高中数学看什么书能提高-高中数学可导函数三段论
基本初等函数
一.【要点精讲】
1.指数与对数运算
(1)根式的概念:
①定义:若一个数的
n
次方等于
a(n?1,
且n?N)
,则这个数称
a
的
n
次方根。即若
?
x
n
?a
,则
x
称
a
的
n
次方根<
br>n?1且n?N
?
)
,
1)当
n
为奇数时,
a的n
次方根记作
n
a
;
2)当
n
为偶数时,
负数
a
没有
n
次方根,而正数
a
有两个
n
次方根且互为相反数,记作
?
n
a(a?0)
n
n
n
②性质:1)
(
n
a)?a
;2)当
n
为奇数
时,
a?a
;
3)当
n
为偶数时,
n
a?|a|
?
?
(2).幂的有关概念
?
a(a?0)
。
?
?a(a?0)
0
①规定:1)
a?a?a???a(n?
N;2)
a?1(a?0)
;
*
n
n个
3)
a
?p
1
?
p
(p?
Q,4)
a
n
?
n
a
m
(a?0,m
、
n?N
*
且
n?1)
a
rsr?s
m
②性质:1)
a?a?a
2)
(a)?a
r
rsr?s
(
a?0,r
、
s?
Q);
(a?0,r
、
s?
Q);
r
3)
(a?b)?a?b(a?0,b?0,r?
Q)。
(注)上述性质对r、
s?
R均适用。
(3).对数的概念
①定
义:如果
a(a?0,且a?1)
的
b
次幂等于N,就是
a
b
?N
,那么数
b
称以
a
为底N的
对数,记作log
a
N?b,
其中
a
称对数的底,N称真数
1)
以10为底的对数称常用对数,
log
10
N
记作
lgN
;
2)以无理数
e(e?2.71828?)
为底的对数称自然对数,
log<
br>e
N
,记作
lnN
;
②基本性质:
1)真数N为正数(负数和零无对数);2)
log
a
1?0
;
1
r
logN
3)
log
a
a
?1
;4)对数恒等式:
a
a
?N
。
③运算性质:如果
a?0,a?0,M?0,N?0,
则
1)
lo
g
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
; 2)
log
a
M
?log
a
M?log
aN
;
N
n
3)
log
a
M?nlog
a
M(n?
R)
④换底公式:
log
a
N?
l
og
m
N
(a?0,a?0,m?0,m?1,N?0),
log
m
a
n
log
a
b
。
m
1)
log
a
b?log
b
a?1
;2)
log
a
m
b
n
?
2.指数函数与对数函数
(1)指数函数:
①定义:函数
y?a(a?0,且a?1)
称指数函数,
1)函数的定义域为R;2)函数的值域为
(0,??)
;
3)当
0?a?1
时函数为减函数,当
a?1
时函数为增函数。
②函数图像:
1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限;
2)指数函数都以
x
轴为渐近线(当
0?a?1
时,图象向左无限接近
x
轴,当
a?1
时,图
象向右无限接近
x
轴);
3)对于相同的
a(a?0,且a?1)
,函数
y?a与y?a
③函数值的
变化特征:
0?a?1
①
x?0时0?y?1
,
②
x?0时y?1
,
③
x?0时y?1
x?x
x
的图象关于
y
轴对称
a?1
①
x?0时y?1
,
②
x?0时y?1
,
③
x?0时0?y?1
,
2
(2)对数函数:
①定义:函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
称对数函数,
1)函数的定义域为
(0,??)
;2)函数的值域为R;
3)当
0?a?1
时函数为减函数,当
a?1
时函数为增函数; <
br>4)对数函数
y?log
a
x
与指数函数
y?a(a?0,且
a?1)
互为反函数
②函数图像:
1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限;
x
2)对数函数都以
y
轴为渐近线(当
0?a?1
时,图象向上无限接近
y
轴;当
a?1
时,图
象向下无限接近
y
轴);
4)对于相同的
a(a?0,且a?1)
,函数
y?log
a
x与
y?log
1
x
的图象关于
x
轴对称。
a
③函数值的变化特征:
a?1
0?a?1
①
x?1时y?0
, ①
x?1时y?0
,
②
x?1时y?0
, ②
x?1时y?0
,
③
0?x?1时y?0
.
