高一升高二暑假数学补课资料(专题三)

专题三、函数的单调性与最值
一、基础知识
1、单调函数的定义

增函数

减函数
一般地，设函数
f
(
x
)的定义域为
I
，如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意 两个自
变量
x
1
，
x
2

定义

当
x
1
<
x
2
时，都有

，那么就
说函数
f
(
x
)在区间
D
上是增 函数
当
x
1
<
x
2
时，都有

，那么
就说函数
f
(
x
)在区间
D
上是减 函数
图像
描述


自左向右看图像是 的
2、单调区间的定义：
若函数
y
＝
f
(
x
)在区间
D
上是 或 ，则称函数
y
＝< br>f
(
x
)在这一区间具有
(严格的)单调性，区间
D
叫作函数
y
＝
f
(
x
)的单调区间。
3、函数的最值
前提

设函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足
(1) 对于任意
x
∈
I
，都有
f
(
x
)≤
M
；
(2)存在
x
0
∈
I
，使得
f< br>(
x
0
)＝
M
.
(3)对于任意
x
∈
I
，都
有

；
(4)存在
x
0
∈
I
，使得
f
(
x
0
)＝
M
.

自左向右看图像是 的
条件

结论
M
为最大值


4、注意事项：
（1）函数的单调性是局部性质
M
为最小值
函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的
特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
（2）函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的
定义域．对于 基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、
指数函数等；

1

如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单 函数的单调
性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．
（3）单调区间的表示
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区 间应分别写，不
能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
二、典例讲解
题型一 函数单调性的判断
例1 试讨论函数
f
(
x
)＝




探究提高 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．
变式 1：(1)已知
a
>0，函数
f
(
x
)＝
x
＋ (
x
>0)，证明函数
f
(
x
)在(0，
a
]上是减函数，
在[
a
，＋∞)上是增函数；




(2)求函数
y
＝
x
＋
x
－6的单调区间．



题型二 利用函数单调性求参数
例2 若函数
f
(
x
)＝
2
ax
(
a
≠0)在(－1,1)上的单调性．
x
－1
a
xax
－1
在(－∞，－1)上是减函数，求实数
a
的取值范围．
x
＋1
思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函 数的
图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．





2

探究提高 已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式


恒成立 问题求解；需注意的是，若函数在区间[
a，b
]上是单调的，则该函数在此区间的
任 意子集上也是单调的．
变式2： (1)若函数
f
(
x
)＝(2< br>a
－1)
x
＋
b
是
R
上的减函数，则
a
的取值范围为____________．

(2)函数
y
＝
x
－5
在(－1，＋∞)上单调递增，则
a
的取值范围是( )
x
－
a
－2








B．
a
<3
D．
a
≥－3
A．
a
＝－3
C．
a
≤－3

题型三 利用函数的单调性求最值
例3 已知函数
f
(
x
)对于任意
x
，
y
∈
R
，总有
f
(
x
)＋
f
(
y
)＝
f
(
x
＋< br>y
)，且当
x
>0时，
f
(
x
)<0，f
(1)＝－.
(1)求证：
f
(
x
)在
R
上是减函数； (2)求
f
(
x
)在[－3,3]上的最大值和最小值．
思维启迪 ：问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明
f
(
x
)
为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．







探究提高 对于抽象函 数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相
应的条件，对任意
x
1
，
x
2
在所给区间内比较
f
(
x
1< br>)－
f
(
x
2
)与0的大小，或
2
3
fx
1
与1的大小．有
fx
2
时根据需要，需作适当的变形：如< br>x
1
＝
x
2
·或
x
1
＝
x
2
＋
x
1
－
x
2
等；利用函数单调性可以 求函
数最值．
变式3：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数
f
(
x
)满足
f
??
＝
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)，且当
x
>1时，
x
x
1
x
2
?
x
1
?
?
2
?
f
(
x
)<0. (1)求
f
(1)的值； (2)判断
f
(
x
)的单调性； (3)若
f
(3) ＝－1，求
f
(
x
)
在[2,9]上的最小值．

3

1
2
典例4：求函数
y
＝log(
x
－3
x
)的单调区间．
3




温馨提醒
函数的单调区间是函数定义 域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先
求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数 单调性的判断方法，首先判断两个
简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思 维定势的原因，容易
忽视定义域。
典例5：函数
f
(
x
) 对任意的
m
、
n
∈R，都有
f
(
m
＋n
)＝
f
(
m
)＋
f
(
n
) －1，并且
x
>0时，恒有
f
(
x
)>1. (1)求证：
f
(
x
)在R上是增函数； (2)若
f
( 3)＝4，解不等式
f
(
a
2
＋
a
－5)<2.
审题视角
(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出
f
(
x
2
)－
f
(
x
1
)并
与0比 较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“
f
”运用单调性“去掉”是本小题的切
入点．要构造出
f
(
M
)<
f
(
N
)的 形式．









