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第一章 集合
一、集合有关概念
1.集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性.如:世界
上最高的山
(2) 元素的互异性.如:由
HAPPY
的字母组成的集合
?
H,A,P,Y
?
(3) 元素的无序性.如:
?
a,b,c
?
和
?
a,c,b
?
是表示同一个集合
2.常用数集的表示:
?
非负整数集(自然数集):
N
;正整数集
N
?
或N
?;整数集:
Z
;有理数
集:
Q
实数集:
R
3.集合的分类:
(1) 有限集:含有有限个元素的集合
(2)
无限集:含有无限个元素的集合
(3) 空集:不含任何元素的集合,记作:
?
.例
:
?
x|x
2
??5
?
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系——子集
注意:
A?B
有两种可能:①
A
是
B
的一部分;②
A
与
B
是同一集合.
?
B
或
B
?
?
A
反之: 集合
A
不包含于集合
B
,或集合
B
不包含集合
A
,记作
A
?
2.“相等”关系:
A?B
(
A?B
且
B?A
)
1,?1
?
“元素相同则两集合相等”
实例:设
A?
?
x|x
2
?1?0
?
,
B?
?
3.集合的性质:
①
任何一个集合是它本身的子集即
A?A
.
②真子集:如果
A?B
,
且
A?B
那就说集合
A
是集合
B
的真子集,记作
A
或(
BA
)
③如果
A?B
,
B?C
,那么
A?C
.
④如果
A?B
同时
B?A
那么
A?B
.
4.子集个数问题
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
? 有
n
个元素的集合,含有
2
n
个子集,
2n
?1
个真子集.
三、集合的运算
运算
类型
交
集 并 集 补 集
B
定
A?B
=
义
A?B
=
C
S
A
=
?
x|x?A且x?B
?
?
x|x?A或x?B
?
?
x|x?S且x?A
?
韦
恩
图
示
S
A
四、典型例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是( )
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自
身的实数
2.集合
?
a,b,c
?
的真子集共有 个
3.若集合
M?
?
y|y?x
2
?2x?1,x?R
?,
N?
?
x|x?0
?
,则
M
与
N<
br>的关系
是 .
4.设集合
A?
?
x|1
?x?2
?
,
A?
?
x|x?a
?
,若
A
?B
,则
a
的取值范围是 .
5.已知集合
A?x|
x
2
?2x?8?0
,
B?x|x
2
?5x?6?0
,
C?x|x
2
?mx?m
2
?19?0
,若
B?C?
?
,
A?C?
?
,求
m
的值.
??????
第二章 函数
一、函数的相关概念
1.函数的对应形式:一对一、多对一.
2.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数
的定义域.
常见定义域类型:①分母
?0
; ②偶次方根的被开方数
?0
;对数
式的真数
N?0
;④指数、对数式的底
a?0且a?1
;⑤
x
0
中x?0
.
? 相同函数的判断方法:
?
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
? ②定义域一致 (两点必须同时具备)
3.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
4. 函数图象变换规律:
①平移变换:左加右减、上加下减
;
②翻折变换:
f(x)
去左留右、右翻左
f(x)
f(x)
去下留上、下翻上
f(x)
二、函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
I.增函数:
?x
1
,x
2
?D且x
1
?x
2
,都有
f(
x
1
)?f(x
2
)
减函数:
?x
1
,x
2
?D且x
1
?x
2
,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
II.图象的特点
增函数:图象从左到右是上升的;
减函数:图象从左到右是下降的.
III.函数单调区间与单调性的判定方法
(证明步骤:取值、作差、变形、定号、下
A
.定义法:
结论)
B
.图象法:从图象上看升降
“同增异减”
C
.复合函数的单调性规律:
2.函数的奇偶性(整体性质)
I.用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点
○
对称;
2确定
f(x)
与f(?x)
的关系;
○
3作出相应结论
:若为奇函数,则有
○
f(?x)??f(x)或f(x)?f(?x)?0
;
若为偶函数,则有
II.函数图象的特征
奇函数:图象关于原点对称;
偶函数:图象关于y轴对称.
3.函数解析式
主要方法有:①凑配法;②待定系数法;③换元法;④
消参法.
三、典型习题: <
br>1.已知函数
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4
,则<
br>f(x)
= .
2.设函数
f(x)
的定
义域为
[0,1]
,则函数
f(x)
的定义域为_
_
;
2
f(?x)?f(x)或f(x)?f(?x)?0
若函数
f(x?
1)
的定义域为
[?2,3]
,则函数
f(2x?1)
的定义域是
.
3.设
f(x)
是R上的奇函数,且当
x?[0,??)
时,<
br>f(x)?x(1?
3
x)
,则当
x?(??,0)
时
f(x)
= ;
f(x)
在R上的解析式为 .
4.函数
?
x?2(x??1)
?
,若
f(x)?3
,则
x
=
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
?