③
x?0时0?y?1
.
(3)幂函数
1)掌握5个幂函数的图像特点
2)a>0时,幂函数在第一象限内恒为增函数,a<0时在第一象限恒为减函数
3)过定点(1,1)当幂函数为偶函数过(-1,1),当幂函数为奇函数时过(-1,-1)
当a>0时过(0,0)
4)幂函数一定不经过第四象限
3
四.【典例解析】
题型1:指数运算
?
?
3
?
4
0.50.25
例1.(1)计算:
[(3)
3
(5)?(0.008)
3
?(0.02)
2
?(0.32)<
br>2
]?0.0625
;
89
22
11
(2)化简:
a?8ab
4b?2
3
ab?a
2
4
3
1
3
2
3
2
3
?(a
?
2
3
2
3
ba?
3
a
2
。
?)?
5
a
a?
3
a
2
1
8491000
3
42
625
4
)?50?]?()
解:(1)原式=
[()
3
?()
2
?(
27981010000
1
471421172
?[??25??]??(??2)?2?
;
93299
52
10
(2)原式=
a[(a)?(2b)]
(a)?a?(2b)?(2b)
1
3
2
1
3
1
3
1
3
2
1
3
1
3
3
1
3
3
?
a?2b(a?a)<
br>?
1
11
a
(a
2
?a
3
)
5
2
3
1
3
1
3
2
3
1
2
?a(a?2b)?
1
3
1
3
1
3
a
a?2b
1
3
1
3
?
a
a5
6
1
6
?a?a?a?a
2
。
1
3
点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运
算性
质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂运算时,
化负指数为正指
数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。
例2.(1)已知
x?
x
1
2
1
2
1
2
?
1
2
?3
,求
x
2
?x
?2
?2
x?x
32
?
3
2
的值
?3
解:∵
x?x
∴
(x?x
1
2
?
?
?3
,
1
2
2
)?9
,
∴
x?2?x
?1
?9
,
∴
x?x
?1
?7
,
∴
(x?x)?49
,
2?2
∴
x?x?47
,
?12
又∵
x?x
3
2
?
3
2
?
(x?x)?(x?1?x
?1
)?3?(7?1)?18
,
1
2
?
1
2
4
∴
x<
br>2
?x
?2
?2
x?x
3
2
?
3<
br>2
?
?3
47?2
?3
。
18?3
点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。
题型2:对数运算
(2).(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数
y?f(x)
的图象经过点
(?2,?
1
)
,则满足
f(x
)
=27的
x
的值是 .
8
1
答案
3
例3.计算
(1)
(lg2)?lg2?lg50?lg25
;(2)
(log
3
2?log
9
2)?(log
4
3?log
8
3)
;
2
lg5?lg8000?(lg2
3
)
2
(3)
11
lg600?lg0.036?lg0.1
22
解:(1)原式
?(l
g2)?(1?lg5)lg2?lg5?(lg2?lg5?1)lg2?2lg5
?(1?1)lg2?2lg5?2(lg2?lg5)?2
;
22
(2)
原式
?(
lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3
?)?(?)?(?)
?(?)
lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2
3lg25l
g35
??
;
2lg36lg24
2
?
(3)分子=
lg5(3?3lg2)?3(lg2)?3lg5?3lg2(lg5?
lg2)?3
;
分母=
(lg6?2)?lg
3616
??lg6?2?lg?4
;
100010100
?
原式=
3
。
4
点评:这是
一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数
式运算是学习数学的基本功
,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变
换的各种技巧
222
例4.设
a
、
b
、
c
为正数,且满足
a?b?c
b?ca?c
)?log
2
(1?)?1
;
ab
b?c2
(2)若
log
4
(1?)?1
,
l
og
8
(a?b?c)?
,求
a
、
b
、
c
的值。
a3
(1)求证:
log
2
(1?
