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目录






第一章 集 合 .......... .................................................. .................................................. ................................................ 2
01、集合的含义与表示 .................................. .................................................. .................................................. ...... 2
02、集合间的基本关系 ......................... .................................................. .................................................. ............... 6
03、集合的运算 ................... .................................................. .................................................. ................................. 9
第二章 函 数 . .................................................. .................................................. .................................................. ......... 12
01：函数的概念 ........................ .................................................. .................................................. .......................... 12
02、函数的表示方法 ..... .................................................. .................................................. ..................................... 15
03、函数的定义域和值域 ................................. .................................................. .................................................. . 20
04、函数的单调性 ............................... .................................................. .................................................. ............... 24
05、函数的奇偶性 ................. .................................................. .................................................. ............................. 29
06、指数与指数幂的运算 .................................................. .................................................. .................................. 34
07、指数函数及其性质 .................................. .................................................. .................................................. .... 37
08、对数与对数的运算 .......................... .................................................. .................................................. ............ 43
09、对数函数及其性质 .................. .................................................. .................................................. .................... 47
10、幂函数 ............... .................................................. .................................................. ........................................... 52
11、方程的根与函数的零点 ................................ .................................................. ................................................ 55

贾老师高中数学同步辅导班精讲精练教材——必修一

第一章 集 合
01、
集合的含义与表示
一、课本知识梳理
1.集合
1. 1一般地，我们把________________统称为元素，把一些元素组成的___________叫 做集合。
①集合是现代数学中一个原始的、不定义的概念.集合语言是数学中最基础、最通用的数学语 言，它精确
地表达了各类对象之间的关系，能更简洁、更准确的表达有关的数学内容.
②集合中的元素可以是人、物品、数学对象等，其种类没有限制，但这些对象必须是确定的.
③集合中的元素可以有相同的特征，也可以是不同类的，只要它们能够确定，并且集中在一起，就能构成
一个集合.

1.2集合相等：只要构成两个集合的元素是__________的，我们就称这两个集合是相等的。

1.3集合与元素的表示：通常用_____________表示集合。 通常用_____________表示集合中的元素。

1.4集合中元素的特性：___ __________、____________、_____________.
集合中的元素具 有确定性、互异性、无序性三大特征，利用这三大特征，一方面可以判断一些对象能否构
成集合，另一方 面可以解决与集合有关的问题.

1.4.1理解集合中元素的确定性，需要从两个方面入手 ：①给定的研究对象是确定的，明确的，才能组成
一个集合，反之研究对象不明确、不确定就不能组成集 合；②集合中的元素是确定的，给定一个集合，某
元素在不在集合中（要么在、要么不在），是明确的、 确定的，不是模棱两可的。
例题1.考察下列每组对象能否组成一个集合。

（1）美丽的小鸟； （2）不超过20的非负整数；
（3）立方接近零的正数； （4）直角坐标系中，第一象限内的点。
练习1.下列对象能否组成一个集合？
（1）跑的快的人；（2）比8大3的整数；（3）平面直角坐标系内的所有点；（4）很小的实数.
1.4.2.集合中的元素具有互异性，元素在一个集合中不能重复出现；集合中的元素是没有顺序的。

2

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例题2.已知集合A含有三个元素1，0，
x
.若
x
2
∈A,求实 数
x
的值。
1,x,x
三个元素构成，集合B由1，2，
x
三个元素构成，若集合A与B相等，求
x
的练习2.已知集合A
由
值.

1.5元素与集合的关系： 、 。
元素与集合之间有两种关系：属于和不属于，这两种关系只适用于元素与集合，不能用于集合与集合 之间.
根据集合中元素的确定性，这两种关系必有一种且只有一种成立.
例题3.若所有形如
3a?2
b (
a
∈Z,b∈Z)的数组成集合A，判断
6?22
是不是集合A中的元素.

练习3.集合A是由形如
m?3n,(m?Z,n?Z)的数构成的，判断

1.6常用数集及表示符号
名称
符号
自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集
2
1
2?3
是不是集合A中的元素.
1.7集合的表示方法
列举法
描述法
图示法
把集合中的元素____________出来，并用___________括起来表示集合的方法
用集合所含元素的______________表示集合的方法
用平面上_____________________表示集合的方法
集合的表示方法有三种：列举法、描述法、图示法，这三种方法各有优缺点.
①用列举法表示 集合时，元素之间用“，”分隔；元素个数较少或元素个数较多但是有明显规律时可
用列举法，例如正整 数集；元素个数较多又没有明显规律时不适合用列举法.
②用描述法表示集合时，一是要明确集合中的 元素，二是要明确元素满足的条件，不能出现未被说明
的字母，所有描述的内容都要写在括号内，用于描 述的语句力求简明、确切.
③用图示法表示集合，可以用于表示集合与集合之间的关系.
例题4．用适当的方法表示下列集合：
（1）比5大3 的数； （2）方程
x?y?4x?6y?13?0
的解集；
（3）不等式
x?3?2
的解的集合； （4）二次函数
y?x?10
图像上的所有点组成的集合.
练习4. 用适当的方法表示下列集合：
2
22
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3

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（1）所有4的整数倍组成的集合； （2）不等式
2x?3?6
的解的集合；

（3）大于6且小于11的整数组成的集合；（4）所有平行四边形组成的集合.

例题5.集合A={1,3,5,7,…}用描述法可表示为（ ）
A.
{xx?n,n?N}
B.
{xx?2n?1,n?N}

C.
{xx?2n?1,n?N}
D.
{xx?n?2,n?N}

练习5.请用描述法表示下列集合：
（1）全体偶数组成的集合：___________________________；
（2）全体奇数组成的集合：___________________________；
（3）
x
轴上的点组成的集合：____________________________ _________；
（4）坐标轴上的点组成的集合：____________________ __________________；
（5）第二象限内的点组成的集合：__________ ____________________________；
（6）第二、四象限内的点组成的集 合：__________________________________.

1.8集合的分类
1.8.1集合按元素个数分为 、 、 ，我们所说的单元素集合、
双元素集合也是根据集合中元素的个数分类的。
1.8.2集合按元素的属性分为数集、点集、序数对等。

二、课堂练习题组
1.判断以下元素的全体能构成集合的有（ ）
（1）大于3小于100的奇数； （2）班里的高个子；（3）方程
x?x
的所有实数根；（4）中国古代的美女.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.自然数集中最小的元素是1，这句话对吗？________________________.

3.集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等吗？________________ ________.

4.若集合
A?{1,0,m},则m
满足的条件为 ________________________.为什么？
2

4

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5.若集合
A?{xx
2
?x?0},则?1
________
A


6.设集合M={平行四边形}，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p_____M, q______M。

7.将集合
{x?2?x?4,x?Z}
用列举法表 示出来是_____________________.

8.不等式
3x?8? ?1
的解集用描述法表示为_____________________.

9. 全体偶数集用描述法表示为_________________________________.

10.集合A={0，1，2}，集合B=
{xx?1?A}
，则B=__ ___________________.

11.点的集合M＝
{(x,y)xy?0}
是指 （ ）
A. 第一象限内的点集 B. 第三象限内的点集
C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集

12.若集合A＝｛（0,2）,（0,4）｝，则集合A中元素的个数是 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个


三、课后练习题组
1.给出以下四个对象，其中能构成集合的个数为（ ）
①2010年上海世博会的所有参展国家 ②与2接近的全体实数；③学校图书馆好看的书；④2008年北京奥
运会的所有比赛项目。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知集合A含有三个元素2，4，6，且当
a
∈A,有6-
a
∈ A,那么
a
为（ ）
A.2 B.2或4 C.4 D.0
3.已知集合
A?{1,m?1}
，则实数< br>m
满足的条件是__________.
4.已知集合P中元素
x
满 足：
x?N,且2?x?a
，又集合P中恰有三个元素，则整数
a
=____ ______.
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5.已知A=
{a?2,2a?5a,12},且?3?
A，求实数
a
的值.
6.已知集合A=
{xax
2
?2x?1?0}

（1）若A中恰好只有一个元素，求实数
a
的值；
（2）若A中至少有一个元素，求实数
a
的取值范围。



7.下列集合中，表示同一个集合的是 ( )
A.
M?{(3,2)},N?{(2,3)}
B.
M?{3,2},N?{2,3}

C.
M?{(x,y)x?y?1},N?{yx?y?1}
D.
M?{2,3},N?{(2,3)}

2
8.方程组
?
?
x?y?1
的解集是 ( )
x?y??1
?
A .
{x?0,y?1}
B.
{0,1}
C.
{(0,1)}
D.
{(x,y)x?0或y?1}

9.集合
x?N
?
x?3?2
用列举法表示应是 ；
10.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为 11.若
A?{?2,2,3,4}
，
B?{x|x?t,t?A}
，用 列举法表示
B
=
12.设集合B=
{x?N
2
??
6
?N}
.
2?x
(1) 试判断元素1和2与集合B的关系；
(2) 用列举法表示集合B.








02、
集合间的基本关系
一、课本知识梳理

6

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1.子集概念
1.1定义：一般地，对两个集合A,B，如果集合A中的_____________元素都是集合B中的元 素，我们
就说这两个集合有_____________关系，称集合A为集合B的子集，记作____ _____________，读作“A
包含于B”（或“B包含A”）.
1.2子集的定义 用数学符号表述为：____________________________________.
1.3用Venn图表示为：__________________________.
1.4一个集合中有n个元素，则这个集合有 个子集，有 真子集。
若A
?
B，则包括AB 和A=B两种情况，正确区分子集与真子集概念是解题的关键.
写一个集合的子集时，按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写不易发生重复和遗漏现象.
例题1.已知集合A={1，2，3，4}，写出A集合所有的子集。

练习1.集合B={3，2，5}，则B集合有几个子集，分别是：

2.真子集概念
2.1定义：如果集合___________，但存在元素_______ __________，我们称集合A是集合B的真子集，
记作_________________， 读作“A真包含于B”（或“B真包含于A”）.
2.2用Venn图表示为：__________________________.
例题2.写出满足
{a,b}
A

练习2.若
?

A
?{a,b,c,d}
，写出所有集合A.

{a,b,c,d}
的所有集合A.
3.用子集的概念描述集合相等
如果 ，那么就说集合A与集合B相等，记作A=B.
两个集合相等时，其所含的元素完全相同，与顺序无关 ，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知
矛盾的情况.
例题3.若
{1,a,}?{0,a,a?b}
，求
a

练 习3.已知集合A=
A?{x,xy,x?y},B?{0,x,y}
求实数
x与y< br>的值.
，且A?B，


7
b
a
2
2011
?b
2011
的值.
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4.空集
4.1定义：_________________的集合，叫空集.
4.2用符号表示为_____________.
4.3规定：空集是任何集合的______________.是任何非空集合的真子集。

5.子集的有关性质
5.1任何一个集合A都是它本身的___________，即_______________.
5.2对于集合A，B，C，如果A
?
B, B
?
C，那么_______________.
例题4.已知集合A=
{ x2a?2?x?a?2},B?{x?2?x?3}且A?B，
求实数
a
的取值范围 .


