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高一升高二暑假数学补课专题三

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 19:06
tags:高中数学补习

高中数学超纲却好用的公式-高中数学必修三统计试卷(含答案)



专题三、函数的单调性与最值
一、基础知识
1、单调函数的定义

增函数

减函数
一般地,设函数
f
(
x
)的定义域为
I
,如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自
变量
x
1

x
2

定义


x
1
<
x
2
时,都有

,那么就
说函数
f
(
x
)在区间
D
上是增 函数

x
1
<
x
2
时,都有

,那么
就说函数
f
(
x
)在区间
D
上是减 函数
图像
描述

自左向右看图像是 的 自左向右看图像是 的
2、单调区间的定义:
若函数
y

f
(
x< br>)在区间
D
上是 或 ,则称函数
y

f
(
x
)在这一区间具有(严格的)单
调性,区间
D叫作函数
y

f
(
x
)的单调区间。
3、函数的最值
前提

设函数
y

f
(
x
)的定义域为
I
,如果存在实数
M
满足
(1) 对于任意
x

I
,都有
f
(
x
)≤
M

(2)存在
x
0

I
,使得
f< br>(
x
0
)=
M
.
(3)对于任意
x

I
,都



(4)存在
x
0

I
,使得
f
(
x
0
)=
M
.
条件

结论
M
为最大值

4、注意事项:
(1)函数的单调性是局部性质
M
为最小值
函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上的单调性,是局部的
特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调。
(2)函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对
于 基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等;
如果是复 合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据
“同则增,异则 减”的法则求解函数的单调区间.
(3)单调区间的表示



单调区 间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符
号“∪”联结 ,也不能用“或”联结.
二、典例讲解
题型一 函数单调性的判断
例1 试讨论函数
f
(
x
)=
ax
(
a
≠0)在(-1,1)上的单调性.
x
-1
探究提高 证明函数的单调性用定义法的步骤:取值—作差—变形—确定符号—下结论.
变式1:(1)已知a
>0,函数
f
(
x
)=
x
+ (
x
>0),证明函数
f
(
x
)在(0,
a
]上是减函 数,在[
a
,+
∞)上是增函数;
(2)求函数
y

x

x
-6的单调区间.
题型二 利用函数单调性求参数
2
a
x
例2
函数
f
(
x
)=

ax
-1
在(-∞,-1)上是减函数,求实数
a
的取值范围.
x
+1
思维启迪:利用函数的单调性求参数的取值范围,解题思路为视参数为已知数, 依据函数的图像或单调
性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参.
探究提高 已知函数的单调性确定参数的值或范围,可以通过解不等式或转化为不等式
题求解;需注意的是,若函数在区间[
a,b
]上是单调的,则该函数在此区间的
调的.
变式2: (1)若函数
f
(
x
)=(2
a
-1)
x

b

R
上的减函数,则
a< br>的取值范围为____________.
(2)函数
y

恒成立问
任意子集上也是单
x
-5
在(-1,+∞)上单调递增,则
a
的取值范围是( )
x

a
-2








B.
a
<3
D.
a
≥-3
A.
a
=-3
C.
a
≤-3



题型三 利用函数的单调性求最值
例3 已
2
知函数
f
(
x
)对于任意
x

y

R
,总有
f
(x
)+
f
(
y
)=
f
(
x

y
),且当
x
>0时,
f
(
x
)<0,< br>f
(1)=-.
3
(1)求证:
f
(
x
) 在
R
上是减函数; (2)求
f
(
x
)在[-3,3]上的最大值和最小值.
思维启迪 :问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值,证明
f
(
x
)为单调减
函数的首选方法是用单调性的定义来证.问题(2)用函数的单调性即可求最值.
探究提高 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,< br>对任意
x
1

x
2
在所给区间内比较
f(
x
1
)-
f
(
x
2
)与0的大小, 或
f
?
x
1
?
与1的大小.有时根据需要,需作适
f
?
x
2
?
当的变形:如
x
1

x
2
·或
x
1

x
2

x
1

x
2
等;利用函数单调性可以求函数最值.
变式3:已知定 义在区间(0,+∞)上的函数
f
(
x
)满足
f
??

f
(
x
1
)-
f
(
x
2),且当
x
>1时,
f
(
x
)<0. (1)

f
(1)的值; (2)判断
f
(
x
)的单调性; (3)若
f
(3) =-1,求
f
(
x
)在[2,9]上的最小值.
1
2
典例4:求函数
y
=log(
x
-3
x
)的单调区间. < br>3
x
1
x
2
?
x
1
?
?< br>x
2
?
温馨提醒
函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函 数的单调区间,必须先求出函数的
定义域.如果是复合函数,应该根据复合函数单调性的判断方法,首先 判断两个简单函数的单调性,根
据同增异减的法则求解函数的单调区间.由于思维定势的原因,容易忽视 定义域。
典例5:函数
f
(
x
)对任意的
m
、< br>n
∈R,都有
f
(
m

n
)=
f< br>(
m
)+
f
(
n
)-1,并且
x
> 0时,恒有
f
(
x
)>1. (1)
求证:
f
(
x
)在R上是增函数; (2)若
f< br>(3)=4,解不等式
f
(
a

a
-5)<2.
2
审题视角
(1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出
f
(
x
2
)-
f
(
x
1
)并与0 比较大
小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“
f
”运用单调性“去掉”是本小题 的切入点.要构造出
f
(
M
)<
f
(
N
) 的形式.
解函数不等式问题的一般步骤:
第一步:确定函数
f
(
x
)在给定区间上的单调性;



