人教版高中数学必修一第三章知识点总结

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于 函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)< br>的图象与
x
轴交点的
横坐标。
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
2 （几何法）对于不能用求 根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数的性质找
○
出零点．
4、基本初等函数的零点：
①正比例函数
y?kx(k?0)
仅有一个零点。
k
(k?0)
没有零点。
x
③一次函数
y?kx?b(k?0)
仅有一个零点。
2
④二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
．
②反比例函数y?
（1）△＞０，方程
ax?bx?c?0(a?0)
有两不等实根，二次函数 的图象与
x
轴有两个交点，二次函数有两
个零点．
（2）△＝０，方程ax?bx?c?0(a?0)
有两相等实根，二次函数的图象与
x
轴有一个交点 ，二次函数有一
个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程
ax?bx?c?0( a?0)
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点．
⑤指数函数
y?a(a?0,且a?1)
没有零点。
⑥对数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
仅有一个零点1.
⑦幂函数
y?x
，当
n?0
时，仅有一个零点0，当
n?0
时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把
f
?
x
?
转化成
f
?
x
?
?0
，再把复杂的函数
拆分成两个我们常见的函数
y
1
,y
2< br>（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数
f
?
x
?零点的个数。
6、选择题判断区间
?
a,b
?
上是否含有零点 ，只需满足
f
?
a
?
f
?
b
?
? 0
。
7、确定零点在某区间
?
a,b
?
个数是唯一的条件 是:①
f
?
x
?
在区间上连续，且
f
?
a
?
f
?
b
?
?0
②在区间
?
a, b
?
上单调。
8、函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使
f(x)?0
的实数；
从“形”的角度看：即是函数
f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标；
若函数
f(x)
的图象在
x?x
0
处与
x
轴相切，则零点
x
0
通常称为不变号零点；
若函数
f(x)
的图象在
x?x
0
处与
x
轴相交，则零点
x
0< br>通常称为变号零点．
9、二分法的定义
对于在区间
[a
，
b]
上连续不断，且满足
f(a)?f(b)?0
的函数
y?f(x)
，通过不断地把函数
f(x)
的零点所在
的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼 近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
10、给定精确度ε，用二分法求函数
f(x)
零点近似值的步骤：
（1） 确定区间
[a
，
b]
，验证
f(a)?f(b)
?0
，给定精度
?
；
x
（2）求区间
(a
，
b)
的中点
1
；
f(x
1
)
（3）计算：
f(x
1
)
0
①若=，则
x
1
就是函数的零点；
x
f(x
1< br>)
0
x?(a,x
1
)
②若
f(a)
?<，则令
b
=
1
（此时零点
0
）；
x
f(x
1
)
?
f(b)
0
x?(x
1
, b)
③若<，则令
a
=
1
（此时零点
0
）；（4） 判断是否达到精度
?
；即若
|a?b|?
?
，则得到
零点值
a
（或
b
）；否则重复步骤（2）~（4）．
?
x
2
2
2
1

11、 二分法的条件
f(a)
·
f(b)
?0
表明用二分法求函数的近似零 点都是指变号零点。
12、解决应用题的一般程序：
① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；
④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
13、函数的模型
收集数据



画散点图



际不
选择函数模型
符

合

实

求函数模型




检验

符合实际


用函数模型解释实际问题


14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：
f(x)?kx?b(k?0);

2
g(x)?ax?bx?c(a?0);
二次函数模型：
幂函数模型：
h(x)?ax?b(a?0);

x
l(x)?ab?c
（
a?0,b
＞0，
b?1
） 指数函数模型：
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型
2.4.1 函数的零点 测试题
一、选择题
4
１．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－
x
的零点是（ ）
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个
２．函数ｆ（ｘ）＝
x?2x?x?2
的零点是（ ）
Ａ． １，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２ Ｄ．－１，１，－２
３．若函数ｆ （Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，
则发ｆ（ ０）
?
ｆ（４）的值（ ）
Ａ．大于０ Ｂ．小于０ Ｃ．等于０ Ｄ．无法判断
４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ
x
＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实 数ｍ的值为（ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
2
32
x?1
５．ｆ（ｘ）＝
x
，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（ ）
Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－０．５ Ｄ．０．５
11
f().f(?)?0
3
x?bx?c22
6．设函数)f(x)= 在[-1,1]上为增函数,且,则方程f(x)在[-1,1]内
A .可能有3个实数根 B .可能有2个实数根
C. 有唯一的实数根 D .没有实数根
3
-5x?2x?1
，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 7．设f(x) =

