高中数学培训资料(必修一)

立身以立学为先，立学以读书为本
1-1 集合及其运算
一、知识点总结：
1．元素与集合的关系:用 或 表示；

2．集合中元素具有 、 、
3．集合的分类：
①按元素个数可分： 限集、 限集 ；②按元素特征分：数集，点集等
4．集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}；
②描述法
③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集
N
*或N
?
；整数集Z；有理数集Q、
实数集R;
5．集合与集合的关系:
6．熟记：①任何一个集合是它本身的子集；
②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集；
那么A?C
③如果
A?B
，同时
B?A
，那么A = B；如果
A?B，
B?C，
.④n个元素的子集有2
n
个；n个元素的真子集有2
n
－1个；n个元素的非空真子
集有2
n
－2个.
7．集合的运算（用数学符号表示）
交集A∩B=
并集A∪B= ；
补集C
U
A= ，集合U表示全集.
8.集合运算中常用结论:
A?B?AB?A;
A?B?AB?B


§1-2 函数的概念及定义域
一、基础知识：
1．定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的 一
个数x，在集合B中 确定的数f(x)和它对应，那么就称
f:A?B
为集合A
到集合的一个 ，记作：
2．函数的三要素 、 、
3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法；
4. 同一函数： 相同，值域 ，对应法则 .
5．定义域：自变量的取值范围

立身以立学为先，立学以读书为本
求法：（1）给定了函数解析式：使式子中各部分均有意义的x 的集合；
(2) 活生实际中，对自变量的特殊规定.
6.常见表达式有意义的规定：
① 分式分母有意义，即分母不能为0；
② 偶式分根的被开方数非负，
x
有意义集合是
{x|x?0}

③
0
无意义
④ 指数式、对数式的底a满足：
{a|a?0,a?1}
,对数的真数N满足：
{N|N?0}

0


§1-3 函数的表示与值域
一、基础知识：
1．函数的表示法： ， ，
2．函数的值域：{f(x)|x∈A}为值域。
3．求值域的常用的方法：
①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反解法；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.
4. 常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
① 函数
y?kx?b(k?0,x?R)
的值域为R;
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0,x?R)

当
a?0
时值域是
[
4ac?b
,??)
, 4a
2
当
a?0
时值域是
(
??,
4ac?b
]；
2
4a
② 反比例函数
y?
k
(k?0,x ?0)
的值域为
{y|y?0}
；
x
③ 指数函数
y? a
x
(a?0,且a?1,x?R)
的值域为
R
?
；
④ 对数函数
y?log
a
x
(a?0,且a?1,x?0)
的值域为R；
⑤ 函数
y?sinx,y?cosx(x?R)
的值域为[-1，1]；
?
⑥ 函数
y?tanx,x?k
?
?
,
y?cot x
(x?k
?
,k?Z)
的值域为R；
2


§1-4 函数的单调性
一、知识点：
1．设函数
y?f(x)
的定义域为
A
，区间
I?A

如果对于区间
I内的任意两个值
x
1
，
x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就

立身以立学为先，立学以读书为本
说
y?f(x)
在区间
I
上是 ，
I
称为
y?f(x)
的
如 果对于区间
I
内的任意两个值
x
1
，
x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f (x
2
)
，那么就
说
y?f(x)
在区间
I
上是 ，
I
称为
y?f(x)
的
2．对函数单调性的理解
（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数
的定义域；
（2） 函数单调性定义中的
x
1
，
x
2
有三个 特征：一是任意性；二是大小，即
x
1
?x
2
；三
是同 属于一个单调区间，三者缺一不可；
（3）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明
y?f (x)
在某区间
I
上的单调性，那么就
要用严格的四个步骤，即①取值；②作 差；③判号；④下结论。但是要注意，不能用区
间
I
上的两个特殊值来代替。而要证明
y?f(x)
在某区间
I
上不是单调递增的，只要
举出反例就可以了 ，即只要找到区间
I
上两个特殊的
x
1
，
x
2，若
x
1
?x
2
，有
f(x
1
)?f (x
2
)
即可。
（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的 限制，如函数
y?
1
分别在
(??,0)
x
和
(0 ,??)
内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即
(??,0)?(0,??)
内是单
调递减的，只能说函数
y?
1
的单调递减区间为
(??,0 )
和
(0,??)

