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。

4、构造方程组法:对 同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联


立求 解。
1
f(x)?2f()?3x
2
?4x?5
x
例4. (1)已知,试求
f(x)

2
f(x)?2f(?x)?3x?4x?5
,试求
f(x)
; ( 2)已知
1
111
f()?2f(x)?3
2
?4?5
xx x
解:(1)由条件式,以
x
代x,则得,与条件式联立,消去
?
1
?
f
??
?
x
?
,则得:
f
?< br>x
?
?
284x5
2
??x??
x
2
3x33

2
f
?
?x
?
(2)由条件式,以 -x代x则得:
f(?x)?2f(x)?3x?4x?5
,与条件式联立,消去,则得:f
?
x
?
?x
2
?4x?
5
3

说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析 式确定,
不需要另外给出。

5、实际问题中的函数解析式:这是高考的一个热点题 型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合
理设置变量,建立等量关系。
例5. 动 点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发,顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的
路程, y表示PA的长,求y关于x的函数。

解:由题意知:当x∈[0,1]时:y=x;
2
y?x?1
; 当x∈(1,2)时:
当x∈(2,3)时:
故综上所述,有
y?
?
3?x
?
2
?1

?
x, x?
?
0,1
?
?
?
y?
?
x
2
?1, x?(1,2]
?
2
3?x?1, x?(2,3]
??
?
?


考点二:求函数定义域


1、由函数解析式求函数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题 时要认真分析
变量所在的位置;最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
y?x?2?
例6. 求
x?3
x?4
的定义域。
??
x?2?0
?
?
x?4
,从而解得:x>-2且x≠±4.故 所求定义域为: 解:由题意知:
?
{x|x>-2且x≠±4}。

2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。
例7. 已知函数由下表给出,求其定义域
X
Y
1
22
2
3
3
14
4
35
5
-6
6
17
解:{1,2,3,4,5,6}。

3、求与复合函数有关的定义域:由外函数f (u)的定义域可以确定内函数g(x)的范围,从而解得x∈I
1

又由g(x)定 义域可以解得x∈I
2
.则I
1
∩I
2
即为该复合函数的定 义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求
解。
例8 已知f(x)?x?3,g(x)?
x
x?4x?3
2
,求y?f(g(x))的定义域.

由 f(x)?x?3?x?3?g(x)?3?
解:
又由于x
2
-4x+3>0 **
联立*、**两式可解得:
x
x?4x?3
2
?3 ?

9?339?33
?x?1或3?x?
44
?
9?33
?
?
9?33
?
故所求定义域为
?
x|?x?1或 3?x?
?
44
??

??

例9. 若函数f(2
x
)的定义域是[-1,1],求f(log
2
x)的定义域。
解:由f(2
x
)的定义域是[-1,1]可知:2
1
≤2
x
≤2,所以f(x)的定义域为[2
1
,2],故log
2
x∈[ 2

1
--
?
2,4
?
?

2 ?x?4
,2],解得,故定义域为
?
4、求解含参数的函数的定义域:一般地,须对 参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值的不同而不同。


例10. 求函数
f(x)?ax?1
的定义域。
解:若
a?0
,则x∈R;

a?0
,则
x??



a?0
,则
x??


故所求函数的定义域:


a?0
时为
R
,当a?0
时为
?
x|x??
?
,当
a?0
时为< br>?
x|x??
?


说明:此处求定义域是对参变量a进行分 类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式,
必须根据a的不同取值范围分别论述。

考点三:求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题 来探究一些常用的方法;随着高中学习的深入,我们
将学习到更多的求函数值域与最值的方法。
1、分离变量法
1
a
1
a
?
?
1
?
a
?
?
?
1
?
a
?
y?例11. 求函数
2x?3
x?1
的值域。
2x?3
2
?
x?1
?
?1
1
1
y???2?
?0
x?1x?1x?1
x?1
解:,因为,故y≠2,所以值域为{y|y≠2}。
说 明:这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量x,可通过等价变形,让变量只出现在分母中,再行
求 解。

2、配方法
例12. 求函数y=2x
2
+4x的值域。
解:y=2x
2
+4x=2(x
2
+2x+1)-2=2(x+1)
2
-2≥-2,故值域为{y|y≥-2}。
说明:这是一个二次函数,可通过配方 的方法来求得函数的值域。类似的,对于可以化为二次函数的函数
的值域也可采用此方法求解,如y=a f
2
(x)+bf(x)+c。

3、判别式法
x
2
?2x?3

13.
求函数
y?
的值域。

2
4x?5x?6
x
2
?2x?3
y?
2
4x?5x?6
可变形为:解:(4y-1) x
2
+(5y-2)x+6y-3=0,由Δ≥0可解得:


?
26?6326?63
?
y?
?
,
?
7171
??

说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。要注意两点 :第一,其定
义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;如果题中条件另外给出了定义域,那么 一般情况下就不能
用此法求解值域;第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数 集,所以将原函数变形
为一个关于x的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故Δ≥0。

4、单调性法

14.
求函数
y?
?2?3

x
∈[
4

5
]的值域。
< br>x
?2
513
?3
x
为增函数,故当x=4时,y
m in

2
;当x=5时,y
max

5
,所以函数 的值域为
y?
解:由于函数
?
513
?
,
???
25
?


5、换元法
例15. 求函数
y?2x?41?x
的值域。
解:令
t?1?x?0
,则y =-2t
2
+4t+2=-(t-1)
2
+4,t≥0,故所求值域为{y| y≤4}。

6、分段函数的值域:应为各区间段上值域的并集。
?
x,x?[1,2]
?
2

16.
求函数
y?
?
x,x?(2,3]
的值域。

?< br>2x?1,x?(3,4]
?
解:当x∈[1,2]时,y∈[1,2];当x∈
(
2,3]时,y∈
(
4,9];当x∈
(
3,4]时,y∈(
5,7]。综
上所述,y∈[1,2]∪
(
3,9]。
7、图像法:
2
?
?
x,x≥2,
例17设f(x)=< br>?
若f(g(x))的值域是[0,+∞),则函数y=g(x)的值域是 ( )
?
?
x,x<1,
A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞)
C.[0,+∞) D.[1,+∞)

解析:如图为f(x)的图象,由图象知f(x)的值域为(-1,+∞),


若f(g(x))的值域是[0,+∞),只需g(x)∈(-∞,-1]∪[0,+∞).
故选B.
8、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域, 得到原函数的值
域。
1?2
x
例18求函数
y?
的值域。
1?2
x
1?y
1?2
x
x
2?
解:由< br>y?
解得,
1?y
1?2
x

2?0
,∴
x
1?y
?0
,∴
?1?y?1

1?y
1?2
x
∴函数
y?
的值域为
y?(?1,1)

1?2
x
9、有界性求法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。
x
2
?1
例19:求函数
y?
2
的值域。
x?1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为
R
,对函数 进行变形可得
(y?1)x??(y?1)

2
2

y? 1
,∴
x??
y?1

x?R

y?1
) ,
y?1

?
y?1
?0
,∴
?1?y?1
y?1
x
2
?1
∴函数
y?
2
的 值域为
{y|?1?y?1}

x?1

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