5
证明:(1)左边
?log
2
a?b?ca?b?ca?b?
ca?b?c
?log
2
?log
2
(?)
ab
ab
(a?b)
2
?c
2
a
2
?2ab?b
2
?c
2
2ab?c
2
?c
2
?log
2
?log
2
?log
2
?log
2
2?1
;
ababab
解:(2)由
log
4
(1?
b?cb
?c
)?1
得
1??4
,
a
a
2
∴
?3a?b?c?0
……………①
2<
br>由
log
8
(a?b?c)?
得
a?b?c?8
3<
br>?4
………… ……………②
3
由①
?
②得
b?a?2
……………………………………③
由①得
c?3a?b
,代入
a
2
?b
2
?
c
2
得
2a(4a?3b)?0
,
∵
a?0
,
∴
4a?3b?0
………………………………④
由③、④解得
a?6
,
b?8
,从而
c?10
。
点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化简到最
见形式
再来处理即可。
题型3:指数、对数方程
例5.(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)
?2
x
?b
已知定义域为
R
的函数
f(x)?
x?1
是奇函数.
2?a
(1)求
a,b
的值;
(2)若对任意的
t?R<
br>,不等式
f(t?2t)?f(2t?k)?0
恒成立,求
k
的取值范
围.
22
?1?b
?0,解得b?1
2?a
1
??1
x
?2?1
?2?1
.
又由
f(1)??f(?1)知
从而有
f(x)?
x?1
,解得a?2
??
2
2?a
4?a1?a
?2
x<
br>?111
???
x
,
(2)解法一:由(1)知
f(x)?
x?1
2
2?12?2
由上式易知
f(x)
在R上为减函数
,又因
f(x)
是奇函数,从而不等式
f(t
2
?2t)?f(2
t
2
?k)?0
等价于
f(t
2
?2t)??f(2t2
?k)?f(?2t
2
?k).
解 (1) 因为f(x)
是R上的奇函数,所以
f(0)?0,即
因
f(x)
是
R上的减函数,由上式推得
t
2
?2t??2t
2
?k.
即对一切
t?R有3t?2t?k?0,
从而
??4?12k?0,解得k?
?
2
1
3
?2
x
?1
,
解法
二:由(1)知
f(x)?
x?1
2?2
22
?2
t?2t
?1?2
2t?k
?1
又由题设条件得
2
?
2t<
br>2
?k?1
?0
t?2t?1
2?22?2
即(2
2t
2
?k?1
?2)(?2
t
2
?2t
?1)?(2
t
2
?2t?1
?2)(?2
2t
2
?k
?1)?0
整理得
2
3t
2
?2
t?k
?1
,因底数2>1,故
3t
2
?2t?k?0
6
上式对一切
t?R
均成立,从而判别式
??4
?12k?0,解得k??.
例6.(2008广东 理7)
设
a?R
,若函数
y?e?3x
,
x?R
有大于零的极值点,则(
B )
A.
a??3
B.
a??3
ax
ax
1
3
C.
a??
1
3
D.
a??
ax
1
3
【解
析】
f'(x)?3?ae
,若函数在
x?R
上有大于零的极值点,即
f'(x)?3?ae
有正根。当有
f'(x)?3?ae
ax
?0
?0
成立时,显然有
a?0
,此时
x?
13
ln(?)<
br>,由
x?0
我们马
aa
上就能得到参数
a
的范围为<
br>a??3
.
点评:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不
含指数、对数
因式的普通等式或方程的形式,再来求解。
题型4:指数函数的概念与性质 <
br>x?1
?
?
2e,x<2,
例7.设
f(x)?
?<
br>则f(f(2))的值为
( )
2
?
?
log
3
(x?1),x?2.
A
.0
B
.1
C
.2
D
.3
2
解:C
;
f(2)?log
3
(2?1)?1
,
f(f(2
))?2e
0?1
?