练习4.已知不等式
a?x?a?1
成立时，不等式
2?x?3a?1
也成立，求实数
a
的取值范围.


二、课堂练习题组
1.集合{0，1}的子集有（ ）
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列说法正确的有 （ ）
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若
?

A．0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.用适当的符号填空.(
?,?
，，=）
⑴
a
_________
{a,b,c};
⑵
?
__________
{x?Rx
2
?1?0};

⑶
{0}
__________
{xx?x}
； ⑷
{2,1}
_________
{xx?3x?2?0}.

4. 若集合A中元素的个数为5个，则它所有子集的个数为_______个，真子集的个数为________个.
5.写出集合A=
{1,2,3}
的所有子集.

2
2
A，则A
?
?

三、课后练习题组
1.如果
A?{xx??1}
，那么正确的结论是（ ）
A．0
?A
B.{0} A C.{0}
?A
D.
?
?A


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2.集合
A?{x0?x?3，且x?Z}
的真子集的个数是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
3.下列关系中正确的个数为（ ）
① 0
?{0};
②
?
{0}; ③{0,1}
?{(0,1)};
④
{(a,b)}?{(b,a)}

A.1 B.2 C.3 D.4
4.集合
P?{xy?x},Q?{yy?x}
，则下列关系中正确的个数为（ ）
A.
P

Q
B.
P?Q
C.
P?Q
D.
P

Q

U
S T F
22
5.集合U、S、T、F的关系如图所示，下列关 系错误的有________________.
①S U; ② F T; ③ S T; ④ S F; ⑤ S F; ⑥ F U.
6.已知集合
A?{xx
2?8x?15?0},B?{xax?1?0},若B?A,
求实数
a
组成的集合 M，并写出M的所
有子集。















03、集合的运算
一、课本知识梳理
1.集合运算的基本概念
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1.1并集： 一般地，由__________________________________所组成的集合，称为集合 A与B的并集，记
作_________________（读作“A并B”），用数学符号语言表述为 ______________________________。
①要注意并集定义中的“A∪B”是由集合A和集合B中所有元素组成的集合，必须保证不重不漏. < br>②深刻领会“或”的内涵：并集语言中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的，生活语言中的“或 ”
是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存，而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼 有.

1.2交集：一般地，由___________________________ _______所组成的集合，称为集合A与B的交集，记
作_________________（读 作“A交B”），用数学符号语言表述为______________________________。
交集是两个集合的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，不能说它们没有交集，而应说交集
为空集.
例题1.若集合A={
x?2?x?3}
，B={
xx? ?1或x?4}
,求A∩B,A∪B.

练习1.已知集合M=
{x?3?x?1}
, N={
xx
≤―3
}
，求M∪N , M∪N.

1.3全集：一般地，如果__________________________________，那 么就称这个集合为全集，通常记为U。
全集是相对于研究的问题而言的，如果我们只在整数范围内研究 问题，则Z为全集，而当问题扩展到实数
集时，则R为全集，这时Ｚ就不是全集．

1.4补集：对于一个集合A，由全集U中_______________________________ 组成的集合称为集合A相对于
全集U的补集，简称为集合A的补集，记作______________ ___，用数学符号语言表述为
________________________________ __。
①求一个集合的补集的前提是这个集合是全集的子集．
②在解答集合的交、并运算时 ，常会遇到Ａ∪Ｂ＝Ｂ，或Ａ∩Ｂ＝Ａ等这类问题，解答时应充分利用交集、
并集的有关性质，准确转换 条件，有时也借助于数轴分析处理，另外还要注意“空集”这一隐含条件．
例题2.已知全集U，集合A={1，3，5，7}，C
U
A={2，4，6}, C
U
B={1，4，6}，求集合B.

练习2.设集合A=
{x 0?x?4},B?{yy??x,?1?x?2},
求集合C
R
（A∩B）.

例题3.设集合A={-2}，B={
xax?1?0,a?R}
，若A∩ B=B，求
a
的值.


练习3.已知全集U=
{2,3 ,a?2a?3}
，若A=
{b,2}
，C
U
A={5}，求
a,b
的值.
2
2
2.集合运算的基本性质
⑴A∩B=B_____A，A∪B=B____A.
⑵(A∩B)∩C=A____(B∩C),(A∪B)∪C=A____(B∪C).
⑶A∩(B∪C)=(A∩B) ______(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B) ______(A∪C).
⑷A∩B______A，A∩B______B，A______A∪B，B______A∪B.
⑸A∩?=______,A∪?=______.

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⑹若A?B,则A∩B=______,A∪B=______.
⑺C
U
（C
U
A）=______，C
U
U= ______，C
U
?=______.
二、课堂练习题组

1.集合A={1，2，4}，B={2,3,6},则A∪B=（ ）
A．{1，2，2，3，4，6} B.1，2，3，4，6 C．{2} D.{1，2，3，4，6}
2.集合A={1，2}，集合B={（1，2）}，则A∩B= （ ）

A.{1,2} B.{(1,2)} C.
?
D.{1，2，（1，2）}
3.集合A=
{0,2,a}
，B=
{1,a }
.若A∪B={0，1，2，4，16}，则
a
的值为（ ）
A．0 B.1 C.2 D.4
4.已知全集U={
x1?x?5}
，A={
x1?x?2}
，则C
U
A=
_________________.
5.已知全集U= {0，1，2}，且C
U
A={2}，则A=_______________.
6 .设集合A={
x?1?x?2}
，集合B={
x1?x?3}
，求A∪B， A∩B.

2
三、课后练习题组

1.已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩B= （ ）
A．{3，5} B.{3,6} C.{3,7} D.{3,9}
2.已知集合A=
{xx?0},
B=
{x?1?x?2}
，则A∪B=（ ）
A．
{xx??1}
B.
{xx?2}
C.
{x0?x?2}
D.
{x?1?x?2}

I
3.如图所示，I是全集，A，B是I的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．A∩B B.B∩(C
I
A) C.A∪B D.A∩(C
I
A)
4.满足{1，3}∪A={1，3，5}的集合A有__________个.
5.已知集合A=
{xx?1},
B=
{xx?a},
且A ∪B=R，则实数
a
的取值范围是__________________.
6.已知集合A={1，3，5}, B ={1，2，
x?1
}，若A∪B={1，2，3，5},求
x
及A∩B.

7.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有 8人参加田径比赛，
有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛 和球类比赛的有3人，
没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人，只参加游泳一 项比赛的有多少人？
2
A
B


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第二章 函 数
01：
函数的概念
一、课本知识梳理
1.函数定义
设A、 B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系
f
，使对于集合A中的_________，在 集合B中都
有________和它对应，那么就称
f:A?B
为从集合A到集合B的 一个函数，记作___________.
①函数的概念来源于生活，应用于生活。函数通常就是描述 一个变量与其他变量之间的变化规律，例如物
体的运动速度与它所受的外力之间的关系．
②从 函数的定义可以看出，函数是定义在两个非空的数集之间的一种对应关系，两个数集都是非空集合，
否则 ，就不能在两个集合之间建立函数关系．
③判断一个对应关系是否是函数，要从以下三方面去判断，即 Ａ、Ｂ必须是非空数集；Ａ中任何一个元素
在Ｂ中必须有元素与其对应；Ａ中任一元素Ｂ中必须有唯一的 元素与之对应．
例题1.下列对应关系是否为A到B的函数？
（1）.A=R, B=
{xx?0},f:x?y?x
;
（2）.A=Z, B=Z,
f:x?y?x
;
（3）.A=R，B=Z，
f:x?y?
2
x
；
（4）.A=[-1,1], B={0},
f:x?y?0
.
练习1.判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数：
（1）A={0, 1, -1, 2, -2}，B={0, 1, 4},对应关系
f:x?y?x
；
（2）A=B=R，对应关系
f:x?y??x
；
（3）A={0，1，2，3}，B={0，1，


2
1
11
,
}，对应关系
f:x?y?
.
x
23
2.函数的定义域和值域
从集合A到集合B的一个函数
y? f(x),x?A
，其中
x
叫做自变量，___________叫做函数的定义域；
____________叫做函数值，函数值的集合
{f(x)x?A}
叫做函数的 __________.值域是__________的子集.


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3.函数的三要素：< br>____________________________________.
①讨论函数 问题时，要保持定义域优先的原则．判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，
则不相等； 若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相等，则相等，否则不相等．
②求定义域问题可以归纳 为解不等式问题，如果一个函数需要几个限制条件时，那么定义域为解各限制条
件所得的范围的交集，利 用数轴便于问题的解决；
③求定义域时不应化简解析式；
④定义域是一个集合，要用集合或 区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”
连接.
⑤求函数的 值域的问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数，其值域是指集合
{yy?f (x),x?A}
；二是函数的定义域和对应关系，对应关系相同，而定义域不同，其值域肯定不同.
例题2．判断下列各组中的两个函数是否相等？并说明理由。
（1）
f(x)?(x?1),g(x)?1;

（2）
f(x)?x,g(x)?
2
0
x
2
；
2
（3）
f(x)?x,g(x)?(x?1);

（4）
f(x)?x,g(x)?x
2
.
练习2.下列各组中的两个函数是否表示相等函数？
（1）
f(x)?4x,g(x)?4?
4
x
4
；
x
2
?16
,g(x)?x?4
； （2）
f(x)?x?4
（3）
f(x)?x?3x,g(t)?t?3t
.
例题3.已 知
f(x)?x?1,分别求f(1),f(?1),f(a),f(x?1)的值.



练习3.已知函数
f(x)?x?2x,
分别
求f(0 ),f(1),f(a?1),f(x?2)的值.



2
22
4.区间
设
a,b是两个实数，且a?b.
4.1满足不等式
a
≤
x
≤
b
的实数
x
的集合叫做闭区间，记作______________；
4.2满足不等式
a
≤
x
?
b
或
a?x
≤
b
的实数
x< br>的集合叫做半开半闭区间，记作____________________；
4.3满足不等 式
a
?
x
?
b
的实数
x
的集合叫做开区间 ，记作______________.其中实数
a,b
表示区间的两
端点
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例题4.把满足下列集合用区间表示出来.
(1)
{x?1?x?4}?
________________. (2)
{x?1?x?4}?
________________.
(3)
{x?1?x?4}?
________________. (4)
{xx?4}?
________________.
(5)
{xx?4}?
________________. (6)
{xx?2或x?4}
= ________________.
二、课堂练习题组
1. 已知A={
?1,?2,?3}
,B={1,2, 3},则对应关系
f:x?y?x
是否为A到B的函数？__________
x
2
?1
是同一个函数吗？________________. 2. 函数
f(x)?x?1与函数g(x)?
x
3. 已知
f(x)?(x?1),则f(?3)?
________________.
4. 已知
f(x)?x?1,求满足f(x)?2时的x值为
________________.
5. 满足不等式
x?3
的实数
x
的集合用区间表示为______ __________.
6.已知
函数满足f(ab)?f(a)?f(b),且f(3)? 4,f(4)?2,求f(12)的值
.

