高一数学(必修1)专题复习四 函数与方程

高一数学（必修1）专题复习四
函数与方程
一．基础知识复习
1 ．函数的零点：方程
f(x)?0
的根也称作函数
y?f(x)
的零点． < br>（1）方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有
零点 ．
（2）零点存在性定理：如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有
f(a)f(b)?0
，那么函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点．即存在
c?(a,b)
，
使得
f(c)?0
，这个
c
也就是方程的根．
① 定理中 函数
y?f(x)
不一定有唯一的零点，当函数
f(x)
在
(a,b )
上是单调函数时，
有唯一的零点．
② 如果函数
y?f(x)
在 区间
(a,b)
内有零点，不一定有
f(a)f(b)?0
．
2. 二分法：对于在区间
[a
，
b]
上连续且满足
f(a)
·< br>f(b)
?0
的函数
y?f(x)
，通过不
断地把函数
f(x)
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得
到零点近似值 的方法叫做二分法．
3．二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
的零点：
（1）当
??0
时，方程
f(x)?0
有两不等实根，二次函数f(x)
的图象与
x
轴有两个交
点，即有两个零点．
（2）当
??0
时，方程
f(x)?0
有两相等实根，二次函数
f(x)的图象与
x
轴有一个交
点，即有一个零点．
（3）当
??0< br>时，方程
f(x)?0
无实根，二次函数
f(x)
的图象与
x
轴无交点，即无零
点．
4．二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
的实根分布及条件．
2
2
二．训练题目
一．选择题
2
的零点所在的大致区间是（ ）
x
A．
(1,2)
B．
(2,3)
C．
(3,4)
D．
(e,??)

1
x
2．方程
2?
的解
x
0
所在的区间是（ ）
x
A．
(0.1,0.2)
B．
(0.3,0.4)
C．
(0.5,0.7)
D．
(0.9,1)

?
4x?4,x?1
3．函数
f?
x
?
?
?
2
的图象和函数
g
?x
?
?log
2
x
的图象的交点个数是（ ）
x?4x?3,x?1
?
1．函数
f(x)?lnx?
A．4 B．3 C．2 D．1
22
4． 关于
x
的方程
x?1?x?1?k?0
，给出下列四个命题：
??
2
①存在实数
k
，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实 数
k
，使得方程恰有4个不
同的实根；
③存在实数
k
，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数
k
，使得方程恰有8个不
同的实根．

其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
?
x
2
?bx?c,x?0
5．设函数
f(x)?
?
，且
f(?4)?f(0),f(?2)??2
，则关于
x
的方
x?0
?
2,
程
f(x)?x
解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数
y?f(x)
和
y?g(x)
在
[?2,2]
的图象如下图所示
yy
给出下列四个命题：
2
（1）方程
f[g(x)]?0
有且仅有6个根；
2
（2）方程
g[f(x)]?0
有且仅有3个根；
y?f(x)
（3）方程
f[g(x)]?0
有且仅有5个根；
2 ?
1
O
?1
O
2
（4）方程
g[f(x)]?0< br>有且仅有4个根

?1
其中正确的命题个数是（ ）
A．4个 B．3个 C． 2个
?

2
D．1个
1
?
x
2
y?g(x)
2
x
? 2
x
7．设函数
f(x)??(x?R)
，区间
M?[a,b](a ?b)
，集合
1?|x|
N?{y|y?f(x),x?M}
，则使
M?N
成立的实数对
(a,b)
有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
8．函数
y? f(x)
的反函数
y?f(x)
的图象与y轴交于点
P(0,2)
， 则方程
f(x)?0
的
根是
x?
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．设
f( x)
是连续的偶函数，且当
x?0
时
f(x)
是单调函数，则满足< br>f(x)?f
?
的所有
x
之和为（ ）
A．
?3
B．
3

a
?1?
x?3
?
?
?
x?4
?
C．
?8

b
D．
8

c
?
1
?
?
1
?
10．设
a,b,c
均为 正数，且
2?log
1
a
，
??
?log
1
b
，
??
?log
2
c
．则（ ）
?< br>2
?
?
2
?
2
2
A．
a?b?c< br> B．
c?b?a
C．
c?a?b
D．
b?a?c

2
11．已知函数
f(x)?2mx?2(4?m )x?1
，
g(x)?mx
，若对于任一实数
x
，
f(x)
与
g(x)
至少有一个为正数，则实数
m
的取值范围是（ ）
A．
(0,2)
B．
(0,8)
C．
(2,8)
D．
(??,0)

?
1
?
x?1
，x?1
2
12．设定义域为
R
的函数< br>f(x)?
?
，若关于
x
的方程
f(x)?bf(x)?c? 0

?
1， x?1
?
222
有3个不同的整数解< br>x
1
,x
2
,x
3
，则
x
1
?x
2
?x
3
等于（ ）
2b
2
?22c
2
?2
A．5 B． C．13 D．
22
bc

二．填空题
1．已知
y?f(x)
是偶函数，且其图象C与
x
轴有4个交点，则方程
f(x)?0
的所有实
根之和为 ．
?
2
1?x
?a,x?0
2．设
f(x)?
?
，若
f(x)?x
有且只有两个实数根，则实数
a
的取值范
?
f(x?1),x?0
围是_ __．
3．已知关于
x的方程
x?(2m?8)x?m?16?0
的两个实根
x
1
,x
2
满足
x
1
?
则实数
m
的取值范围___ ____________．
4．二次函数
y?ax?bx?c
中，
ac? 0
，则函数的零点个数为 ．
5．若方程
ax?2x?1?0
至少有一个负数根，则实数
a
的取值范围_______________．
6． 关于
x
的方程
|x?4x?3|?a?x
恰有三个不同的实根，则实数
a
的取值范围_____．
7．已知
x
1
是方程
x?l gx?27
的解，
x
2
是方程
x?10?27
的解，则x
1
?x
2
?

三．解答题
1．确定下列方程的解的个数
（1）
lgx?2x?6
（2）
x?3x?1?0

（3）
3?lnx?0
（4）
e?x?8x















x
思 考：方程
a?log
a
x
(a?0
且
a?1)
的解 的个数．












x?1x2
3
x
2
2
22
3
?x
2
，
2
2

2．如果二次函数
f(x)?mx?(m?3)x?1
的图象与
x
轴的交点至少有一个在原点的 右
侧，试求
m
的取值范围．











2
3．已知a是实数，函数
f
?
x
?
?2ax?2x?3?a
，如果函数
y? f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上
有零点，求a的取值范围．
















2
4．已知二次函数
f(x)?ax?bx(a?0)
满足条件：
f(x?1) ?f(3?x)
且方程
2
f(x)(?2x
有等根．
（1）求f(x)
的解析式；（2）是否存在实数
m,n
(m?n)
，使
f(x)
定义域和值域分别为
[m,n]
和
[4m,4n]
，如果存 在，求出
m,n
的值；如果不存在，说明理由．