2
。
e
点评:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值
?1
f(logx
)?x?x(a?0,且a?1)
试求函数
f
(
x
)的单调区间。
a
例8.已知
解:令
log
a
x?t
,则
x
=
a
t
,t∈R。
?tx?x
?
f(t)?a
?af(x)?a?a
所以即,(
x
∈R)。
因为
f
(-
x
)=
f
(
x
),所以
f
(
x<
br>)为偶函数,故只需讨论
f
(
x
)在[0,+∞)上的单调性。 任取
x
1
,
x
2
,且使
0?x
1?x
2
,则
f(x
2
)?f(x
1
)
?(a
x2
?a
?x
2
)?(a
x
1
?a
?x
1
)
(a
x
1
?a
x
2
)(1?a
x
1
?
x
2
)
?
a
x
1
?x
2
x
1
x
2
x
1
?x
2
?1
,所以
f(x
2
)?f(x
1
)?0
,(1)当
a
>1时,由
0?x
1
?x
2
,有
0?a?a
,
a
即
f
(
x
)在[0,+∞]上单调递增。
x
1
x
2
x
1<
br>?x
2
?1
,(2)当0<
a
<1时,由
0?x1
?x
2
,有
0?a?a
,
a
所以
f
(x
2
)?f(x
1
)?0
,
即
f
(x
)在[0,+∞]上单调递增。
综合所述,[0,+∞]是
f
(x
)的单调增区间,(-∞,0)是
f
(
x
)的单调区间。 <
br>点评:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数
的性质来
处理。特别是分
a?1,0?a?1
两种情况来处理。
7
题型5:指数函数的图像与应用
例9.若函数
y?()
|1
?x|
?m
的图象与
x
轴有公共点,则m的取值范围是( )
1
2
A
.m≤-1
B
.-1≤m<0
C
.m≥1
D
.0
解:?y?()
|1?x|
2
?
1
x?1
?
(2
)
?
?
?
2
x?1
?
(x?1)<
br>,
(x?1)
画图象可知-1≤m<0。
答案为
B
。 <
br>点评:本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征,解题的出发点仍然是
a?1,0,a?1两
种情况下函数
y?a
的图像特征。
|x?1|?|x?1|
,求使f(x)?22x
的取值范围。 例10.设函数f(x)?2
x
解:由于
y?2
是增函数,
f(x)?22等价于
|x?1|?|x?1|?
1)当
x?1
时,
|x?1|
?|x?1|?2
,
?
①式恒成立;
2)当
?1?x?1
时,
|x?1|?|x?1|?2x
,①式化为
2x?
3)当
x??
1
时,
|x?1|?|x?1|??2
,①式无解;
综上
x
的取值范围是
?
,??
?
。
x
3
①
2
33
,即
?x?1
;
24
?
3
?
4
?
?
点评:处理含有指数式
的不等式问题,借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为
普通不等式问题(一元一次、一元二次
不等式)来处理
题型6:对数函数的概念与性质
例11.(1)函数
y?log
2
x?2
的定义域是( )
A
.
(3,??)
B
.
[3,??)
C
.
(4,??)
D
.
[4,??)
2?xx2
,则
f()?f()
的定义域为( )
2?x2x
(-4,0)?(0,4)
A
.
B
.(-4,-1)
?
(1,4)
C
.(-2,-1)
?
(1,2)
D
.(-4,-2)
?
(2,4)
(2)(2006湖北)设f(x)
=
lg
解:(1)
D
(2)
B
。 <
br>点评:求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围,在对数函数中只有真数
大于零时
才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。
例12.(2009广东三校一模)设函
数
f
?
x
?
?
?
1?x
?
?2l
n
?
1?x
?
.
2
(1)求
f
?
x
?
的单调区间;
8
(2)若当
x?
?
?1,e?1
?
时,(其
中
e?2.718?
)不等式
f
?
x
?
?m
恒成立,求实数
m
的取
值范围;
(3)试讨论关于
x
的
方程:
f
?
x
?
?x?x?a
在区间
?
0
,2
?
上的根的个数.
2
?
1
?
e
?
?
解 (1)函数的定义
域为
?
?1,??
?
,
f
?
?
x
?
?2
?
?
x?1
?
?
由
f
?<
br>?
x
?
?0
得
x?0
; ?
?
1
?
2x
?
x?2
?
?
. 1分
?
x?1
?
x?1
2分
由
f
?
?
x
?
?0
得
?1?x?
0
,
3分
则增区间为
?
0,??
?
,减区间为
?
?1
,0
?
.
(2)令
f
?
?
x
?
?
增,
4分
2x
?
x?2
?
?