2
三、课后练习题组
1.与函数
y??2x
3
为同一函数的是 （ ）
2
A.
y?x?2x
B.
y??x?2x
C.
y??2x
3
D.
y?x
2.已知
f(x)?x?x,则f(2)?f(?2)
为 （ ）
A．0 B.8 C.12 D.36
3.已知
f(x)?x?1,则f[f(1)]为
（ ）
A．0 B.1 C.2 D.3
4.已知
f(x)?
?
2
?
2

x
?
x?1,(x?0)
，则f(?3)?
____________.
x ?1,(x?0）
?
?
x
2
?1,(x?0)
?
,
（1）当
x?4时，求f(x)的值；
6.已知函数
f(x)?
?< br>0,(x?0)
（2）
当f(x)?4时，求x的值；

?
x
2
?1,(x?0)
?
（3）求
f{f[f(?2)]}的值.




14

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02、
函数的表示方法
一、课本知识梳理
1.函数的表示方法有三种

1.1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做_________________.
1.2用图像表示两个变量之间的对应关系的方法叫做___________________.
1.3列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做_________________. 1.4一般地，作函数的图像主要有三步：____________、____________、___ _________.
①求函数的解析式实际上就是寻找函数三要素中的对应关系，也就是在已知自变 量和函数值的条件下求对
应关系，其常用的方法为待定系数法和换元法。
②当已知函数的类型 时，可设出其函数解析式，利用待定系数法求解；当不知函数类型时，一般可采用换
元法，但要注意自变 量取值范围的变化。
③另外，求函数解析式的方法还有配凑法、解方程组法等。
x?1x< br>2
?11
)?
2
?
，求
f(x)
的解析式。 例题1.已知
f(
xxx


练习1.已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x)
的解析式。



例题2.已知
f(x?)?x?



1
x
2
1

(x?0)
，求
f(x)
的解析式。
x
2
x?1x
2
?11
)?
2
?
，求
f(x)
的解析式。 练习2.已知
f(
xxx



例题3.已知二次函数f(x)
满足
f(0)?0，f(x?1)?f(x)?2x?8
，求
f (x)
的解析式.


练习3.设
f(x)
是一次函数， 且
f[f(x)]?4x?3
，求
f(x)



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例题4.设函 数
f(x)
满足
f(x)?2f()?x(x?0)
求
f(x)函数解析式.


练习4.已知定义在R上的函数
f(x)
满 足
f(?x)?2f(x)?x?1
，求
f(x)
的解析式。



④图像法是表示函数的方法之一，其优点是能直观、形象地表示出函数的变化情况，便于数形结合求解
问题．
⑤一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线.作图时一般应先确定函数的定义域，再在定义
域内化简函数解析式（可能有的要表示为分段函数），再列表描出图像，并在画图象的同时注意一些
关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等.
例题5.作出下列函数的图像.
(1)
y?1?x,(x?Z)
(2)
y?2x?4x?3,(0?x?3))





练习5.作出下列函数的图像.
（1）
y?



2
1
x
1
,x?1
； （2）
y?x
2
?4x?3,x?[1,3]
.
x
2.分段函数
2.1有些函数在它的定义中，对于自变量的不同取值范围，对应关 系不同，这样的函数称为____________，
其定义域是各段定义域的___________ _，其值域是各段值域的____________.
2.2分段函数的图像应该____________来作，特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
2.3对含有绝对值的函数，要作出其图像，应首先根据绝对值的定义_______________ _________，将函数
转化为___________________，然后再作图.
①分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得；若已知函数值求自变
量则要考虑分段讨论求值。
②含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理。 < br>?
x?2,(x??3)
?
2
例题6.已知函数
f(x)?< br>?
x?1,(?3?x?3)
，求
f(f(?2)),f(f(?4)),f( f(f(1))).

?
x,(x?3)
?




16

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x?2,(x??1)
?
2
练习6.函数
f(x)?
?
x,(?1?x?2)
中，若
f(x)?3,求x
的值.
?
2x,(x?2)
?




例题7.用分段函数的形式表示下列函数并画出函数的图象.
（1）
y?x?2
； （2）
y?x?2
.




练习7.已知
f(x)?2x?1
，
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图像；
（3）写出该函数的定义域与值域.




3.映射定义
一般地，我们有：设A、B是两个非空的集合，如果按照某个确定的对应关系< br>f
，使对于集合A中的
__________________，在集合B中都有___ _______________和它对应，那么就称
f:A?B
为从集合A到
集合B 的一个映射.它的三要素是__________、__________、_____________. < br>①映射是由两个非空集合A、B以及它们的对应关系所确定的，其中A、B是非空的，可以是数集，也可< br>以是点集或其他集合，A、B是有先后顺序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的，即对应< br>关系具有方向性.
②在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素， 不会出现一对多的情况，只
能是“多对一”或“一对一”形式.
例题8.在映射
f: A?B中，A?B?{(x,y)x,y?R},且f:(x,y)?(x?y,x?y),
则与
A
中的元素
（-1，2）相对应的B中的元素为_____________.


练习8.设集合A={1，2，3}，B={0，1}，试问：从A到B的映射共 有几个？________________.



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二、课堂练习题组
1. 已知
f(x)?x(x?1),则f(x?2)?
_____________________.
2. 已知
f(x?1)?x?3,则f( x)?
_______________________.
?
x
2
?1,(x?0)
?
3. 已知
f(x)?
?
0,(x?0),则f{f[f(?1)]}?
____________.
?
x
2
?1,(x?0)
?
4. 对于上题中的分段函数，若
f(x)?2,则x?
____________.
5. 已知
f(?x)?2x?1,则f(x)?
____________________. < br>6.已知
f(x)
是二次函数，且满足
f(0)?1,,f(x?1)?f(x )?2x,
求
f(x)
的解析式 .
7.下列图形中,不可能是函数
y?f(x)
的图象的是 （ ）







y
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
x
(A)
(B)(C)(D)
8.已知
0?x?
3
,则函数f(x)?x
2
?x?1
（ ）
2
33
A．有最小值-，无最大值； B.有最小值，最大值1；
44
19
C.有最小值1，最大值； D.无最小值和最大值.
4
9.已知函数
f(x)?ax?2a?1,当?1?x?1时，f(x)
的值有正 有负,则实数
a
的取值范围为__________.
?
x
2,(x?0)
?
10.已知函数
f(x)?
?
1,(x?0)< br>，
?
0,(x?0)
?
（1）画出函数的图像；（2）根据已知条件 分别求
f(2),f(?3)
的值.
2
11.直线
x?a
和函数
y?x?1
的图像可能有几个交点？
2
12. （1）直线
x?a
和函数
y?x?1,x?
?
1,2
?
可能有几个交点 ？
（2）若有一个直线
x?a
,则它与函数
y?f(x)
的图像的 交点个数为多少?


18

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三、课后练习题组
1．函数
y?f(x)的图像与直线x?m的交点个数为
（ ）
A．可能无数 B.只有一个 C.至多一个 D.至少一个
2.已知
f(1?x)?1?x,则f(x)的表达式为
（ ）
A．
2?x
B.
2?x
C.
x?2
D.
x?1

3.已知
f( x)?
?
?
x?1,(x?1)
?
?x,(x?1)
,则f [f(1)]?
（ ）
A．0 B.1 C.2 D.3
4.已知
f(x)满足f(x)?2f(?x)?x?3,则f(x)?
( )
A．
x?1
B.
?x?1
C.
?x?1
D.
x?1

5.已知
f(x)
与
g(x)
分别由下表给出

x


1 2 3 4

f(x)

4 3 2 1

那么
f(g(3))?
_________________.
A．1 B.2 C.3 D.4

x

1 2
2
3
4
4
2
g(x)

3
?
x?5,(x?6)
6．已知
f(x)?
?
的值. ,(x?N),求f(3）
f(x?2),(x?6)
?
7.已知集合
A ?{a,b},B?{0,1}
，则从
A
到B的映射的有 （ ）
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
8.在下列图中,
y?ax?bx
与
y?ax?b(ab?0)
的图象只可能是 ( )






y
y
O
O
2
y y
O
x
x
D
x
O
B
x
C
A
9.设
f:x?x
是集合A到集合B的映射，若A={-2，0，2}，则A∩B = （ ）
A．{0} B.{2} C.{0，2} D.{-2，0}
10.设
f:x?x
是集合A到集合B的映射，则与B中元素4相 对应的A中的元素为_____________.
11.已知A={0，1}，B={-1，0，1 }，
f
是从A到B映射的对应关系，则满足
f(0)?f(1)
的映射有__ ___个.
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03、
函数的定义域和值域
一、课本知识梳理

1．已知函数的解析式，求函数的定义域
已知函数解析式时，求函数的定义域遵循以下原则：
①如果
f(x)
是整式，那么函数的定义域是__________________ ______________；
②如果
f(x)
是分式，那么函数的定义域是__ ______________________________；
③如果
f(x)
是偶次根式，那么函数的定义域是________________________________；
④如果
f(x)?x
，那么函数的定义域是___________________ _____________；
⑤如果
f(x)
是由几个部分的数学式子构成的，那 么函数的定义域就是使______________的实数的集合.
例题1.求下列函数的定义域：

0
(x?1)
0
1
;
（1）
y?2x?3?;
(2)
f(x)?
x?2
x?1



练习1.求下列函数的定义域:
（1）
y?

x?1?1?x
； （2）
y?
1
3
x?2
2
?5?x
.
2.求抽象函数的定义域
求复合函数（抽象函数）定义域遵循两点：
①定义域是指自变量的取值范围；
②在同一对应法则f下，括号内式子的范围是相同的。 < br>例题2.（1）若
f(x?1)
的定义域为[1，3]，则
f(x?2)
的定义域为____________________.
（2）若
f(x?2)
的定义域为[1，3]，则
f(x?1)
的定义域为___________________ _.
练习2.（1）若
f(x?3)
的定义域为[-1，2]，则
f(x)
的定义域为____________________.
（2）若
f(x)
的定义域为[-1，2]，则
f(x?3)
的定义域为_________________ ___.

20

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3.在实际应用问题中，定义域要复合实际生活需要。
4求函数值，特别是分段函数求值
4.1.多层函数求值，由内到外。
4.2.分段函数求值，注意其区间不同，解析式不同。
例题3.已知
f(x)?


练习3.已知函数
f(x)?



例题4.已知函数
f(x)?
?


练习4.设函数
f(x)?x
2
?1,g(x)?
?



