高一数学辅导教案：空间中的平行

空间中的平行辅导教案

学生姓名
授课教师
科组长签名
教学课题


性别
上课时间
教学主任签名
空间中的平行
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关
性质与判定定理.
年级 高一 学科 数学
课时：3课时

第（ ）次课
共（ ）次课
教学目标
教学重点
与难点
能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系．
一、知识点讲解
1．直线与平面平行的判定与性质

判定
定义 定理
性质
图形


a?α，b?α，a∥b
a∥α
b∥α a∩α＝?


a∥α，a?β，α∩β
＝b
a∥b
条件
结论
a∩α＝?
a∥α
2.面面平行的判定与性质

判定
定义 定理
性质
图形


1

a?β，b?β，
条件 α∩β＝?
a∩b＝P，
a∥α，b∥α
结论

α∥β α∥β
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b
a∥b
α∥β，a?β
a∥α
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )
(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )
(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( )
(4)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.( )
(5)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( )
二、重点题型讲解
题型一 直线与平面平行的判定与性质
1
例1如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC ＝
2
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，
CD的中点，AC与BE交于O点，G 是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.















2

思维升华 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线< br>面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a? α?a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
如图， 在四棱锥
P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD ＝4，∠PAD＝
60°.
(1)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
(2)求三棱锥D—PBC的体积．












题型二 平面与平面平行的判定与性质
例2如图，四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的底面
3

ABCD是正方 形，O为底面中心，A
1
O⊥平面ABCD，AB＝AA
1
＝2.
(1)证明：平面A
1
BD∥平面CD
1
B
1
；
(2)求三棱柱ABD－A
1
B
1
D
1
的体积．













思维升华 证明面面平行的方法：
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两
个 平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
如图，在正方
4
体

ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，S是B
1
D
1
的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD
1
B
1
；
(2)平面EFG∥平面BDD
1
B
1
.








题型三 平行关系的综合应用
例3 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在
6
侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝
3
a，试在AB上找一点
F ，使EF∥平面PAD.








三、易错题型
立体几何中的探索性问题
典例：如图，在四棱锥S－AB CD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD
2
＝90°，SA⊥底面A BCD，SA＝AB＝BC＝∠SDA＝
3
.
(1)求四棱锥S－ABCD的体积；
(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．


5

答题模板
解决立体几何中的探索性问题的步骤
第一步：写出探求的最后结论．
第二步：证明探求结论的正确性．
第三步：给出明确答案．
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
温馨提醒 (1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不
完 备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出
结论，然后在这 个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就
否定假设．
(2) 这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只
需使……成立”.
四、课堂小测
1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同的直线，l1
，l
2
是平面β内的两
条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件 是( )
A．m∥β且l
1
∥α
C．m∥β且n∥β
B．l
1
∥α且l
2
∥α
D．m∥l
1
且n∥l
2

2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )
A．a平行于α内的所有直线
B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等
D．α内存在无数条直线与a成90°角
6

3．在空间四边 形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，
则对角线AC和 平面DEF的位置关系是( )
A．平行
C．在平面内
B．相交
D．不能确定
4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β；
②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
5．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的 两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，
能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )


7

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．在四面体A－BCD中，M，N分别是 △ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与
MN平行的是________．
7．如 图所示，ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
是 棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A
1
B
1
、B
1
C
1
a
的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝
3
，过P、 M、N的平面交上底面于PQ，Q在
CD上，则PQ＝________.







8．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为________．
①AC⊥BD；
②AC∥截面PQMN；
③AC＝BD；
④异面直线PM与BD所成的角为45°.
9．如图，在直三棱柱ABC－A
1B
1
C
1
中，AB＝AC＝5，BB
1
＝BC＝6，D ，E分别是AA
1
和B
1
C
的中点．

(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求三棱锥E－BCD的体积．
8

10．如图，E、F、G 、H分别是正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1< br>的棱BC、CC
1
、C
1
D
1
、AA
1的中点．求
证：
(1)EG∥平面BB
1
D
1
D；
(2)平面BDF∥平面B
1
D
1
H.










11．对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中为真命题的是( )
A．若m，n与平面α所成的角相等，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m?α，n∥α，则m∥n
12．平面α 内有△ABC，AB＝5，BC＝8，AC＝7，梯形BCDE的底DE＝2，过EB的中点
B
1
的平面β∥α，若β分别交EA、DC于A
1
、C
1
，求△A1
B
1
C
1
的面积．







9

10