人教版高中数学必修1反函数的概念和求法教案

§2.4.1 反函数的概念及求法
[教学目的]
使学生了解反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数.
[重点难点]
反函数的定义和求法.
[教学设想]
1.教法：讲授法；
2.学法：启发学生观察、思考、分析和讨论；
3.课时：1课时.
[教学过程]
一、复习引入
⒈复习：⑴函数的定义（近代定义和传统定义）；
⑵求下列函数的定义域和值域：①y=x
2
+1; ②y=2x-3;③y=5(3x-1); ④
y=
x
+2; ⑤y=(x+2)(2x-1).
答案：①x∈R,y≥1;②x∈R,y∈R;③x≠13,y≠0 ;④x≥0,y≥2;⑤x≠12,y
≠12.
⒉引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位 移s是时间t的函数，即s=vt,
其中速度v是常量,定义域t≥0,值域s≥0；反过来，也可以由 位移s和速度v
（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即t=sv，这时，位移s是自变量，
时间t是位移s的函数,定义域s≥0,值域t≥0.
又如，在函数y=2x+6中，x是自变量，y是x的函数，定义域x∈R，值域y
∈R. 我们从函数y=2x+6中解出x，就可以得到式子x=y2-3. 这样，对于y在R
中任何一个值，通过式子x=y2-3，x在R中都有唯一的值和它对应. 因此，它
也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是y∈R，值域是x∈R.
综合上述，我们由函数s=vt得出了函数t=sv；由函数y=2x+6得出了函数
x=y2-3，不 难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：
⑴它们的对应法则是互逆的；⑵它们 的定义域和值域相反：即前者的值域是后者
的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函
数. 今天我们就来学习这种函数.

二、学习、讲解新课
⒈ 反函数的定义
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用
y把x表示出，得到x=
?
(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过 x=
?
(y)，x
在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=
?
(y )就表示y是自变量，x是自变量y
的函数，这样的函数x=
?
(y)(y∈C)叫做 函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作
x=f
-1
(y). 反函数y=f
-1
(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
说明：⑴在函数x=f
-1
(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用
x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f
-1
(y)中的字母x,y，< br>把它改写成y=f
-1
(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这 种经过
改写的形式.
⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对 于任
意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f
-1
(x)，那
么函数y=f
-1
(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说， 函数y=f(x)与y=f
-1
(x)互为反
函数.
⑶从映射的定义可知， 函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函
数y=f
-1
(x)是集合 C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反
函数y=f
-1
( x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f
-1
(x)的定义域（如
下表）：

定义域
值 域
函数y=f(x)
A
C
反函数y=f
-1
(x)
C
A
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到 值域“上”的“一一映射”，
那么由f的“逆”映射f
-1
所确定的函数x=f
-1
(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反
函数x=f
-1
(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f
-1
(t )=tv，
同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f
-1
(x )=x2-3.
⒉ 反函数的求法
由前边的例子和反函数的定义不难看出，欲求函数y=f(x)的反函数，可按下

列步骤进行：
①确定函数y=f(x)的定义域和值域；
②视y=f(x)为关于x的方程，解方程得x=f
-1
(y);
③互换x,y得反函数的解析式y=f
-1
(x)；
④写出反函数的定义域（原函数的值域）.
例1 (P
66
例1)求下列函数的反函数：
⑴ y=3x-1(x∈R); ⑵ y=x
3
+1(x∈R); ⑶ y=
x
+1(x≥0);
⑷ y=(2x+3)(x-1)(x∈R,且x≠1).
解：⑴①∵x∈R，∴y∈R. ②由y=3x-1解得x=(y+1)3, ③∴函数y=3x-1(x
∈R)的反函数是y=(x+1)3 ，④所求反函数的定义域是
x∈R;（若给出f(x)=3x-1，则得f
-1
(x)=(x+1)3(x∈R)）
⑵①∵x∈R，∴y∈R. ②由y=x
3
+1解得x=
3
y?1
, ③④∴函数y=x
3
+1(x∈R)
的反函数是y=f
-1
(x)=
3
x?1
(x∈R);
⑶①∵x≥0，∴y≥1. ②由y=
x
+1解得x=(y-1)
2
, ③④∴函数y=
x
+1(x
≥0)的反函数是y=f
-1
(x)=(x-1)
2
(x≥1);
⑷①∵x∈{x∈R|x≠1}，∴y∈{y∈R|y≠2}.②由y=(2x+3)( x-1)解得
x=(y+3)(y-2), ③④∴函数y=(2x+3)(x-1)(x∈R,且x≠ 1)的反函数是
y=f
-1
(x)=(x+3)(x-2) (x∈R,且x≠2).
说明：⑴求函数y=f(x)的反函数的一般步骤就是上述的四步，书写时③④两
步可并作一步 ，以后熟悉了,具体的步骤可省略不写.
⑵反函数的定义域不是看反函数的解析式得到的，而是求原 来函数的值域而
得反函数的定义域，这一点绝不能混淆.
?
x
2
? 1(x?0)
例2(补充)求函数y=
?
的反函数.
?
x?1(x ?
2
0)
解：当x≥0时，y≥1，由y=x+1得x=
y?1
( y≥1)；当x<0时，y<1，由
?
x?1(x?1)
y=x+1得x=y-1(y <1). 将x,y对换得y=f(x)=
?
.
x?1(x?1)
?
-1
说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.
⒊目标检测
课本P
68
练习：1—4.
答案：⒈y=-x2+32(x∈R); ⒉y=-2x (x∈R,且x≠0);

⒊y=
x
(x≥0); ⒋y=5x(1-3x) (x∈R,且x≠13)
三、小 结
⒈反函数的定义
由反函数的定义可以看出：对于y 取C中任一值都可 以得到唯一的x值(x
∈A)，由此可知，只有确定函数y=f(x)的映射是一一映射才能有反函数; 由函数
图象看，应当是单调的.
⒉y=f(x)的反函数是y=f
-1
(x )，反之，y=f
-1
(x)的反函数是y=f(x)，它们互
为反函数，它们的定义 域、值域相反，对应法则互逆.
⒊求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是：
①确定函数y=f(x)的定义域和值域；
②视y=f(x)为关于x的方程，解方程得x=f
-1
(y);
③互换x,y得反函数的解析式y=f
-1
(x)；
④写出反函数的定义域（原函数的值域）.
⒋求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.
四、布置作业
(一)复习：课本内容，熟悉巩固有关概念和方法.
(二)书面：课本P
68
习题2.4：1⑴-⑻.
答案：⑴y=-x4+3 4(x∈R);⑵y=
3
x?4
(x∈R);⑶y=-
x
(x≥0) ;
⑷y=(3x-1)(1-x)(x≠1);⑸y=-(x+3)(5x-2)(x≠25); < br>⑹y=(3x+1)(5x-4)(x≠45);⑺y=2(x-1)
3
+1(x∈R) ;
⑻y=x
2
2+2(x≥0).
(三)思考题：设函数y=f(x)的反函数为y=g(x)，求y=f(-x)的反函数.
解：在函数y=f(-x)中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x=f
-1
(y), ∴
x=-f
-1
(y)，∴y=f(-x)的反函数为y=-f
-1
( x)，又∵g(x)= f
-1
(x),∴y=f(-x)的反函
数为y=-g(x).
(四)预习：