1
(x??1),g(x)?x
2
?2(x?R)，求
f(2),g(2)，f(g(3))
的值。
1?x
x?1
，求
f(2),f(f(1))
的值。
x? 2
?
2x(x＞0)
，①求
f(?2),f(1)
的值；②若
f(a)?f(1)?0
，求实数
a
的值。
x?1(x?0)
?
?
x?1(x＞0)
，求
f(g(2)),g(f(2))
的值。
?
2?x（x?0）
5.求函数的值域
5.1.在函数
y?f(x )
中，与
x的值相对应的y值叫函数值，函数值的集合
______________ __叫做函数
的值域，显然，值域是由____________和______________决定 的。
5.2.求函数的值域根据不同题型，方法有图像法、配方法、换元法、反x法、判别式法等。
例题5.求下列函数的值域
2
①
y?3x?2(?1?x?1)
②
f(x)??（

1?x?3）
3x
③
y?x?
1
（记住图像） ④
y?x
2
?4x?1
；
x
②
y?x
2
?4x?1,x?[0,1]
；
练习5.求函数的值域
①
y?x
2
?4x?1,x?[3,4]

③
y?x
2
?4x?1,x?[0,5]
；

例题6.求函数
y?x?21?x
的值域 。

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练习6.求函数
y?
例题7.求函数
y?

练习7.求函数
y?


x?1?x
的值域。
x?1
的值域。
x?2
2x?1
的值域。
4x?6
x
2
?1
例题8.函数
y?
2
的值域。
x?1
练习8.求函数
y?
5
的值域 。
2x
2
?4x?3


二、课堂练习题组

1.下列说法正确的是 （ ）
A.函数值域中的每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域可以是空集
C.函数的定义域和值域一定是数集
D. 函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了.
2.函数
y?
1
的定义域是 （ ）
x
A．R B.
{0}
C.
{xx?R,且x?0}
D.
{xx?1}

3.设
f(x)?2x?3,g(x?2)?f(x),则g(0）的值为
（ ）
A．1 B.-1 C.-3 D.7
4.函数
g(x)?2x?1,x?{1,2,3,4,5}
的值域为 _______________________.
5.若
f(x?1)
的定义域 为[1，3]，则
f(x?1)
的定义域为____________________.
6.试求下列函数的定义域和值域：
（1）
f(x)?x?2x
;
（2）
f(x)?





2
1
.
x
2
?1

22

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三、课后练习题组

1.函数
y?
1
x?2?x
的定义域为 （ ）
2
x?1
的值域为 （ ）
A.（-∞，2] B.(-∞,1] C. (-∞,+∞) D.无法确定
2.函数
y?
A.[-1,+∞） B.[0, +∞) C. (-∞,0 ] D. (-∞,-1]
1），则f(x)的定义域为
（ ） 3.已知
f(x?1)的定义域为（?2，
A．（-2，1） B.(-3，0) C.(-1，2) D.(0，3)
4.函数
y?
x?3
的定 义域为_______________________.
0
(x?1)
5.若< br>f(x)?x?1
的定义域为[-2，3）,则它的值域为_________________ ______.
6.已知函数
f(x)对任意实数x,y都有f(xy)?f(x)?f(y)成立.

（1）求
f(0)与f(1)的值；

（2）若
f(2)?a,f(3)?b(a,b均为常数），求f(36)的值.












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04、
函数的单调性
一、课本知识梳理
1.增函数和减函数概念
一般地，设函数
f(x)
的定义域为I：对于函数
f(x)
的定义域I内某 个区间上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，
⑴若当x
1
<
x
2
时，都有
f(x
1
)<
f(x
2
)
,则说
f(x)
在这个区间上是____ __________；
⑵若当
x
1
<
x
2
时， 都有
f(x
1
)
>
f(x
2
)
,则说f(x)
在这个区间上是________________.
①函数是增函数还是减 函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些
区间上不是增函数. 例如函数
y?x
，当
x
∈[0,+
?
)时是增函数，当x
∈(-
?
,0)时是减函数.叙述函数单调
性时不能脱离区间. ②根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设
x
1
,
x
2是给定区间内的任意两个值，且
x
1
<
x
2
；⑵作差< br>2
f(x
1
)
－
f(x
2
)
，并将 此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断
f(x
1
)
－
f(x2
)
的正负（要注意说理的充
分性）；⑷根据
f(x
1
)
－
f(x
2
)
的符号确定其增减性.
例题1.证明函数
f(x)?x?



练习1.证明函数
f(x)?x
在[0，+∞）上为增函数.


例题2.已知定义在区间
(0,??)
上的函数
f(x)
满足
f(
2
1
在（0，1）上为减函数.
x
x
1
) ?f(x
1
)?f(x
2
)
，且当
x＞1
时，f(x)＜0
。
x
2
①求
f(1)
的值；②判断< br>f(x)
的单调性；



1
，判断是R练习2. 函数
f(x)
对任意的
a,b?R
都有
f(a?b)?f(a)?f (b)?1
并且当
x＞0
时，
f(x)＞
上的单调性。


24

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⒉ 单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数
f(x)
在这一区间具有（严格的）_____________，
这一区间叫做函数
f(x)
的___________.此时也说函数是这一区间上的单调函数，在单调区间上，增函数 的
图象是____________的，减函数的图象是_____________的.
判断函数单调性的常见方法有：
（1）定义法：这是证明或判断函数单调性的常用方法；
（2）图像法：根据函数图像的升降进行判断；
（3）直接法：运用已有的结论，直接得到函数的单调性.
例题3.画出函数
y?? x
2
?2x?3
的图像，并指出函数的单调区间.



练习3.画出函数
y?x
2
?2x
的图像，并指出函数的单调区间.



例题4.已知函数
f(x)?x?2(a?1)x?2
在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是 。

练习4.1.已知函数
y??x?2x?1
在区间［－3，a］上是增函数，则a的取值范 围是 。


练习4.2.函数
f(x)? ax?4(a?1)x?3
在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是 。

例题5.函数
f(x)?
?
2
2
2
?
?x?3a,(x＜0)
(x?0)
?
a，
x
(a＞0< br>且
a?1)
是
R
上的减函数，则
a
的取值范围是（ ）
112
A．(0,1) B．[，1) C．(0，] D．(0，]
333

?
3?a
x
?4a,(x＜1)
练习5. 已知
f(x)?
?
是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围（ ）
?
log
a
x,(x?1)
3
A．(1，＋∞) B．(－∞，3) C．[，3) D．(1,3)
5



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3.最值
3.1.最大值：一般地，设函数
f(x)
的定义域为I，如果存 在实数M满足：对于任意的
x?
I，都是 ；
存在_______ ____，使得________________.那么，我们称M是函数
y?f(x)
的最 大值.
3.2.最小值：一般地，设函数
f(x)
的定义域为I，如果存在实数M满 足：对于任意的
x?
I，都是_________；
存在___________， 使得______________。那么，我们称M是函数
y?f(x)
的最小值.
①对于一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数
y?
值域中的一个元素；
②若函数在闭区间
[a,b]
上是减函数，则
f(x)在[a,b]
上的最大值为
f(a)
，最小值为
f(b)
；
③若函数在闭区间< br>[a,b]
上是增函数，则
f(x)在[a,b]
上的最大值为
f(b )
，最小值为
f(a)
.
例题6.求函数
y?x?2ax?1
在[0，2]上的最小值.

2
1
，如果有最值，则最值一定是
x

练习6.求函数
y?x?ax?2
在[2，4]上的最值.
2


4.函数单调性的应用
可根据函数单调性比较大小，解不等式，求函数的值域 < br>例题7.已知函数
y?f(x)
在区间
R
上是增函数，
a,b ?R
且
a?b?0
，则下列不等式中正确的是（ ）


A．
f(a)?f(b)??f(a)?f(b)

C．
f(a)?f(b)??f(a)?f(b)

B．
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

D．
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

练习7.定义在
R
上的函数
y?f(x)
在
(??,2)
上是增函数，且
y?f(x?2)
图象的对称轴是
x?0
，则（ ）


A．
f(?1)＜f(3)
B．
f(0)＞f(3)
C．
f(?1)?f(?3)
D．
f(2)＜f(3)

1
的例题8.已知函数
f(x)
是
R
上的增函数，
A(0, ?1)、B(3,1)
是其图象上的两点，那么不等式
|f(x?1)|＜
解集的补集 是 （ ）
A．
(?1,2)
B．
(1,4)
C．
(??,?1)?[4,??)
D．
(??,?1]?[2,??)


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2
?
?
x?4x,(x?0)
2
练习8.已知函数
f(x)?
?
，若
f(2?a)＞f(a)
，则实数
a
的取值范围是( )
2
?
?
4x?x,(x＜0)
A．
(??,?1)?(2,??) B．
(?1,2)
C．
(?2,1)
D．
(??,?2)?(1,??)

二、课堂练习题组
1.函数
f(x)?2x,x?[0,3]
的单调性为 （ ）
A．减函数 B. 增函数 C .先减后增 D .先增后减
2.函数
f(x)
在R上是减函数，则有 （ ）
A．
f(3)?f(5)
B.
f(3)?f(5)
C.
f(3)?f(5)
D.
f(3)?f(5)

3.若函数
y?(a?1)x?b,x?R
在其定义域上是增函数，则（ ）
A.
a??1
B.
a??1

2*
C.
b?0
D.
b?0

4.函数
y?2x?2,x?N
的最小值是_____________.
5. 二次函数
y?x?2x?3
在____________上是减函数，最大值为 __________，最小值为_________.
6.证明
y??x?1
在R上是减函数.








3
2
三、课堂练习题组
1.下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是 （ ）
A.
y?
1
2
B.
y?2x?3
C.
y?1?2x
D.
y?(2x?3)

x
2. 若函数
f(x)
是区间[
a,b
]上的增函数，也 是区间[
b,c
]上的增函数，则在区间[
a,c
]上（ ）
A.必为增函数 B.必为减函数 C.可能为增函数 D.不是增函数
3.已知函数
f(x)
在R上是增函数，若
a?b?0
,则 ( )
A.
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)
; B.
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

C.
f(a)?f(?a)?f(b)?f(?b)
D.
f(a)?f(?a)?f(b)?f(?b)

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4. 根据图象写出函数
y?f(x)
的单调区间：增区间 ；减区间________________.
y


-3 0 1 3 x

??
?
上是增函数，在区间
?< br>??，2
?
上是减函数，则
m
的值为________. 5. 函数
y?4x?mx?5
在区间
?
2，
2
6.设二次函数
f(x)?x?(2a?1)x?1

2
??
?
，求实数
a
的值以及函数的最值； （1）若函数
f(x)
的单调增区间为
?
2，
??
?
内是增函数 ，求
a
的范围. （2）若函数
f(x)
在区间
?
2，
































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05、函数的奇偶性
一、课本知识梳理
1.函数奇偶性的概念
1.1偶 函数：如果对于函数
f(x)的定义域内任意一个x
，都有__________，那么函数< br>f(x)
就叫做偶函数.
1.2奇函数：如果对于函数
f(x)的定义域内任 意一个x
，都有_________，那么函数
f(x)
就叫做奇函数.
2.奇、偶函数的图像
2.1.偶函数的图像关于_________________对称.
2.2.奇函数的图像关于_________________对称.
2.3.奇、偶函数 的定义域一定关于_________对称，所以判断函数的奇、偶性要先看函数的定义域是否对称.