x
（5）一些单调性的判断规则：①若
f(x)
与
g(x)
在定义域内都是增函数（减函数），那么
。②复合函数的 单调性规则是“异
f(x)?g(x)
在其公共定义域内是增函数（减函数）
减同增”

§1-5 函数的奇偶性
一、知识点：
1．
函数的奇偶性的定义：
① 对于函数
f(x)
的定义域内任 意一个
x
，都有
f(?x)??f(x)
〔或
f(?x)?f(x) ?0
〕，则称
f(x)
为 . 奇函数的图象关于 对称。
② 对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f( ?x)?f(x)
〔或
f(?x)?f(x)?0
〕，则称
f(x)
为 . 偶函数的图象关于 对称。

立身以立学为先，立学以读书为本
③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对
称（也就是说，函数 为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
2．.函数的奇偶性的判断：
可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?
断函数的奇偶性.
注意：
f(?x)
??1(f(x)?0)
,也可以利用函数图象的对称性去判
f( x)
①若
f(x)?0
,则
f(x)
既是奇函数又是偶函数,若f(x)?m(m?0)
,则
f(x)
是偶函数；
②若
f(x )
是奇函数且在
x?0
处有定义，则
f(0)?0

③若在 函数
f(x)
的定义域内有
f(?m)?f(m)
，则可以断定
f( x)
不是偶函数，同样，若
在函数
f(x)
的定义域内有
f(?m) ??f(m)
，则可以断定
f(x)
不是奇函数。
3．奇偶函数图象的对称性
（1） 若
y?f(a?x)
是偶函数，则f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)?
f(x)
的图象关于直线x?a
对称；
（2） 若
y?f(b?x)
是偶函数，则
f( b?x)??f(b?x)?f(2b?x)??f(x)?

f(x)
的图象关于点
(b,0)
中心对称；

§1-6 指数式及运算性质
一、知识点：
1．⑴一般地，如果 ，那么
x
叫做
a
的
n
次方根。其中 .
⑵ 叫做根式，这里
n
叫做 ，
a
叫做 。
2． 当
n
为奇数时，
n
a
n
?
；当
n
为偶数时，
n
a
n
?
.
3． 我们规定：⑴
a
⑵
a
n
m
?
；其中（ ）
?
；其中（ ）
?n
⑶0的正分数指数幂 ，0的负分数指数幂 .
4． 运算性质：⑴
aa?
( )；
⑵
a
r
rs
??
s
?
( )；
⑶
?
ab
?
?
( )。
r
二、基础篇：

立身以立学为先，立学以读书为本


§1-7 对数式及运算性质
一、知识点：
1．
a?N?
； 2．
a
x
log
a
N
?
； 3．
log
a
1?
，
log
a
a?
.
4．当
a?0,a?1,M?0,N?0
时：
⑴
log
a
?
MN
?
?
； ⑵
log
a
?
⑶
log
a
M
n
?
.
5．换底公式：
log
a
b?
.
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
.
6．
log
a
b?




?
M
?
N
?
?
?
；
?
1

?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
log
b
a
§1-8 指数函数及性质与简单幂函数
一、知识点：
1．函数 叫做指数函数。
2.指数函数的图象和性质
y?a
x

图
象


定
义
域
值
性
域
质

定


点

单
调
性

0 <
a
< 1
a
> 1

立身以立学为先，立学以读书为本
对
称
性
y?a
x
和
y?a
?x
关于

对称




3．几种幂函数的图象：




§1-9 对数函数及性质
一、知识点：
1．一般地，函数 叫做对数函数；
2．对数函数的图象和性质
y?log
a
x

图
象


定义
域
值域
0 <
a
< 1
a
> 1



过定点
在
R
上是 函数
同正异负：
当 或 时，log
a
x
> 0
当 或

时，log
a
x
< 0。
在
R
上是 函数
性
质


§1-10 函数的应用---根与零点及二分法
一、知识点：

立身以立学为先，立学以读书为本
1．方程
f
?
x
?
?0
有实根

?

?

2．零点定理：如果函数
y?f
?
x
?
在区间 上的图象是 的一条曲线，并且
有 ，那么，函数
y?f
?
x
?
在区间 内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，使
得 ，这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
3．二分法求函数
y?f
?
x
?
零点近似值的步骤：
⑴确定区间 ，验证 ，给定 。
⑵求 ；
⑶计算 ；
①若 ，则 ；
②若 ，则令 ；
③若 ，则令 。
⑷判断