1
?
?0,
得
x?0
,由(1)知<
br>f
?
x
?
在
?
?1,0
?
上递减,
在
?
0,e?1
?
上递
x?1
?
e
? 6分
8分 由
f
?
1
?
1
?
1
?1
?
?
2
?2,f
?
e?1
?
?e
2
?2
,且
e2
?2?
2
?2
,
e
?
e<
br>?
e
?
1
?
?x?
?
?1,e?1
?
时,
f
?
x
?
的最大值为
e
2
?2
,故
m?e
2
?2
时,不等式
f
?
x
?
?m
恒成
?
e
?
立.
9分
2
(3)方程
f
?
x
?
?x?x?a,即
x?1?2ln
?
1?x
?
?a
.记
g?
x
?
?x?1?2ln
?
1?x
?
,则 <
br>g
?
?
x
?
?1?
2x?1
.由
g
?
?
x
?
?0
得
x?1
;由
g<
br>?
?
x
?
?0
得
?1?x?1
.
?
1?xx?1
所以g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.
而g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1)
10分
所以,当a>1时,方程无解;
当3-2ln3<a≤1时,方程有一个解,
当2-2ln2<a≤a≤3-2ln3时,方程有两个解;
当a=2-2ln2时,方程有一个解;
当a<2-2ln2时,方程无解.
13分
字上所述,a
?(1,??)?(??,2?2ln2)
时,方程无解;
a?(3?2ln3,1]
或a=2-2ln2时,方程有唯一解;
14分
a?(2?2ln2,3?2ln3]
时,方程有两个不等的解.
例13.当
a
>1时,函数
y
=log
a
x
和
y
=(1-
a
)
x
的图象只可能是( )
9
y
o
1
y
x
A
o
1<
br>y
y
o
1
x
B
x
C
o
1<
br>x
D
解:当
a
>1时,函数
y
=log<
br>a
x
的图象只能在
A
和
C
中选,
又
a
>1时,
y
=(1-
a
)
x
为减函数。
答案:
B
点评:要正确识别函数图像,一是熟悉各种基本函数的图像,二是
把握图像的性质,根据
图像的性质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性
例14.设
A
、
B
是函数
y
=
log
2
x
图象上两点,
其横坐标分别为
a
和
a
+4, 直线
l
:
x
=
a
+2与
函数
y
=
log
2
x
图象交于点
C
,
与直线
AB
交于点
D
。
(1)求点
D
的坐标;
(2)当△
ABC
的面积大于1时, 求实数
a
的取值范围
解:(1)易知
D
为线段
AB
的中点,
因
A
(
a
, log
2
a
),
B
(
a
+4, log
2
(
a
+4)),
所以由中点公式得
D
(
a
+2,
log
2
a(a?4)
)。
(a?2)
2
(2)S△
ABC
=S
梯形
AA
′
CC
′
+S
梯形
CC
′
B
′
B
-
S
梯形
AA
′
B
′
B
=…=
log
2
,
a(a?4)
其中
A
′,
B
′,
C
′为
A
,
B
,
C
在
x<
br>轴上的射影。
(a?2)
2
由S
△
ABC
=
log
2
>1, 得0<
a
<2
2
-2。
a(
a?4)
点评:解题过程中用到了对数函数性质,注意底数分类来处理,根据函数的性质来处理复
杂问题。
题型8:指数函数、对数函数综合问题
例15.在
xOy
平面
上有一点列
P
1
(
a
1
,
b
1
)
,
P
2
(
a
2
,
b
2
),…,<
br>P
n
(
a
n
,
b
n
)…,对每个自
然数
n
点
P
n
位于函数
y
=2000(
a
x
)(0<
a
<1)的图象上,且点
P
n
,点(<
br>n
,0)与点(
n
+1,0)构成一个以
P
n
为顶点
的
10
等腰三角形。
(1)求点
P
n
的纵坐标
b
n
的表达式;
(2)若对于每个自然数
n
,以
b
n
,
b
n+1
,
b
n
+2
为边长能构成一个三角形,求
a
的取值范围;
*
(3)设
C
n
=lg(
b
n<
br>)(
n
∈N),若
a
取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{<
br>C
n
}前多少项的和
最大?试说明理由
1a
n?