函数按奇偶性分类可以分为：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数；
判断函数的奇、偶性，一般有如下的方法：
（1）定义法：若函数的定义域不关于原点对称， 则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，
则进一步判断
f(?x)是否等于?f( x)
，从而确定奇偶性；
（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函 数的图象关于
y
轴对称，则函数为偶
函数。
（3）另外还有如下性质可判断 函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为偶函数；奇函数
的和、差仍为奇函数；奇（偶 ）数个奇函数的积、商为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇
函数等，即奇±奇=奇；偶± 偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。
例题1.下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
y?x
B．
y?x
C．
y?x
2
D．
y?x
3
?1

练习1.判断函数的奇偶性
①
f(x)?x,x?(?1,3)
②
f(x)??x
；
③
f(x)?5x?2
； ④
f(x)?(x?1)(x?1)
.
⑤
f
?
x
?
?x?
22
1
42
⑥
f
?
x
?
?2x?3x?1

x
x
1
2
C.
f
?
x
?
?x?x
D.
f
?
x
?
?
2

x
x
例题2.下列函数为偶函数的是（ ）
A.
f
?
x
?
?x?x
B.
f
?
x
?
?x?
2
练习2.1.判断函数的奇偶性
①
f(x)?x?x?x
； ②
y?xx
2
?1



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练习2.2. 已知函数
y?f(x)
是定义在
R
上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。
①
y?f(|x|)
；②
y?f(?x)
；③< br>y?xf(x)
；④
y?f(x)?x
。

例题3. 已知函数
y?f(x)
，当
x,y?R
时，恒有
f(x?y)?f( x)?f(y)
，判断
f(x)
的奇偶性。



a?2
x
?a?2
例题4.已知函数
f(x)?
2
x?1
A. -1 B. -2 C. 1

2
(x?R)
是奇函数，则
a
的值为（ ）
D. 2
32
练习4.1.已知函数
f
?
x
?
?ax?bx?c(a?0)
为偶函数，那么
g
?
x
?
?a x?bx?cx
是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 即奇又偶函数 D.非奇非偶函数

练习4.2.若
f
?
x
?
? kx?b
为奇函数，则b= .
练习4.3.若定义在区间
?
a, 5
?
上的函数
f
?
x
?
为偶函数，则a= .
练习4.4.若
f
?
x
?
?
?
m?1
?
x?6mx?2
是偶函数，则
f
?
0
?
,f
?
1
?
,f
?
?2
?
从小到大的顺序 是 .
2

3.用函数的奇偶性求函数的解析式
①已知奇偶函数一部分区间上的解析式，求另一部分区间解析式；
②已知奇偶函数相加减，求奇偶函数解析式。
例题5.已知分段函数
f(x)
是奇函数，当
x?[0,??)
时的解析式为
y?x
，则这个函数在区(??,0)
上的解
析式为 ．





练习5.已知
f
?
x
?
是定义在R上 奇函数，且当
x?0
时，
f
?
x
?
?x
?
1?x
?
，求：
f
?
x
?
的表达式.





2

30

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例题6.设函数
f(x)
与
g(x)
的定义域是
?
x|x??1
?
,函数
f(x)
是一个偶函数，
g(x)
是一个奇函数，且
f(x )?g(x)?
1
，则
f(x)
等于（ ）
x?1
C.
2x
2
1
A.
2
B.
2

x?1
x?1

2

2
x?1
D.
2x

2
x?1
练习6. 设函数
f(x)
与
g(x)
的定义域是
?
x|x??1?
,函数
f(x)
是一个偶函数，
g(x)
是一个奇函数，且< br>f(x)?g(x)?





1
，求
f(x)
和
g(x)
的解析式。
x?1
4.局部含有奇偶函数的函数性质的利用

例题7.若函数
f (x)?ax?bx?7
，有
f(5)?3
，则
f(?5)?
。

练习7.已知函数
f
?
x
?
?x?ax?< br>3
3
b
?8
，且
f
?
?2
?
?10
，求
f
?
2
?
的值.
x

5.函数奇偶性的应用
可利用函数的奇偶性画函数的图像、比较函数值的大小、解不等式等
例题8.已知偶函数
f(x)
在
[0,
?
]
上单调 递增，则下列关系式成立的是( )【答案：C】
A．
f(?
?
)?f(?
?
)?f(2)
B．
f(2)?f(?)?f(?
?
)

22
?
C ．
f(?
?
)?f(2)?f(?
?
)
D．
f(?)?f(2)?f(?
?
)

22
?
练 习8.1.若偶函数
y?f
?
x
?
在
?
0,4?
上是增函数，则
f
?
?3
?
与
f
?
?
?
的大小关系是（ ）【答案：B】
A.
f
?
?3
?
?f(
?
)
B.
f
?
?3
?
?f(
?
)
C.
f
?
?3
?
?f(
?
)
D.
f
?
?3
?
?f(
?
)

( a?R)
的大练习8.2.设
f(x)
是定义在
R
上的偶函数,且在
(??,0)
上是增函数,则
f(?2)
与
f(a?2a?3)，< br>小关系是（ ） 【答案：B】
A.
f(?2)＜f(a?2a?3)

2
2
2
B．
f(?2)?f(a?2a?3)

2
C．
f(?2)＞f(a?2a?3)
D．与
a
的取值无关若函数

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二、课堂练习题组
1. 下列四个结论：
①偶函数的图象一定与
y
轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于
y
轴对称；④奇函
数一 定没有对称轴；⑤偶函数一定没有对称中心；其中真命题的个数是 （ ）
Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个
2.函数
f(x)?x
的奇偶性为 （ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
3.
若函数
y?f(x)
是偶函数，其图像与
x
轴有两个交点，则方程
f(x)?0
的所有实根之和是（

）

A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
4.如果定义在区间
[3?a,5]
上的函数是奇函数，那么
a?
_____________.
5.
已知定义在
R
上的偶函 数
f(x)在区间[0,??]上是增函数，则f(?2),f(1),f(?3)
的大小关系 是
_________________________.

6.求证：函数
f(x)?x?
1
是奇函数.
x




7.判断下列函数是否具有奇偶性。
2
（1）
f(x)?x?4x
（2）
f(x)?x?2x

3
（3）
f(x)?1
（4）
f(x)?1?x?x?1

x?1
1?x
2
（5）
f(x)?
（6）
f(x)?(x?1)

1?x
x?2?2


8.判断下列函数的奇偶性：
（1）
f(x)?x?x
； （2）
f(x)?
3
x
2
； （3）
f(x)?5
.


9.已知
f(x)
是 定义在R上的奇函数,当
x?0
时,
f(x)?x(1?x)
,求函数
f(x)
的解析式.


10.已知
f(x)
是定义在 R上的奇函数,且当
x?0
时,
f(x)?xx?2
,求函数
f(x )
的解析式.


35

32

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11.
判断
f(x)?x?2x?3
的奇偶性，并利用奇偶性作图
.




12.
判断
f(x)?x?x
的奇偶性，并利用奇偶性作图
.




2
2
三、课后练习题组

1.
函数
f(x)?x
是

（

）

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
2.
如果奇函数
f(x)
在区间
[3
，
7]
上是增函数，且最大值为
5
，那么在区间
[-7
，-3]
上是

（

）

A .
增函数且最小值为
-5 B .
增函数且最大值为
-5
C .
减函数且最小值为
-5 D .
减函数且最大值为
-5
3.
函数
f(x)?
1
?x
的图像关于

（

）

x
A.
y轴对称
B.
直线
y??x
对称
C.
坐标原点对称
D.
直线
y?x
对称

4.
函数
y?(x?1)(x?a)为偶函数，则a?

（

）

A.-2 B.-1 C.1 D.2
5.已知函数
f(x)
是定义在
(??,??)
上的奇函数 ，当
x?0
时,
f(x)?x?1
，则
f(?2)?
.
6. 判断下列函数是否具有奇偶性，并给出理由。
（1）
f(x)?x?1?x?1
；



< br>2
?
x(1?x),(x?0)
（2）
f(x)?
?
.
x(1?x),(x?0)
?






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06、指数与指数幂的运算
一、课本知识梳理
1.根式及相关概念
1. 1.根式：式子_______________叫做根式，这里
n
叫做__________ _____，
a
叫做______________.
1.2.根式的性质
*
①
n
0?
_________，
其中n?1,且n?N.

n
*
②
(
n
a)?
____________，
其中 n?1,且n?N.

③
n
a
n
?
______ ________，其中
n
为大于1的奇数.
?
________,(a?0)
,其中
n
为大于1的偶数.
?
________,(a?0)
m
n
m
n
n
a
n
?
_____________=
?
1.3.分 数指数幂的意义
规定正数的正分数指数幂的意义是：
a
规定正数的负分数指数幂的意 义是：
a
?
_____________，
(a?0,m,n?N
*
,且n?1).

?
________=________，
(a? 0,m,n?N
*
,且n?1).

?
0的正分数指数幂等于___ __________，0的负分数指数幂_______________.
1.4.有理数指数幂的运算性质
a
r
?a
s
?
____________，
(a?0,r,s?Q)
；
(a
r
)
s
?
_____________，
(a?0,r,s?Q)
； < br>(ab)
r
?
_____________，（
a?0,b?0,r? Q)
.
?
16
??
1
?
例题1.求值：（1）< br>8
(x?2)
； （2）
8?100?
4
??
?
??

?
8 1
??
4
?
8
?
2
3
1
2
?3?3
.


练习1.求值：
3
(?6)?
4
(5?4)?
3
(5?4)



例题2.将下列根式化为分数指数幂的形式：
??
4
1
11
3
;
（3）
(b)
3
,(b?0)
. （1）
,(a?0);
（2）
aa
3
x(
5
x
2
)
2
2 2
343



34

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a
2
b
3
4
a
练习2.化简：
??
3
.

ba
b



例题3.已知
a?a


1
2
?
1
2
?12?2
?3
， 求下列各式的值：（1）
a?a
；（2）
a?a
；


练习3.已知
a?a

1
2
1
?
2
?3
，求
a?a?2
的值.
?1
a?a?3
3
2
??
3
2



二、课堂练习题组
1.
a?R
，下列各式一定有意义的是
A.
a

?2

2
3



（
D.
a

0
）
B.
a

1
2
1
4


C.
a




2
3
2.下列各式计算正确的是
A.
(?1)?1

3.
7
8
0
（ ）
D.
a?a?a

2
3
1
3
2
B.
a?a?a

2
C.
4?8

a?
（ ）
3
2
1
8
3
4
A.
a
B.
a
C.
a
D.
a

4. 若
a?0
，则
a
和
a
65
3
4
?
3
5
用根式形式表示分别为 和 ，
5.若
a?0
，则
ab
和
6. 求下列各式的值
5
m
3
m
用分数指数幂形式表示分别为 和 .
?
25
?
?243?
，
??
?
4
?
1
?
2
2
?
3
2
= ，
?
1
2

[(?2)]
= ，
?
?
1 3
?
?2
?
9
?
?2?
???
?
5
??
4
?
0
?(0.01)
0.5
= .