第二步:将函数不等式转化为
f
(
M
)<
f
(
N
)的形式;
第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“
f
”,
转化成一般的不等式或不等式组;
第四步:解不等式或不等式组确定解集;
第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.
温馨提醒 本题对函数的单调性的判断 是一个关键点.不会运用条件
x
>0时,
f
(
x
)>1.构 造不出
f
(
x
2
)

f
(
x1
)=
f
(
x
2

x
1
)- 1的形式,找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为
f
(
M
)<
f
(
N
)
的形式.解决此类问题的易错点:忽视
M

N
的取值范围,即忽视
f
(
x
)所在的单调区间的约束.
三、专项练习
A组 专项基础训练
(时间:35分钟,满分:57分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1. 下列函数中,在(-∞,0)上为增函数的是
A.
y
=1-
x

2


( )
B.
y

x
+2
x
C.
y

2
2
1

1+
x
D.
y

x
x
-1
2. 已知函数
f
(
x
)=2
ax
+4(
a
-3 )
x
+5在区间(-∞,3)上是减函数,则
a
的取值范围是( )
?
3
?
A.
?
0,
?

?
4
?
x
?
3
??
3
??
3
?
B.
?
0,
?
C.
?
0,
?
D.
?
0,
?

?
4
??
4
??
4
?
a
?
x
>1?,
?
?
3. 已知
f
(
x)=
?
?
a
?
?
4-
?
x
+ 2 ?
x
≤1?
?
?
?
2
?
A.(1,+∞)

是R上的单调递增函数,则实数
a
的取值范围为( )
B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)
11
x
+1
4. 给定函数①
y

x
,②
y
=log(
x
+1),③
y
=|
x
-1 |,④
y
=2,其中在区间(0,1)上单调递减的函
22
数的序号是 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.
f
(
x
)=
x
-2
x
(
x∈[-2,4])的单调增区间为__________;
f
(
x
)max
=________.
6. 函数
f
(
x
)= ln(4+3
x

x
)的单调递减区间是__________.
7. 若函数
f
(
x
)=
a
|
x

b
|+2在[0,+∞)上为增函数,则实数
a

b
的取 值范围是_________.
三、解答题(共22分)
11
8.(10分)已知函数
f
(
x
)=- (
a
>0,
x
>0),
2
2
ax
(1) 求证:
f
(
x
)在(0,+∞)上是单调递增函数;
?
1
??
1
?
(2)若
f
(
x
)在
?
,2
?
上的值域是
?
,2
?
,求
a
的值.
?
2
??
2
?



9.( 12分)已知函数
f
(
x
)=
x
+(
x
≠ 0,
a
∈R).
(1)判断函数
f
(
x
)的奇偶性;
(2)若
f
(
x
)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数
a
的取值范围.
2
a
x
B组 专项能力提升
(时间:25分钟,满分:43分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1. 已知函数
f
(
x)=
x
-2
ax

a
在区间(-∞,1)上有最小值, 则函数
g
(
x
)=
一定 ( )
D.是增函数
2
f
?
x
?
在区间(1,+∞)上
x
A.有最小 值 B.有最大值 C.是减函数
2. 已知定义在R上的增函数< br>f
(
x
),满足
f
(-
x
)+
f< br>(
x
)=0,
x
1

x
2

x
3
∈R,且
x
1

x
2
>0,
x
2

x
3
>0,
x
3

x< br>1
>0,则
f
(
x
1
)+
f
(x
2
)+
f
(
x
3
)的值 ( )
A.一定大于0
2
B.一定小于0 C.等于0 D.正负都有可能
?
x
+4
x

x
≥0,
?
3. 已知函数
f
(
x
)=< br>?
2
?
?
4
x

x

x
<0,


f
(2-
a
)>
f
(
a
),则实数
a
的取值范围是( )
2
A.(-1,2)
C.(-2,1)








B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
二、填空题(每小题5分,共15分)
4. 设函数
f
(
x
)=
ax
+1
在区间(-2,+∞) 上是增函数,那么
a
的取值范围是__________.
x
+2
a
??
1
??
5. 已知
f
(
x
)为R上的减函数,则满足
f
????
<
f
(1)的实数
x
的取值范围是______________.
??
x
??
6. 设
x
1

x
2

y

f
(
x
)的定义域内的任意两个变量,有以 下几个命题:
①(
x
1

x
2
)[
f< br>(
x
1
)-
f
(
x
2
)]>0;② (
x
1

x
2
)[
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)]<0;

f?
x
1
?-
f
?
x
2
?
f< br>?
x
1
?-
f
?
x
2
?
> 0;④<0.
x
1

x
2
x
1

x
2
其中能推出函数
y

f
(
x
)为增 函数的命题为________.(填序号)
三、解答题
7. (13分)已知
f
(
x
)是定义在[-1,1]上的奇函数,且
f
(1)=1,若a

b
∈[-1,1],
a

b
≠0时,有< br>f
?
a
?+
f
?
b
?
>0成立.
a

b
(1)判断
f
(
x
)在[-1,1 ]上的单调性,并证明它;
11
(2)解不等式:
f
(
x
+)<
f
();
2
x
-1
(3)若
f
(
x
)≤
m
-2
am
+1对所有的
a
∈[- 1,1]恒成立,求实数
m
的取值范围.
2

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