解
:(1)由题意知:
a
n
=
n
+,∴
b
n
=2000()
2
。
2
10
a
x
)(0<
a
<10)递减,
10
∴对每个自然数
n
,有
b
n
>
b
n<
br>+1
>
b
n
+2
。
则以
b
n,
b
n
+1
,
b
n
+2
为边长能构成
一个三角形的充要条件是
b
n
+2
+
b
n
+1>
b
n
,
a
2
a
即()+()-1>0,
1010
(2)∵函数
y
=2000(
10
1
解得
a
<-5(1+
2
)或
a
>5(
5
-1)。
∴5(
5
-1)<
a
<10。
(3)∵5(
5
-1)<
a
<10,∴
a
=7 <
br>7
n?
∴
b
n
=2000()
2
。数列{<
br>b
n
}是一个递减的正数数列,
10
对每个自然数
n
≥2,
B
n
=
b
n
B
n
-1
。
于是当
b
n
≥1时,
B
n
<
B
n
-1
,当
b
n
<1时,
B
n
≤
B
n
-1
,
因此数列{
B
n
}的最大项的项数n
满足不等式
b
n
≥1且
b
n
+1
<
1,
1
7
n?
由
b
n
=2000()
2
≥1得:
n
≤20。
10
∴
n
=20。
点评:本题题设从函数图像入手,体现数形结合的优越性,最终还是根据函数性质结合数
列知识,以及
三角形的面积解决了实际问题。
例16.已知函数
f(x)?log
a
(a
x?
(1)求函数
f
(
x
)的定义域;
(2)若
a
=2,试根据单调性定义确定函数
f
(
x
)的单调性
(
3)若函数
y
=
f
(
x
)是增函数,求
a
的取值范围。
解:(1)由
ax?
∵
a
>0,
x
≥0
x?0
?
?
?
?
x?ax
22
1
x)(a?0,a?1
为常数)
x?0得x?ax
?x?
1
a
2
∴
f
(
x)的定义域是
x?(
1
,??)
。
2
a
x)
(2)若
a
=2,则
f(x)?log
2
(2x?
设
x
1
?x
2
?
1<
br> , 则
4
(2x
1
?x
1
)?(2x
2
?x
2
)?2(x
1
?x
2
)?(x
1<
br>?x
2
)?(x
1
?x
2
)[2(x
1?x
2
)?1]?0
?f(x
1
)?f(x
2
)
故
f
(
x
)为增函数。
11
(3)设
x
1
?x
2
?
1
a
2
则
ax
1
?ax
2
?1
?(ax
1
?x<
br>1
)?(ax
2
?x
2
)?a(x
1
?x<
br>2
)?(x
1
?x
2
)?(x
1
?x
2
)[a(x
1
?x
2
)?1]?0
?ax
1
?x
1
?ax
2
?x
2
①
∵
f
(
x
)是增函数,
∴
f
(x
1
)>
f
(
x
2
)
即
l
og
a
(ax
1
?x
1
)?log
a
(a
x
2
?x
2
)
②
联立①、②知
a
>1,
∴
a
∈(1,+∞)。
点评:该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题,我们抓住对数函数的特点,结合一般
函数求定义域、
单调性的解题思路,对“路”处理即可
题型9:课标创新题
例17.对于在区间
?
m,n
?
上有意义的两个函数
f
(
x
)与
g
(
x
),如果对任意的
x?
?
m,n
?
,均
有
f(x)?g(x)?1
,则称
f
(
x
)与
g
(
x
)在
?
m,n
?
上是接近的,否则
称
f
(
x
)与
g
(
x
)在
?m,n
?
上是
非接近的,现有两个函数
f
1
(x)?l
og
a
(x?3a)
与
f
2
(x)?log
a?
a?2,a?3
?
。
1
(a?0,a?1)
,给定
区间
x?a
(1)若
f
1
(x)
与
f
2<
br>(x)
在给定区间
?
a?2,a?3
?
上都有意义,求
a
的取值范围;
(2)讨论
f
1
(x)
与
f<
br>2
(x)
在给定区间
?
a?2,a?3
?