解函数不等式问题的一般步骤：
第一步：确定函数
f
(
x
)在给定区间上的单调性；
第二 步：将函数不等式转化为
f
(
M
)<
f
(
N
)的形式；
第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“
f
”，
转化成一般的不等式或不等式组；
第四步：解不等式或不等式组确定解集；
第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．

温馨提醒 本题对函数的单 调性的判断是一个关键点．不会运用条件
x
>0时，
f
(
x
)>1.
构造不出
f
(
x
2
)－
f
(x
1
)＝
f
(
x
2
－
x
1< br>)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该
是将不等式化为
f
(M
)<
f
(
N
)的形式．解决此类问题的易错点：忽视
M
、
N
的取值范围，
即忽视
f
(
x
)所在 的单调区间的约束.

4

三、专项练习
A组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是
A．
y
＝1－
x

2


( )
B．
y
＝
x
＋2
x
C．
y
＝
2
2
1

1＋
x
D．
y
＝
x
x
－1
2． 已知函数
f
(
x
)＝2
ax
＋4(
a
－3 )
x
＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则
a
的取值范围是
( )
?
3
?
A.
?
0，
?

?
4
?
?
3
??
3
??
3
?< br>B.
?
0，
?
C.
?
0，
?
D.
?
0，
?

?
4
??
4
??
4
?
，
a
x

x
?
?
3． 已知
f
(
x
)＝
?
?
a
?
4－
x
??
x< br>＋
?
?
?
2
?
范围为( )
A．(1，＋∞)

是R上的单调递增函数，则实数
a
的取值
B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8)
11
x
＋1
4． 给定函 数①
y
＝
x
，②
y
＝log(
x
＋1)， ③
y
＝|
x
－1|，④
y
＝2，其中在区间(0,1)上单
22
调递减的函数的序号是 ( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．
f
(
x
)＝
x
－2
x
(
x∈[－2,4])的单调增区间为__________；
f
(
x
)max
＝________.
6． 函数
f
(
x
)＝ ln(4＋3
x
－
x
)的单调递减区间是__________．
7． 若函数
f
(
x
)＝
a
|
x
－
b
|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数
a
、
b
的取 值范围是_________．
三、解答题(共22分)
11
8．(10分)已知函数
f
(
x
)＝－ (
a
>0，
x
>0)，
2
2
ax
(1) 求证：
f
(
x
)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
?
1
??
1
?
(2)若
f
(
x
)在
?
，2
?
上的值域是
?
，2
?
，求
a
的值．
?
2
??
2
?





5

9．(12分)已知函数
f
(
x)＝
x
＋(
x
≠0，
a
∈R)．
(1)判断函数
f
(
x
)的奇偶性；
(2)若
f
(
x
)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数
a
的取值范围．









2
a
x
B组 专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 已知函数
f
(
x)＝
x
－2
ax
＋
a
在区间(－∞，1)上有最小值， 则函数
g
(
x
)＝
(1，＋∞)上一定 ( )
A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数
2
fx
在区间
x
2． 已知定义在R上的增函数
f
(
x
)，满足
f
(－
x
)＋
f
(
x
)＝0，
x
1
，
x
2
，
x
3< br>∈R，且
x
1
＋
x
2
>0，
x
2< br>＋
x
3
>0，
x
3
＋
x
1
>0，则
f
(
x
1
)＋
f
(
x
2
)＋
f
(
x
3
)的值 ( )
A．一定大于0
2
B．一定小于0 C．等于0 D．正负都有可能
?
?
x
＋4
x
，
x
≥0，
3． 已知函数
f
(
x
)＝
?
2
?
4
x
－
x
，
x
<0，
?

若
f< br>(2－
a
)>
f
(
a
)，则实数
a
的取值范围是( )
2
A．(－1,2)
C．(－2,1)








B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
二、填空题(每小题5分，共15分)
4． 设函数
f
(
x
)＝
ax
＋1
在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么
a
的取值范 围是__________．
x
＋2
a
??
1
??
5． 已知
f
(
x
)为R上的减函数，则满足
f
????
<
f
(1)的实数
x
的取值范围是______________．
x
????
6． 设
x
1
，
x
2
为
y
＝
f
(
x
)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命 题：
①(
x
1
－
x
2
)[
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)]>0；②(
x
1
－
x
2
)[
f
(
x
1)－
f
(
x
2
)]<0；

6