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三、课后练习题组

1.式子
a
2
a?a
3
2
,(a?0)
经过计算可得到 （ ）
6
A.
a
B.
?
6
a
5
C.
5
a
6
D.
2.与
a?
a
5

1
的值相等是 （ ）
a
B.
?
A.
a

3
a

2
C.
?a
D.
??a

3.设
a?
3
(?8),b?(?10),则a+b=
( )
A.-18 B.18 C.-2 D.2
ab
4. 下列结论: (1)当
a
< 0时,
(a)?a
; (2)
n
a
n
?|a|
; (3)若
100?5,10?2
，则
2a?b?1
中正确结
3
2
2
3
论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.若
3?2
，
3?5
,则
3
6.若
2? 2
x?x
ab?13a?2b
的值= .
?3< br>,则
4
x
?
1
的值=_____________.
x
4
7. 化简求值：(1)
??
?
?
1
?
?
4
?
?2
?
1
?
???
? ?
?
66
?
1
32
?
1
3
?6
?
3?2
0
?

??1.03?
?
??
3?2
?
2
?
?
1
8
?
1< br>4
?
1
2
3

(2)
(1?2


















)(1?2
?
1
16
)(1?2)(1?2)(1?2)


36

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07、指数函数及其性质
一、课本知识梳理
1. 指数函数定义
一般地 ，函数____________________叫做指数函数，其中_____是自变量，函数定义域是__ ____．
指数函数定义的特点：只有形如
y?a(a?0,且a?1)
的函数才是 指数函数，其特点是：（1）
（4）只有一项。
a是常数，a?0且a?1
； （2 ）
a
x
的系数为1；（3）指数是单个的x
；
例题1.判断下列函数 是指数函数的有____________________.
x
①
y?x
②
y?8


③
y?(2a?1)
（
a?
x
1
x
且
a?1
） ④
y?(?4)

2
2
x
xx
⑤
y?
?


⑥
y?5
2x?1
⑦
y?x

⑧
y??10
．
2x

2.指数函数的图象和性质

a?1

0?a?1

图
象

（1）定义域：__________
性
质
（2）值域：____________________
（3）过定点__________，即
x?0
时
y?1

（4）单调性：在
R
上是__________函数

（4）在
R
上是__________函数
2.1.指数函数的图象恒过点 (0,1)，(1，a)，
?
?1，
?
，依据这三点的坐标可得到指数函数的 大致图象．
x
?
?
1
?
a
?
?
1
?
x
2.2.函数
y?a
与
y?
??
( a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
?
a
?
2.3.底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”
当a>1时，指数函数的图象“上升”，a的值越大，图像越陡（越靠近坐标轴）；
当0
例题2. 在同一坐标系中画出下列函数的图象，并加以比较可得出什么结论？
?
1
??
1
?
x
x
(1)
y?2
； (2)
y?
??
； (3)
y?3
； （4）
y?
??

?
2
??
3
?
xx
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练习2.如图 ，曲线C
1
,C
2
,C
3
,C
4
分别是指 函数
y?a,y?b,y?c和y?d
的图象，则
a,b,c,d
和 1
之间的大小关系是 （ ）
A.
a?b?1?c?d
B.
a?b?1?d?c

C.
b?a?1?c?d
D.
b?a?1?d?c








比较几个幂的大小，可将它们与0比较，分出正负数；正数与1比较，分出大于1和小于1的两类；
在以上两类中在进行比较，对于底数相同、指数不同的两个幂，可以利用指数函数的单调性进行判断；
对于指数相同、底数不同的两个幂，可以利用不同底的指数函数图像在象限内的分布规律进行判断；
若底数与指数都不同，则可以通过寻找第三个数，对两个数进行比较大小.
例题3. 比较下列各题中两个值的大小
（1）
2.1,2.1
22.4
xxxx
； （2）
0.8
?0.1
,0.8
?0.2
； （3）
1.1,0.9

0.91.1


练习3.比较下列各题中两个值的大小：
（1）
0.9,0.9



22.4
； （2）
1.2,1.2
0.10.2
； （3）
2.3
?0.28
,0.6
?3.1

3. 指数函数的图象变换

3.1平移变换：若已知
y?a(a?0,且a?1)
的图象
左右平移：
x
把
y?a
的图象___________平移__________个单位 ，可得到
y?a
x?b
x
,(b?0)
的图象；
,(b?0)
的图象；
x
把
y?a
的图象_______ ____平移__________个单位，可得到
y?a
x?b
上下平移：
x
把
y?a
的图象___________平移__________个单位，可得 到
y?a?b,(b?0)
的图象；
x
x
把
y?a
的图象___________平移__________个单位，可得到
y?a?b,(b?0)< br>的图象；
x
函数图象的平移变换规律是：左“+”右“—”，上“+”下“—”.其中 左“+”右“—”指的是自变量的
变化规律，而上“+”下“—”指的是解析式等号的右边函数值的变化 规律.做题时要分清楚是自变量还是
函数值发生了变化，对号入座，不容易做错.
例题4.要 得到函数
y?5
x?3
?2
的图象，只需将
y?5
x
的图象做怎样的变换？

38

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练习4.要得到函数
y?2


例题5.函数
y


练习5.函数
y
1?2x
的图象，只需将
y?()
x
的图象做怎样的变换？
1
4
?a
x?3
?3
恒过定点 ?5?a
x?1
?
a?0,a?1
?
图像必过定点，这个定点是


3.2图像对称变换
函数
y?a的图象与y?a的图象关于< br>____________________对称；
函数
y?a的图象与y??a的图 象关于
____________________对称；
函数
y?a的图象与y? ?a的图象关于
____________________对称.
两个函数的对称问题，f (x)与f(-x)关于y轴对称；f(x)与-f(x)关于x轴对称；f(x)与-f(-x)关于原点对称 ；
例题6.利用函数
f(x)?2
的图像，作出下列个函数的图像
⑴f(x?1)
，⑵
f(x)?1
，⑶
f(?x)
，⑷
? f(x)




练习6.函数
y

< br>x
x?x
xx
x?x
?5?a
x?1
?
a? 0,a?1
?
图像必过定点，这个定点是
4.复合函数
一般 地，对于两个函数
y?f(u)
和
u?g(x)
，如果通过变量
u< br>，
y
可以表示成
x
的函数，那么称这个函数为
函数
y ?f(u)
和
u?g(x)
的复合函数，记作：
y?f(g(x))

4.1.复合函数
y?f(g(x))
中，
g(x)
为内侧函数（内 函数），
f(x)
为外侧函数（外函数），复合函数以外
函数来命名，如函数
y?3
x?1
是指数型复合函数。

4.2.复合函数求值域，把复合函数分解成初等函数，内函数的值域是外函数的定义域。
例题7．求下列函数的定义域和值域：
（1）
y?3



x?1
； （2）
y?3
； （3）
y?()
1
x
1
2
x?1
； （4）
y?9?2?3?3

xx
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练习7.求下列函数的定义域和值域
(1)
y?5
1
x?2
; (2)
y?()
1
3
x?2
; (3)
y?()
1
2
?x
（4）
y?
1

1?3
x


4.3求与 指数函数有关的复合函数的单调性应遵循的原则为_____________________.
对于求复合函数单调性的问题，遵循的原则是：同增异减. 即组成复合函数的两个简单函数, 如果它 们的
单调性相同，则复合之后的函数就是增函数；如果它们的单调性不相同，则复合之后的函数就是减函 数.
例题8.求函数
y?()





练习8.求函数
y?3
?x
2
?2x?3
1
3
x
2
?2x
的单调区间.
的单调区间.




二、课堂练习题组
1. 判断下列函数是指数函数的有____________________.
1
x
且
a?1
）④
y?(?4)

2
2
x
xx
⑤
y?
?


⑥
y?5
2x?1
⑦
y?x

⑧
y??10
．
x
①
y?x
②
y?8


③
y?(2a?1)
（
a?
2x

2.设
y
1
?4
0.9
1
,y
2
?8
0.48< br>,y
3
?()
?1.5
，则 （ ）
2
A.
y
3
?y
1
?y
2
B.
y
2
?y
1
?y
3
C.
y
1
?y
2
?y
3
D.
y
1
?y
3
?y
2


3. 函数
y?a

4. 函数
y?(a?1)
在
(??,??)
上是减函数，则
a
的取值范围是____________________.

5. 5. 函数
y?3

1
x?2
x
x?3
?3(a?0,a?1)
恒过的定点是 。
的定义域为 ，值域为 .

40

贾老师高中数学同步辅导班精讲精练教材——必修一 6.已知指数函数
f(x)
的图象过点（3，8），求
f(6)
的值.

7. 已知x
?
[-2, 2], 则y = 3
x
- 1的值域是 （ ）
A. (
?
11
88
,8] B. [
?
,8) C. (,9] D. [,9)
99
99

8.设
0?a?b?1
，则下列不等式中正确的是 （ ）
A.
a?b
B.
b?b
C.
a?b
D.
b?a


9. 函数
f(x)?(a?1)?b
的图象经过第二、三、四象限，则
a
的取值范围为 _______,b的取值范围为_____.

10. 函数
f(x)?3

11 函数
y?a

x
12. 试指出函数y=
3
的图象经过怎样的变换，可以得到函数
y?3
x?1
x?2
1?x
abababaa
x
在R上的单调性是
______ ____________________.
?1(a?0,且a?1)
恒过的定点是 .
?2
图象？




三、课后练习题组
1. 下列一定是指数函数的是 （ ）
xx
x
A.形如
y?a
的函数 B.
y?x(a?0,且a?1)
C.
y?(a?2)
D.
y?(a?2)a

a

2. 指数函数
y?a(a ?{,,2,3})
的图象如图，则分别对应于图象C
1
,C
2
,C
3
,C
4
的
a
的值为 （ ）
x
11
32
1111
,2,3
B.
,,3,2

3223
1111
C.
3,2,,
D.
2,3,,

2332
A.
,




3. 已知指数函数的图象过点（1，2），则它在区间[1，2]上的最大值为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 四个数
2,(?2),0.2,5
?33?33.1
从小到大的排列顺序为 .
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5. 函数
y?2
x?1
的定义域为_______________ ，值域为__________________.
6.函数
f(x)?a
在区间[ -1,1]上最大值与最小值的差为1，求
a
的值



7.函数y=
a






o
1
x
A
2
x
x
(
a
>1)的图象是
y

y



y
（
y
）
o
1
x
B
o
x
C
o
1
x
D
8.函数
y?0.2
x
A.
[1,??)