2x(x?2)
?5.求下列函数的定义域:
⑴
y?
x
2
?2x?15
x?3?3
⑵
y?1?(
x?1
)
2
x?1
6.求下列函数的值域:
(
(2)
y?
1
?x
2
?4x?5
)
y?x
2
?2x?3
7.已知函数
f(x?1)?x
2
?4x
,求函数
f(x)
,
f(2x?1)
的解析式.
8.求下列函数的单调区间:
⑴
y??x
2
?2x?3
(2)
y?x
2
?6x?1
9.设函数
1?x
2
f(x)?
1?x
2
判断它的奇偶性并且求证:
f(
1)??f(x)
.
x
第三章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果
x
n
?
a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根,其中
n<
br>>1,且
n
∈
N
*
.
?
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
.
n
a
n
?a
(n为奇数)
;
n
a
n
?|a|?
?
?
a(a?0)
(n为偶数)
?a(a?0)
?
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定: a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
m
n
,
a
?
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
?
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意
义.
3.实数指数幂的运算性质
rsrsrrs
rrr?s
(a)?a(ab)?aa
aa?a
①·;②;③
(二)指数函数及其性质
1.指数函数:形如
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数.
2.指数函数的图象和性质
定义域 :
R
值域:
定义域 :
R
值域:
?
0,??
?
在
R
上单
调递增
非奇非偶
函数
函数图象
都过定点
(0,1)
?
0,??
?
在
R
上单
调递减
非奇非偶
函数
函数图象
都过定点
(0,1)
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
,那
x?log
a
N
(
a
— 底么数
x
叫做以
记作:
.
a
为底
..
N
的对数,
数,
N<
br>— 真数,
log
a
N
— 对数式)
说明:
○
1 注意底数的限制
a?0
,且
a?1
;
2
a
x
?N?log
a
N?x
;
○
3 注意对数的书写格式.
○
两个重要对数:
1
常用对数:以10为底的对数
lgN
;
○
2 自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
○
lnN
.
?
指数式与对数式的互化
幂值 真数
a
b
=
N
?
log
a
N
= b
底数
指数 对数
2.对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,
M?0
,
N?0
,那么:
1
log
a
(M
·<
br>N)?
log
a
M
+
log
a
N
;
○
2
log
a
M
?
log
a
M
-
log
a
N
; ○
注意:换底公式
log
a
b?
log
c
b
(
a?0,且
a?1
;
c?0
,且
c?1
;
b?0).
log
c
a
1
.
log
b
a
N
3
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
. ○
利用换底公式推导下面的结论
(1)
loga
b
n
?
n
log
a
b
;(2)log
a
b?
m
m
(二)对数函数
1.对数函数:形
如
y?log
a
x(a?0
,且
a?1)
叫做对数函
数,其中
x?R
.
注意:
y?2log
2
x
,
y?log
5
x
都不是对数函数,而只能称
5
其为对数型函数.
2.对数函数的图象和性质:
定义域:
定义域:
?
0,??
?
值域:
R
在
R
上递增
函数图象都
过定点(1,0)
?
0,??
?
值域:
R
在
R
上
递减
函数图象
都过定点
(1,0)
(三)幂函数
1.幂函数:形如
y?x
?
(a?R)
的函
数称为幂函数,其中
?
为常数.
2.幂函数性质归纳
I.所有的幂函数图象都不经过第四象限,但都过点(1,
1);
II.
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数;
特别地:①当
?
?1
时,幂函数的图象下凸,概括为“高
高昂起”
②当
0?
?
?1
时,幂函数的图象上凸,概括为
“匍匐前进”; <
/p>
III.
?
?0
时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数.
四、典型习题
1.已知
a?0且a?1
,函数y?a
x
与y?log
a
(?x)
的图象只能
(
)
2.计算:
①
4?log
2
3
log
3
2
=
;
25
3
log
5
27?2log
5
2
=
;
?
②
2
log
27
64
1
3
1
7
?
4
?(?)
0
?[(?2)<
br>3
]
3
?16
?0.75
?0.01
2
=
8
1
③
0.064
?
3.函数
f(x)?a
x
函数
2
?5x?6
?2(a?0且a?1)
过定点
;
恒过定点 ;
函数
f(x)?log
a
(x
2
?2x?2)?5(a?0且a?1)
过定点
.
4.函数
y?log
1
(2x
2
?3x?1)
的递减区间为 .
2
5.若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍
,则
a?
.
6.已知
f(x)?log
a
1?x
(a?0且a?1)
,求:
1?x
(1)
f(x)
的定义域;(2)判断
f(x)
的奇偶性;(3)求使
f(x)?0
的
x
的取值范围.
7. 画出下列函数图象
(1)
8.已知函数
9.
求函数
f(x)?ln(?x
2
?4x?3)
的值域.
(2)
,讨论的单调性