1
2
（ ）
2

A．[0，1] B．[1，2] C．[－2，－1] D．[－1，0]
8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x+x-4=O的解所在区间为
A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c为常数)的解的情况( )
A.有且只有一个解 B.至少有一个解
C.至多有一个解 D.可能无解,可能有一个或多个解
二、填空题：
2
10．关于ｘ的方程２ｋx
－２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范
围 ．
22
11．若函数ｆ（ｘ）＝
x
－ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数 ｇ（ｘ）＝ｂ
x
－ａｘ－１的零
点 ．
三、解答题
12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）
x
－４ｍｘ＋２ｍ－１
（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．
（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．
13．已知二次函数f（x）=a
x< br>+bx（ａ，ｂ是常数且ａ
?
０）满足条件：ｆ（２）＝０．方程有等根
（１）求f（x）的解析式；
（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别 为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出
ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．
第三章检测题
一、选择题
1、下列函数有2个零点的是（ ）
2
y?4x?5x?10
B、
y?3x?10
A、
2
2
y?4x?4x?1

y??x?3x?5
C、 D、
2
2
2、 用二分法计算
3x?3x?8?0
在
x?(1,2)
内的根的过程中得： < br>2
f(1)?0
，
f(1.5)?0
，
f(1.25)?0< br>，则方程的根落在区间（ ）
A、
(1,1.5)
B、
(1.5,2)
C、
(1,1.25)
D、
(1.25,1.5)

3、一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%，若该货物的进价为每件21元，则
每件的标价应为（ ）
A、27.27元 B、28元 C、29.17元 D、30元
4、某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进
货价），则该家具的进货价是（ ）
A、108元 B、105元 C、106元 D、118元
5、若方程
a?x?a?0
有两个解，则实数
a
的取值范围是（ ）
A、
(1,??)
B、
(0,1)
C、
(0,??)
D、
?

6、给右图的容器甲注水，下面图像中哪一个图像可以大致刻画容器中水的高度与时间的
函数关系：（ ）

水高 水高



A B

0 0

时间 时间

水高 水高
A B

C D 容器甲


0 0

时间 时间
7、方程根的个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
3

x
x?1?2
x

8、假设银 行1年定期的年利率为2%，某人为观看2008年的奥运会，从2001年元旦开始在银行存款1万元，
存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这< br>样存款，则到2007年年底，这个人的银行存款共有（精确到0.01）（ ）
A、7.14 万元 B、7.58万元 C、7.56万元 D、7.50万元
二、填空题
222
f(x)?(x?1)(x?2)(x?2x?3)
的零点是 （必须写全所有的零点）9、函数。
x?1
f(x)?
x
，则方程
f(4x)?x
的根为 。 10、若
11、若镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过
x
年后剩留量为
y
，则
y
与
x
的函数关
系式 为
y
＝ 。
12、已知函数
f(x)
的图象是连续不断的，有如下
x,f(x)
对应值表：
x

-2 -1 0 1 2 5 6
f(x)

-10 3 2 -7 -18 -3 38
则函数
f(x)
在区间 有零点。
三、解答题
13、有一块长为20cm，宽为12cm的矩形铁皮，将其四个角各 截去一个边长为
x
的小正方形，然后折成一个无
盖的盒子，写出这个盒子的体积V与边 长
x
的函数关系式，并讨论这个函数的定义域。

14、某地兴修水利挖渠 ，其渠道的横截面为等腰梯形，腰与水平线的夹角为60°，设横截面周长为定值m，问
渠道深h为多少 时，可使其流量最大？

15、某厂生产一种新型的电子产品，为此更新专用设备和请专家设 计共花去了200000元，生产每件电子产品的
直接成本为300元，每件电子产品的售价为500元 ，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L
之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际 含义？
16、写一段小作文来说明下图中的图象所对应的函数的实际意义

y



5



x

0
5 10 15 20




17、纳税 是每个公民应尽的义务，从事经营活动的有关部门必须向政府税务部门交纳一定的营业税。某地区税
务部 门对餐饮业的征收标准如下表
每月的营业额 征税情况
1000元以下（包括1000
300元
元）
1000元以下（包括1000元）部分征收300
超过1000元 元，
超过部分的税率为4%
（1）写出每月征收的税金y（元）与营业额x（元）之间的函数关系式；
（2）某饭店5月份的营业额是35000元，这个月该饭店应缴纳税金多少？
18、WAP 手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟）按30元记费，超过500分钟按0.15元分钟记< br>费。假如上网时间过短，在1分钟以下不记费，1分钟以上（包括1分钟）按0.5元分钟记费。WAP手 机上网
不收通话费和漫游费。
（1）小周12月份用WAP手机上网20小时，要付多少上网费？
（2）小周10月份付了90元上网费，那么他这个月用手机上网多少小时？
（3）你会选择WAP手机上网吗？你是用那一种方式上网的？

4