?2x?3
的单调增区间是 （ ）
B.
(??,1]
C.
(3,??)
D.
(??,?1)

?
2
?x
?1(x?0)
?
9.已知
f(x)?
?
,若
f(x
0
)
>1,,则
x
0
的取值范围为 （ ）
1
2
?
(x?0)
?
x
A. (-1,1) B.
(?1,??)
C.
(??,?2)?(0,??)
D.
(??,?1)
∪
(1,??)


10.函数y=5与y=5

11.函数
y?3
+m不过第二象限，则m的取值范围是_ _ _ _ .

12.在同一直角坐标系中分别作出下列各函数的图象，并比较它们之间的关系：
（1）y=2; (2) y=2











xx?2
x

x?x
图象关于 对称，函数y=5
x?1
图象关于_ __对称。
; (3) y=2
x?2


42

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08、
对数与对数的运算
一、课本知识梳理
1.对数的概念
一 般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a
b
＝N，那么，数b就叫做以a为 底N的对数，记作：
log
a
N＝b.其中____叫做对数的底数，___叫做真数 .

指数、对数之间的关系

b
①对数式
log
a
N?b
是由指数式
a?N
变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数就 是指数式中的幂
b
的值，而对数值是指数式中的幂指数，因此指数形式与对数形式是可以互化的 ，即
a?N?b?log
a
N
.
②并非任何指数式都可以直接化为 对数式，如
(?3)?9
就不能直接写成
log
?3
9
，只 有复合
a?0,a?1
且
b
N＞0时，才有
a?N?b?loga
N
.
2
例题1.求下列各式中的x：
（1）
log
8
x??
2
logx
； （2）
log
x
27??3
； （3）
log
2
(log
5
x)?0
； （4）
3
3
?9

3





练习1.将下列指数式与对数式互化：
（1）
log
2
16?4
； （2）
log
1
27??3
； （3）
4?64
； （4）
()
3
3
1
4
?2
?16
.
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2.两种重要对数
2.1.常用对数：通常___ __的对数叫做常用对数，N的常用对数为_____，简记为______.

2.2.自 然对数：通常_________的对数叫做自然对数，N的自然对数为____________，简记为__ _____.


3.对数的基本性质
3.1.________________没有对数，即N > 0;
3.2．1的对数为 _____________，即
log
a
1?
_________； 3.3.底数的对数等于___________，即
log
a
a?
__ _________.
3.4.对数恒等式：a

log
a
N
＝N(a>0且a≠1，N>0)．
4.对数的运算性质
如果
a?0,且a?1,M?0,N?0,
那么： < br>4.1.
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N
；
4.2.
log
a

M
?log
a
M?log
a
N
；
Nn
4.3.
log
a
M?nlog
a
M
；
4.4.
log
a
m
M?

n
n
log
a
M
。
m
5.对数的换底公式
5.1.
log
N
M
＝

5.2.
log
a
b?log
b
a?1
即
log
a
b＝

例题2.计算下列各式的值：
(1)
log
3
27?lg25?lg4?7

log
7
2
log
a
Mlog
b
M
＝(a，b，N均大于0且不等于 1，M >0)．
log
a
Nlog
b
N

1
(a，b均大于0且不等于1)；
log
b
a
?(?9.8)
0
； (2)
log
2
111
?log
3
?log
5

2589

44

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练习2.计算:（1）
log
2.5
6.25?lg0 .01?lne?2



例题3.已知
log
9
5?m,log
3
7?n,试用m,n表示log
35
9
.






练习3.已知
lg2?m,lg3?n,试用m,n表示log
5
6
.




1?log
2
3
； （2）
log
8
9?log
27
32


二、课堂练习题组
1. 指数式与对数式互化：
1
3
2?32?
_____________；
27< br>5
?
?
1
?
_________________；
3
log
5
125?3?
___________；
log
3

1
??4?
_____________
81
2. 已知
f(log
x
4)?x,则f(5)
= ( )
A. 4
5
B. log
4
5 C.

3. 若
log
(x?1)
(x?1)?1
，则x的取值范围为 ( )
A. x≠1

4. 若
log
3(a?1)?1
，则
log
a
2?log
2
(a?1)
=________________
B. x>1 C. x≠2 D. x>1 且x≠2
5
4
D. log
5
4
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a?b
?
5. 设
a?log
3
10,b?log
3
7,则3

2m?n
的值.
6. 已知
log
a
2?m,log
a
3?n,求a




五、课堂练习题组
1.已知
log
x
16?2
，则x的值为 （ ）
A.
?4
B. 4 C. ±4 D.
2.与函数
y?e
lnx
1

4
的图象相同的一个函数是 ( )
x
?
1
2
?2
A.
y?x
B.
y?e
C.
y?x
D.
y?(x
3.若
log
3
7?log
2
9?log
49
a?log
4
)

1
,则
a
的值等于 ( )
2
A.
2
1
B. C.
2
D.4
2
4
2
4.(1)已知
lgx?0
，则x的值=
(2)
2
4?log
2
3
的值=
（3）
a
log
a
x
= ，
log
c
b
= 。
log
c
a
3
5.已知
log
2
[log
1
(l og
2
a)]?0
,
log
3
[log
1
(log
3
b)]?0
则
a,b
的大小关系是
2
6.计算下列各式的值：
32
?log
3
8?5
2log
5
3
;

9
111
?log
3
?log
5
.
（2 ）
log
2
125323
（1）
2log
3
2?l og
3








46

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09、
对数函数及其性质
一、课本知识梳理
1.对数函数的概念
函数
y?log
a
x
(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量 ，函数的定义域是(0，＋∞).
y?log
a
x
的4个特征(1)底数 a>0，且a≠1；（2）整体系数为1；（3）真数部分只能是一个单独的字母，
不能使字母组合；（ 4）只有一项；(5)自变量x>0；(6)函数值域为R.
求于对数函数有关的函数定义域时，除遵 循前面已学过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有
如下的要求：一是要特别注意真数大于0 ；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针
对性的解不等式.
例题1.求下列函数的定义域：
（1）
y?
1
； （2）
y?log
x
(2?x).

lg(x?1)?3



练习1.求下列函数的定义域：
（1）
y?


log
1
(3x?2)
； （2）
y?log
2
2
1
.
1?3x
2.对数函数的图象与性质
底数
a>1 0博源教育课外学习班
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图象


定义域：(0，＋∞)
值域：R
性质
图象过定点(1,0)，即恒有log
a
1＝0
当x>1时，恒有y>0；
当0在(0，＋∞)上是增函数
注意

对数函数图象的特点
当x>1时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是减函数
当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0?1
?
，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (1)对数函数的图象恒过 点(1,0)，(a,1)，
?
，
(2)函数
y?log
a
x
与
y?log
1
x
(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．
a
?
1
?
a
?
?
(3)当a>1时，对数 函数的图象呈上升趋势，a越大越靠近坐标轴；
当0比较对数值的大小，常 用的方法有：（1）底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；（2）底数不同而
真数相同时，常借 助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；（3）底数与真数都不同，需
寻求中间值比较 .
例题2.设
a?log
3
?
,b?log
2
3 ,c?log
3
2,
则 （ ）
A.
a?b?c
B.
a?c?b
C.
b?a?c
D.
b?c?a


练习2.设
a?log
2
6,b?log
3
3,c?log
0.22,
则 （ ）
A.
a?b?c
B.
a?c?b
C.
b?a?c
D.
b?c?a




48

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解对数不等式时，要注 意：真数大于0，底数大于0且不等于1，然后借助于对数函数的单调性，把对数
的不等式转化为真数的 不等式，然后与定义域取交集即得原不等式的解集.底数中若含有参变量时，一定要
注意底数大于0且不 等于1；同时要注意与1大小的讨论.
例题3.解不等式
2log
a
(x? 4)?log
a
(x?2).





练习3.已知
log
a
(2a?1)?log
a
3a
，求< br>a
的取值范围.




例题4.画出下列函数图象：
（1）
y?log
2
(x?1)
（2）
y?log
2
x?2
(3)
y?log
1
x?1
（4）
y?log
4
x?2

2



练习4.作出下列函数的图象，并指出其值域.
（1）
y?lg(?x)
； （2）
y?log
2
x
.


3.复合函数的单调性
求与对数函数有关的复合函数的单调性应遵循的原则为同增异减，注意先求定义域。
例题5. 写出下列函数的单调区间.
（1）
y?log
2
(?x?2)
； （2）
y?log
1
2
(x
2
?2x)
； （3）
y?log
1
3
x?2
.



练习5.写出下列函数的单调区间.
（1）
y?log
1
2
(x?2)
； (2)
y?log
3
x
； (3)
y?log
2
(x
2
?x)
.



例题6.求下面函数的值域：
2
①
f(x)?log
2
x,x?[2,16]
②
f(x)?log
2
(?x?2x?3),x?[0,]
③
f(x)?log
2
(x?4x?5)

3
2
2
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例题7.函数
f(x)?log
2
(x?3)?2
恒过定点 .



练习7.已知函数
f(x)?log
a
(4a?x)?1
恒过点（4,1），求a的值。








二、基础能力自测
1. 若
f(10)?x,则f(3)
的值为 （ ）
A. log
3
10 B. lg3 C.
10
D.
3


2. 求下列函数的定义域：
(1)
y?log
5
(3?x)
的定义域为____________ __ ；
(2)
y?
310
x
1
的定义域为 ；
log
3
(x?1)
(3)
y?log
2
（4）
y?
1
的定义域为 ；
1?x
log
2
x
的定义域为__ .

3. 比较下列两个值的大小：

50

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（1）
log
6
7
_________
log
6
9
; (2)
log
0.6
7
__________
log
0. 6
9

（3）
log
6
0.2
_________
log
0.6
0.2
; （4）
log
6
7
_________
log
0.2
9
;

4. 函数
y?log
5
x
与函数
y?log
1< br>x
关于_________________对称.
5
x
5. 函数
y?log
5
x
与函数
y?5
关于___________ ______对称.
6.
log
a
3?log
a
3
，则
a?