上是否是接
近的。
解:(1)两个函数
f
1
(x)?log
a
(x?
3a)
与
f
2
(x)?log
a
1
(a?0,a?
1)
在给定区间
x?a
?
a?2,a?3
?
有意义,因为函
数
y?x?3a
给定区间
?
a?2,a?3
?
上单调递增,
函数在
y?
1
给定区间
?
a?2,a?3
?
上恒为
正数,
x?a
?
a?0
?
?0?a?1
; 故有意义当且
仅当
?
a?1
?
(a?2)?3a?0
?
(2)构造函数<
br>F(x)?f
1
(x)?f
2
(x)?log
a
(x
?a)(x?3a)
,
对于函数
t?(x?a)(x?3a)
来讲, <
br>显然其在
(??,2a]
上单调递减,在
[2a,??)
上单调递增。
且
y?log
a
t
在其定义域内一定是减函数
由于
0?a?1
,得
0?2a?2?a?2
12
所以原函数在区间
[a?2,a?3]
内单调递减,只需保证
?
|F(a?2)|?|log
a
4(1?a)|?1
?
?
|F(a?3)|?|log
a
3(3?2a)|?1
1
?
a?4(1?a)?
?
?
a
?
?
?<
br>3(3?2a)?
1
?
a
?
当
0?a?
9?
57
时,
f
1
(x)
与
f
2
(x)
在区间
?
a?2,a?3
?
上是接近的;
12
时,f
1
(x)
与
f
2
(x)
在区间
?<
br>a?2,a?3
?
上是非接近的 当
a?
9?57
12点评:该题属于信息给予的题目,考生首先理解“接近”与“非接近”的含义,再对含有
对数式的函
数的是否“接近”进行研究,转化成含有对数因式的不等式问题,解不等式即可。
22
例18
.设
x?1
,
y?1
,且
2log
x
y?2log
y
x?3?0
,求
T?x?4y
的最小值。
解:令
t?log
x
y
,
∵
x?1
,
y?1
,∴
t?0
。
由
2log
x
y?2log
y
x?3?0
得
2t?
2
?3?0
,∴
2t
2
?3t?2?0
,
t
1
11
∴
(2t?1)(t?2)?0
,∵
t
?0
,∴
t?
,即
log
x
y?
,∴
y?
x
2
,
2
2
∴
T?x?4y?x?4x?(x?2)?4
,
∵
x?1
,∴当
x?2
时,
T
min
??4
。
点评:对数函数结
合不等式知识处理最值问题,这是出题的一个亮点。同时考察了学生的
变形能力。
例19.(
2009陕西卷文)设曲线
y?x
横坐标为
x
n
,则
x1
?x
2
?L?x
n
的值为
A.
n?12222
(n?N
*
)
在点(1,1)处的切线与x轴的交点的
11n
B. C. D.1
nn?1n?1
n?1
答案 B
解析 对
y?x(n?N<
br>*
)求导得y
'
?(n?1)x
n
,令
x?1
得在点(1,1)处的切线的斜率
13
k?n?1
,在点 (1,1)处的切线方程为
y?1?k(x
n
?1)?(n?1)(x
n
?1)
,不妨设
y?0
,
x
n
?
n
n?1
则
x
1
?x
2
?
L
123n?1
n1
, 故选 B.
?x
n
????...???
234nn?1n?1
五.【思维总结】
1.
n
N?a,a?N,log
a
N?
b
(其中
N?0,a?0,a?1
)是同一数量关系的三种不同
表示形式,因
此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化,选择最好的形式进行运算.
在运算中,根式常常化为
指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同底;
2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式
;进行数式运算的难点是运用各种变换技巧,
如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、
换元等等,这些都是经常使用的变换
技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验;
3.解决
含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质,更关
键是熟练运用指数与对
数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识;
4.指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构
表中的12个小点)是解决含指数、对数
式的问题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的
水平,在使用时常常还要结合
指数、对数的特殊值共同分析;
5.含有参数的指数、对数函数
的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分类方案
是以“底”大于1或小于1分类;
6.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函数(特
别是二次函
数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,
因此要努力提高综合
能力
b
14
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