7. 已知
log
2
(1?x)?1
，则
x
的取值范围是 .
8. 函数
y?lgx
的单调减区间为 .
9. 已知
f(x)?lgx
，则
f(),f(2),f()
的大小顺序为 .
10. 若
y?log
a
2
?1
x
在
(0,??)
上是增函数，求
a
的取值范围。




1
3
1
4

三、课后练习题组
1.若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为 （ ）
A.
y?log
2
x
B.
y?2log
4
x
C.
y?log
2
x
或
y?2log
4
x
D.不确定
2.函数
f(x)?lg(x?1)?4?x
的定义域为 （ ）
A.（1，4] B.(1, 4) C.[1, 4] D.[1, 4）
3.已知
a?0且a?1
，下列四组函数中表示相等函数的是（ ）
?1
A.
y?log
a
x与y?(log
x
a )
B.
y?a
log
a
x
与y?x

2x2
C.
y?2x与y?log
a
a
D.
y?log
a
x与y?2log
a
x

4. 函数
y?log
2
x?3(x?1)
的值域为______________ _______.
5.函数
y?log
2
x?1,则x
的取值范围 是_____________________.
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x
6 .函数
f(x)?a?log
a
(x?1)在
[0，1]上的最大值与最小值 之和为
a,求a
的值.


7.函数
y?a
与< br>y?log
a
(a?0,a?1)
，下列说法不正确的是 （ ）
A.两者的图象关于直线
y?x
对称
B. 前者的定义域和值域分别是后者的值域和定义域
C. 两函数在各自的定义域内增减性相同
D.
y?a
的图象经过平移可得
y?log
a
的图象
8.下列函数在
(0,2)
上为增函数的是 （ ）
A.
y?log
1
2
(x?1)
x
x
x
x
B.
y?log
2
(?x?2)
C.
y?log
1
3
(x
2
?4x?5)
D.
y?log
3

1
x
9.函数
f(x)?lgx
为 （ ）
A.奇函数，在区间（0，+∞）上是减函数； B.奇函数，在区间（0，+∞）上是增函数；
C.偶函数，在区间（-∞, 0）上是增函数； D.偶函数，在区间（-∞，0）上是减函数.
10.函数
y?log
1
( ?x
2
?2x?3)
的单调增区间是 < br>2
11.
log
a
x?log
a
(x?1)
,则
a?

12.已知函数
y?log
2
x

（1）求函数的定义域；
（2）讨论函数的奇偶性；
（3）讨论函数的单调性.
2
10、
幂函数
一、课本知识梳理
1.幂函数的概念
一般地，形如y＝x
α
(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． α
幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，只能是一个单独的字母，幂指数
α为常数；(2)x的系数为1；
(3)只有一项．
例题1.当
x?
（0，+∞）时，幂函数
y?(m?m?1)?x



2?5m?3
为减函数，求实数
m
的值.

52

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练习1 .当
x?
（0，+∞）时，幂函数
y?(m
2
?m?1)?x
m



五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性
y＝x
质
2
?m?3
为增函数，求函数的解析式.
y＝x
2
y＝x
3

1
y＝x
2
y＝x
1

－
图象

定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点

幂函数在第一象限的图像与α
①α＞1，图像在第一象限单调递 增，图像下凹，α越大，图像越靠近坐标轴，恒过点（1,1）（0,0）；
②α=1，图像是第一象限角平分线，递增，过（1,1）（0,0）；
③0＜α＜1，图像 在第一象限单调递增，图像上凸，α越小，图像越靠近坐标轴，恒过点（1,1）（0,0）；
④α=0，图像是平行横轴的一条直线，注意不过点（0,1），过点（1,1）；
⑤α＜0，图像在第一象限单调递减，过（1,1）.
R
R
奇
增
R

{y|y≥0}
偶
(－∞，0)减，
(0，＋∞)增

R
R
奇
增
(1,1)

{x|x≥0}
{y|y≥0}
非奇非偶
增

{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇
(－∞，0)和
(0，＋∞)减


例题2.求下列函数的定义域和值域：
（1）
y?x



练习2.
（1）试求函数
y?(x?2)
?2
?
2
3
?
3
4
； （2）
y?x

的定义域、值域、单调性，并画出草图；
?2
（2）问上述函数与函数
y?x



的图象有何关系？
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例题3.比较下列各组数中两个数的大小：
23
2
0.5
1
0.5
2
?1
3
?1
（1）
()
与
()
； （2）
(?)
与
(?)
； （3）
()
4
与
()
3
.
34
5335
练习3.比较下列各组数的大小：
3
2
2< br>?
3
?
?
3
21
0.8?2
（1）
3

3.1
（2）
(?)

(?)
（3）
0.5

0.4
（4）
(?)
3

(?)
3

3632
??
5
2
5
2
2221

二、课堂练习题组
1.下列函数为幂函数的是 （ ）
A.
y?x?1
B.
y?
2
1
2
3
C.
y?
2
D.
y??x

x
x
2
），则
f(4)
等于 （ ）
2
2.幂函数
f(x)
的图象过点（2，
A.16 B.2 C.
2
5
1

2
D.
1

16
3.函数
y?x
的单调递减区间为 （ ）
A.(-∞,1] B.（-∞,0] C.[0,+∞) D.(-∞,+∞)

4.幂函数
f(x)
的图象过点（4，2），则f()
等于_____________.
5.函数
f(x)?x
?< br>3
5
1
8
的奇偶性为 ______________.
?1

6.证明幂函数
y?x
在（0，+∞）上是减函数.

三、课后练习题组

l .下列说法正确的有 （ ）
①幂函数图象均过定点（1，１）。②幂函数
y?x
在
(??,0)
上单调递减，在
(0,??)
上也单调递减，因此
幂函数y?x
在定义域内为单调减函数。③幂函数的图象均在两个象限出现。④幂函数在第四象限可以有图象。⑤幂函数
y?x
当
m?0
时在第一象限均为增函数。⑥任何两个 不同的幂函数图象最多有三个交
点。
A.0个 B.2个 C.3个 D.4个

2.实数
a,b满足0?a?b?1,
,则下列不等式正确的是 ( )
m
?1
?1

54

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Ａ.
a?b
Ｂ.
a

3.函数
y?(x? 2x)
2
?
1
2
ba?b
?b
?b
Ｃ.
b
b
?a
b
Ｄ.
b
a
?a
b

的定义域为 （ ）
A.
{xx?0,或x?2}
B.
(??,0)?(2,??)
C.
(??,0]?[2,??)
D.(0, 2)

4.若幂函数y?(m
2
?3m?17)?x
4m?m
的图象不过原点，则
m
的值为___________.

5.已知
n?{?2,?1,0,1, 2,3},若(?)?(?),则n?
___________.

6.若
(a?1)?(3?2a),试求a
的取值范围

1
2
1
2
2
1
2
n
1
3
n






11、
方程的根与函数的零点
一、课本知识梳理
1.函数的零点的定义
1.1.对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 1.2.零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y ＝f(x)有零点．
函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的 横坐标，也就是说函数的零点不是一
个点，而是一个实数.
1.3.函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区
间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这 个c也就是方程f(x)＝0的根．
1.4.二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f( a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点
所在的区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
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例题1. 求函数
y?x
2
?5x?4
的零点：




练习1.求函数
y?(x?1)(x
2
?3x?1)
的零点。




例题2.求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点的个数.




练习2.求
f(x)?2x
3
?x?1
零点的个数.




例题3.求函数
f(x)?lnx?x?2
的零点所在区间.





练习3. 求函数
y?2
x
?3
的零点所在的大致区间.


例题4.下列函数中能用二分法求零点的是( )
练习4.下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是

(

56
)

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例题5. 求方程
log
3
x?x?3
的解的个数及其大致所在区间.





练习5.求方程
2
x
?3x?7
的根大致所在区间.





三、基础能力自测
1
1.函数f(x)＝x＋的零点个数为( )
x
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如果二次函数
y?x?mx?(m?3)
有两个不同的零 点，则
m
的取值范围是（ ）
A．
?
?2,6
?
B．
?
?2,6
?
C．
?
?2,6
?
D．
?
??,?2
?
2
?
6,??
?
< br>3.若函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象 为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若
f(a)f(b)?0，不存在实数
c?(a,b)
使得
f(c)?0
；
B．若f(a)f(b)?0
，存在且只存在一个实数
c?(a,b)
使得
f( c)?0
；
C．若
f(a)f(b)?0
，有可能存在实数
c?( a,b)
使得
f(c)?0
；
D．若
f(a)f(b)?0
，有可能不存在实数
c?(a,b)
使得
f(c)?0
；

4．方程
lgx?x?0
根的个数为（ ）
A．无穷多 B．
3
C．
1
D．
0

5．若
x
1
是方程
lgx?x?3
的解，
x
2是
10?x?3
的解，则
x
1
?x
2
的值为（ ）
x
1
32
B． C．
3
D．
3
23
6．设函数
y?f(x)
的图象在
?
a,b
?
上连续，若满足 ，方程
f(x)?0
在
?
a,b
?
上有实根．
A．

7．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
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A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x
3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx

8．设f(x)＝3
x
＋3x－8，用二分法求方程3
x
＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中 得f(1)<0，f(1.5)>0，
f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定

9．函数f(x)＝x
2
－5的正零点的近似值(精确到0.1)是( )
A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.3

－
10．方程2
x
1
＋x＝5的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

11 ．用二分法研究函数f(x)＝x
3
＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0 .5)>0，可得其中一个零点x
0
∈________，第二次应计算________．以 上横线上应填的内容为( )
A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.25) D．(0,0.5)，f(0.125)

12．用二分法求方程x
2
－5 ＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.



五、课后练习题组
1. 函数
f(x)?(x
2
?2) (x
2
?3x?2)
的零点个数为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.若函数
f(x)
在
?
a,b
?
上连续，且有
f(a)f(b)?0
．则函 数
f(x)
在
?
a,b
?
上（ ）.
A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点 C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定

3. 函数
f(x)?e
x?1
?4x?4
的零点所在区间为（ ）.
A.
(?1,0)
B.
(0,1)
C.
(1,2)
D.
(2,3)


4. 函数
y??x
2
?x?20
的零点为 .

5. 若函数
f(x)
为定义域是R的奇函数，且
f(x)
在
(0,??)
上有一个零点．则
f(x)
的零点个数为 .

6. 求函数
y?x
3
?2x
2
?x?2
的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.

7. 若函数
f(x)
在区间
?
a,b
?
上为减函数，则
f(x)
在
?< br>a,b
?
上（ ）.
A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点 C. 没有零点 D. 至多有一个零点
8. 下列函数图象与
x
轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.



58

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9. 函数
f(x)?2xln(x?2)?3
的零点所在区间为（ ）.
A.
(2,3)
B.
(3,4)
C.
(4,5)
D.
(5,6)


10. 用二分法 求方程
x
3
?2x?5?0
在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得f(2)??1
，
f(3)?16
，
f(2.5)?5.625
，那么下一个有根区间为 .

11. 函数
f(x)?lgx?2x?7
的零点个数为 ，大致所在区间为 .

12.求方程
0.9
x
?0.1x?0
的实数解个数 及其大致所在区间.





















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